Thuật Toán Slice Cho Phân Tích Bất Khả Quy Của Iđêan Đơn Thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ÁNH LY THUẬT TOÁN SLICE CHO PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016... ĐẠI HỌC THÁI NGU

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ ÁNH LY

THUẬT TOÁN SLICE CHO PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY

CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ ÁNH LY

THUẬT TOÁN SLICE CHO PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY

CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ DUNG

THÁI NGUYÊN - 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng luận văn này là hoàn toàn trung thực và không trùnglặp với các luận văn trước đây Các thông tin, tài liệu trong luận văn đã được ghi

rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2016

Học viên

NGUYỄN THỊ ÁNH LY

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TSNguyễn Thị Dung, giảng viên Trường Đại học Nông Lâm- Đại học Thái Nguyên.Đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Trong suốt quátrình làm luận văn, cô đã dành nhiều thời gian và công sức để chỉ bảo hướng dẫntôi từ những điều nhỏ nhặt nhất tới những vấn đề khó khăn cô vẫn luôn kiên nhẫn,tận tình quan tâm giúp đỡ tôi để hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học

và Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, độngviên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạoTrường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học đã tạo mọiđiều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập Cuối cùng tôi xincảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoànthành tốt khóa học của mình

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2016

Học viên

NGUYỄN THỊ ÁNH LY

Mục lục

1.1 Iđêan đơn thức và đồ thị của iđêan đơn thức 3

1.2 Các phép toán trên iđêan đơn thức 7

1.2.1 Giao của các iđêan đơn thức 7

1.2.2 Căn của iđêan đơn thức 9

1.2.3 Phép chia trên iđêan đơn thức 10

1.3 Iđêan đơn thức bất khả quy và sự phân tích 12

1.4 Phân tích tham số của các iđêan đơn thức 15

1.4.1 Iđêan tham số 15

1.4.2 Phần tử góc 16

2 Thuật toán Slice 18 2.1 Đơn thức chuẩn cực đại, đế và sự phân tích 18

2.2 Nhãn 22

2.3 Thuật toán Slice 22

2.4 Slice cơ sở 29

2.5 Sự kết thúc và sự lựa chọn then chốt 30

2.6 Giả mã 31

2.7 Cải tiến thuật toán cơ sở 332.7.1 Đơn thức chặn dưới của cái chứa slice 332.7.2 Tách độc lập 38

Mở đầu

Một trong những kết quả cơ bản trong Đại số giao hoán là định lý phân tíchbất khả quy được chứng minh bởi Emmy Noether năm 1921 Trong bài báo đóEmmy Noether đã chứng minh rằng iđêan bất kì trong vành Noether có thể viết

thành giao hữu hạn của các iđêan bất khả quy Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và đặt R = A[X1, , X d ] là vành đa thức d biến trên A Một iđêan đơn thức

m-bất khả quytheo một nghĩa nào đó là iđêan đơn thức nhỏ nhất, tức là nó không

thể viết được thành giao không tầm thường của các iđêan đơn thức Cho J là một iđêan đơn thức của R, một phân tích m-bất khả quy của J là biểu diễn J = ∩ n

i=1 J i thành giao của các iđêan m-bất khả quy, phân tích này được gọi là rút gọn nếu

J i * Ji′ với mọi i 6= i′ và phân tích m-bất khả quy rút gọn là duy nhất nếu không

kể đến thứ tự các iđêan đơn thức trong phân tích Chú ý rằng nếu J ( R là iđêan

đơn thức bất khả quy thì là nó luôn là iđêan m-bất khả quy và điều ngược lại cũng

đúng nếu A là miền nguyên.

Gần đây phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức trở thành vấn đề tính toán

cơ bản và được áp dụng trong nhiều lĩnh vực từ thuần túy toán học đến toán họcứng dụng và các lĩnh vực như sinh học, Một vài ví dụ của áp dụng phân tíchbất khả quy của iđêan đơn thức là cát tuyến của các iđêan đơn thức và lũy thừahình thức của iđêan đơn thức đưa ra bởi B Sturmfels and S Sullivant [8], vấn đềFrobenius đưa ra bởi B.H Roune [7], kỹ thuật nghịch đảo của các mạng sinh họcđưa ra bởi A.S Jarrah [3]

Mục đích của luận văn là giới thiệu về thuật toán Slice, một thuật toán dùng

để tính phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức, nghĩa là viết iđêan đơn thức

đó thành giao rút gọn của các iđêan đơn thức bất khả quy Các kết quả này được

trình bày lại và chứng minh chi tiết một phần của bài báo "The slice Algorithm

for Irreducible Decomposition of Monomial ideals"của tác giả B Roune [6]

Cho k là một trường và đặt R = k[x1, , xn], với n > 2 là vành đa thức n biến lấy hệ số trên k, I là iđêan đơn thức của R Một đơn thức m ∈ R được gọi là đơn

thức chuẩn cực đại của I nếu m /∈ I và mx i ∈ I, với mọi i = 1, ,n Tập tất cả các đơn thức chuẩn cực đại của I được ký hiệu là msm(I) Nếu biểu diễn I bằng

đồ thị thì mỗi đơn thức chuẩn cực đại của I ứng với một điểm nằm ngoài I nhưng nằm ở góc "gần nhất" so với phần đồ thị thuộc I.

Tập đơn thức chuẩn cực đại msm(I) đóng một vai trò quan trọng trong thuật

toán Slice bởi ý tưởng cơ bản của thuật toán bắt nguồn từ một kết quả sau củaMiller và Sturmfels [4]:

Chọn số nguyên t sao cho t lớn hơn bậc của mỗi đơn thức trong tập các đơn thức sinh rút gọn min(I) và định nghĩa φ(x m ) = (x m i+1

i | m i + 1 < t) Khi đó, ánh

xạφ là một song ánh từ tập chuẩn cực đại msm(I +(x t

1, , x t n)) vào tập các iđêan

đơn thức bất khả quy irr(I) của I.

Vì thế, bài toán tìm phân tích bất khả quy được quy về bài toán tìm tập đơn

thức chuẩn cực đại Thuật toán Slice cung cấp một công cụ để tính msm(I) bằng cách tách nó thành hai tập con gọi là slice trong và slice ngoài Cả hai slice này đều phụ thuộc vào cách chọn một đơn thức gọi là then chốt Các đơn thức của

mỗi slice này lại được coi như tập chuẩn cực đại của các iđêan mới Tiếp theomỗi slice này lại được tách thành các slice đơn giản hơn và quá trình này tiếp tụccho đến khi tách thành những slice đủ đơn giản để có thể tính được tập các đơnthức chuẩn cực đại của chúng

Cấu trúc của luận văn gồm hai chương Chương 1 của luận văn dành để nhắclại một số kiến thức về iđêan đơn thức: đồ thị, các phép toán giao, căn, chia vàphân tích bất khả quy, phân tích tham số của iđêan đơn thức

Chương 2 giới thiệu về thuật toán slice: mô tả thuật toán thông qua tập đơnthức chuẩn cực đại; chứng minh thuật toán dừng và đoạn giả mã để thực hiệnthuật toán; mục 2 của chương 2 giới thiệu một số cải tiến cho phiên bản cơ sở củathuật toán

Phần kết luận của luận văn tổng kết một số công việc đã thực hiện

Chương 1

Iđêan đơn thức

Ký hiệu A là một vành giao hoán có đơn vị và đặt R = A[X1, , X d] Chươngnày dành để nhắc lại một số kiến thức về iđêan đơn thức: đồ thị, các phép toán,phân tích tham số của iđêan đơn thức Các kết quả ở chương này được viết dựatheo [5]

1.1 Iđêan đơn thức và đồ thị của iđêan đơn thức

Định nghĩa 1.1.1 Một iđêan đơn thức trong R là một iđêan của R được sinh bởi

các đơn thức theo các biến X1, , Xd

Ví dụ 1.1.2 Đặt R = A[X,Y ].

(i) Iđêan I = (X2, X3Y ,Y3)R là một iđêan đơn thức.

(ii) Iđêan J = (X5−Y3, X5) là một iđêan đơn thức vì J = (X5,Y3)

(iii) Iđêan 0 và R là các iđêan đơn thức vì 0 = (/0)R và R = 1R R = X10··· X d0R

Với mỗi iđêan đơn thức khác không I ⊆ R, ta ký hiệu [[I]] là tập hợp tất cả các đơn thức chứa trong I Khi đó tập hợp [[I]] ⊂ R là một tập vô hạn nhưng không

là iđêan Theo định nghĩa, ta có [[I]] = I ∩[[R]] Hơn nữa, với mỗi iđêan đơn thức

I ⊆ R, ta có I = ([[I]])R.

Mệnh đề 1.1.3 Cho I và J là hai iđêan đơn thức của R.

(i) I ⊆ J nếu và chỉ nếu [[I]] ⊆ [[J]].

(ii) I = J nếu và chỉ nếu [[I]] = [[J]].

Định nghĩa 1.1.4 (i) Cho f và g là các đơn thức của R Khi đó f được gọi là bội

đơn thức của g nếu tồn tại một đơn thức h ∈ R sao cho f = gh.

(ii) Với mỗi đơn thức f = X n = X n1

1 X n d

d ∈ R, khi đó ta có bộ d-số tự nhiên

n = (n1, , n d) ∈ Nd được gọi là véc tơ lũy thừa của f

Vì thế, có một sự tương ứng 1 − 1 giữa các đơn thức trong R với các véc tơ

trong Nd và vì các đơn thức trong R = A[X1, , X d ] là độc lập tuyến tính trong A nên véctơ lũy thừa của mỗi đơn thức f ∈ R là hoàn toàn xác định.

Cho d là một số nguyên dương Giả sử trên Nd ta định nghĩa một quan hệ <

như sau: m = (m1, , md ) < (n1, , nd) nếu và chỉ nếu với mọi i = 1, , d ta

có m i ≥ ni theo thứ tự thông thường trên N Khi đó nhờ vào tính độc lập tuyến

tính của các đơn thức trong R, kết quả sau đây nói rằng tích của một đơn thức và

một đa thức thì không là đơn thức (xem [5, Bổ đề 2.1.9])

trong R sao cho f = gh thì m < n và h = X p là đơn thức, trong đó p i = m i − ni

theo Bổ đề 1.1.5 thì f không là bội của g nhưng ngược lại g là một bội của f Cho d là số nguyên dương, với mỗi n ∈ N d, đặt

[n] = {m ∈ N d | m < n} = n + N d.Kết quả tiếp theo cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra xem khi nào thì một đơn

thức f thuộc iđêan sinh bởi đơn thức g Đặc biệt là các điều kiện tương đương (i)

và (iv) cho phép ta có thể kiểm tra bằng cách làm việc trên các véc tơ lũy thừa

kiện sau là tương đương:

(i) f ∈ gR.

(ii) f là một bội của g.

(iii) f là một bội đơn thức của g.

(iv) m < n.

(v) m ∈ [n].

Vì ta có một song ánh giữa các đơn thức của [[R]] và các bộ số thuộc N d, nên

theo Bổ đề 1.1.7 (iii) ⇔ (iv), ta có thể xây dựng một quan hệ trên tập hợp các

đơn thức [[R]] của R như sau: X m < X n khi X m là một bội của X n và rõ ràng rằng

< là một quan hệ thứ tự gọi là thứ tự chia hết trên [[R]].

Kết quả sau đây cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra xem một đơn thức bất kỳ cóthuộc vào một iđêan sinh bởi các đơn thức hay không (xem [5, Định lý 2.1.14])

nếu và chỉ nếu tồn tại i sao cho f ∈ f i R

Để có một hình dung trực quan hơn về iđêan đơn thức, đặc biệt là đối với vành

đa thức hai biến, người ta đưa ra khái niệm sau: Đồ thị của một iđêan đơn thức I

là tập hợp

Γ(I) = {n ∈ N d

| X n ∈ I}.

Khái niệm đồ thị của iđêan đơn thức cho ta một sự kết nối giữa các đơn thức

sinh của I với các tập con của tập N d (xem [5, Định lý 2.1.17]):

Chứng minh Cho m ∈ [n1] ∪ ··· ∪ [nm] Khi đó tồn tại i sao cho m ∈ [ni] và do đó

m < n i Theo Bổ đề 1.1.7 ta có

X m ∈ X n i R ⊆ (X n1, , X n m )R = I.

Từ định nghĩa suy ra m ∈Γ(I).

Ngược lại, giả sử rằng p ∈Γ(I) Khi đó X p ∈ I = (X n1, , X n m )R Theo Định

lí 1.1.8 suy ra X p

∈ X n j R với mỗi j Từ Bổ đề 1.1.7 ta kết luận

p ∈ [n j] ⊆ [n1] ∪ ··· ∪ [nm]

hợpΓ(I) = [(3, 0)] ∪ [(2,2)] ∪ [(0,3)] ⊆ N2, được biểu diễn bởi đồ thị trong Hình1.1

(ii) Đặt R = A[X,Y ] Cho I = (X)R và J = (Y3)R Khi đó I + J = (X,Y3)R Theo

Định lí 1.1.9,Γ(I) = [(1, 0)], Γ(J) = [(0, 3)] và

Γ(I + J) = [(1, 0)] ∪ [(0,3)] =Γ(I) ∪Γ(J).

Ta có đồ thị của chúng được biểu diễn trong Hình 1.2

.

Hình 1.1: Γ(X3, X2Y2,Y3 )

0

1 2 3 4 1

2 3 4

Γ(I + J) =Γ(I) ∪Γ(J)

1 2 3 4 0

1 2 3 4

1 2 3 4 0

1 2 3 4

.

.

.

.

Tiếp theo, ta cần nhắc lại một số kiến thức về tập các phần tử sinh của iđêan

đơn thức Cho I là một iđêan đơn thức của R Cho z1, , zm ∈ [[I]] sao cho ta có

I = (z1, , zm)R Dãy z1, , zm là một dãy sinh đơn thức rút gọn của I nếu z i không là một bội đơn thức của z j , với i 6= j Ngược lại, dãy trên được gọi là dãy

sinh đơn thức không rút gọn Khi đó Định lý cơ sở Hilbert khẳng định rằng mọi

iđêan đơn thức I trong R đều hữu hạn sinh và được sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức Hơn nữa, mọi tập sinh đơn thức của I đều chứa một dãy sinh đơn thức

rút gọn và dãy này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự Nếu ký hiệu tập các đơn

thức trong dãy sinh đơn thức rút gọn của I là min(I) thì ta có

min(I) = {X n ∈ I | không tồn tại X m sao cho n < m}.

đơn thức không rút gọn của iđêan (X3, XY, X2Y ,Y3)R Dãy X3, X2Y2, XY3,Y5 là

một dãy sinh đơn thức rút gọn đối với (X3, X2Y2, XY3,Y5)R vì không có một đơn thức nào trong X3, X2Y2, XY3,Y5 là bội của đơn thức còn lại

Sau đây là một thuật toán để tìm dãy sinh đơn thức rút gọn

Ta giả sử rằng m > 1.

Bước 1 Kiểm tra xem dãy sinh z1, , zm là rút gọn bằng cách sử dụng địnhnghĩa

Bước 1a Nếu mọi chỉ số i và j sao cho i 6= j, ta có z j 6∈ (z i)R, thì dãy sinh đó

là rút gọn Trong trường hợp này, thuật toán dừng lại

Bước 1b Nếu tồn tại chỉ số i và j sao cho i 6= j và z j ∈ (z i)R, thì dãy sinh

không rút gọn; ta thực hiện tiếp bước 2

Bước 2 Rút gọn dãy sinh bằng cách loại bỏ các phần tử z j sao cho z j ∈ (zi )R với i 6= j Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết j = m và sắp xếp lại các chỉ số sao cho z m ∈ (z i)R với i < m Suy ra J = (z1, , zm)R = (z1, , zm−1)R Bây giờ ta áp dụng bước 1 cho một dãy các đơn thức mới z1, , zm−1

Thuật toán sẽ dừng lại sau m−1 bước vì ta có thể loại bỏ nhiều nhất m−1 đơn

thức trong dãy sinh và cuối cùng là thu được một iđêan khác 0

1.2 Các phép toán trên iđêan đơn thức

1.2.1 Giao của các iđêan đơn thức

Ta đã biết rằng các iđêan của một vành giao hoán luôn đóng đối với phép toángiao Đối với các iđêan đơn thức, điều này cũng được chứng minh là đúng nhờvào các kết quả sau

một iđêan đơn thức của R và [[I1∩ ··· ∩ I n]] = [[I1]] ∩ ··· ∩ [[I n]] Hơn nữa, ta có

đồ thị của iđêan giao Γ(I1∩ ··· ∩ I n) =Γ(I1) ∩ ··· ∩Γ(In).

Ví dụ 1.2.2 Đặt R = A[X,Y ] Cho I = (XY2)R và J = (X2Y )R Khi đó nhờ vào Định lý 1.2.1, quan sát đồ thị Hình 1.3 ta có thể tìm được I ∩J = (X2Y2)R.

⊛

⊛ ⊛

◦

◦

◦

0

1

2

3

4

KEY

Γ((XY2)R)

Γ((X2Y )R)

Γ((XY2)R ∩ (X2Y )R)

◦

∗

⊛

0 1 2 3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Hình 1.3: Γ(I + J)

Đối với vành hai biến ta có thể sử dụng đồ thị để tìm giao của hai iđêan đơn thức, tuy nhiên việc sử dụng đồ thị là khó khăn với vành nhiều hơn hai biến Kết quả sau đây cho ta một phương pháp chung để tìm giao của hai iđêan đơn thức Trước hết ta cần định nghĩa sau

nhất của f và g là đơn thức lcm( f ,g) = X p , với p i = max{mi , n i}, và với mọi

i = 1, , d.

và n = (1,0,5), do đó p = (2,1,5) Vậy bội chung nhỏ nhất của f và g là

lcm(X2Y Z , XZ5) = X2Y Z5

được sinh bởi tập hợp các đơn thức {g1, , gn } Khi đó I ∩ J được sinh bởi tập

hợp các đơn thức

{lcm( f i, g j ) | 1 6 i 6 m,1 6 j 6 n}.

Mệnh đề trên và Thuật toán 1.1.12 sẽ được áp dụng trong ví dụ sau để tìm dãysinh đơn thức rút gọn.

Khi đó theo Mệnh đề 1.2.5 suy ra X4Y Z , X4Y2Z2, X3Y3Z , XY3Z2, X3Y Z4, XY2Z4

là dãy sinh của I Tiếp theo, ta dùng Thuật toán 1.1.12 để tìm dãy sinh đơn thức rút gọn của I Chỉ có đơn thức X4Y2Z2 là bội của đơn thức X4Y Z vì vậy ta loại

X4Y2Z2 ra khỏi dãy và vì không có đơn thức nào trong dãy là một bội của các

đơn thức còn lại nên dãy X4Y Z , X3Y3Z , XY3Z2, X3Y Z4, XY2Z4 là một dãy sinh

đơn thức rút gọn của I.

1.2.2 Căn của iđêan đơn thức

Cho A là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan của A Nhắc lại rằng căn của

I là tập hợp

rad(I) = {x ∈ A | ∃ n ∈ N,x n

∈ I}.

Ta cũng thường kí hiệu căn của I là√I hoặc r(I).

Chú ý rằng căn của một iđêan đơn thức nhìn chung không là iđêan đơn thức

Ví dụ trong vành đa thức một biến R = Z4[X], iđêan J = (X)R là một iđêan đơn thức Tuy nhiên, iđêan rad(J) = (2,X)R không phải là một iđêan đơn thức Vì

thế, trong mục này ta sẽ giới thiệu một khái niệm căn sao cho căn của một iđêanđơn thức vẫn là iđêan đơn thức

Định nghĩa 1.2.7 Cho J là một iđêan đơn thức trong R Căn đơn thức của J, ký

hiệu là m-rad(J) là một iđêan đơn thức m-rad(J) = (S)R, trong đó

S = {z ∈ [[R]] | ∃ n > 1sao cho z n ∈ J} = rad(J) ∩ [[R]].

m-rad(I) = (S)R, trong đó

S = {X,Y ∈ [[R]] | ∃ n1= 5 sao cho X5∈ Ivà n2 = 7 sao cho Y7∈ I}.

Vì thế m-rad(I) = (X,Y )R Tương tự m-rad((X4Y6)R) = (XY )R.

Kết quả sau đây cho ta mối quan hệ giữa rad(J) và m-rad(J).

Mệnh đề 1.2.9 Cho J là một iđêan đơn thức trong R.

(i) m-rad(J) ⊆ rad(J).

(ii) m-rad(J) = rad(J) nếu và chỉ nếu rad(J) là một iđêan đơn thức.

(iii) Nếu A là một trường thì m-rad(J) = rad(J).

1.2.3 Phép chia trên iđêan đơn thức

Trước hết, ta nhắc lại khái niệm iđêan chia trên một vành giao hoán có đơn vị

A Cho S là một tập con của A và cho I là một iđêan của A Với mỗi phần tử r ∈ A, đặt rS = {rs | s ∈ S} Khi đó iđêan chia của I cho S được định nghĩa là

Kết quả sau nói rằng phép toán chia là đóng trên tập các iđêan đơn thức

một iđêan đơn thức của R.

Đối với những ví dụ đơn giản ta có thể sử dụng định nghĩa để tính iđêan chia,tuy nhiên đối với những ví dụ phức tạp hơn việc tính iđêan chia sẽ trở nên khókhăn hơn Kết quả sau đây cho phép ta xác định một đơn thức có thuộc iđêan chiahay không

bởi vì theo định nghĩa f g ∈ J với mọi f ∈ R và g ∈ I Vì thế để tính (J : R I) thay

vì ta phải kiểm tra tất cả các đơn thức f của R sao cho f I ∈ J thì nay ta chỉ cần kiểm tra f ∈ [[R]]\[[J]].

(ii) Đặt R = A[X,Y ] Cho I là một iđêan đơn thức của R và đặt X = (X,Y )R Một đơn thức f ∈ R là nằm trong (I :R X) nếu và chỉ nếu f X, fY ∈ I Mối quan hệ giữa các phần tử f , f X, fY được thể hiện qua đồ thị Hình 1.4 dưới đây

Do đó, điểm (a,b) ∈ N biểu diễn một điểm trong (I : R X) nếu và chỉ nếu các cặp

có thứ tự (a + 1,b) và (a,b + 1) đều nằm trong đồ thịΓ(I).

Một cách tổng quát, điều này cũng đúng trong vành đa thức R = A[X1, , X d](Xem thêm ở mục phần tử góc)

trên ta chỉ cần kiểm tra xem các đơn thức thuộc [[R]]\[[J]] = {1,X,Y,Y2, XY, XY2}

có thuộc J : R I hay không Ta có

1∈ (J :/ R I)

X ∈ (J :/ R I ) vì X.X2= X3∈ J,X.XY = X2Y ∈ J,X.Y2= XY2∈ J./

Y ∈ (J :/ R I ) vì Y.X2= X2Y ∈ J,Y.XY = XY2∈ J,Y.Y/ 2= Y3∈ J.

Y2∈ (J :R I ) vì Y2.X2= X2Y2∈ J,Y2.XY = XY3∈ J,Y2.Y2 = Y4∈ J.

XY ∈ (J : R I ) vì XY.X2= X3Y ∈ J,XY.XY = X2Y2∈ J,XY.Y2= XY3∈ J.

XY2∈ (J : R I ) vì XY2.X2 = X3Y2∈ J,XY2.XY = X2Y3∈ J,XY2.Y2= XY4∈ J Vậy (J :R I ) = (Y2, XY, XY2, X2,Y3)R = (Y2, XY, X2)R.

(ii) Cho I = (X3, X2Y2,Y3) và đặt X = (X,Y )R Theo Chú ý 1.2.12(ii) và quan

sát đồ thị Hình 1.5 ta có

(I :R X) = (X2Y , XY2)R.

0 1 2 3 4

.

1.3 Iđêan đơn thức bất khả quy và sự phân tích

Trước hết, ta nhắc lại các khái niệm về iđêan bất khả quy trên vành giao hoán

Akhác không có đơn vị

Một iđêan J ( A được gọi là iđêan bất khả quy nếu tồn tại hai iđêan J1 và J2sao cho J = J1∩ J2 thì J = J1 hoặc J = J2 Nếu A là một vành Noether thì luôn tồn tại các iđêan bất khả quy J1, , Jn sao cho J = ∩ n

i=1J i và được gọi là sự phân

tích bất khả quy của J, phân tích này được gọi là rút gọn nếu J 6= ∩i 6=i′J i với mọi

chỉ số i′

Bây giờ, ta sẽ quan tâm tới phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức trên vành

đa thức R = A[X1, , X d]

Định nghĩa 1.3.1 Một iđêan đơn thức J ( R là m-bất khả quy nếu có hai iđêan

đơn thức J1, J2 sao cho J = J1∩ J2 thì J = J1hoặc J = J2

viết I = (X,Y2)R ∩ (X,Y )R Theo định nghĩa, ta có I là iđêan đơn thức m-bất khả

quy

Định lý sau đây cho phép ta dễ dàng kiểm tra một iđêan đơn thức có là m-bấtkhả quy hay không

Định lý 1.3.3 Cho J là một iđêan đơn thức khác không của R Iđêan J là m-bất

khả quy nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dương k,t1, ,tk , e1, , ek sao cho

1≤ t1, ,tk ≤ d và J = (X e1

t1 , , X t e k k )R.

Ví dụ 1.3.4 Đặt R = A[X,Y,Z,W] Khi đó theo định lý trên các iđêan đơn thức

I = (X,Y2)R, J = (Y3, Z,W2) là các iđêan đơn thức m-bất khả quy

Iđêan m-bất khả quy theo nghĩa nào đó là iđêan đơn thức đơn giản nhất, trong

đó chúng không viết được thành giao của các iđêan đơn thức không tầm thường.Tuy nhiên trong vành đa thức bất kỳ, một iđêan đơn thức là bất khả quy thì cũng

là m-bất khả quy, nhưng điều ngược lại nhìn chung không đúng Ví dụ trong vành

Z6[X] iđêan 0 là m-bất khả quy nhưng lại là khả quy trongZ6[X] Định lý sau cho

ta điều kiện của vành A để điều ngược lại cũng đúng.

đơn thức khác không J ( R là bất khả quy nếu và chỉ nếu nó là m-bất khả quy.

Tương tự phân tích bất khả quy, một kết quả quan trọng sau được chứng minhbởi Emmy Noether cũng cho phép đưa ra khái niệm phân tích bất khả quy rútgọn

Định lý 1.3.6 Nếu J ( R là một iđêan đơn thức thì có các iđêan đơn thức m-bất

khả quy J1, , J n của R sao cho J = ∩ n

i=1J i

Định nghĩa 1.3.7 Cho J ( R là một iđêan đơn thức Một phân tích m-bất khả

quy của J là biểu diễn J = ∩ n

i=1J i trong đó mỗi J i là m-bất khả quy, sự phân tích

này là rút gọn nếu J i * Ji′ với mọi chỉ số i 6= i′ Hơn nữa, phân tích m-bất khảquy rút gọn là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử và ta ký hiệu tập

các iđêan đơn thức m-bất khả quy trong phân tích m-bất khả quy rút gọn của J là

Mặt khác, vì ta có X ∈ (X,Y3

)R \ (X4,Y2)R và Y2 ∈ (X4,Y2)R \ (X,Y3)R nên (X,Y3)R * (X4,Y2)R và (X4,Y2)R * (X,Y3)R Do đó phân tích m-bất khả quy

J = (X,Y3)R ∩ (X4,Y2)R

là rút gọn và duy nhất

Sau đây là một thuật toán để tìm phân tích m-bất khả quy rút gọn

là rút gọn; trong trường hợp này, thuật toán dừng lại

Bước 1b: Nếu tồn tại chỉ số j và j′ sao cho j 6= j′ ta có J j ⊆ J j′ thì J = ∩ n

i=1J i

là không rút gọn; trong trường hợp này, ta tiếp tục bước 2

Bước 2: Nếu tồn tại chỉ số j, j′ sao cho j 6= j′ và J j ⊆ J j′ thì ta loại bỏ iđêan

J j′ Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết j′ = n và sắp xếp lại các chỉ số sao cho J j ⊆ J j′ với j < n Suy ra J = ∩ n

i=1J i= ∩n i=1−1J i.

Bước 3: Áp dụng bước 1 cho phân tích mới J = ∩ n−1

i=1J i.

Thuật toán sẽ dừng lại sau n − 1 bước vì ta có thể loại bỏ nhiều nhất là n − 1

iđêan đơn thức trong giao và cuối cùng thu được một iđêan là giao khác rỗng củacác iđêan m-bất khả quy

Tiếp theo cho các phân tích m-bất khả quy của các iđêan đơn thức I = ∩ n

j=1I j

và J = ∩ m

i=1J i Ta quan tâm tới phân tích m-bất khả quy của I + J Ta đã biết tổng

của các iđêan đơn thức là một iđêan đơn thức Hơn nữa ta có

tổng J1+ + Jn là m-bất khả quy.

Kết quả sau cho ta luật phân phối của giao đối với tổng của các iđêan đơn thức

(∩n j=1I j) + (∩m i=1J i) = ∩n j=1∩m i=1(I j + Ji).

Kết quả tiếp theo là làm thế nào để xây dựng phân tích m-bất khả quy cho tổngcủa các iđêan đơn thức.

Định lý 1.3.12 Cho I,J là các iđêan đơn thức của R với phân tích m-bất khả quy

(i) Cho đơn thức f = XY, khi đó ta có iđêan tham số của f là PR(XY ) = (X2,Y2)R.

Quan sát đồ thị Hình 1.6, ta thấy rằng ký hiệu q trong đồ thị của PR(XY ) tương ứng với đơn thức XY.

(ii) Đặc biệt PR(1) = (X,Y )R, PR(X) = (X2,Y ) và PR(Y ) = (X,Y2)

1 2 3 4

1 2 3 4

.

0

0

Hình 1.6: Γ (P R(XY ))

Bổ đề sau cho ta một công cụ hữu ích để làm việc với các iđêan tham số

Bổ đề 1.4.3 Cho f ,g là các đơn thức trong R Khi đó:

(i) f /∈ PR( f ).

(ii) g ∈ PR( f ) nếu và chỉ nếu f / ∈ (g)R.

Định nghĩa 1.4.4 Cho J là một iđêan đơn thức của R Một phân tích tham số

của J là phân tích có dạng J = ∩ n

i=1PR(zi) Hơn nữa, phân tích này là phân tích

tham số rút gọn nếu với mọi j 6= j′ ta có PR(z j)* PR(z j′)

Chú ý 1.4.5 (i) Một iđêan đơn thức J của R có thể có hoặc không có phân tích

tham số và mục tiếp theo chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để J có phân tích tham

là phần tử J-góc nếu z /∈ J và X1z, , X d z ∈ J Tập hợp các phần tử J-góc của J

trong [[R]] được ký hiệu là CR(J).

J -góc của J là

CR(J) = {X2, XY,Y2}

Kết quả dưới đây cho ta mối quan hệ chặt chẽ giữa các phần tử góc và phântích tham số rút gọn của một iđêan đơn thức

m-rad(J) = X Nếu các phần tử J-góc phân biệt là z1, , zm thì J = ∩ m

j=1PR(z j) là

phân tích tham số rút gọn của J.

Chứng minh Chú ý rằng [5, Mệnh đề 6.3.4] đã chỉ ra rằng J có một phần tử góc Đặt J′= ∩m

j=1PR(z j ), theo [5, Hệ quả 6.3.3] suy ra giao này là rút gọn và J′⊆ J.

Do đó ta sẽ chỉ ra J′ ⊇ J Vì PR(z j) là một iđêan đơn thức, Định lý 1.2.1 chỉ ra

rằng J′ là một iđêan đơn thức Giả sử ngược lại J′ ( J Theo [5, Mệnh đề 6.3.4] suy ra J′ chứa một phần tử J-góc, hay z i ∈ J′ Do đó z i ∈ PR(zi), điều này mâu thuẫn với Bổ đề 1.4.3 (i).

Định lý 1.4.8 chỉ ra rằng các phần tử J-góc hoàn toàn xác định một phân tích tham số rút gọn của J và kết quả dưới đây cũng chỉ ra rằng một phân tích tham

Chương 2

Thuật toán Slice

Trong chương này, ta sẽ giới thiệu về thuật toán Slice, một thuật toán dùng đểtính phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức, nghĩa là viết iđêan đơn thức đóthành giao rút gọn của các iđêan bất khả quy thông qua việc tính tập các đơn thức

chuẩn cực đại Cho k là một trường và đặt R = k[x1, , xn] với n > 2 là vành đa thức n biến lấy hệ số trên k, I là iđêan đơn thức của R Thuật toán Slice cung cấp một công cụ để tính tập các đơn thức chuẩn cực đại msm(I) bằng cách tách nó thành hai tập con gọi là slice trong và slice ngoài Cả hai slice này đều phụ thuộc vào cách chọn một đơn thức gọi là then chốt Các đơn thức của mỗi slice này lại

được coi như tập chuẩn cực đại của các iđêan mới Tiếp theo mỗi slice này lạiđược tách thành các slice đơn giản hơn và quá trình này tiếp tục cho đến khi táchthành những slice đủ đơn giản để có thể tính được tập các đơn thức chuẩn cực đạicủa chúng

Các kết quả của chương này được viết dựa theo [6] Chú ý rằng vì R là vành

đa thức lấy hệ số trên trường k nên theo các kết quả của chương 1 ta không phân

biệt các khái niệm rad, m-rad, bất khả quy và m-bất khả quy

2.1 Đơn thức chuẩn cực đại, đế và sự phân tích

Trong phần này ta sẽ tìm hiểu về đơn thức chuẩn cực đại, đế và mối quan hệ

giữa chúng Cho I là iđêan đơn thức và min(I) là tập các phần tử sinh rút gọn của

I

Định nghĩa 2.1.1 Đơn thức m được gọi là đơn thức chuẩn của I nếu m /∈ I, m

được gọi là đơn thức chuẩn cực đại của I nếu m /∈ I và mx i ∈ I với i = 1, ,n.