chuyen de BDT luong giac
Trang 1Chương 1 :
CÁC BƯỚC ðẦU CƠ SỞ
ðể bắt ñầu một cuộc hành trình, ta không thể không chuẩn bị hành trang ñể lên ñường Toán học cũng vậy Muốn khám phá ñược cái hay và cái ñẹp của bất ñẳng thức lượng
giác, ta cần có những “vật dụng” chắc chắn và hữu dụng, ñó chính là chương 1: “Các
b ước ñầu cơ sở”
Chương này tổng quát những kiến thức cơ bản cần có ñể chứng minh bất ñẳng thức lượng giác Theo kinh nghiệm cá nhân của mình, tác giả cho rằng những kiến thức này là ñầy ñủ cho một cuộc “hành trình”
Trước hết là các bất ñẳng thức ñại số cơ bản ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev
…) Tiếp theo là các ñẳng thức, bất ñẳng thức liên quan cơ bản trong tam giác Cuối cùng
là một số ñịnh lý khác là công cụ ñắc lực trong việc chứng minh bất ñẳng thức (ñịnh lý
Largare, ñịnh lý về dấu của tam thức bậc hai, ñịnh lý về hàm tuyến tính …)
Mục lục : 1.1 Các bất ñẳng thức ñại số cơ bản……… 4
1.1.1 Bất ñẳng thức AM – GM… ……… 4
1.1.2 Bất ñẳng thức BCS……… 8
1.1.3 Bất ñẳng thức Jensen……… 13
1.1.4 Bất ñẳng thức Chebyshev……… 16
1.2 Các ñẳng thức, bất ñẳng thức trong tam giác……… 19
1.2.1 ðẳng thức……… 19
1.2.2 Bất ñẳng thức……… 21
1.3 Một số ñịnh lý khác……… 22
1.3.1 ðịnh lý Largare ……… ……… 22
1.3.2 ðịnh lý về dấu của tam thức bậc hai……… 25
1.3.3 ðịnh lý về hàm tuyến tính……… 28
1.4 Bài tập……… 29
Trang 2Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
a a a n
a a
a
2 1 2
1
≥+++
Bất ñẳng thức AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) là một bất ñẳng thức
quen thuộc và có ứng dụng rất rộng rãi ðây là bất ñẳng thức mà bạn ñọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh các bất ñẳng thức Sau ñây là hai cách chứng minh bất ñẳng thức này mà theo ý kiến chủ quan của mình, tác giả cho rằng là ngắn gọn và hay nhất
Cách 1 : Quy nạp kiểu Cauchy
Với n=1 bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng Khi n=2 bất ñẳng thức trở thành
2
2 2 1 2
1 2
1 +a ≥ a a ⇔ a − a ≥
a
(ñúng!) Giả sử bất ñẳng thức ñúng ñến n=k tức là :
k
k k
a a a k
a a
a
2 1 2
k
k k k k
k
k k
k k k
k k k
a a a a a
k
a a a k a a a k
k
a a
a a a
a k
a a
a a a
a
2
2 1 2
1
2 2 1 2
1
2 2
1 2
1 2
2 1 2
+ + +
+
=
≥
++++
++
≥++++
2
1
1
1 2 1
1
1 2 1 1 2 1 1
1 2 1 1
2
1
1
+
⇒
=
≥+
k
k
k k
k
k k
a a a k
a a
a
a a a k
a a a a a a k a a a a
Trang 3Gọi
n
a a
Trong tích P'=a'1a'2a3 a n có thêm thừa số bằng A Nếu trong P' còn thừa số khác
A thì ta tiếp tục biến ñổi ñể có thêm một thừa số nữa bằng A Tiếp tục như vậy tối ña
1
−
n lần biến ñổi ta ñã thay mọi thừa số P bằng A và ñược tích n
A Vì trong quá trình biến ñổi tích các thừa số tăng dần n
A
P<
Ví dụ 1.1.1.1
Cho A,B,C là ba góc của một tam giác nhọn CMR :
tanA+tanB+tanC≥3 3
B A
B A
C B
tantan1
tantan
⇒tanA+tanB+tanC =tanAtanBtanC
Tam giác ABC nhọn nên tanA,tanB,tanC dương
Theo AM – GM ta có :
33tantan
tan
tantan
tan27tan
tantan
tantan
tan3tantantan3tantan
tan
2
3 3
≥+
+
⇒
++
≥+
+
⇒
++
=
≥+
+
C B
A
C B
A C
B A
C B
A C
B A C
B A
ðẳng thức xảy ra ⇔ A= B=C⇔ ∆ABC ñều
Trang 4Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
Ta luôn có : cot(A+B)=−cotC
1cotcotcot
cotcot
cot
cotcot
cot
1cotcot
=+
+
⇔
−
=+
−
⇔
A C C
B B
A
C B
A
B A
Khi ñó :
3cot
cot
cot
3cotcotcot
cotcot
cot3cot
cot
cot
0cot
cotcot
cotcot
cot
2
2 2
2
≥+
+
⇒
=+
+
≥+
+
⇔
≥
−+
−+
−
C B
A
A C C
B B
A C
B A
A C
C B
tantan
tantan
≥+
A
C B
33
33tan
tantan
3tan
tantan
tantan
tan
tantan
tan3tan
tantan3tan
+
≥+
+
++
⇒
++
=
≥+
+
n n n
n n
n
n n
n n
n
C B
A C
B A
C B
A
C B
A C
B A C
B A
⇒ ñpcm
Ví dụ 1.1.1.4
Cho a,b là hai số thực thỏa :
cosa+cosb+cosacosb≥0
cos
≥+
+
⇔
≥+
+
b a
b a b
a
Theo AM – GM thì :
Trang 5
0coscos
1cos1cos12
cos1cos
1
≥+
⇒
≥+
+
≥+
++
b a
b a
b a
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 3 2 2
cos 2 cos
cos cos 2
cos 2 cos
cos cos 2
≤ +
A C
A C C
B
C B B
A B
A
B A
A A A
A
cotcot4
32
sin2sin2
cos2cos4
coscos4
3
2
cot2sin2cos2
A B
A
B A
B A B
A B
A
B A
cotcot4
32
sin2
sin322
cos2cos
coscos
2
cotcot4
32
sin2sin
2
cos2cos4
coscos4
C A
C
A C
C B C
B C
B
C B
cotcot4
32
sin2
sin322
cos2cos
coscos
cotcot4
32
sin2
sin322
cos2cos
coscos
Cộng vế theo vế các bất ñẳng thức trên ta ñược :
Trang 6Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
A C C
B B
A
A C
A C C
B
C B B
A
B
A
cotcotcot
cotcot
cot2
32
sin2
sin2
sin2
sin2
coscos2
cos2cos
coscos2
≤
++
2
32
sin2
sin2
sin2
sin2
2 2 1 2 2
2 1
AM – GM ta luôn phải chú ý ñiều kiện các biến là không âm, nhưng ñối với BCS các
biến không bị ràng buộc bởi ñiều kiện ñó, chỉ cần là số thực cũng ñúng Chứng minh bất ñẳng thức này cũng rất ñơn giản
2 1 1 2 2 2
2 2
n
n
b
a b
a b
1 (quy ước nếu b i =0 thì a i =0)
Cách 2 :
Trang 7Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM ta có :
2 2 1 2 2
2 2 1 2
2 2 2 1
2 2
n n
i i
n i
n
i
b b
b a a
a
b a b
b b
b a
a
a
a
++++
++
≥+++
+++
Cho i chạy từ 1 ñến n rồi cộng vế cả n bất ñẳng thức lại ta có ñpcm
ðây cũng là cách chứng minh hết sức ngắn gọn mà bạn ñọc nên ghi nhớ!
Bây giờ với sự tiếp sức của BCS, AM – GM như ñược tiếp thêm nguồn sức mạnh, như
hổ mọc thêm cánh, như rồng mọc thêm vây, phát huy hiệu quả tầm ảnh hưởng của mình Hai bất ñẳng thức này bù ñắp bổ sung hỗ trợ cho nhau trong việc chứng minh bất ñẳng thức Chúng ñã “lưỡng long nhất thể”, “song kiếm hợp bích” công phá thành công nhiều bài toán khó
“Trăm nghe không bằng một thấy”, ta hãy xét các ví dụ ñể thấy rõ ñiều này
≤+
2
2cos12
sin22
2cos1
coscos
sinsin
cossin
cos
αα
αα
α
αα
αα
αα
α
α
−++
++
=
++
++
−
=
++
+
=+
+
ab b
a ab
ab b
a
ab b
a b
=
−++
≤
−+
cossinα +a α α+b α ≤ +ab+ a2 + b2 +
Ta sẽ chứng minh bất ñẳng thức sau ñây vớ mọi a, b :
( ( )( ) ) ( )5
21111
≤+++
Trang 8Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
1
24
1112
122
15
2 2 2
2
2 2 2
2
++
≤++
⇔
+
++
≤+++
+
⇔
b a b
a
ab b a b
a ab
2
11
11
2 2
2
≤++
Theo AM – GM thì ( )6 hiển nhiên ñúng ⇒( )5 ñúng
Từ ( )1 và ( )5 suy ra với mọi a ,b,α ta có :
2
21cossin
≤+
=
⇔
Z k k ab
b a arctg
b a ab
b a tg
b a ab
11
2cos
12
sin
2 2
πα
αα
2
11sin
cos
b a
c b a b
y a
x
+
−+
≤+
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
( )*cos
sin
11cos
1sin1
3 3
2 2
2
3 3
2 2
2
b a
c b
y a
x
b a
c b a b
y a
x
+
≥+
⇔
+
−+
≤
−+
−
Theo BCS thì :
( ) ( )( 2)
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1
b
y a
a
x a
2 1
2 1
;
cos
;sin
cossin
cossin
y b x a b a b
y a
x
+
≥+
Trang 9x
y z
N
Q
P A
M
2 2 1
b
y a
x b
a b
=
⇔
3 3 2
3 3 2
2 2
cossin
cossin
cossin
b a
c b y
b a
c a x
c y b x a
b
y a
2
2 2
2 + +
≤+
+
=++
⇒
=++
⇔
=+
+
⇔
++
=
c b a c b a c b a
a b c
ABC MCA ABC
MBC ABC
MAB
MCA MBC
MAB ABC
h
z h
y h
x h h h h h h
h
x h
y h
z
S
S S
S S
S
S S
S S
c b b a
h
z h
y h
x h h h h
z h h
y h h
x h z
+
≤ +
+
= +
+
mà S ah a absinC h a bsinC , h b csinA , h c asinB
2
12
bc R
ab A
c C b B a h
h
h a b c
222sin
sin
=++
ca bc ab z
y x
22
2 2 2
ñpcm
Trang 10Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC
z y x
c b a
2
;08
sin
x x
2 2 2 2 2
2 2
2 4
8sin
cos
8sin
cos1111
sincos11sin
cos
≤+
⇒
=+
++
≤
++
≤+
x x
x x
x x x
2
2
≤+
+
−
x
a x a x
1cos
2sin1
2142
1
cossin
21
cos2sin1
2 2
2 2 2
2
4 2 2
4 2
2 2
2 2
2 2
2
≤+
−
⇒
++
=++
−
=
++
−
≤+
−
x
a x a a
x a
x a x
x x x
x x
a a
x x
a x a x
⇒ ñpcm
Trang 11
n
x x
x nf x f x
f x
n
)(
)()
2 1
ii) f ''(x)<0 trong khoảng (a, b) thì :
++
n
x x
x nf x f x
f x
n
)(
)()
2 1
Bất ñẳng thức AM – GM và bất ñẳng thức BCS thật sự là các ñại gia trong việc chứng
minh bất ñẳng thức nói chung Nhưng riêng ñối với chuyên mục bất ñẳng thức lượng giác
thì ñó lại trở thành sân chơi riêng cho bất ñẳng thức Jensen Dù có vẻ hơi khó tin nhưng
ñó là sự thật, ñến 75% bất ñẳng thức lượng giác ta chỉ cần nói “theo bất ñẳng thức Jensen hiển nhiên ta có ñpcm”
Trong phát biểu của mình, bất ñẳng thức Jensen có ñề cập ñến ñạo hàm bậc hai,
nhưng ñó là kiến thức của lớp 12 THPT Vì vậy nó sẽ không thích hợp cho một số ñối tượng bạn ñọc Cho nên ta sẽ phát biểu bất ñẳng thức Jensen dưới một dạng khác :
++
n
x x
x nf x f x
f x
2 1
Sự thật là tác giả chưa từng tiếp xúc với một chứng minh chính thức của bất ñẳng thức
Jensen trong phát biểu có f '' x( ) Còn việc chứng minh phát biểu không sử dụng ñạo
hàm thì rất ñơn giản Nó sử dụng phương pháp quy nạp Cauchy tương tự như khi chứng minh bất ñẳng thức AM – GM Do ñó tác giả sẽ không trình bày chứng minh ở ñây
Ngoài ra, ở một số tài liệu có thể bạn ñọc gặp khái niệm lồi lõm khi nhắc tới bất ñẳng
thức Jensen Nhưng hiện nay trong cộng ñồng toán học vẫn chưa quy ước rõ ràng ñâu là
lồi, ñâu là lõm Cho nên bạn ñọc không nhất thiết quan tâm ñến ñiều ñó Khi chứng minh
ta chỉ cần xét f '' x( ) là ñủ ñể sử dụng bất ñẳng thức Jensen Ok! Mặc dù b t ñẳng thức
Jensen không phải là một bất ñẳng thức chặt, nhưng khi có d u hiệu manh nha của nó thì bạn ñọc cứ tùy nghi sử dụng
Trang 12
Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ B ất ñẳng thức lượng giác
+
2
333sin33
f C f B f A
tan2tanA+ B + C ≥
cos
sin2
x x
x x
222322
2
π
C B A f
C f
B f
2 2
2
32
tan2
tan2
Trang 13Xét ( ) ( )2 2
tan x x
22tan
tan122
33
222322
2
π
tg
C B A f
C f
B f
tan2
tan2
tan2
sin2
sin2
cos
cos1sin
4
π
x x
x x
x f
Khi ñó theo Jensen thì :
36
tan6sin33
222322
2
ππ
C B A f
C f
B f
sin sin
3
2sin
A
C B
Ta có
Trang 14Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
≥+
+
+
=+
+
C B
A C
B
A
C B A C
B A
2 2
2
2 2
2
sinsin
sinsin
sin
sin
coscoscos22sin
sinA+ B+ C≤
2
33sinsin
sin sin sin
sin sin
sin sin sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
sin sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
3
23
23
2sin
sinsin
sinsin
sin3
sinsin
sin
sinsin
sinln3
sinsin
sin
ln
sinlnsin
lnsin
ln3
sinsin
sin
ln
3
sinlnsinsin
lnsinsin
lnsin3
sinsin
sinln3
sinsin
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
C B A C
B A
C B A C
B A
C B
A C
B A
C B A
C B
A C
B A
C B
A C
B A
C B
A
C B
A C
B A
C B
A C
B A
C B
A C
B A
C C
B B
A A
C B
a C
a b
a1 1 + 2 2 + + ≥ 1 1+ 2 + + 1+ 2 + +
Theo khả n ng của mình thì tác giả rất ít khi sử dụng bất ñẳng thức này Vì trước hết
ta cần ñể ý tới chiều của các biến, thường phải sắp lại thứ tự các biến Do ñó bài toán
cần có yêu cầu ñối xứng hoàn toàn giữa các biến, việc sắp xếp thứ tự sẽ không làm mấ
tính tổng quát của bài toán Nhưng không vì thế mà lại phủ nhận tầm ảnh hưởng của bấ
ñẳng thức Chebyshev trong việc chứng minh bất ñẳng thức lượng giác, mặc dù nó có mộ
chứng minh hết sức ñơn giản và ngắn gọn
Trang 15Ch ứng minh :
Bằng phân tích trực tiếp, ta có ñẳng thức :
1 , 2
1 2
1 2
n n
a b
a
b
a
n
Vì hai dãy a1,a2, ,a n và b1,b2, ,b n ñơn ñiệu cùng chiều nên (a i −a j)(b i −b j)≥0
Nếu 2 dãy a1,a2, ,a n và b1,b2, ,b n ñơn ñiệu ngược chiều thì bất ñẳng thức ñổi chiều
++
c b a
cC bB aA
33
3
π
=++
≥++
++
⇒
++
b a
cC bB aA
cC bB aA C
B A c b a
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC ñều
++
≤+
+
C
C B
B A
A C
B A C B
sin3
Xét ( )
x
x x
f = sin với
∈2
tancos
'
2
π
x x
x x
x x
f
Trang 16Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
Vậy f( )x nghịch biến trên
B A
A C
+
C
C B
B A
A C
B
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều
coscos
sinsin
C B
A
C B
A
≤+
+
++
A
C B
A
coscos
cos
tantan
tancos
cos
cos
sinsin
sin
3
costancos
tancos
tan3
coscos
cos3
tantan
tan
C B
A C
B A
C B
A
C C B
B A
A C
B A
C B
A
++
≤+
+
++
⇔
++
A
C B
A C
B A
coscos
cos
2sin2sin2sin2
3sin
sinsin
2
++
++
≥+
+
Không mất tổng quát giả sử a≤b≤c
Trang 17C B
A
coscos
cos
sinsin
sin
Khi ñó theo Chebyshev thì :
C B
A
C B
A C
B A
C C B
B A
A C
B A
C B
A
coscos
cos
2sin2sin2sin2
3sin
sincos
sin3
coscos
cos3
sinsin
sin
++
++
≥+
+
⇔
++
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ∆ABCñều
Sau ñây là hầu hết những ñẳng thức, bất ñẳng thức quen thuộc trong tam giác và trong
lượng giác ñược dùng trong chuyên ñề này hoặc rất cần thiết cho quá trình học toán của bạn ñọc Các bạn có thể dùng phần này như một từ ñiển nhỏ ñể tra cứu khi cần thiết.Hay bạn ñọc cũng có thể chứng minh tất cả các kết quả như là bài tập rèn luyện Ngoài ra tôi cũng xin nhắc với bạn ñọc rằng những kiến thức trong phần này khi áp dụng vào bài tập ñều cần thiết ñược chứng minh lại
1.2.1 ðẳng thức :
R
C
c B
b A
a
2sinsin
C ab b
a
c
B ca a
c
b
A bc c
b
a
cos2
cos2
cos2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
−+
=
−+
=
−+
=
A b B a c
C a A c b
B c C b a
coscos
coscos
coscos
pr C B A R R abc
C ab B
ca A bc
h c h b h a S
c b
a
c b
sin2
1sin2
1sin21
.2
1.2
1.21
2
Trang 18Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ B ất ñẳng thức lượng giác
4
22
4
22
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
c b a m
b a c m
a c b m
c
b
a
−+
=
−+
=
−+
=
b a
C ab l
a c
B ca l
c b
A bc l
c b a
2cos2
2cos2
sin2sin4
2tan2tan2tan
C B A R
C c p
B b p
A a p r
−
2tan
2tan
2tan
2tan
2tan
2tan
A C
A C
a c
a c
C B
C B
c b
c b
B A
B A
b a
b a
S
c b a C B
A
S
c b a C
S
b a c B
S
a c b A
4cot
cotcot
4cot
4cot
4cot
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
++
=+
+
−+
=
−+
=
−+
C
ca
a p c p
B
bc
c p b p
ca
b p p B
bc
a p p A
2cos
2cos
b p p
a p c p B
a p p
c p b p A
2tan
2tan
C B A C
B A
R
r C
B A C
B A
C B A C
B A
C B A C
B A
R
p C B A C
B A
coscoscos21cos
coscos
12
sin2
sin2sin41coscos
cos
coscoscos12sin
sinsin
sinsinsin42sin2sin2sin
2
cos2
cos2cos4sinsin
sin
2 2
2
2 2
2
−
=+
+
+
=+
=+
+
+
=+
+
=+
+
=
=+
+
Trang 19
1cotcotcot
cotcot
cot
12
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2tan
2
cot2
cot2
cot2
cot2
cot2cot
tantantantan
tantan
=+
+
=+
+
=+
+
=+
+
A C C
B B
A
A C C
B B
A
C B A C
B A
C B A C
B A
kA
kC kB kA kC
kB kA
C k
B k
A k
C k
B k
A
k
A k
C k
C k
B k
B k
A
k
kA kC kC
kB kB
kA
kC kB kA kC
kB
kA
kC kB kA kC
kB kA
C k
B k
A k C
k B
k A
k
kC kB kA kC
kB kA
C k
B k
A k C
k B
k A
k
k k
k
k k
k
coscoscos212sin
sin
sin
coscoscos211cos
cos
cos
212cot212cot212cot212cot212cot2
1
2
cot
1212tan212tan212tan212tan212tan
cotcot
cot
tantantantan
tan
tan
coscoscos4112
cos2
cos
2
cos
212sin212sin212sin41112cos1
2cos1
2
cos
sinsinsin412
sin2
sin
2
sin
212cos212cos212cos411
2sin1
2sin1
2
sin
1 2
2
2
2 2
2
1
+ +
−+
=+
+
−+
=+
+
++
+
=++
++
+
=++
+++
+++
=+
+
=+
+
−+
−
=+
+
++
+
−+
=++
++
+
−
=+
+
++
+
−
=++
++
+
1.2.2 B ất ñẳng thức :
a c b a c
c b a c b
b a c b a
C B c b
B A b a
cotcot
33tantan
tan
2
33sinsin
sin
2
3coscos
cos
≥+
+
≥+
+
≤+
+
≤+
+
C B
A
C B
A
C B
A
C B
A
332
cot2
cot2cot
32
tan2
tan2tan
2
32
sin2
sin2sin
2
332
cos2
cos2cos
≥+
+
≥+
+
≤+
+
≤+
+
C B
A
C B
A
C B
A
C B
A
Trang 20Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ B ất ñẳng thức lượng giác
Ch ương 1Các bước ñầu cơ sở
1cotcot
cot
9tantan
tan
4
9sin
sinsin
4
3cos
coscos
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
≥+
+
≥+
+
≤+
+
≥+
+
C B
A
C B
A
C B
A
C B
A
2
cot2
cot2cot
12
tan2
tan2tan
2
sin2
sin2sin
2
cos2
cos2cos
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
C B
A
C B
A
C B
A
C B
A
++
≥+
+
++
++
33
1cot
cotcot
33tantantan
8
33sinsinsin
8
1coscoscos
C B A
C B A
C B A
332
cot2
cot2cot
33
12
tan2
tan2tan
8
12
sin2
sin2sin
8
332
cos2
cos2cos
A A A
C B A
C B A
1.3 M ột số ñịnh lý khác :
1.3.1 ðịnh lý Lagrange :
N ếu hàm số y = f( )x liên tục trên ñoạn [a;b] và có ñạo hàm trên khoảng (a;b)
thì tồn tại 1 ñiểm c∈(a;b) sao cho :
f( )b − f( )a = f '( )(c b−a)
Nó i chung với kiến thức THPT, ta chỉ có công nhận ñịnh lý này mà không chứng minh
Ví chứng minh của nó cần ñến một số kiến thức của toán cao cấp Ta chỉ cần hiểu cách
dùng nó cùng những ñiều kiện ñi kèm trong các trường hợp chứng minh
Ví dụ 1.3.1.1
Chứng minh rằng ∀a,b∈R,a<bthì ta có :
sinb− sina ≤ b−a