Đa thức bất khả quy và đa giác newton

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này em nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số nói riêng và các thầy cô giáo t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN o0o

HOÀNG THỊ LỆ

ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY

VÀ ĐA GIÁC NEWTON

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học:

Th.s ĐỖ VĂN KIÊN

HÀ NỘI – 2014

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này em nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số nói riêng và các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các

thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là thầy giáo Th.S Đỗ Văn Kiên – người đã

tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề

mà em trình bày trong khóa luận này sẽ không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Hoàng Thị Lệ

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Đa thức bất khả quy và đa giác Newton” em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành

khóa luận của mình Danh sách tài liệu tham khảo em đã đưa vào mục tài liệu tham khảo của khóa luận

Em xin cam đoan khóa luận được hình thành bởi sự cố gắng, nỗ

lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáoTh.sĐỗ

Văn Kiên cũng như các thầy cô trong tổ Đại số Đây là đề tài không

trùng với đề tài của các tác giả khác

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Hoàng Thị Lệ

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Vành đa thức một ẩn 3

1.1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn 3

1.1.2 Định lý phép chia với dư 5

1.1.3 Nghiệm của một đa thức 6

1.2 Vành đa thức nhiều ẩn 7

CHƯƠNG 2: ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY 10

2.1 Khái niệm đa thức bất khả quy 10

2.2 Các tính chất 10

2.3 Đa thức bất khả quy trên các trường số 12

2.3.1 Đa thức bất khả quy trên các trường số phức 12

2.3.2 Đa thức bất khả quy trên các trường số thực 13

2.4 Đa thức bất khả quy trên các trường số hữu tỷ 14

2.4.1 Các tính chất 15

2.4.2 Tiêu chuẩnEisenstein 18

2.4.3.Một số tiêu chuẩn khác 20

2.5 Đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn 28

2.5.1 Đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn 28

2.5.2 Số đa thức monic trên một trường hữu hạn 32

CHƯƠNG 3: ĐA GIÁC NEWTON 36

3.1 Đa thứcEisenstein 36

3.2 Kết thức 36

3.3 Ứng dụng 38

3.4 Đa giác Newton và tiêu chuẩn bất khả quy 40

3.4.1 Đa giác Newton 40

3.4.2 Tiêu chuẩn bất khả quy 42

3.5 Một số bài tập 49

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa học khác, là thành phần không thể thiếu của văn hóa phổ thông Môn Toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy con người

Đa thức có vị trí quan trọng trong Toán học không những là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của giải tích trong lý thuyết sấp xỉ, lý thuyết tối ưu… Ngoài ra lý thuyết về đa thức còn được sử dụng nhiều trong toán cao cấp và toán ứng dụng Trong các cuộc thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic thì các bài toán về đa thức được xem là dạng khó

TrongToán học khi nghiên cứu về đa thức, đa thức bất khả quy là một đối tượng quan trọng, còn đa giác Newton được coi là một công cụ

để hiểu hành vi của đa thức trên các lĩnh vực địa phương

Tuy nhiên, tài liệu viết về các đối tượng này còn rất ít.Vì vậy em đã mạnh dạn chọn đề tài “Đa thức bất khả quy và đa giác Newton” Em mong rằng khóa luận này sẽ có ích cho những ai quan tâm đến đa thức,

đặc biệt là đa giác Newton và tính bất khả quy của đa thức

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu tính bất khả quy của đa thức trên các trường số và trường hữu hạn,tìm hiểu về đa giác Newton và một số kết quả của đa giác Newton

3 Đối tƣợng nghiên cứu

Đa thức một biến

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa

5.Nội dung khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm có 3 chương:

Chương1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Đa thức bất khả quy

Chương 3 Đa giác Newton

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

số tự nhiên n sao cho a a a, , , a a, , ,a ,0,và ta có,

n n

Vậy Pa0 a x1   a x n n|a iA n,   Vành P được gọi là

vành đa thức một ẩn xlấy hệ số trên A , kí hiệu là A x 

Định nghĩa 1.1.1 Mỗi phần tử của A x được gọi là mộtđa thức, kí hiệu

là f x     , g x ,p x ,

Nếu f x a0 a x1   a x n n thì a0 được gọi là hệ tử tự do, a n

được gọi là hệ tử bậc cao nhất, a n 0 thì n được gọi là bậc của đa thức,

i) Nếu A là miền nguyên thì A x  cũng là miền nguyên

ii) Nếu A là một trường thì trong vành A x  các hằng khác không

là khả nghịch

1.1.2 Định lý phép chia với dƣ

Định lý 1.1.1.Cho A là một miền nguyên và ( ), ( ) f x g x là hai đa thức trong A x , hệ tử cao nhất của ( ) g x khả nghịch trong A Khi đó tồn tại duy nhất cặp đa thức ( ), (x) q x r A x  sao cho

       

f x g x q x r x với deg r  deg g nếu ( ) 0 r x 

deg rr max deg ,degr r deg g

1.1.3.Nghiệm của một đa thức

Định nghĩa 1.1.2.Giả sử Alà vành con của vành K và f x A x  có dạng f x a0 a x1   a x n n. Một phần tử c thuộc K sao cho

f c a a c a c  thì c được gọi là một nghiệm của f x 

Ví dụ 1.1.1 Số 2 là số đại số trên trường hữu tỷ vì nó là nghiệm của

đa thức 2

2

x  trong [ ]x

Định lý 1.1.2(Định lý Bezout) Cho A là miền nguyên, K là trường chứa

A, cK , p x A x[ ] Khi đó trong [ ] K x , xc là ước của đa thức p(x) khi và chỉ khi p c 0

Chứng minh Chia p x  cho xctrongK x ta có dư là đa thức[ ]

Định lý 1.1.3 Giả sử A là một miền nguyên, f x là một đa thức khác

0 thuộc vành A x và u u1, 2, ,u r là các nghiệm trong A của nó với số bội tương ứng là k k1, 2, ,k r Khi đó

    1  2   

r

f x  x u x u x u g x với g x A và g u i 0 với i 1, 2, , r

Hệ quả 1.1.1.Cho A là miền nguyên, f x A x  có bậc n1 Khi đó

f có không quá n nghiệm trong A

A A x i n lấy hệ tử trên A i1 Vành A n  A n1 x n , kí hiệu

là A x x 1, 2, ,x n, được gọi là vành đa thức của n ẩn x x1, 2, ,x n lấy

Một phần tử của A n gọi là một đa thức của n ẩn x x1, 2, ,x n lấy hệ

tử trong vành A , người ta kí hiệu nó bằng f x x 1, 2, ,x n hay

Trong đó A i1 là vành con của A i i, 1,2, , n

Ta xét vành A x1  2  A x x1, 2 Đây là vành đa thức của ẩn x2 lấy hệ

tử trong A1  A x 1 Vậy mỗi phần tử của A x x 1, 2 có thể viết dưới dạng (1) f x x 1 , 2a x0 1 a x x1 1 2   a n x x1 2n với các a x i 1 A x 1(2)  1 0 1 1 i, 0,1, ,

c x x gọi là các hạng tử của f x x 1, 2 Bằng quy nạp ta có mỗi đa thức f x x 1, 2, ,x n của vành A x x 1, 2, ,x n

Nhận xét 1.2.1 Đa thức f x x 1, 2, ,x n0 khi và chỉ khi các hệ tử của

nó bằng không tất cả

Định nghĩa 1.2.2.Cho f x x 1, 2, ,x nA x x 1, 2, ,x n là một đa thức

Bậc của đa thức f x x 1, 2, ,x n đối với ẩn x i là số mũ cao nhất mà

CHƯƠNG 2

ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY

2.1 Khái niệm đa thức bất khả quy

Định nghĩa 2.1.1 Đa thức P x T x ,T là miền nguyên gọi là đa thức bất khả quy nếu ( ) P x 0, ( )P x khác khả nghịch và P(x) không có ước thực

sự (Khi đó ta cũng nói ( ) P x là đa thức không phân tích được trên T ) Nhận xét 2.1.1.Đa thức P x  x , T là miền nguyên, P x( )0,

Mệnh đề2.2.2.Cho P x   , Q x T  x ,T là trường, P x bất khả quy thì

[ ] ( )( ( ), ( )) 1

Q x Từ thuật toán Euclid suy raP x và Q x có hệ số trong T thì

những hệ số của D x cũng thuộc T Nhưng vì P x không phân tích trên T thì theo tính chất 1, D x P x hoặc là D x   ,  0 T

Suy ra hoặc là Q x chia hết cho P x , hoặc là P x và Q x  nguyên

tố cùng nhau

Mệnh đề2.2.3.Cho P x bất khả quy trên tập T ,T là trường còn Q x ,

   

R x T x Khi đó nếu tích P x Q x   chia hết cho R x thì ít nhất một trong các thừa số P x  và Q x  chia hết cho R x 

Mệnh đề2.2.4.Mọi đa thức không là hằng số có những hệ tử trong

trường T biểu diễn được như tích của những thừa số không phân tích được trênT Sự biểu diễn này là duy nhất theo những thừa số mà chúng chỉ khác nhau những hằng số khác không trênT , nghĩa là nếu

Chứng minh ChoP x  là đa thức khác hằng số với những hệ số trong

T và cho ndegP x .Nếu n  1, thìP x   a x0  a1là không phân tích được và ta có thể cho rằng nó biểu diễn như tích một thừa số không phân tíchđược

Cho nlà một số tự nhiên bất kì và giả sử bậc nhỏ hơn n có thể biểu diễn tích của các thừa số không phân tích được trên T , thì ta có thể cho

rằng nó biểu diễn như một tích thừa số không phân tích được Nếu ngược lại nó phân tích được, nó biểu diễn dưới dạng: P x  Q x R   x , ở đây Q x và R x    là những đa thức có hệ số trong T và

  ;  

deg Q x  n deg R x  n Nhưng khi đó theo giả thiết quy nạp

 

Q x và R x biểu diễn như tích của những thừa số không phân tích

được trên T Suy ra điều này cũng đúng với P x , nghĩa là mọi đa thức với những hệ số thuộc tập hợpT biểu diễn như tích những thừa số không

phân tích được trên T Ta chỉ còn chứng minh tính duy nhất của biểu

diễn trên

Ta chỉ còn chứng minh tính duy nhất của biểu diễn trên Cho

  1   2 r  1   2 r 

ở đây P x j và Q j x là những đa thức bất khả quy trên T Theo tính

chất 3 thì ít nhất một trong những đa thức bất khả quyQ j x chia hết cho

2.3 Đa thức bất khả quy trên các trường số

2.3.1 Đa thức bất khả quy trên trường số phức

Định lý 2.3.1.Mọi đa thức bất khả quy trên trường số phức đều là đa

thức bậc nhất

Chứng minh Rõ ràng đa thức bậc nhất đều bất khả quy trên  x

Giả sử P x   x , bậc P x   n 2 Suy ra P x có n nghiệm trên hay

  ( – 1)( – 2) ( – n)

a  suy raP x không bất khả quy.Vậy đa thức bất khả quy trên  x

chỉ là những đa thức bậc nhất

2.3.2 Đa thức bất khả quy trên trường số thực

Định lý 2.3.2 Những đa thức bất khả quy trên trường số thực là những

đa thức bậc nhất và những đa thức bậc hai có những định thức âm (đa thức bậc hai   2

P x  x  ax  b có định thức là   b2 – 4ac )

Chứng minh Trước hết ta thấy những đa thức bậc nhất và những đa thức

bậc hai có định thức âm đều là những đa thức bất khả quy trên  x

Ta chứng minh mọi đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 3 không bất khả quy trên  x Thật vậy, giả sửP x  có bậc lớn hơn hoặc bằng 3 , suy

raP x có nghiệm phức ,suy ra  là nghiệm của P x  Suy ra

     

P x x x Đặt g x( )x x thì

Giả sửP x Q x   không phải là đa thức nguyên bản Khi đó tồn tại

số nguyên tố p2 là ước chung của các hệ số c0, , ,c c1 2 , c n m Mặt

khác những đa thức này là những đa thức nguyên bản nên p không chia

Mệnh đề 2.4.2 Nếu một đa thức hệ số nguyên không phân tích được

thành tích hai đa thức hệ số nguyên thì nó không phân tích được thành tích hai đa thức hệ số hữu tỉ.

Chứng minh Cho P x là đa thức hệ số nguyên, không phân tích được trên  x Giả sử P x   Q x R x    Trong đó Q x   , R x là những

đa thức hệ số hữu tỉ và deg Q x   deg P x , deg R x   deg P x 

Lời giải.Giả sử ngược lại, nghĩa là P x   Q x R x   

ở đây deg Q x deg R x   4và Q x   , R x là những đa thức hệ số nguyên Khi đó deg Q x   1 hoặc 2

 Nếu deg Q x   1thìP x có nghiệm hữu tỉ Những nghiệm đó

 Nếu deg Q x   2 Khi đó

ap

ap bp

ar bq cp

br cq cr

Vì , a p là những số nguyên nên a  p  1hoặc a –1 p 

Không mất tính tổng quát ta có thể cho rằng a  p  1 Nghĩa là

3226

b q

r bq c

br cq cr

số nguyên c và rkhi đó ta có những khả năng sau:

Điều này trái với giả thiết b là số nguyên

Như vậy trường hợp deg Q x   2không thể xảy ra

Vậy đa thức P x  bất khả quy trên tập số hữu tỉ

Nhận xét 2.4.2.Vì khái niệm đa thức bất khả quy phụ thuộc vào các

trường cơ sở nên nó có thể là đa thức bất khả quy trên trường số này nhưng lại không là bất khả quy trên trường số kia

g x  x  là đa thức bất khả quy trên

Nhưng f    x , g x lại khả quy trên

2.4.2 Tiêu chuẩn Eisenstein

Giả sử tồn tại số nguyên tố p thỏa mãn những điều kiện sau:

i a0 không chia hết cho p

ii.Tất cả những hệ số khác a a1, , 2 ,a n chia hết cho p

iii a n không chia hết cho p2

Khi đó đa thức P x bất khả quy trên Q x 

Chứng minh Giả sử ngược lại ta có P x   Q x    R x

Trong đó P x   , R x không phải hằng đa thức có hệ số nguyên

Vì a l p và a nkhông chia hết cho p2 nên b l p hoặc c m p

Giả sử b l p nên c m không chia hết cho p

Tiếp tục đẳng thức thứ hai với b p b l , l1 p a, n2 pb c l2 m pb l2 p

Tiếp tục phương pháp này dẫn đến kết quả b p0 a0 b c p0 0

Điều này trái với giả thiết.Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.4.4.Xét tính bất khả quy trên của đa thức

Chú ý 2.4.1.Tồn tại đa thức bất khả quy mà nó không có một cách biến

đổi tuyến tính của ẩn nào có thể chuyển nó thành đa thứcEisenstein (với

2b  1 psuy ra b p Vì 4ab p nên 4 a pa phoặc 4 p

Nếu a pnghĩa là hệ số cao nhất của Q y chia hết cho p (trái với

đa thức Eisenstein)

Nếu4 p nghĩa là  2 

p   b  không chia hết cho p (vô

lý).Vậy ta được điều phải chứng minh

2.4.3.Một số tiêu chuẩn khác

2.4.3.1 Tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng

Mở rộng điều kiện thứ ba trong tiêu chuẩn Eisenstein ta được định lý

sau:

a p nhưng a n không chia hết cho p s 1 )

Khi đó đa thức P x không thể phân tích thành nhiều hơn s thừa

số khác hằng số

Nhận xét 2.4.3 Với s 1ta nhận được tiêu chuẩn Eisenstein

Chứng minh Khi ta phân tích cách chứng minh của tiêu chuẩn

Eisenstein ta thấy: “Cho đa thức thỏa mãn điều kiện 2) và

     

P x G x H x , ở đây G x và H x lànhững đa thức hệ số nguyên

và b l chia hết cho p còn c m không chia hết cho p (kí hiệu như phần

chứng minh tiêu chuẩnEisenstein)

Khi đó tất cả các hệ số của G x chia hết cho p , trường hợp riêng

hệ số cao nhấtb0cũng có tính chất ấy, suy ra hệ số cao nhất a0của P x 

trong đó t svà P x P x P x1     , 2 , t không phải đa thức hằng số

Tương tự như phần chứng minh tiêu chuẩn Eisenstein ta được những đa thức P x i có ít nhất một số hạng tự do của nó chia hết cho p

và ít nhất một số hạng tự do của một đa thức không chia hết cho p

Ta kí hiệu G x  là tích những đa thức số hạng P x i có hệ số tự do

chia hết cho p còn H x là tích những số hạng còn lại ( )

Theo giả thiếtG x  và H x không là hằng số suy ra số hạng tự do ( )của G x  chia hết cho p còn số hạng tự do của H x không chia hết ( )

cho p

Theo phần chú ý đầu chứng minh thì ta nhận được tất cả các hệ số của G x  chia hết cho p

Do đó a p(mâu thuẫn với điều kiện (1))

Nên điều giả sử t s là sai

Vậy định lý được chứng minh

Mở rộng điều kiện thứ hai trong tiêu chuẩn Eisenstein ta được định

1) a0không chia hết cho p

2) Những hệ số a k1, a k2,, a n chia hết cho p

3) a n không chia hết cho p2

Khi đó đa thức P x  có ước không phân tích được là G x  mà bậc của đa thức này lớn hơn hoặc bằng nk

Chú ý 2.4.2 Với k  0ta nhận được tiêu chuẩn Eisenstein Thật vậy

 

P x sẽ có ước số không phân tích được với số bậc là – 0n , nghĩa là chính đa thức đó

Chứng minh Nếu đa thức P x  không phân tích được thì định lý đã được chứng minh.Giả sử rằngP x  phân tích được và được biểu diễn

     

P x  G x H x Tích của những thừa số không phân tích được (ít nhất là hai) với hệ

số nguyên Do a p n nên hệ số tự do của một đa thức thừa số nào đó cũng

chia hết cho p Trong trường hợp này ta sẽ chứng minh bậc 1 của G x 

thỏa mãn bất đẳng thứl n – k, như vậy định lí được chứng minh

Thật vậy, ta viết G x  dưới dạng

Cũng như trên b0không chia hết cho p vì theo giả thiết a0  b c0 0

không chia hết cho p

Ta kí hiệu i là chỉ số cuối cùng trong dãy 1, 2, , l sao cho b i

không chia hết cho p nhưng b i1 , p bi2 ,p, b p l Ta xét hệ số a m1