Công thức lượng giác dễ nhớ

Cách nhớ: “Hai cung hơn kém bội chẵn π Cos chúng bằng nhau sin cũng bằng Còn tang hơn kém bội π Cotang cũng thế chúng mình nhớ ghi” Đối với sin và cos : Cách nhớ: Cos thì cos c

Cạnh huyề n Cạnh đố i

Cạnh kề

C

B A

A H 1 y

x

M sin α

cos α

α O

GTLG CỦA GÓC NHỌN α TRONG T/G VUÔNG ABC TẠI A

sin

cos

tan

AC cạnhđối

BC cạnhhuyền

AB cạnhkề

BC cạnhhuyền

AC cạnhđối

AB Canhkề

α α α

Cách nhớ:

Tìm sin lấy đối chia huyền

Cosin hai cạnh kề, huyền chia nhau

Còn tang ta hãy tính sau

Đối trên, kề dưới chia nhau thấy liền

Cotang ngược lại với tang

 HỆ THỨC CƠ BẢN

Cách nhớ:

Sin bình cộng với cos bình

Nhất định bằng 1

Chúng mình cùng vui !

Còn tan mình hãy tính sau

Sin trên cos dưới chia nhau thấy liền

Cotan nghịch đảo của tan

Cos trên Sin dưới nằm lòng nhé em !

Cách nhớ bằng suy luận :

Dựa vào đường tròn lương giác

Xét tam giác vuông OHM , có OM =1 và từ định nghĩa sin α , cos α ta có ngay 3 hệ thức trên

 HỆ THỨC CƠ BẢN KHÁC

sin α +cos α = ∀, α

α

2

sin

cos

α

α

sin

π

α

2

1 1

2

cos

α

2

1

sin

π

2





Cách nhớ:

Tan bình thêm 1 bạn ơi!

Bằng 1 chia nhé ,cos thời bình phương

Cotan cũng dễ như thường

Bình phương cộng 1 bằng thương chứ gì

Tử là số 1 còn chi

Mẫu bình phương của sin thì chẳng sai

Tang với cotan sánh vai

Tích chúng bằng 1 nhớ hoài chẳng quên

 Cách nhớ bằng suy luận :

Từ hệ thức cơ bản (1) ,chia hai vế cho cos2 α ta có ngay hệ

thức (4) , chia hai vế cho sin2 α ta có ngay hệ thức (5) ,vì tanα và cotα là nghịch đảo của nhau nên tích của chúng bằng 1 nên ta có ngay hệ thức (6)

 CÔNG THỨC GTLG CỦA CÁC CUNG (GÓC) LIÊN QUAN

ĐẶC BIỆT

1) Hai cung (góc) đối nhau (có tổng=0): α và - α

cos (-α) = cosα , sin (-α) = - sin α , tan(-α) = - tan α , cot(-α) = - cot α

2) Hai cung (góc) bù nhau (có tổng=π ): α và π- α

sin (π-α)=sin α ,cos (π-α) = -cosα , tan(π-α) = - tan α ,cot(π-α ) =-cot α

3) Hai cung (góc) phụ nhau (có tổng= π /2) : α và π2 −α

sin (

2

π -α) = cos α , cos (

2

π -α) = sinα , tan(

2

π -α) = cot α ,cot(

2

π -α )=tan α

 Ghi chú : Để dễ nhớ các công thức (1) ,(2) và (3) ta nhớ câu :

“ cos đối, sin bù ,phụ chéo nhau”

 Giải thích : Nghĩa là hai cung (góc) đối nhau α và – α thì

chỉ có cos của chúng bằng nhau ,còn lại các GTLG khác thì đối nhau



Hai cung (góc) bù nhau α và π- α

thì chỉ có sin của chúng bằng nhau ,còn lại các GTLG khác thì đối nhau

Hai cung (góc) phụ nhau α và π2 −α

Sin góc nầy bằng cos góc kia & ngược lại

Tang góc nầy bằng cotan góc kia & ngược lại

 Chú ý: Ta có thể không cần nhớ các công thức về GTLG của các cung (góc) hơn ,kém π và hơn ,kém π /2

Vì bằng suy luận ,có thể nhanh chóng suy ra chẳng hạn :

s( ) s( ) cos s( ) s( ) cos s( ) sin( ) sin 2

s( ) s( ) sin

2 2

co

π

+ = − − = −

− = − = − + = − = −

− = − =

Cách nhớ:

1.Đầu tiên ta tìm sin của 00 300 450 600 90o

ˆ Ta viết 5 chữ số tự nhiên đầu tiên: 0 1 2 3 4

ˆ Lấy căn bậc hai của các số tự nhiên đó : 0 1 2 3 2

ˆ Chia các số cho 2,được kết quả cần tìm: 0 1

2

2 2

3

2 1

2 Tìm cos của các góc như trên bằng cách viết ngược lại của

sin :

2

2 2

1 2

0

3.Tính tan của 00 300 450 600 90o lấy sin

cos ta được tan Chú ý: tan90o không xác định

4 Tính cotan của 00 300 450 600 90o lấy cos

sin ta được cotan Chú ý: cot0o không xác định

Chú ý:

 Aùp dụng công thức cung (góc) bù , ta tính được các giá trị lượng giác của 1200 1350 1500 1800



VD : sin1200 = sin600 = 3

2 , tan1350 =- tan450 = 1 v.v

 Khi biết sin của 00 300 450 600 90o , áp dụng công thức cung (góc) phụ, ta cũng tính được các giá trị lượng giác của 00

300 450 600 90o

VD: cos600 = sin300 =1

2 , cot600 = tan300 = 3

3 , v.v

BỘI 2π ,BỘI π

VD: sin(

2

π +k.2π )=sin

2

π = 1,với ∀ ∈k ¢ , tan(300 +k1800)=tg300 với

k

∀ ∈ ¢ , cosk.2 π =cos0 =1 v.v

Cách nhớ:

“Hai cung hơn kém bội chẵn π

Cos chúng bằng nhau sin cũng bằng

Còn tang hơn kém bội π

Cotang cũng thế chúng mình nhớ ghi”

Đối với sin và cos :

Cách nhớ:

Cos thì cos cos sin sin Sin thì sin cos cos sin rõ ràng Cos thì đổi dấu hỡi nàng Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho!.

Đối với tan

sin( α +k.2 π )

=sin α ;

cos( α +k.2 π )=cos α

tan( α +k π )=tga ;

cot( α +k π )=cotg α





1/cos(a b− = ) cos cosa b+ sin sina b 2/cos(a b+ = ) cos cosa b− sin sina b 3/sin(a b+ = ) sin cosa b co a+ s sinb 4/sin(a b− = ) sin cosa b co a− s sinb

Cách nhớ:

Tang của tổng bằng tổng hai tang

Chia 1 trừ tích các tang oai hùng

Tang của hiệu bằng hiệu hai tang

Chia 1 cộng tích các tang oai hùng

 CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI

Cách nhớ:

Sin gấp đơi = đơi sin cos Cos gấp đơi = cos bình trừ sin bình = hai cos bình trừ 1

=1 trừ hai sin bình Tang gấp đôi Tan đôi ta lấy đôi tan Chia 1 trừ tiếp bình tan, ra liền

 Cách nhớ bằng suy luận :

Từ công thức cộng :

sin(a b+ = ) sin cosa b co a+ s sinb thay b bỡi a & rút gọn thì có ngay công

thức (1)

cos(a b+ = ) cos cosa b− sin sina b ……… (2)

Từ hệ thức cơ bản : sin a cos a2 + 2 = ⇒ 1 sin a2 = − 1 cos ahoặccos a2 2 = − 1 sin a2 Thay vào (2) thì có ngay công thức (3),(4)

Chia (1) & (2) vế theo vế ,VP cho ta tan2a ,VT tiếp tục chia tử &mẫu cho cos2a thì được 2

2 tan

1 tan −

a a

CÔNG THỨC HẠ BẬC







sin 2a= 2sin cosa a (1)

os2 = os − sin

c a c a a (2) = 2cos 2a− 1 (3) = − 1 2sin 2a (4)

2

2 tan tan 2

1 tan

a a

a

=

− (5)

5/tan( ) tan tan

1 tan tan

a b

a b

a b

+ + =

6/tan( ) tan tan

1 tan tan

a b

a b

a b

−

− =

+

2 1 cos2 cos

2

a

a= + (1)

2 1 cos2 sin

2

a

a= − (2)

2 1 cos2 tan

1 cos2

a a

a

−

= + (3)

 Cách nhớ:

Cos bình hạ bậc nâng cung

1 cộng với cos mình cùng chia 2

Sin bình cũng thế thôi em

Nhưng 1 trừ cos sau rồi mới chia

Tang bình bình tỉnh nhe em

Bình sin, bình cos đem chia thấy liền

Cách nhớ bằng suy luận :

Từ công thức nhân đôi (3) ,suy ra công thức hạ bậc (1) Từ công thức nhân đôi (4) ,suy ra công thức hạ bậc (2) Chia (2) cho (1) vế theo vế thì có ngay công thức (3)

os os 2 os os

os os 2sin sin

sin sin 2sin os

sin sin 2 os sin

a b a b

c a c b c c

a b a b

c a c b

a b a b

a b c

a b a b

a b c

Cách nhớ:

“ cos cộng cos bằng hai cos cos , cos trừ cos bằng trừ hai sin sin , sin cộng sin bằng hai sin cos , sin trừ sin bằng hai cos sin Tan mình cộng với tan ta Bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình”



 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

1 cos cos cos( ) cos( )

2 1 sin sin cos( ) cos( )

2 1 sin cos sin( ) sin( )

2

b

Cách nhớ:

Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ

Sin sin trừ nửa cos-cộng trừ cos-trừ

Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ

Cách nhớ bằng suy luận : Từ công thức cộng dễ dàng

suy ra công thức tích thành tổng ,bằng cách đặt 2

2

a b

a

α β β

 + =





 VÀI CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÁC :

Công thức nhân 3

a a

a

a a

a

cos 3 cos 4 3 cos

sin 4 sin 3 3 sin

3

3

−

=

−

=









 −

=











 +

= +

4 cos 2 4

sin 2 cos









 +

−

=











 −

=

−

4 cos 2 4

sin 2 cos

ˆ a a sin 2a

2

1 1 sin cos 4 + 4 = − 2

Chú ý: Một công thức lượng giác ta nên vận dụng linh hoạt ,có khi áp dụng từ VT sang VP và ngược lại

