Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2

Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2

Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2

Nguyễn Văn Linh

Bài toán (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H E, F thuộc (O) sao cho EF k BC D là trung điểm HE Đường thẳng qua O song song với AF cắt AB tại

G Chứng minh rằng DG ⊥ DC

T

P N J

Q L

C'

J G

D

F

H

O A

E

Chứng minh Gọi C0 là giao của CH với AB, D0 là giao điểm thứ hai khác C0 của đường tròn đường kính CG và đường tròn Euler D0H cắt (O) tại hai điểm E0 và L sao cho D0 là trung điểm HE0 Phép nghịch đảo tâm H phương tích k = HC.HC0 biến (ABC) thành đường tròn Euler, do đó HL.HD = HC.HC0 hay L ∈ (GC)

Gọi N là giao của J E0 với AB, J là điểm đối xứng với C qua O thì ∠CLG = ∠CLJ = 90◦ nên

L, J, G thẳng hàng

Gọi Q, P, T lần lượt là trung điểm AB, LJ, E0J Dễ thấy Q đồng thời là trung điểm HJ nên Q, P, T thẳng hàng

Mà Q, P, T lần lượt là hình chiếu của O trên N G, J G, J N nên theo định lý đảo về đường thẳng Simson, O ∈ (GJ N )

Suy ra ∠E0AC = ∠E0J C = ∠BGO = ∠BAF hay E0F k BC Tức là E0 ≡ E Ta có đpcm

1