Đa giác, đa diện và một số bài toán liên quan đến định lý pick trong không gian hai chiều (2018)

Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu... Líi cam oanEm xin cam oan khâa luªn tèt nghi»p cõa em khæng sao ch²p tøb§t ký mët khâa luªn n o cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c.. Nguy¹n Thà Tr còngvîi sü né lüc cõa b£n t

KHOA TON

 o Ki·u Trang

A GIC, A DI›N V€ MËT SÈ B€I TON

LI–N QUAN ˜N ÀNH LÞ PICK

TRONG KHÆNG GIAN HAI CHI—U

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC

H  Nëi  N«m 2018

KHOA TON

 o Ki·u Trang

A GIC, A DI›N V€ MËT SÈ B€I TON

LI–N QUAN ˜N ÀNH LÞ PICK

TRONG KHÆNG GIAN HAI CHI—U

Líi c£m ìn 1

1 Lþ do chån · t i 3

2 Möc ½ch, nhi»m vö nghi¶n cùu 4

3 èi t÷ñng, ph¤m vi nghi¶n cùu 5

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu 6

5 C§u tróc · t i 6

Mët sè k½ hi»u 7 1 Ki¸n thùc cì sð v· a gi¡c, a di»n 8 1.1 a gi¡c 8

1.1.1 ành ngh¾a a gi¡c 8

1.1.2 Ph¥n lo¤i a gi¡c v  c¡c t½nh ch§t cì b£n 12

1.2 a di»n 16

1.2.1 ành ngh¾a a di»n 16

1.2.2 Ph¥n lo¤i a di»n v  c¡c t½nh ch§t cì b£n 17

1.3 Mët sè cæng thùc t½nh di»n t½ch a gi¡c, thº t½ch a

di»n °c bi»t 24

1.3.1 Cæng thùc t½nh di»n t½ch a gi¡c 24

1.3.2 Cæng thùc t½nh thº t½ch a di»n 25

1.4 Mët sè v½ dö v  b i tªp minh håa 26

2 ành lþ Pick v  mët sè b i tªp trong khæng gian hai chi·u 40 2.1 ành lþ Pick 40 2.2 Mët sè v½ dö v  b i tªp ùng döng ành lþ Pick º gi£i 46

Líi c£m ìn

Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa khâa luªn, em xin ÷ñc gûilíi c£m ìn tîi to n thº th¦y cæ khoa To¡n tr÷íng ¤i Håc S÷ Ph¤m

H  Nëi 2 ¢ d¤y dé chóng em, c¡c th¦y cæ trong tê bë mæn H¼nh håc

¢ ch¿ b£o tªn t¼nh em trong suèt thíi gian håc tªp vøa qua

°c bi»t, em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi cæ gi¡o ThS Nguy¹nThà Tr , ng÷íi ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n, ch¿ b£o tªn t¼nh, gióp ï º

em câ thº ho n th nh khâa luªn n y

Do thíi gian, n«ng lüc v  i·u ki»n b£n th¥n em cán h¤n ch¸ n¶nkhâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât V¼ vªy, em r§t mongnhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp quþ b¡u cõa c¡c th¦y cæ º khâaluªn ÷ñc ho n thi»n hìn

Líi cam oan

Em xin cam oan khâa luªn tèt nghi»p cõa em khæng sao ch²p tøb§t ký mët khâa luªn n o cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c Khâa luªn n y ÷ñc

ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa cæ gi¡o ThS Nguy¹n Thà Tr  còngvîi sü né lüc cõa b£n th¥n em Trong khi thüc hi»n khâa luªn, em

¢ t¼m hiºu mët sè t i li»u ÷ñc n¶u trong danh möc T i li»u thamkh£o

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2018T¡c gi£ khâa luªn

 o Ki·u Trang

Líi mð ¦u

1 Lþ do chån · t i

H¼nh håc l  mët l¾nh vüc b­t nguçn tø thüc ti¹n li¶n quan trüc ti¸p

¸n c¡c v§n · kh£o s¡t, o ¤c, t½nh di»n t½ch ho°c thº t½ch cõa mëth¼nh H¼nh håc ¢ ÷ñc con ng÷íi t¼m tái v  nghi¶n cùu tø r§t l¥u

íi Trong qu¡ tr¼nh ph¡t triºn cõa nâ, con ng÷íi ¢ ¤t ÷ñc nhúng

th nh tüu quan trång b÷îc ¦u Mët trong sè â l  t¼m ra c¡c cængthùc t½nh ë d i, di»n t½ch, thº t½ch cõa mët sè h¼nh °c bi»t

Þ thùc ÷ñc t¦m quan trång v  þ ngh¾a thüc ti¹n cõa H¼nh håcn¶n trong c¡c n·n gi¡o döc, H¼nh håc ÷ñc ÷a v o v  giîi thi»u tør§t sîm vîi nhi·u d¤ng to¡n thó và Mët trong c¡c d¤ng to¡n â l nhâm c¡c b i tªp li¶n quan ¸n a gi¡c, a di»n v  t½nh di»n t½ch, thºt½ch cõa chóng Ngay tø bªc Tiºu håc, håc sinh ÷ñc giîi thi»u v  håct½nh di»n t½ch h¼nh vuæng, h¼nh chú nhªt ¸n bªc THCS, håc sinh

÷ñc håc v· tù gi¡c, d§u hi»u nhªn bi¸t mët sè tù gi¡c °c bi»t nh÷

l  h¼nh thang c¥n, h¼nh b¼nh h nh, h¼nh vuæng, h¼nh thoi, h¼nh chúnhªt Ngo i ra c¡c em cán ÷ñc bi¸t ¸n cæng thùc t½nh di»n t½ch c¡c

tù gi¡c °c bi»t â L¶n ¸n bªc THPT, vîi c¡i nh¼n trüc quan ad¤ng hìn, håc sinh ÷ñc giîi thi»u v· a di»n v  c¡c b i to¡n t½nh thºt½ch c¡c a di»n °c bi»t Ð bªc ¤i håc, sinh vi¶n ti¸p töc ÷ñc t¼mhiºu v· a gi¡c, a di»n thæng qua mët sè mæn håc v· H¼nh håc nh÷

l  H¼nh håc Afin v  h¼nh håc Euclid, H¼nh håc sì c§p

Trong t§t c£ c¡c ký thi Olympic v· to¡n, thi håc sinh giäi to¡n, thiTHPT Quèc gia mæn to¡n th¼ nhúng b i v· a gi¡c, a di»n, t½nh di»nt½ch thº t½ch th÷íng ÷ñc ÷a v o Câ nhi·u b i to¡n t½nh di»n t½chc¡c h¼nh ph¯ng khæng gi£i ÷ñc theo c¡c c¡ch thæng th÷íng m  áihäi ph£i sû döng kÿ thuªt °c bi»t R§t nhi·u c¡c nh  to¡n håc trongcuëc ch¤y ua i t¼m líi gi£i µp cho c¡c b i to¡n â ¢ ph¡t minh

ra nhúng kÿ thuªt t½nh di»n t½ch hay Mët trong sè â ph£i nh­c ¸ngi¡o s÷ Georg Alexander Pick(1859-1942) còng vîi ành lþ mang t¶næng Khi mîi ÷ñc cæng bè l¦n ¦u n«m 1899, ành lþ Pick ¢ khæng

÷ñc måi ng÷íi chó þ M¢i ¸n khi ÷ñc vi¸t trong cuèn s¡ch to¡n håcnêi ti¸ng v· nhúng ành lþ cõa gi¡o s÷ Pick, ành lþ n y mîi thu hót

÷ñc sü quan t¥m v  ng÷ïng më v¼ ch½nh sü ìn gi£n v  µp ³ cõa

nâ Trong ành lþ Pick, æng ¢ ÷a ra ÷ñc cæng thùc t½nh di»n t½chcõa c¡c h¼nh m  câ thº g­n ÷ñc ¿nh cõa chóng l¶n l÷îi nguy¶n(l÷îi

2 Möc ½ch, nhi»m vö nghi¶n cùu

Möc ½ch nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu º l m rã nëi dung a gi¡c, a di»n, th§y ÷ñc ùngdöng µp cõa ành lþ Pick khi gi£i mët sè b i to¡n v· a gi¡c

Nhi»m vö nghi¶n cùu

• T¼m hiºu mët sè nëi dung v· a gi¡c nh÷ ành ngh¾a, ph¥n lo¤i

v  t½nh ch§t

• T¼m hiºu mët sè nëi dung v· a di»n nh÷ ành ngh¾a, ph¥n lo¤i,t½nh ch§t

• T¼m hiºu ùng döng ành lþ Pick

3 èi t÷ñng, ph¤m vi nghi¶n cùu

èi t÷ñng nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu v· a gi¡c, a di»n, ành lþ Pick

Ph¤m vi nghi¶n cùu

• Ph¤m vi nghi¶n cùu èi vîi a gi¡c, a di»n l  mët sè nëi dungv· ành ngh¾a, ph¥n lo¤i, t½nh ch§t V  mët sè cæng thùc t½nhdi»n t½ch a gi¡c °c bi»t, mët sè cæng thùc t½nh thº t½ch a di»n

°c bi»t

• Ph¤m vi nghi¶n cùu èi vîi ành lþ Pick l  mët sè b i tªp trongkhæng gian hai chi·u.

Khâa luªn gçm hai ch÷ìng

Ch÷ìng 1 "Ki¸n thùc cì sð v· a gi¡c, a di»n" Trong ch÷ìng n y,

em s³ n¶u rã nhúng ki¸n thùc lþ thuy¸t cì sð cõa a gi¡c, a di»n nh÷

ành ngh¾a, t½nh ch§t, mët sè cæng thùc t½nh di»n t½ch a gi¡c v  thºt½ch a di»n °c bi»t

Ch÷ìng 2 "ành lþ Pick v  mët sè b i tªp ùng döng" Trong ch÷ìng

n y, em s³ n¶u mët sè ki¸n thùc lþ thuy¸t c¦n chu©n bà, giîi thi»u ành

lþ Pick v  n¶u mët sè b i tªp ùng döng ành lþ Pick trong khæng gianhai chi·u

c l  k½ hi»u sè c¤nh cõa a di»n.

 l  k½ hi»u sè ¿nh cõa a di»n

m l  k½ hi»u sè m°t cõa a di»n

g l  k½ hi»u sè gâc cõa a di»n

ci l  k½ hi»u c¤nh thù i cõa a di»n

c l  k½ hi»u c¤nh ð ¿nh cõa a di»n

cm l  k½ hi»u c¤nh ð m°t cõa a di»n

Ki¸n thùc cì sð v· a gi¡c, a di»n

Trong khæng gian cho n iºm A1, A2, , An, n ≥ 3 sao cho khæng

câ ba iºm li¶n ti¸p n o th¯ng h ng Mët h¼nh gçm húu h¤n c¡c o¤n

th¯ng ành h÷îng, m  iºm ¦u cõa o¤n th¯ng ùng li·n sau l  iºmcuèi cõa o¤n th¯ng ùng li·n tr÷îc ÷ñc gåi l  mët ÷íng g§p khóc.

(ii) ÷íng g§p khóc kh²p k½n l  ÷íng g§p khóc câ ¿nh ¦u v 

¿nh cuèi tròng nhau (n ≥ 3)

(iii) ÷íng g§p khóc ìn l  ÷íng g§p khóc m  méi iºm cõa nâho°c ch¿ thuëc mët c¤nh, ho°c thuëc hai c¤nh khi l  iºm mótchung cõa chóng Tr÷íng hñp ng÷ñc l¤i ÷ñc gåi l  ÷íng g§pkhóc khæng ìn(tü c­t)

ành ngh¾a 1.8 Mi·n a gi¡c

a gi¡c còng vîi mi·n trong cõa nâ t¤o th nh mët h¼nh gåi l  mi·n

a gi¡c

ành ngh¾a 1.9 ¿nh lçi, ¿nh lãm cõa a gi¡c

Cho mët a gi¡c P câ −−−→A1A2, −−−→A2A3 l  c¤nh v  mi·n trong P◦

A2

A1

A3H¼nh 1.7: Ph¦n gâc lîn

TH1: N¸u M n¬m ð ph¦n gâc \A1A2A3 nhä th¼ A2 ÷ñc gåi l  ¿nhlçi cõa a gi¡c

TH2: N¸u M n¬m ð ph¦n gâc \A1A2A3 lîn th¼ A2 ÷ñc gåi l  ¿nhlãm cõa a gi¡c

a gi¡c ìn câ thº ph¥n lo¤i th nh a gi¡c lçi ho°c a gi¡c lãm.

ành ngh¾a 1.11 a gi¡c lçi

a gi¡c lçi(mi·n a gi¡c lçi) l  a gi¡c m  mi·n trong cõa a gi¡c

n¬m ho n to n v· mët ph½a èi vîi ÷íng th¯ng chùa mët c¤nh b§t kýcõa a gi¡c n y.

A4

A1

A2

A3H¼nh 1.10: Tù gi¡c lçi

T½nh ch§t cõa a gi¡c lçi

ành ngh¾a 1.12 a gi¡c lãm (a gi¡c khæng lçi)

Mët a gi¡c ÷ñc gåi l  a gi¡c lãm (a gi¡c khæng lçi) n¸u mi·n trongcõa a gi¡c n¬m v· hai ph½a cõa ½t nh§t mët ÷íng th¯ng chùa mëtc¤nh cõa a gi¡c n y

T½nh ch§t cõa a gi¡c lãm

T½nh ch§t 1.1.7

Câ nhúng o¤n th¯ng nèi hai iºm cõa a gi¡c lãm khæng n¬m ho n

to n trong a gi¡c lãm v  ÷íng th¯ng chùa o¤n th¯ng â c­t a gi¡clãm nhi·u hìn hai iºm

T½nh ch§t 1.1.8

a gi¡c lãm câ sè c¤nh lîn hìn ho°c b¬ng 4

ành ngh¾a 1.13 a gi¡c ·u

a gi¡c ·u l  a gi¡c câ t§t c£ c¡c c¤nh b¬ng nhau v  c¡c gâc ð ¿nh

b¬ng nhau.

Câ thº chia a gi¡c ·u th nh hai lo¤i l  a gi¡c ·u lçi v  a gi¡c

·u khæng lçi

ành ngh¾a 1.14 a gi¡c lçi ·u

a gi¡c ·u lçi l  a gi¡c ìn ·u °c bi»t, tù gi¡c ·u ch½nh l  h¼nhvuæng

V½ dö 1.1.1 Tam gi¡c ·u, h¼nh vuæng, löc gi¡c ·u

T½nh ch§t 1.1.9

Sè o mët gâc cõa a gi¡c ·u n c¤nh l  (n − 2) · 180◦

Kh¡c vîi a di»n ·u m  em s³ giîi thi»u ð ph¦n ti¸p theo, a gi¡c

·u câ thº câ sè c¤nh v  sè gâc lîn væ còng Khi â h¼nh d¡ng cõa agi¡c ·u ti¸n d¦n tîi h¼nh trán

ành lþ 1.1 ành lþ Jordan

Trong m°t ph¯ng cho mët a gi¡c b§t ký P Khi â P chia tªp hñpc¡c iºm tr¶n m°t ph¯ng th nh hai mi·n câ t½nh ch§t nh÷ sau:

(i) Vîi hai iºm còng thuëc mët mi·n luæn tçn t¤i ÷íng g§p khóc

nèi chóng nh÷ l  iºm ¦u v  iºm cuèi m  khæng c­t a gi¡c

P

(ii) Vîi hai iºm thuëc hai mi·n kh¡c nhau, måi ÷íng g§p khóc

nèi chóng nh÷ l  iºm ¦u v  iºm cuèi luæn c­t a gi¡c P (iii) Mët trong hai mi·n nâi tr¶n chùa üng to n bë mët ÷íng th¯ng

n o â gåi l  mi·n ngo i, k½ hi»u P *

Mi·n cán l¤i gåi l  mi·n trong, k½ hi»u P◦

(i) Vîi hai ¿nh b§t ký cõa hai mi·n a gi¡c kh¡c nhau tçn t¤i

÷íng g§p khóc nèi chóng nh÷ iºm ¦u v  iºm cuèi m  c¡cc¤nh cõa ÷íng g§p khóc n y l  c¡c c¤nh cõa c¡c mi·n a gi¡c.(ii) Méi c¤nh cõa mët mi·n a gi¡c b§t ký l  c¤nh chung cho óng

hai mi·n a gi¡c v  hai mi·n a gi¡c n y khæng çng ph¯ng.Khi â, tªp hñp gçm húu h¤n c¡c mi·n a gi¡c n y ÷ñc gåi l  mëth¼nh a di»n

ành ngh¾a 1.16 M°t cõa a di»n

Trong mët h¼nh a di»n, méi mët mi·n a gi¡c ÷ñc gåi l  mët m°tcõa a di»n(mët di»n)

ành ngh¾a 1.17 C¤nh, ¿nh cõa a di»n

C¤nh, ¿nh cõa c¡c m°t cõa a di»n ÷ñc gåi l  c¤nh, ¿nh cõa adi»n

ành ngh¾a 1.18 Gâc ph¯ng cõa a di»n

Gâc trong cõa c¡c m°t cõa a di»n ÷ñc gåi l  gâc ph¯ng cõa a di»n

ành ngh¾a 1.19 Khèi a di»n

Mët h¼nh a di»n còng mi·n trong cõa nâ ÷ñc gåi l  mët khèi adi»n

ành ngh¾a 1.20 a di»n lçi

Mët a di»n ÷ñc gåi l  a di»n lçi(a di»n ìn) n¸u mi·n trong cõa

nâ n¬m ho n to n v· mët ph½a so vîi m°t ph¯ng chùa mët di»n b§t kýcõa a di»n n y

a di»n lçi câ nhúng t½nh ch§t sau ¥y:

Do â sè gâc cõa t§t c£ c¡c a gi¡c t¤o th nh c¡c m°t cõa a di»nluæn b¬ng sè gâc ph¯ng cõa khèi a di»n

Nh÷ng têng sè c¤nh cõa t§t c£ c¡c a gi¡c th¼ g§p æi sè c¤nh cõakhèi a di»n (v¼ méi c¤nh cõa mët a gi¡c l  c¤nh chung cho hai m°t

Khi â, d¹ d ng nhªn th§y trong a di»n lçi:

(i) Sè gâc ph¯ng g l  sè ch®n

(ii) T¤i méi ¿nh ·u câ c c¤nh th¼ .c = 2c

(iii) Méi m°t ·u l  nhúng a gi¡c cm c¤nh th¼ m.cm = 2c

ành lþ 1.2 ành lþ Euler

Trong mët khèi a di»n lçi ta câ:  + m = c + 2

Chùng minh

Gi£ sû ta chi¸u khèi a di»n tø mët t¥m S n o â khæng n¬m tr¶n b§t

ký m°t ph¯ng n o chùa c¡c m°t cõa a di»n, v  t¥m S n y công khængn¬m tr¶n b§t ký mët m°t ph¯ng ch²o n o xuèng mët m°t ph¯ng (α)b§t ký

H¼nh 1.13 minh håa tr÷íng hñp a di»n l  tù di»n

Khi â, méi m°t cõa khèi a di»n s³ chi¸u th nh mët a gi¡c vîi

sè c¤nh khæng êi qua ph²p chi¸u Nh÷ vªy, têng sè gâc ph¯ng cõakhèi a di»n công b¬ng têng sè gâc cõa nhúng a gi¡c ÷ñc t¤o th nhsau khi chi¸u Ta s³ t½nh têng sè gâc n y b¬ng c¡ch cëng têng sè gâc

ð méi ¿nh l¤i

Gi£ sû h¼nh chi¸u bà giîi h¤n bði mët a gi¡c lçi n c¤nh Khi â sè

¿nh ngo i l  n v  sè ¿nh trong l  ( − n) Têng sè gâc ð méi ¿nhtrong l  mët gâc ¦y (2π) Do â têng sè gâc ð t§t c£ c¡c ¿nh trong

l  2π( − n) v  têng sè gâc cõa a gi¡c ngo i l  π(n − 2)

Ta l¤i câ t¤i méi ¿nh cõa a gi¡c n y th¼ c¡c gâc ph¯ng cõa khèi adi»n ÷ñc chi¸u tø hai ph½a(ph½a tr¶n v  ph½a d÷îi) cho n¶n khi t½nhtêng sè gâc ÷ñc chi¸u l¶n m°t ph¯ng (α) th¼ ta s³ nh¥n têng sè gâccõa a gi¡c ngo i vîi 2 tùc l  2π(n − 2)

V¼ vªy têng sè gâc cõa t§t c£ c¡c a gi¡c ÷ñc t¤o th nh tr¶n h¼nhchi¸u l  2π( − 2) = 2π(c − m) hay  + m = c + 2

Vªy trong mët khèi a di»n lçi ta câ  + m = c + 2

H¼nh 1.13: Chi¸u khèi tù di»n

ành ngh¾a 1.21 a di»n lçi lo¤i p, q

Cho p, q l  hai sè tü nhi¶n, mët a di»n lçi  ÷ñc gåi l  a di»n lçilo¤i p, q n¸u thäa m¢n hai i·u ki»n sau:

(i) Méi m°t cõa a di»n  l  mët a gi¡c câ óng p-c¤nh

(ii) Méi ¿nh cõa a di»n  câ óng q-c¤nh i qua

ành ngh¾a 1.22 a di»n ·u

Mët khèi a di»n ÷ñc gåi l  a di»n ·u n¸u t§t c£ c¡c m°t cõa nâ

l  nhúng a gi¡c ·u b¬ng nhau v  t§t c£ c¡c gâc nhà di»n cõa nâ ·ub¬ng nhau

ành ngh¾a 1.23 Hai h¼nh a di»n còng mët kiºu

Hai h¼nh a di»n ·u ÷ñc gåi l  còng mët kiºu n¸u câ sè c¤nh, sè

¿nh, sè di»n b¬ng nhau

ành lþ 1.3.

Ch¿ câ óng 5 lo¤i khèi a di»n ·u

º chùng minh ành lþ n y, ta s³ chùng minh hai bê · sau ¥ykhæng ch¿ óng vîi c¡c khèi a di»n ·u m  cán óng vîi nhúng khèi

a di»n m  ð méi ¿nh ·u câ c c¤nh v  méi m°t ·u câ cm c¤nh

Thªt vªy, theo ành lþ Euler  + m = c + 2 Chia c£ hai v¸ cõa ¯ngthùc n y cho 2c ta ÷ñc:

2c +

m2c =

1

c +

1

2.V¼ .c = 2c, m.cm = 2c (H» qu£ 1.2) n¶n ta câ:

m2c =

1

cm,

2c =

Do â, c v  cm khæng thº çng thíi lîn hìn 3.

V¼ m°t ìn gi£n nh§t l  tam gi¡c, gâc ìn gi£n nh§t l  gâc tam di»nn¶n c v  cm khæng thº nhä hìn 3

V¼ vªy ½t nh§t mët trong hai sè c v  cm ph£i b¬ng 3

Do â bê · ÷ñc chùng minh

Ta sû döng Bê · 1.1 v  Bê · 1.2 º chùng minh ành lþ.Chùng minh ành lþ 1.3

Gi£ sû c = 3 th¼ theo b§t ¯ng thùc (*) ta câ:

Do â n¸u c = 3 th¼ cm ch¿ câ thº l§y mët trong c¡c gi¡ trà 3, 4, 5.T÷ìng tü, n¸u cm = 3 th¼ c ch¿ câ thº l§y mët trong c¡c gi¡ trà 3, 4, 5.N¸u c = 3, cm = 4 th¼ ta t½nh ÷ñc c = 12,  = 8, m = 6 Khèi adi»n ·u ùng vîi tr÷íng hñp n y l  khèi lªp ph÷ìng

T½nh to¡n ho n to n t÷ìng tü vîi 4 tr÷íng hñp cán l¤i ta thu ÷ñcc¡c khèi a di»n ·u t÷ìng ùng

B£ng sau tâm t­t k¸t qu£ c¡c ph²p t½nh cõa tøng tr÷íng hñp v  n¶ul¶n 5 lo¤i khèi a di»n ·u câ thº câ ÷ñc

c m c c  m T¶n v  h¼nh v³

3 3 6 4 4 Khèi tù di»n ·u

3 4 12 6 8 Khèi b¡t di»n ·u

4 3 12 8 6 Khèi lªp ph÷ìng

3 5 30 12 20 Khèi m÷íi hai m°t ·u

5 3 30 20 12 Khèi hai m÷ìi m°t ·u

1.3 Mët sè cæng thùc t½nh di»n t½ch a gi¡c, thº

t½ch a di»n °c bi»t

Tø xa x÷a, º câ thº phöc vö cuëc sèng, con ng÷íi ¢ t¼m c¡cht½nh di»n t½ch, thº t½ch c¡c h¼nh kh¡c nhau trong â câ c¡c lo¤i agi¡c v  a di»n Câ nhi·u ph÷ìng ph¡p têng qu¡t º x¥y düng c¡cht½nh di»n t½ch(thº t½ch) cõa c¡c h¼nh a gi¡c(a di»n) Thæng qua c¡cc¡ch â con ng÷íi ¢ thu ÷ñc mët sè cæng thùc t½nh di»n t½ch, thºt½ch cho c¡c h¼nh °c bi»t

1.3.1 Cæng thùc t½nh di»n t½ch a gi¡c

H¼nh tam gi¡c:

Tam gi¡c vuæng: S = 1

2.a.bvîi a, b l  ë d i hai c¤nh gâc vuæng.Tam gi¡c b§t ký: S = 1

2.a.h vîi h l  ë d i ÷íng cao h¤ tø

H¼nh thoi: S = m.n vîi m, n l  ë d i hai ÷íng ch²o

H¼nh chú nhªt: S = a.b vîi a, b l  chi·u rëng v  chi·u d i cõah¼nh chú nhªt

H¼nh vuæng: S = a2 vîi a l  ë d i mët c¤nh cõa h¼nh vuæng

Di»n t½ch cõa a gi¡c câ 5 c¤nh trð l¶n ÷ñc t½nh düa v o vi»c ph¥n

a gi¡c n y th nh c¡c tam gi¡c v  tù gi¡c °c bi»t

T½nh ch§t 1.3.1 C¡c t½nh ch§t cõa di»n t½ch a gi¡c:

(i) Hai a gi¡c b¬ng nhau th¼ câ di»n t½ch b¬ng nhau

(ii) N¸u mët a gi¡c ÷ñc chia th nh c¡c a gi¡c khæng câ iºm

trong chung th¼ di»n t½ch cõa a gi¡c ban ¦u b¬ng têng di»nt½ch c¡c a gi¡c n y

(iii) H¼nh vuæng câ c¤nh b¬ng 1 ìn và d i th¼ di»n t½ch cõa nâ b¬ng

T½nh ch§t 1.3.2 C¡c t½nh ch§t cõa thº t½ch khèi a di»n:

(i) Hai khèi a di»n b¬ng nhau th¼ câ thº t½ch b¬ng nhau

(ii) N¸u mët khèi a di»n ÷ñc chia th nh c¡c khèi a di»n khæng

câ iºm trong chung th¼ thº t½ch cõa khèi a di»n ban ¦u b¬ngtêng thº t½ch c¡c a di»n n y