ÔN tập PHẦN bất ĐẲNG THỨC

Jean le Rond dAlembert (16 tháng 11 năm 1717 – 29 tháng 10 năm 1783) là một nhà toán học, nhà vật lý, nhà cơ học, triết gia người Pháp. Ông là người đồng chủ biên và xuất bản cùng với Denis Diderot cuốn từ điển Encyclopédie. Phương pháp giải phương trình sóng của dAlembert được đặt theo tên ông.123

ÔN TẬP PHẦN BẤT ĐẲN THỨC

(Giáo viên: Lê Văn Quý, THPT Bình Sơn)

Bài 1 Cho ba số thực a, b, c dương Chứng minh rằng

4

Lời giải.

4

2

   

2

4 a b b c 4 c a a b a 4b 4b

4

Bài 2 Cho x, y > 0 thỏa 1 1 1

2

x y  Tìm GTNN của biểu thức A  x  y

Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 1

    

Do đó: A x  y 2 xy 2 4  4 Dấu “=” xảy ra  x = y = 4

Vậy MinA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài 3 Tìm GTLN của biểu thức 9

5

x A

x





Lời giải ĐK x 9

Ta có:

.3 2 3

x x

x A

Dấu “=” xảy ra  9 3 18

3

x

x

Vậy MaxA = 1

30 khi và chỉ khi x = 18 Bài 4 Tìm GTNN của biểu thức 9 2

2

x A

 với 0 < x < 2

Lời giải.

A

Dấu “=” xảy ra  9 2 1

x



 Vậy MinA = 7 khi và chỉ khi 1

2

Bài tương tự :   5  

1

x

Bài 5 Cho x, y, z > 0 thỏa x+ y+ z = 2

Tìm GTNN của

A

Lời giải.

Áp dụng BĐT cosi ta có :

2

4

x

y z



 Công các BĐT tương tự ta được : 1

2

Dấu “=” xảy ra  x =y= z = 2

3 Vậy MinA = 1 khi và chỉ khi x = y =z =2

3

Câu 6 Cho a, b, c > 0 thỏa abc = 1 CMR: b c c a a b a b c 3

Lời giải.

Áp dụng BĐT giữa TBN và TBC ta có

b c c a a b 2 bc ca ab

= bc ca ca ab ab bc

2( a b c) a b c3.3 abc  a b c3

Câu 7 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa : a + b + c = 3, Chứng minh rằng

3 2

Lời giải Đặt A là vế trái của BĐT

a

 

Cộng các BĐT tương tự ta có: 2A 3( ) 2( ) 2( ) 15

Ta lại có: 9 =a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca)  ab + bc + ca ≤ 3

 2A 15 3 3

4 4

    A 3

2



Câu 8 (ĐH K A-2007) CMR với mọi số thực dương x, y, x thỏa xyz = 1, Tìm GTNN của biểu thức

P =

Giải:Ta có 2

( ) 2

x y z x x, tương tự 2

( ) 2

y zx  y y; 2

( ) 2

Vậy P

y y

Đặt a = x x2y y, b = y y2z z , c = z z2x x

9

9

9



Do đó 2 4 2 4 2 4 2

2

9

2

4.3 3 6 2

9

    Dấu bằng xảy ra  x = y = z = 1 và MinP = 2

Câu 9 Cho x,y,z >0 có tích bằng 1 CMR: 21 2 21 2 21 2 1

(x 1) y 1(y 1) z 1(z 1) x 1 2

Câu 10 (ĐH K A-2006) Cho hai số thực khác 0 thỏa (x +y)xy = x2 + y2 – xy Tìm GTLN của biểu thức

A = 13 13

Câu 11 (ĐH KA -2005) Cho x,y,z > 0 và 1 1 1 4

2x y zx 2y z x y 2z 

Câu 12.(ĐH KA -2003) Cho x,y,z > 0 và x + y + z ≤ 1 CMR: 2 2 2

82

Câu 14 (ĐH K B-2007) Cho số thực dương x, y, x Tìm GTNN của biểu thức

P = 1 1 1

Câu 15.Cho x,y,z >0 có tích bằng 1 CMR: 21 2 21 2 21 2 1

(x 1) y 1(y 1) z 1(z 1) x 12

Câu 16 Cho x ,y ,z là các số thực dương thỏa mãn xyz =1 Chứng minh rằng

2

1

3 2

y



Câu 17 Cho x y 0 ; CMR : 4 2 3

( )( 1)

x

x y y

Câu 18 Cho a, b, c >0 CMR b b c b c a

15 2





Câu 19 Cho 2 số a0,b0 ; CMR : a  b  a b

-