2.Phương trình, các yếu tố, tiếp tuyến, điều kiện tiếp xúc.. 2.Phương trình, các yếu tố, tiếp tuyến, điều kiện tiếp xúc... 2.Phương trình, các yếu tố, tiếp tuyến, điều kiện tiếp xúc.. 9.
Trang 1
Bảng 2
CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
Các nội dung kiến thức sau đây được xét trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
1.Tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm.
A x y z ( ; ; )A A A ; B x y z ( ; ; )B B B AB ( xB x yA; B y zA; B zA)
I là trung điểm của AB { ; ;
M là trọng tâm của tứ diện ABCD { ; ;
M chia đoạn AB theo tỉ số k 1 MA kMB
2.Một số tính chất và kết quả thường dùng: Cho v ( ; ; ) ; ' ( '; '; ') x y z v x y z
v v ' ( x x y y z z '; '; ')
kv ( ; ; ) kx ky kz
3.Tích vô hướng, tích có hướng Cho : a ( ; ; ) ; x y z1 1 1 b ( ; ; ) x y z2 2 2
a b x x 1. 2 y y1. 2 z z1 2.
a b x x1. 2 y y1. 2 z z1 2 0
a x12 y12 z12
; AB xB xA 2 yB yA 2 zB zA2
cos( , )
a b
a b
a b
a b , a ; , a b b
a b , a b sin( , ) a b
=
a b , b a ,
; a b , a b , a b ,
; c a b , c a , c b ,
4.Điều kiện cùng phương của 2 vectơ.
Trang 2
5.Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ
A B C D là đỉnh của tứ diện , , , 4 AB AC AD , 0
6.Cơng thức diện tích, thể tích.
2
ABC
Shbh ABCD AB AD ,
6
tứ diện A BCD
Vhình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' AB AD AA , '
7.Phương trình mặt phẳng
PTTQ của (P) : Ax By Cz D 0 ,với A2 B2 C2 0;n ( ; ; ) A B C
là VTPT
PTTQ của (P) qua M0(x0;y0;z0) và cĩ VTPT n ( ; ; ) A B C
cĩ dạng:
Mặt phẳng (P) nhận a ( ; ; ) ; x y z1 1 1 b ( ; ; ) x y z2 2 2
làm cặp VTCP cĩ VTPT là:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x y z 1
Trong đĩ (a;0;0), (0;b;0), (0;0;c) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng với Ox,Oy,Oz
Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi giao tuyến của 2 mặt phẳng
( ): Ax By Cz D 0 , (’ ): A x B y C z D ' ' ' ' 0 cĩ dạng:
với 2 2 0
8.Phương trình đường thẳng.
Phương trình tổng quát của đường thẳng cĩ dạng 0
Ax By Cz D
A x B y C z D
Với A2 B2 C2 0 và A '2 B '2 C '2 0 và A B C A B C : : ' : ' : '
Trang 3
PTTS :
0 0 0
z z ct
PTCT: x x0 y y0 z z0
9.Vị trí tương đối.
a)Giữa 2 mặt phẳng :
Cho (P): Ax By Cz D 0 có VTPT n ( ; ; ) A B C
(P’): A x B y C z D ' ' ' ' 0 có VTPT n ' ( '; '; ') A B C
(P) cắt (P’) n n , ' 0
A B C A B C : : ' : ' : '
(P) (P’)
n n
(P) // (P’)
n n
b)Giữa 2 đường thẳng:
Cho d:x x0 y y0 z z0
đi qua M0(x0;y0;z0) có VTCP u ( ; ; ) a b c
d’: '0 '0 '0
đi qua M’0(x’0;y’0;z’0) có VTCP u ' ( '; '; ') a b c
d đồng phẳng d’ u u M M , ' 0 '0 0
: : ' : ' : ' ( ' ) : ( ' ) : ( ' )
u u
u M M
: : ' : ' : ' ( ' ) : ( ' ) : ( ' )
u u
u M M
d chéo d’ u u M M , ' 0 '0 0
c)Giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Cho d:x x0 y y0 z z0
đi qua M0(x0;y0;z0) có VTCP u ( ; ; ) a b c
(P) :Ax By Cz D 0 có VTPT n ( ; ; ) A B C
d cắt (P) u n u n 0 Aa Bb Cc 0
d//(P)
0
0 0 ( )
Aa Bb Cc
u n
Trang 4
d (P)
0
0 0 ( )
Aa Bb Cc
u n
d (P) u cùng phương n u n , 0
a b c A B C : : : :
10.Khoảng cách:
a)Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng :
d M P
b)Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng : 1 0 1
,
d M
u
c)Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau : 0 0
( , ')
, '
u u M M d
u u
11.Góc.
a)Góc giữa 2 đường thẳng :
cos
b)Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
sin
c)Góc giữa 2 mặt phẳng :
cos
12.Phương trình mặt cầu.Giao của mặt cầu và mặt phẳng
( x a ) (2 y b ) (2 z c )2 R2 có tâm I(a;b;c), bán kính R
x2 y2 z2 2 Ax 2 By 2 Cz D 0 với A2 B2 C2 D 0
Có tâm I(-A;-B;-C), bán kính R= A2 B2 C2 D
Cho (S): ( x a ) (2 y b ) (2 z c )2 R2 và ( ) :Ax By Cz D 0
( ,( )) A a B b C c D
d IH d I P
A B C (H là hình chiếu của I lên (P)
+) IH<R (P) (S) = đường tròn (C):
Taâm H
(C) có phương trình dạng: 2 2 0 2 2
Ax By Cz D
+) IH=R (P) (S) = {H}
+) IH>R (P) (S) =
CHỦ ĐỀ: BA ĐƯỜNG CÔNIC I.Elip
1.Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định F1,F2 với F1F2=2c và hằng số 2a (a>c>0)
M(E) ) MF1+MF2=2a
Trang 5
F1,F2: hai tiêu điểm
F1F2=2c : tiêu cự
MF1 , MF2: hai bán kính qua tiêu của M
2.Phương trình, các yếu tố, tiếp tuyến, điều kiện tiếp xúc.
(E) ) E) lip tâm O, tiêu điểm trên Ox E) lip tâm O, tiêu điểm trên Oy
Phương trình
(Dạng chính tắc)
Tiêu điểm F c1( ;0) , ( ;0) F c2 F1(0; ) , (0; ) c F2 c
Đỉnh trên trục lớn A1(-a;0) ,A2(a;0) A1(0;-a) ,A2(0;a)
Đỉnh trên trục nhỏ B1(0;-b) ,B2(0;b) B1(-b;0) ,B2(b;0)
a
,(e<1) e c
a
,(e<1) Phương trình cạnh hình chữ
nhật cơ sở x a y ; b y a x ; b
Bán kính qua tiêu của M(x;y)
(E) )
r MF a ex
r MF a ey
Phương trình đường chuẩn 1: x a , :2 x a
Tiếp tuyến của (E) ) tại M0(x0;y0) .20 .20
1
1
Điều kiện tiếp xúc với (d):
Ax+By+C=0
2 2 2 2 2 ,( 0)
a A b B C C b A2 2 a B2 2 C2 ,( C 0)
II.Hypebol
1.Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định F1,F2 với F1F2=2c và hằng số 2a (c>a>0)
M(H) MF MF1 2 =2a
F1,F2: hai tiêu điểm
F1F2=2c : tiêu cự
MF1 , MF2: hai bán kính qua tiêu của M
2.Phương trình, các yếu tố, tiếp tuyến, điều kiện tiếp xúc.
(H) Hypebol tâm O, tiêu điểm trên Ox Hypebol tâm O, tiêu điểm trên Oy
Phương trình
(Dạng chính tắc)
Tiêu điểm F c1( ;0) , ( ;0) F c2 F1(0; ) , (0; ) c F2 c
Đỉnh A1(-a;0) ,A2(a;0) A1(0;-a) ,A2(0;a)
a
a
,(e>1)
a
a
Trang 6
Hai nhánh *Nhánh phải (x a) :MF MF1 2 2 a
*Nhánh trái (x -a) :MF MF2 1 2 a
Nhánh trên (y a) :MF MF1 2 2 a
Nhánh dưới (y -a) :MF MF2 1 2 a
Phương trình cạnh hình chữ
nhật cơ sở x a y ; b y a x ; b
Bán kính qua tiêu của M(x;y)
(H)
*M nhánh phải (x a)
r MF a ex
*M nhánh trái (x - a)
*Công thức chung:
1 2
; r r1 2 e x2 2 a2
*M nhánh trên (y a)
r MF a ey
*M nhánh dưới (y - a)
*Công thức chung:
1 2
; r r1 2 e y2 2 a2
Phương trình đường chuẩn 1: x a , :2 x a
Tiếp tuyến của (H) tại M0(x0;y0) .20 .20
1
1
Điều kiện tiếp xúc với (d):
Ax+By+C=0
2 2 2 2 2 ,( 0)
a A b B C C b A2 2 a B2 2 C2 ,( C 0)
III.Parabol
1.Định nghĩa: Cho đường thẳng cố định và điểm cố định F
M(P) FM=d(M, )
F: tiêu điểm ; :đường chuẩn
p=d(F, ) :tham số tiêu (p>0)
MF: bán kính qua tiêu của M
2.Phương trình, các yếu tố, tiếp tuyến, điều kiện tiếp xúc
(P) (P) có đỉnh O, tiêu điểm trên Ox (P) có đỉnh O, tiêu điểm trên Oy
Phương trình y2 2 px (chính tắc) y2 2 px x2 2 py x2 2 py
Tiêu điểm
;0 2
p
;0 2
p
0;
2
p
0;
2
p
Đường chuẩn
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
Bán kính qua tiêu của
M(x;y) (P)
2
p
2
p
2
p
2
p
Tiếp tuyến của (P) tại
Điều kiện tiếp xúc với
(d): Ax+By+C=0
CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
Các nội dung kiến thức sau đây được xét trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy
1.Tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm.
( ; )
Trang 7
( ; )
( B A; B A)
I là trung điểm của AB {
G là trọng tâm ABC {
M chia đoạn AB theo tỉ số k 1 MA kMB
2.Một số tính chất và kết quả thường dùng: Cho
( ; ) ; ' ( '; ')
( ; )
3.Tích vô hướng, độ dài véctơ, góc giữa hai véctơ Cho : a ( ; ) ; x y1 1 b ( ; ) x y2 2
cos( , )
a b
a b
4.Điều kiện cùng phương của 2 vectơ.
, ,
5.Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
- Véctơ n 0 và có giá vuông góc với đường thẳng được gọi là véctơ pháp tuyến của
- Véctơ u 0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được gọi là véctơ chỉ phương của
- Nếu n a b ; là một véctơ pháp tuyến của thì
;
;
là một véctơ chỉ phương của
0 0; 0
:
;
M x y
ñi qua
0 0
(t:tham số)
0 0; 0
:
;
M x y
ñi qua
Trang 8
c)Phương trình tổng quát: Dạng ax by c 0, với a2 b2 0 và n a b ; là một véctơ pháp tuyến
0 0; 0
:
;
M x y
đi qua
d)Phương trình theo đoạn chắn: Đường thẳng đi qua A a ;0 và B 0; b cĩ pt: x y 1
e)Phương trình theo hệ số gĩc: Dạng y kx b , với k là hệ số gĩc của đường thẳng
Đường thẳng 0 0; 0
k
đi qua
-Nếu đường thẳng cĩ một VTCP u a b ; , a 0 thì đường thẳng cĩ hệ số gĩc b
k a
-Nếu đường thẳng đi qua hai điểm A x y A; A và B x y B; B, xA xB thì cĩ hệ số gĩc B A
k
6.Khoảng cách.
a)Khoảng cách từ một điểm M x y 0; 0đến đường thẳng : ax by c 0: d M , ax0 2by0 2 c
b)Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và ': d , ' d M , ' , M
7.Gĩc giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng : ax by c 0 và ' : ' a x b y c ' ' 0 Hai VTPT tương ứng là n a b ; và n ' a b '; ' Khi
n n
Lưu ý 00 , ' 900
-Nếu : y kx b và ' : y k x b ' 'thì tan , ' '
k k
k k
8.Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng : ax by c 0 và ' : ' a x b y c ' ' 0
cắt ' a b
// ' a b c
' a b c
*Chú ý:
' ' 0
a a b b
Nếu : y kx b và ' : y k x b ' 'thì
cắt ' k k '
// '
k k
b b
' '
'
k k
b b
' '
Chú ý: ' k k ' 1
9.Vị trí tương đối giữa hai điểm và một đường thẳng.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
(C)
(C')
R r
R-r >AB=0 AB>R+r
r R
(C') (C)
(C) (C') R r
R-r >AB
AB=R+r
(C) (C')
R-r =AB R-r <AB<R+r
r R
(C') (C)
B
A
B
A A
B
Trang 9
Cho đường thẳng : ax by c 0 và hai điểm M x M; yM , N x y N; N không nằm trên Khi đó
-Hai điểm M N , nằm cùng phía đối với axM byM c ax N byN c 0
-Hai điểm M N , nằm khác phía đối với axM byM c ax N byN c 0
10.Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng : ax by c 0 và ' : ' a x b y c ' ' 0
Hai đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng và ' có phương trình:
11.Phương trình chùm đường thẳng.
Chùm đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng : ax by c 0 và ' : ' a x b y c ' ' 0 có phương trình:
, trong đó , và 2 2 0
12.Phương trình đường tròn.
a)Phương trình chính tắc: Đường tròn C tâm I x y 0; 0, bán kính R có phương trình chính tắc:
2 2 2
b)Phương trình tổng quát (dạng khai triển): x2 y2 2 Ax 2 By C 0, với đk A2 B2 C 0
Khi đó đường tròn C có tâm I A B ; , bán kính R A2 B2 C
13.Vị trí tương đối của một điểm và một đường tròn.
Cho đường tròn C I R , và một điểm M Đặt d IM Khi đó, ta có:
d R điểm M nằm ngoài đường tròn C
d R M C (hay điểm M nằm trên đường tròn C )
d R điểm M nằm trong đường tròn C
14.Vị trí tương đối của một đường thẳng và một đường tròn.
Cho đường tròn C I R , và đường thẳng : ax by c 0 Đặt d d I , Khi đó, ta có:
d R đường thẳng không có điểm chung với đường tròn C
d R đường thẳng tiếp xúc với đường tròn C (*Đây cũng là đk tiếp xúc giữavà C )
d R đường thẳng cắt đường tròn C tại hai điểm phân biệt M N ,
-Để tìm tọa độ giao điểm M N , trong trường hợp trên, ta sử dung phương pháp thế giải hệ 2 phương trình gồm phương trình đường thẳng và phương trình đường tròn.
15 Đường elip.
a) Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định F1 và F2, với F F1 2 2 c, c 0 Đường elip là tập hợp các điểm M sao cho
MF MF a, trong đó a c
b) Phương trình chính tắc của elip (E):
a b , với a b 0 và a2 b2 c2
c) Các yếu tố của elip:
+F1 c ,0 và F c2 ;0 : hai tiêu điểm; F F1 2 2 c: tiêu cự; Tâm sai c
e a
, 0 e 1 +A A1 2 2 a: độ dài trục lớn; B B1 2 2 b: độ dài trục bé; A A B B1, 2, ,1 2: các đỉnh của elip
+Gốc tọa độ O: tâm đối xứng ; PQRS được gọi là hình chữ nhật cơ sở
+Với M x y ; E , ta có các bán kính qua tiêu: 1 cx
a
a
+Phương trình đường chuẩn: a
x e
d
H
R
I
M
Trang 10
16 Đường hypebol.
a) Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định F1 và F2, với F F1 2 2 c, c 0 Đường hypebol là tập hợp các điểm M sao cho
b) Phương trình chính tắc của hypebol (H):
a b , với a 0, b 0 và c2 a2 b2
c) Các yếu tố của hypebol:
+F1 c ,0 và F c2 ;0 : hai tiêu điểm ; F F1 2 2 c: tiêu cự ; Tâm sai c
e a
, e 1 +2a: độ dài trục thực; 2b: độ dài trục ảo; a ;0 , ;0 a : tọa độ hai đỉnh của hypebol
+Gốc tọa độ O: tâm đối xứng; ABDC được gọi là hình chữ nhật cơ sở
+Với M x y ; H , ta có các bán kính qua tiêu: 1 cx
a
a
+Phương trình đường chuẩn: a
x e
+Phương trình hai đường tiệm cận b
a
17 Đường parabol.
a) Định nghĩa: Cho điểm Fcố định và đường thẳng cố định không đi qua F.Tập hợp các điểm M cách đều F và được gọi
là đường parabol
b) Phương trình chính tắc của parabol (P): y2 2 px, với p 0
c) Các yếu tố của parabol:
+ ,0
2
p
: tiêu điểm; : đường chuẩn; d F , FP p: tham số tiêu
+Gốc tọa độ O được gọi là đỉnh của P , Ox: trục đối xứng
+Phương trình đường chuẩn:
2
p
18 Đường cônic.
a) Định nghĩa: Cho điểm Fcố định và đường thẳng cố định không đi qua F Tập hợp các điểm M sao cho tỉ số
MF
e
d M được gọi là đường cônic (e là một số dương cho trước)
b) Các yếu tố của cônic:
+F: tiêu điểm; : đường chuẩn; e: tâm sai của cônic
* Như vậy E) lip, Hypebol, Parabol là các cônic lần lượt có tâm sai e 1, e 1, e 1
/2:sin-cos)