Rèn luyện một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập phần bất đẳng thức ở lớp 10 trường THPT

Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông, việc dạy học giảibài tập toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu, giúp học sinh nắm vững trithức, phát triển tư duy, hình thành kỹ

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng của vấn đề 7

2.3 Một số phương pháp nhằm rèn luyện kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập toán phần Bất đẳng thức ở trường THPT 7

2.3.1 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng dự đoán 7

2.3.2 Rèn luyện cho học sinh thói quen làm rõ phương pháp giải quyết một vấn đề cụ thể sau khi đã giải quyết vấn đề đó 11

2.3.3 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi bài toán về dạng thuận lợi cho việc tìm liên hệ với kiến thức đã có của học sinh và điều kiện đã cho của bài toán 12

2.3.4 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau từ đó tìm nhiều cách giải 14

2.3.5 Rèn luyện cho học sinh thói quen không suy nghĩ cứng nhắc theo những quy tắc đã học trước đó, không máy móc áp dụng những mô hình đã gặp để ứng xử trước những tình huống mới 17

2.3.6 Rèn luyện cho học sinh thói quen khai thác, đào sâu kết quả bài toán 18

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20

3.1 Kết luận 20

3.2 Kiến nghị 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Tinh thần của phương pháp giảng dạy mới là phát huy tính chủ động sángtạo và suy ngẫm của học sinh, chú ý tới sự hoạt động tích cực của học sinh trênlớp, cho học sinh trực tiếp tham gia vào bài giảng của thầy; dưới sự hướng dẫncủa thầy, học sinh có thể phát hiện ra vấn đề và suy nghĩ tìm cách giải quyết vấnđề…”

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Học sinh phảihoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân Cơ sở để học sinh hoạtđộng chính là những tri thức và kinh nghiệm đã có Đứng trước một vấn đề đặt

ra trong vốn tri thức mà bản thân đã có, đã tích luỹ được việc lựa chọn tri thứcnào, sử dụng ra làm sao luôn luôn là những câu hỏi lớn, mà việc trả lời đượcnhững câu hỏi đó là mấu chốt trong việc giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông, việc dạy học giảibài tập toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu, giúp học sinh nắm vững trithức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thựctiễn… Bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT là rất đa dạng và phongphú và có thể nói là khó; được sử dụng nhiều trong kì thi chọn học sinh giỏiTỉnh, học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế Vì thế thông qua dạy học giải bài tậptoán phần bất đẳng thức ở trường phổ thông ta có thể rèn luyện cho học sinhmột số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề

Vì những lí do nêu trên tôi quyết định chọn đề tài SKKN là: “Rèn luyện một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập phần bất đẳng thức ở lớp 10 trường THPT’’

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề và xác định một số

kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề Từ đó đề xuất các phương thức nhằmrèn luyện một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giảibài tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là tập trung tìm hiểu về giải pháp đểnâng cao chất lượng dạy học giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trườngTHPT (lớp 10) đồng thời đề ra được các phương thức để rèn luyện các kỹ năng

đó thì sẽ góp phần triển khai đổi mới phương pháp dạy học toán ở trường phổthông

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ môn Toán làm cơ sở đểxác định một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề Từ đó đề ra được cácphương thức để rèn luyện các kỹ năng đó thông qua dạy học giải bài tập toánphần bất đẳng thức ở trường THPT

Thực hiện việc trao đổi với giáo viên và học sinh, tham khảo các tài liệu

để đề ra các phương thức để rèn luyện các kỹ năng đó thông qua dạy học giải bàitập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT

II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Cơ sở thực tiễn

Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiếnthức (khái niệm, cách thức, phương pháp ) vào giải quyết các bài tập cụ thể.Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đốitượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn có giữakiến thức và đối tượng Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắc chắn, kháiniệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng

Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức (hình thành kỹ năng) tùythuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữliệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và những quan hệ là bản chất đểthực hiện giải bài toán đã cho Để minh họa ta xét ví dụ sau:

Bài toán 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

yf x  x   x x  x

Có thể thấy rằng tri thức phản ánh trong sự vật thể hiện qua bài toán này

có rất nhiều: tổng của hai căn bậc hai, các tam thức bậc hai, Để tiến hành hoạtđộng giải toán ta phải lựa chọn tri thức phù hợp với mục tiêu là tìm giá trị nhỏ

nhất của hàm số y

Ta nhận thấy biểu thức f x   x2   x 1 x2  x1 có thể đưa về dạng

u  v, khi đó bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y có thể được giải quyết(mục tiêu) và do đó ta có thể lựa chọn phép biến đổi:

2 2

Từ đó dễ dàng suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2

Bài toán 2 Cho các số thực a b c, , Chứng minh rằng:

Nếu a2017(a b c  ) 0 thì b2 4ac0

Ta có thể biến đổi giả thiết như sau

Từ đó việc giải bài toán này quy về giải bài toán đơn giản hơn.

Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua hoạt động trí tuệ, thông qua quátrình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy sự vật thìchủ thể thường biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh, nhữngthuộc tính mới Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích - tổng hợp,trừu tượng hóa - khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặtnào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho.Chẳng hạn, xét bài toán:

Bài toán Cho hai số thực x và y Chứng minh rằng:

x  y  xy x y Tiến hành phân tích đối tượng ta nhận thấy đối tượng tư duy liên quan là mộttam thức bậc hai ẩn x(ylà tham số):

x  y  xy x y   x  y x y  y 

Để chứng minh tam thức bậc hai ẩn x(y là tham số) ở vế trái luôn không âm

với mọi x   ta cần chứng minh:  x  y12  4 y2  y1   0, y

Đó chính là sự diễn đạt lại bài toán 1 và tiếp theo chủ thể lại phải diễn đạt bàitoán theo khía cạnh mới

Cũng không loại trừ có chủ thể diễn đạt lại bài toán 1 như sau:

2.1.2 Kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề

a) Kỹ năng dùng dự đoán để phát hiện và giải quyết vấn đề.

Bài toán 1 Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn xyz 1 Chứng minh rằng

m

m m m

43

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 4

b) Kỹ năng dùng suy luận diễn dịch để phát hiện và giải quyết vấn đề

Bài toán 1 Cho các số thực a b c d, , , thỏa mãn

2 2 13

4

ac bd cd   

Ta có thể dùng các suy luận sau để giải bài toán này: “Vì vai trò của a và

b trong bài toán bình đẳng; đồng thời vai trò của c và dtrong bài toán bình

đẳng nên ta dự đoán dấu bằng ở  1 xảy ra khi 2

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

c) Kỹ năng biến đổi bài toán về dạng thuận lợi cho việc tìm liên hệ với kiến thức

đã có của học sinh và điều kiện đã cho của bài toán.

Bài toán Cho ba số thực x y z, , Chứng minh rằng

x xy y  y  yz z  z zx xKhi gặp bài toán này nếu ta biết biến đổi vế trái

thì ta có thể giải được bài toán như sau

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy xét vectơ

d) Kỹ năng nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau từ đó tìm nhiều cách giải quyết vấn đề đó

Bài toán Cho x y z, , là ba số dương và x y z  1.

thì ta có thể giải bài toán như sau

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy xét ba vectơ u x;1 ;v y;1 ;w z;1

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

+) Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có thể giải bài toán như sau:

2

82 3

x x

  2

2

82 3

x x

 .Tương tự, ta có

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Dựa trên những phân tích về kỹ năng và sự hình thành kỹ năng SKKN đãxác định được một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, phân tích và minhhọa các kỹ năng đó Từ đó, khẳng định việc rèn luyện cho học sinh một số kỹnăng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập phần bất đẳngthức lớp 10 THPT là cần thiết và có thể thực hiện được

2.2 Thực trạng của vấn đề

Đối với đa số các em học sinh khi nói đến Bất đẳng thức các em luôn cho

đó là vấn đề khó, thường không đầu tư thời gian vào học tập và nghiên cứu thậmchí nhiều em còn bỏ qua phần này; Hơn nữa để dạy phần này có hiệu quả giáoviên cần phải đầu tư nhiều công sức thời gian để sưu tầm biên soạn các bài toántheo chủ đề theo dạng; Hơn nữa có quá nhiều dạng, mỗi bài còn có những cáchbiến đổi khác nhau; đó là chưa kể khi giảng dạy, chính giáo viên cũng khôngnhớ cách biến đổi, mà có nhớ thì học sinh sẽ tiếp thu một cách thụ động

Khi chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức,theo phương pháp cũ, học sinh bị thụ động bởi cách giải, những biến đổi quáphức tạp, phải nhớ rất nhiều các bất đẳng thức và áp dụng chúng thật khéo mới

có thể làm được bài toán yêu cầu

2.3 Một số phương pháp nhằm rèn luyện kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập toán phần Bất đẳng thức ở trường THPT

2.3.1 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng dự đoán.[1]

Tác dụng của phương thức này là nhắc nhở học sinh luôn quan tâm tới các

dự đoán có cơ sở khi giải một số bài toán về bất đẳng thức

Trong quá trình dạy học môn Toán, nhiều lúc người giáo viên thể hiện sự áp đặt

về mặt kiến thức Sở dĩ họ áp đặt về mặt kiến thức vì họ không tài nào lí giải chohọc sinh hiểu tại sao ta lại tiến hành biến đổi bài toán theo cách ta đang làm,chẳng hạn như đối với bài toán sau:

Bài toán 1 Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức P x y 1 1.

a) Dự đoán bằng khái quát hóa.[2]

Ví dụ 1 Từ bất đẳng thức Cauchy đối với hai số không âm: “Với mọi a b , 0 ta

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b ” và bất đẳng thức

Cauchy đối với ba số không âm: “Với mọi a b c , , 0 ta có 3

 Đẳng thức xảy rakhi và chỉ khi a1 a2   a n”

Ví dụ 2 Để giải bài toán: “Chứng minh rằng với mọi tam giácABC, ta có

3 cosA2 3 cosB2cosC  ”, ta có thể nghĩ đến việc giải bài toán tổng4quát hơn: “Cho ba số thực dương x y z, , Chứng minh rằng với mọi tam giác

ABC, ta có

2 2 2.cos cos cos

2

x y z

yx A xz B xy C   ” Ta có thể giải vắn tắtbài toán tổng quát này như sau: “Bất đẳng thức cần chứng minh tương đươngvới z.cosB y cosC x 2 z.sinB y sinC2 0

Bài toán ban đầu là một trường hợp cụ thể của bài toán tổng quát

x2;y1;z 3, nhưng việc tìm lời giải bài toán ban đầu là khó hơn rấtnhiều so với việc tìm lời giải bài toán tổng quát

b) Dự đoán bằng đặc biệt hoá.[3]

Bài toán Cho số nguyên n 3 Giả sử n số dương a a1, , ,2 a thỏa mãn bất n

Như vậy việc chứng minh bài toán khi n 3 là thực hiện được Nhưngđiều quan trọng nhất là dựa vào kết quả của bài toán khi n 3, ta có thể giảiđược bài toán như sau:

Với n 3bài toán đã được chứng minh

Với n 3, và n số dương a a1, , ,2 a thỏa mãn điều kiện bài toán Lấy ba số bất n

kì trong n số đó Vì vai trò các số a i i 1,2,3, ,n là bình đẳng nên không mấttính tổng quát ta có thể coi rằng ba số lấy ra là a a a 1, ,2 3

Theo điều kiện bài toán và theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có

Theo trường hợp n 3, ta có a a a là độ dài các cạnh của một tam giác.1, ,2 3

c) Dự đoán bằng tương tự hóa.[2]

Chẳng hạn khi gặp bài toán: “Cho số nguyên dương n 3 Giả sử

Chứng minh rằng , ,t t t là độ dài ba cạnh của một tam giác với mọi i j k i j k, , và

thể giải bài toán này tương tự như với bài toán đó hay không?

Câu trả lời là có thể, và sau đây là lời giải:

Ta sẽ chứng minh điều này bằng phương pháp phản chứng

Thật vậy: giả sử t1t2 t3, khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

5 5

5 4

2

3

1 1 3

1 1 1

5

3

2 1

3 5

4

2 1

3 3

2 1 2

1

3 3

2 1

2 1

3 3

2 1 2

1 1

2 3

2 1

t t

t

t t

t t t

t

t t

t

t

t t

t t

t t t

t t

t t

t t

t

Điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy t1 t2 t3.Hay t t t là độ dài ba cạnh1, ,2 3của một tam giác

Vớin 3, và n số dương t t1, , ,2 t thỏa mãn điều kiện bài toán Lấy ba số n

bất kì trong n số đó Vì vai trò các số t i i 1,2, ,nlà bình đẳng nên khôngmất tính tổng quát ta có thể coi rằng ba số lấy ra là t t t 1, ,2 3

Theo điều kiện bài toán và theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có

Vì vậy theo trường hợpn 3, ta có t t t là độ dài ba cạnh của một tam giác.1, ,2 3

2.3.2 Rèn luyện cho học sinh thói quen làm rõ phương pháp giải quyết một vấn đề cụ thể sau khi đã giải quyết vấn đề đó.

Mục đích của phương thức này là nhấn mạnh tri thức phương pháp tronghoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề

Ví dụ 1 Cho x y z, , là các số thực dương Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳngthức xyz2x2  y2 z2 8 5x y z  

Thật vậy:

Dễ thấy: “Trong 3 số bất kỳ t t t1, ,2 3 luôn tồn tại hai số t t t i, j i t j, ,i j1,2,3 

sao cho ,t t  hoặc , i j 1 t t  ” i j 1

Từ nhận xét này và vai trò x y z, , trong bài toán bình đẳng nên không mất tínhtổng quát ta có thể giả sử x y , 1 hoặc x y , 1 Khi đó ta có

x 1 y  1  0 xy x y   1 xyz xz yz z   xyz2x2  y2 z2  8 xz yz z  2x2  y2 z28 1 

Ta sẽ chứng minh:

xz yz z   x  y z   x y z Thật vậy:

 2  y z  22 x z  22 3x 12 3y 12 2z 12 0 luôn đúng

Từ  1 và  2 suy ra: xyz2x2  y2 z2 8 5x y z  

Từ cách giải bài toán này ta có thể rút ra một phương pháp để giải bài toánchứng minh bất đẳng thức dạng f x y z  (Biểu thức  , ,  0 f x y z có chứa , , 

xyz vai trò x y z, , trong bài toán bình đẳng) là:

Dựa vào bổ đề: “Trong 3 số bất kỳ t t t1, ,2 3 luôn tồn tại hai số

Sau đó chứng minh g x y z  Từ đó suy ra  , ,  0 f x y z  , ,  0

Vận dụng phương pháp này ta có thể giải được rất nhiều bài toán, chẳng hạn:

Ví dụ 2 Cho là các số thực x y z, , không âm thoả mãn x y z  1

Chứng minh rằng: 4xy yz zx    1 9xyz

Chứng minh

Do vai trò x y z, , trong bài toán trên là bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta

Từ  1 và  2 ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3 Cho x y z , , 0;1thoả mãn xyz  1 x 1 y 1 z  *

Chứng minh rằng: 2 2 2 3

.4

x  y z Thật vậy

Do vai trò x y z, , trong bài toán bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta cóthể giả sử , 1

x  y z 

2.3.3 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi bài toán về dạng thuận lợi cho việc tìm liên hệ với kiến thức đã có của học sinh và điều kiện đã cho của bài toán.

Khi giải một bài toán, một phương pháp tổng quát là tìm cách đưa bàitoán phải giải về một bài toán đơn giản hơn, sao cho nếu giải được bài toán nàythì sẽ giải được bài toán đã cho (nhờ áp dụng kết quả hoặc phương pháp giải bàitoán đơn giản đó)

Chẳng hạn:

Bài toán 1 Cho a và b là hai số thỏa mãn điều kiện a2 b2 16 8 a6b

Chứng minh: 10 4 a3b40  1

+) Để giải bài toán này học sinh có thể viết lại giả thiết dưới dạng:

a 42 b 32 9; Đồng thời biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Từ đó suy ra nếu a b, là hai số thỏa mãn điều kiện đầu bài thì điểm M a b nằm ; 

trên đường tròn tâm O14;3 và bán kính là 3.

Vậy bài toán trở thành : Chứng minh rằng với mọi điểm M nằm trên đường trònnói trên thì : 2OM 8

Nối OO cắt đường tròn tại 1 M M Hiển nhiên ta có: 1, 2 OM1OM OM 2

z x y 6 8 2x 2y 5x 5y 8

        Như vậy ta cần chứng minh  z 0 với mọix y,

Để chứng minh điều này ta có thể nghĩ đến việc biến đổi z về dạng