Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4

Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4

Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4

Nguyễn Văn Linh

Bài toán (Nguyễn Minh Hà) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H P là

cắt AB tại Y Chứng minh rằng điểm đối xứng với H qua XY nằm trên (O)

Chứng minh Ta phát biểu một số bổ đề sau

Bổ đề 1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H Gọi X, Y là các điểm nằm trên

AC, AB sao cho ∠XHY = ∠BHC Khi đó điểm đối xứng với H qua XY nằm trên (O)

Chứng minh

P

N

M

K J

X

H

O A

B

C Y

Gọi K là điểm nằm trên (O) sao cho K không đối xứng với H qua AB và thỏa mãn Y K = Y H

Gọi J là trung điểm KH, M, N, P lần lượt là hình chiếu của K trên BC, CA, AB Khi đó M, N, P, J cùng nằm trên đường thẳng Simson của K ứng với tam giác ABC

Bổ đề 2 Cho tam giác ABC và hai điểm P, Q liên hợp đẳng giác X, Y là hai điểm lần lượt nằm trên

AC, AB sao cho ∠XP Y = ∠BP C Khi đó ∠XQY = ∠BQC

Chứng minh

F

Y

X D

Q A

B

C

P

K

Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của P trên BC, CA, AB K là giao điểm thứ hai khác F của

∠ABP + ∠ACP

Tương tự cũng suy ra ∠XQY = ∠BQC

∠BP C, ∠XQY = ∠BQC

Chứng minh

R

M

E

X

Y B'

C'

Q P

A

B

C L

Dễ thấy BC0 cắt CB0 tại một điểm R trên P Q.

−−→

sin(−−→P M ,−−→P D) :

sin(−−→P X,−P B)→ sin(−−→P X,−−→P D) =

sin(−−→P N ,−P C)→ sin(−−→P N ,−P E)→ :

sin(−P Y ,→ −P C)→ sin(−P Y ,→ −P E)→ (1)

Do các góc M P N, BP C, DP E bằng nhau nên kết hợp với (1) suy ra ∠XP B = ∠Y P C Từ đó

∠XP Y = ∠BP C Chứng minh tương tự suy ra ∠XQY = ∠BQC

Trở lại bài toán

H'

Y

X

C' B'

H

O

B

A

C P

Áp dụng bổ đề 3 cho hai điểm H và O liên hợp đẳng giác với P nằm trên HO Ta có ∠XHY =

∠BHC Do đó theo bổ đề 1 suy ra điểm đối xứng với H qua XY nằm trên (O)