Khóa luận tốt nghiệp toán Đa thức bất khả quy và đa giác newton

TrongToán học khi nghiên cứu về đa thức, đa thức bất khả quy là một đối tượng quan trọng, còn đa giác Newton được coi là một công cụ để hiểu hành vi của đa thức trên các lĩnh vực địa phư

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • • KHOA TOÁN -—0O0

sâu sắc đối với các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là thày giáo T H S Đ Ỗ V Ă N K I Ê N -

người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà em trình bày trong khóa luận này sẽ không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

S i n h v i ê n

Hoàng Thị Lệ

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “ Đ A T H Ứ C B Ấ T K H Ả Q U Y V À

Đ A G I Á C N E W T O N ” em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận của mình Danh sách tài liệu tham khảo em đã đưa vào mục tài liệu tham khảo của khóa luận

Em xin cam đoan khóa luận được hình thành bởi sự cố gắng, nỗ lực của bản thân

LỜI CẢM

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 S i n h v i ê n

Hoàng Thị Lệ

LỜI CAM

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa học khác, là thành phàn không thể thiếu của văn hóa phổ thông Môn Toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy con người

Đa thức có vị trí quan ttọng ttong Toán học không những là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của giải tích trong lý thuyết sấp xỉ, lý thuyết tối ưu Ngoài ra lý thuyết về đa thức còn được sử dụng nhiều trong toán cao cấp và toán ứng dụng Trong các cuộc thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic thì các bài toán về đa thức được xem là dạng khó

TrongToán học khi nghiên cứu về đa thức, đa thức bất khả quy là một đối tượng quan trọng, còn đa giác Newton được coi là một công cụ để hiểu hành vi của đa thức trên các lĩnh vực địa phương

Tuy nhiên, tài liệu viết về các đối tượng này còn rất ít Vì vậy em đã mạnh dạn chọn đề tài “Đa thức bất khả quy và đa giác Newton” Em mong rằng khóa luận này sẽ có ích cho những ai quan tâm đến đa thức, đặc biệt là đa giác Newton và tính bất khả quy của đa thức

2 Mục đích và nhiệm yụ nghiên cứu

Tìm hiểu tính bất khả quy của đa thức trên các trường số và trường hữu hạn,tìm hiểu về đa giác Newton và một số kết quả của đa giác Newton

3 Đổi tượng nghiên cứu

Đa thức một biến

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa

5 NỘỈ dung khóa luận

Ngoài phần mở đàu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm có 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 2 Đa thức bất khả quy Chương 3 Đa giác Newton

LỜI NÓI ĐẦU

= a 0 +CỤC + + a n x n

Vậy P = \ A Ữ + A Ỉ X + + A N X " Ц e ẠneN Vành P được gọi là vành đa thức một ẩn л:lấy hệ số trên А, kí hiệu là A Ị X ]

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 Mỗi phần tử của A [ j c ]

được gọi là mộtđa thức, kí hiệu là f ( x ) , g ( x ) , p ( x ) ,

N e u f ( x ) = a 0 +a ỉ x + + a n x n thì a 0 được gọi là hệ tử tự do, a n được gọi là hệ tử bậc cao nhất, а п Ф О thì n được gọi là bậc của đa thức, kí hiệu

de g f ( x Ỵ

Nhận xét l.l.l.Cho F ( X ) , G (jc) là hai đa thức khác 0 của vành Khi đó:i) Neu F ( X ) + g(jt)^Othì

deg(/(*) + g(*)) <max{deg/(x),degg(jc)}

ii) Nếu/(x)g(jc) Ф Othì

deg(/ (x) G (*))< deg F ( X ) + deg G ( X )

Nhận xét 1.1.2:

khả nghịch.

1.1.2 Định lý phép chia vói dư

Đ ị n h l ý 1 1 1 Cho A là một miền nguyên v à f ( x ) , g ( x ) ỉ à

nghịch trong A Khi đó tồn tại duy nhất cặp đa thức q(x), r ( x ) G

Т Ф0 Neu N < mthìtađặt ợ(jt) = 0,r(jt) = /(x)

Nếu N > mthì đặt:

/i w = / w - Ь Т А П Х П ~ Т 8 (л)

= /(*)-01 (*)*(*)Bậc của đa thức này không lớn hơnm-lbởi các hệ tử cao nhất của / (л) và Q Ỉ

b) Tính duy nhất

Giả sử ta cũng có

/W=?'WÂW+^'WVới deg R < deg G nếu R (jc) Ф 0 Khi đó

r(jc) - r' (*) = (q (x) - q(x))g (*)

Neu r(jc) Ф Г ( jc), ta cũng có Q ( X ) Ф Q (*) và khi đó

deg(r- R ') = deg( Q - Q ) + degG > degG Điều này vô

lý vì deg (r-r)< max (deg R , deg r )< deg G

Do đó ta phải có R (jc) = Г (jt) Mặt khác A [ X ] là miền nguyên nên từ đó phải có Q ( X ) = Q ( Х )

Neu trên vành A các đa thức А { Х ) Ф ® thỏa mãn đẳng thức

p { x ) = aị^x)bị^x), v ớ i b ( x ) e A [ j c ]

Khi đó A ( X ) được gọi là ước của /?(*), /?(*) gọi là bội của а(л:) Ta cũng nói а (л:) chia hết £>(*) còn P ( X ) chia hết cho а (л:)

1.1.3 Nghiệm của một đa thức

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 2 Giả sử A là vành con của vành к và f ( x ) G A [ j c ] có dạng f ( x ) = a ữ +a l x + + a x n Một phần tử с thuộc к sao cho f (c) = a 0 + ữịC + + а c" — 0 thì с được gọi là một nghiệm của f (я).

Ví dụ 1.1.1 S Ố Y Ị Ĩ là số đại số ừên trường hữu tỷ Q vì nó là nghiệm của

đa thức X 2 - 2 trong Q

Đ ị n h l ý 1 1 2 ( Đ ị n h l ý B e z o u t )

Cho A là miền nguyên, к là trường chứa A,C<EK,P(X)^ A[X] Khi đó trong

к [ x ] , x - c là ước của đa thức p ( x ) k h i v à c h ỉ k h i p ( c ) = 0

Chứng minh Chia P { X ) cho X - C trong K [ X ] ta có dư là đa thức r(jc) =

R < E K Từ đó P ( C ) = R Bởi vậy X - C Ì Ầ ước của P ( X ) khi và chỉ khi p(c) = 0

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 3 Chok là số tự nhiên khác 0

Phần tử и của vành K ^ ) A gọi là nghiệm bội к của đa thức / ( j c ) e

A [ j c ] nếu / ( j c ) c / ỉ ỉ ' a hết

cho (x — u Ỵ v à không chia hết cho ( j c — uf + ì

Đ ị n h l ý 1 1 3 Giả sử A là một miền nguyên, / ( я ) là một đa thức khác 0 thuộc vành A [ x ] v à щ,и 2 , ,и

là các nghiệm trong Acủa nó với sổ bội tương ứng là k v k 2 , ,k Khi đó

f ( * ) = ( x - u l Ỷ ( x - u 2 ỷ .(x-u r Ỷ

g ( x ) , với g ( j c ) e A v à g ( и , )

5 * 0 với i=l,2, ,r.

H ệ q u ả 1 1 1 .Cho A là miền nguyên, /

( j c ) e A [ j c ] có bậc n > \ Khỉ đó f có không quá n nghiệm

Đ ị n h n g h ĩ a l 2 1 .Giả sửA = \là một vành giao hoán

Một phàn tử của A N gọi là một đa thức của N ẩn X L , X 2 , , X N lấy

hệ tử trong vành A , người ta kí hiệu nó bằng /(jcpjc2, ,jc„) hay

G ( X Ỉ , X 2,

Từ định nghĩa 1.2.1 ta có dãy các vành

A 0 =AŒA 1 ŒA 2 Œ Œ\

Trong đó AM là vành con của Ạ , I =1,2, ,/г

Ta xét vành Д [jc2] = A[xpJE2] Đây là vành đa thức của ẩn X 2 lấy hệ

tử trong Д = A[jCj] Vậy mỗi phần tử của A[Xị,JC2 ] có ứiể viết dưới dạng

Bằng quy nạp ta có mỗi đa thức F ( X 1 , X 2 , , X N ) của vành

A [ X V X 2 , , X N ] có ứiể viết dưới dạng

Bậc của đa ứiức /(jCpjt2, ,jtn) đối với ẩn X - là số mũ cao nhất mà

X mà có được trong hạng tử của đa thức.

CHƯƠNG 2 ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY

2.1 Khái niệm đa thức bất khả quy

Đ ị n h n g h ĩ a 2 1 1 Đa thức p { x )

e r [ j c ] , r là miền nguyên gọi là đa thức bất khả quy nểu P ( x ) ^

Q,P(x)khác khả nghịch và P(x) không có ước thực sự (Khi đó ta cũng nói

P ( x ) là đa thức không phân tích được trên T ).

N h ậ n x é t 2 1 1 .Đa thức p ( j t ) e [ j t ] ,

phân tích được trên T nẩi P ( x ) không biểu diễn được dưới dạng =

g { x ) h { x ) , l <bậc g ( * ) , bậc h ( x ) < b ậ c ^ ( * )

2.2 Các tính chất

M ệ n h đ ề 2 2 1 C h o P ( x ) ^ 0 là một đa thức với những hệ tử trong trường T Khi đó P ( x ) bất khả quy trên T khi và chỉ khi ước của nó trong T ị x ị c ó dạng a v à a P ị ^ x ) , ở đ â y a ^ 0 , a GT.

M ệ n h ăềl.2.2.Cho Q(X)GT[ * ] , T l à trường, p ( x ) b ấ t khả quy thì

Q[xi

( P ( X ) , Q ( X ) ) = 1

Chứng minh Cho ơ(x) là ước chung lớn nhất của hai đa thức p(^)và ô(jt).Từ thuật toán Euclid suy raP(jc)và Q ( X ) có hệ số trong T thì những hệ số của cũng thuộc T Nhưng vì /*(*) không phân tích trên rthì ứieo tính chất 1,

D Ị ^ X ) - A P { ^ X )hoặc là £>(*) - C C , A ^ O ^ T Suy ra hoặc là Q ( X )chia hết cho /*(*), hoặc là />(jc)và ô(*) nguyên tố cùng nhau

M ệ n h ăầ2.2.3.Chop(x)bẩt khả quy trên tập T,T là trường c ò n Q Í ^ x ) ,

/ ? ( * ) e T [ x ị Khi đó nếu tích P ( x ) Q ( x ) c h i a hết cho Rị^x)thì ít

nhất một trong các thừa s ố p ị ^ x ) v ồ < 2 ( * ) chia hết cho R(XỴ

M ệ n h đc2.2A.Mọi đa thức không là hằng số có những hệ tử trong trường T biểu diễn được như tích của những thừa số không phân tích được trênT Sự biểu diễn này là duy nhất theo những thừa sổ mà chúng chỉ khác

và cho n = degP(jt).Nếu N - 1, thìp(jt) = A 0 X + là không phân

tích được và ta có thể cho rằng nó biểu diễn như tích một thừa số không phân tíchđược

Cho N là một số tự nhiên bất kì và giả sử bậc nhỏ hơn N có thể biểu diễn tích của các thừa số không phân tích được trên T , thì ta có thể cho rằng nó biểu diễn như một tích thừa số không phân tích được Nếu ngược lại nó phân tích được, nó biểu diễn dưới dạng: /5(x) = ô(x)/?(x), ở

đây Q ( X ) V À R ( X ) là những đa thức có hệ số trong T và

D E G Q ( X ) < N ; D E G R { X ) < N Nhưng khi đó theo giả thiết quy nạp Q ( X ) và i? (-í) biểu diễn như tích của những thừa số không phân tích được trên T Suy ra điều

này cũng đúng với /*(*), nghĩa là mọi đa thức vói những

hệ số thuộc tập hợpr biểu diễn như tích những thừa số không

phân tích được trên T Ta chỉ còn chứng minh tính duy nhất của biểu diễn trên.

Ta chỉ còn chứng minh tính duy nhất của biểu diễn trên Cho

Dễ thấy giữa những đa thức Q K ( X ) Q K ( X ) , , Q K (jc) sẽ là tất cả những đa thứcổ!^), Q 2 ( X ) ’ - - - > Q S { X ) > nghĩa làR = S vàfcp K 2 , ,

Ả;rlàứiứtự nào đó ừong các số 1, 2, R Điều đó phải như vậy vì trong trường hợp ngược lại ta sẽ nhận được đẳng thức giữa đa thức bậc không và

đa thức bậc khác không

2.3 Đa thức bất khả quy trên các trường số

2.3.1 Đa thức bất khả quy trên trường sổ phức

Đ ị n h l ý 2 3 1 .Mọi đa thức bất khả quy trên trường sổ phức đều là đa

thức bậc nhất.

Chứng minh Rõ ràng đa thức bậc nhất đều bất khả quy trên c

Giả sử P(jc)gC , bậc = N > 2 Suy ra p(^)có N nghiệm trên

c hay

p ( j c ) = a ( x - (\){x - a 2 ) ( x - a n )

fl.eC suy ra/*(*) không bất khả quy.Vậy đa thức bất khả quy trên c

chỉ là những đa thức bậc nhất

2.3.2.Đ a t h ứ c b ấ t k h ả q u y t r ê n

t r ư ờ n g s ổ t h ự c Đ ị n h l ý 2 3 2

Những đa thức bất khả quy trên trường sổ thực là những đa thức bậc nhất

và những đa thức bậc hai có những định thức âm {đa thức bậc hai p { x ) —

X 2 + ax + bcó định thức là Á = b 2 — 4ac )

Chứng minh Trước hết ta thấy những đa thức bậc nhất và những đa thức bậc hai có định thức âm đều là những đa thức bất khả quy trên K

Ta chứng minh mọi đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 3 không bất khả quy trên

M Thật yậy, giả sử/J(jc) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3, suyra/5(x)có nghiệm phức A , suy ra A là nghiệm của Suy ra

hệ số nguyên gọi là đa thức nguyên bản nếu những hệ số của nó là những

i+j = r

Giả sửp(jt)ô(;t)khôiig phải là đa thức nguyên bản Khi đó tồn tại số nguyên tố P > 2 là ước chung của các hệ số C 0 , q, C 2 , , C N + M Mặt khác những đa thức này là những đa thức nguyên bản nên P không chia hết bởi tất cả những số nguyên A 0 , Op A N V À B 0 , B V B N

Ví dụ 2.4.1 Cho A 0 , A V , A T _ V B 0 , B V , B S _ Í chia hết cho /»nhưng A T không chia hết cho P và B S không phải chia hết cho P

Nhưng Cí+J=A T B S + A T _ P s+!+ + A T + L B S

và vì cí+Jchia hết cho P và những tích A T _ Ị B S + Ỉ , A T + X B S _ X ,

chia hết cho P , suy ra A T B S phải chia hết cho P , điều này vô lý

M ệ n h đ ề 2 4 2 Nếu một đa thức hệ sổ nguyên không phân tích được thành tích hai đa thức hệ sổ nguyên thì nó không phân tích được thành tích hai đa thức hệ sổ hữu tỉ.

Chứng minh Cho /*(;*;) là đa thức hệ số nguyên, không phân tích được trên

z Giả sử = ô(*) • Trong đó ô(*)> /?(x)là những

đa thức hệ số hữu tỉ và D E G ô(*) < D E G /*(*), D E G /?(*) < D E G

N h ậ n x é t 2A.l.Đa thức không bất khả quy trên 7L X thì không bất khả quy trên Q X

Ví dụ 2.4.2 Chứng minh rằng p(x) - X 4 - 3 X 3 + 2 X 2 + 2 X - 6 bất khả quy ữên tập hợp những số hữu tỉ

Lòi gỉải.Gỉả sử ngược lại, nghĩa là ^(x) - Ô(JC)/?(X)

ở đây D E G Q { ^ X ) < D E G R Ị X ) < 4và ô(jt), /?(jc)là những đa ứiức

hệ số nguyên Khi đó D E G Q { X ) — 1 hoặc 2

• Nếu D E G Q ( X ) = ltìiì/J(jc)có nghiệm hữu tỉ Những nghiệm đó

Bằng cách so sánh các hệ số trong đẳng thức trên ta nhận được

Vì A , P là những số nguyên nên A = P = lhoặc A = P = -1

Không mất tính tổng quát ta có thể cho rằngữ = P = 1 Nghĩa là

b+q = 3 r + b q + c = 2 b r + c q

-2 cr = - 6

Cũng không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng |c| < |r| Cho những

số nguyên C và R khi đó ta có những khả năng sau:

Như vậy trường hợp D E G Q ( X ) = 2 không thể xảy ra.

Vậy đa thức P ( X ) bất khả quy trên tập số hữu tỉ

N h ậ n x é t 2 4 2 V ỉ khái niệm đa thức bất khả quy phụ thuộc vào các trường cơ sở nên nó có thể là đa thức bất khả quy trên trường số này nhưng lại không là bất khả quy trên trường sổ kia.

Ví dụ 2.4.3 Hàm/ (jc) - X 2 + X + 1 là đa thức bất khả quy trên M

g (je) = X 2 + llà đa thức bất khả quy trên M

Nhưng / (x), g(je)lại khả quy trên c

2.4.2 Tiêu chuẩn Eisenstein

Định lý 2.4.1 C H O p(x) = A Ữ X N + C Ụ C " 1+ ++ A N L À M Ộ T Đ A

thức hệ sổ nguyên.

Giả sử tồn tại số nguyên tố p thỏa mãn những điều kiện sau:

ii Tất cả những hệ sổ khác a 2 , ,a n chia hết cho p

iii a không chia hết cho p 2

Khi đó đa thức p [ x ) b ấ t khả quy trên ô [ * ]

-Chứng minh Giả sử ngược lại ta có р(х) = ô(jc) F T ( X )

Trong đó р(х), /?(jc)không phải hằng đa thức có hệ số nguyên Giả sử

Điều này trái với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.4.4.Xét tính bất khả quy trên Q của đa thức

/ (x) — X 2 + Ъ П Х 2 + n3, (neQLời giải

• Vói N = 0 thì / (jt) = X 3

Đa thức này có ước thực sự làm;, B X 2 ( A , B e Q Vậy / (л) khả quy trên Q khi N = 0.

Đặt — =J-1 ta có ^ Ậ = Y Ì -3y2 +6y-3=g(y) Áp dụng tiêu N N

chuẩn Eisenstein cho P = 3ta được đa thức g(y)bất khả quy trên Q Vậy

F ( X ) bất khả quy trên Q

C h ú ý 2.4.1.Tồn tại đa thức bất khả quy mà nó không có một cách biển đổi tuyến tính của ẩn nào có thể chuyển nó thành đa thứcEisensteỉn (với số nguyên tốp nào đó).

Chứng minh Ta chỉ ra một đa thức thỏa mãn điều kiện của bài toán

Cho p(x) = 2 X 2 + 1 Đa thức này không phân tích được trên tập hợp số hữu tỉ nghĩa là nó không có nghiệm hữu tỉ Ta làm thay đổi biến Jt dạng JC =

A Y + B (A , B là những số nguyên bất kỳ) Ta có:

ô ( j ) = 2 a 2 y 2 + 4abỵ + 2 b 2 + 1

Giả sử <2(j)là đa thức Eisenstein, nghĩa là tồn tại số nguyên P sao cho 2 A 2

không chia hết cho P , 4 A B : :

suy ra B \ Vì 4 A B : nên4fli : hoặc 4:

Nếu A : nghĩa là hệ số cao nhất của Q ( Y ) chia hết cho P (trái với đa thức Eisenstein)

Neu 4: nghĩa là = P 2=>(2£2+ l) không chia hết choP (vôlý).Vậy ta được điều phải chứng minh

2.4.3 Môt sổ tiêu chuẩn khác

2.4.3.I Tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng

Mở rộng điều kiện thứ ba trong tiêu chuẩn Eisenstein ta được định lýsau:

+3-•Với N*0 tacó /M=í*

n \n

Đ ị n h l ý 2 4 2 Cho đa thức p ( x ) = a 0 x n +

O j j c " - 1 + + a n _ 1 x + a n là một đa thức hệ số nguyên Giả sử tồn tại số nguyên tổ p thỏa mãn những điều kiện sau:

1) a 0 không chia hết cho p.

2) Tất cả những hệ sổ khác Oy,a 2 , ,a chia hết cho p.

3) Kí hiệu s là sổ mũ cao nhất cho a chia hết cho p s (nghĩa là

a : nhưng a không chia hết cho p s + ỉ )

Khi đó đa thức p ( x ) k h ô n g thể phân tích thành nhiều hơn s thừa sổ khác hằng sổ.

Nhận xét 2.4.3 Với S = lta nhận được tiêu chuẩn Eisenstein

Chứng minh Khi ta phân tích cách chứng minh của tiêu chuẩn Eisenstein ta thấy: “Cho đa thức thỏa mãn điều kiện 2) và _P(jt) = G(x)i/(jt), ở đây G(jt)và //(x)lànhững đa thức hệ số nguyên và B Ị chia hết cho P còn C

không chia hết cho P (kí hiệu như phần chứng minh tiêu chuẩnEisenstein).Khi đó tất cả các hệ số của G(x)chia hết cho P , trường hợp riêng

hệ số cao nhấtB 0 cũng có tính chất ấy, suy ra hệ số cao nhất ữ0của P ( X )

cũng chia hếtcho p

Ta giả sử P ( X ) phân tích được thành tích nhiều hơn sthừa số, nghĩa là

trong đó T > S và P Ị (*),^2 (*)’^ (*)không phải đa thức hằng số

Tương tự như phần chứng minh tiêu chuẩn Eisenstein ta được những đa thức /^(jc)có ít nhất một số hạng tự do của nó chia hết cho P và ít nhất một

số hạng tự do của một đa thức không chia hết cho P

Ta kí hiệu G(x) là tích những đa thức số hạng P Ị (jc)có hệ số tự do chia hết cho P còn H ( X ) là tích những số hạng còn lại

Theo giả thiết ơ(*) và H ( X ) không là hằng số suy ra số hạng tự do của G(x) chia hết cho P còn số hạng tự do của H ( X ) không chia hết cho P

Theo phần chú ý đàu chứng minh thì ta nhận được tất cả các hệ số của G( Jt) chia hết cho P .

Do đó A \ (mâu thuẫn với điều kiện (1))

Nên điều giả sử T > S là sai

Vậy định lý được chứng minh

Mở rộng điều kiện thứ hai trong tiêu chuẩn Eisenstein ta được định lý sau:

Đ ị n h l ý 2 4 3 Cho p(x ) = a 0 x n + a x x n 1

+ + a n _yX + a n l à một đa

thức hệ sổ nguyên và k là một số tự nhiên sao cho 0 < k < n — 1

Giả sử tồn tại số nguyên tố p thỏa mãn những điều kiện sau

1) a 0 không chia hết cho p.

2) Những hệ số a k+l , a k + 2 , a chia hết cho p.

3) a n không chia hết cho p 2

Khi đó đa thức p ( x ) có ước không phân tích được là G ( j c )

mà bậc của đa thức này lớn hơn hoặc bằng n — k.

Chú ý 2.4.2 Với K = Ota nhận được tiêu chuẩn

Eisenstein Thật vậy p(;t) sẽ có ước số không phân tích

được vói số bậc là N - 0, nghĩa là chính đa thức đó.

Chứng minh Neu đa thức p(x) không phân tích được thì định lý đã được chứng minh.Giả sử rằng/3(я) phân tích được và được biểu diễn

Cũng như trên B 0 không chia hết cho P vì theo giả thiết A 0 —

B

0 C 0 không chia hết cho P

Ta kí hiệu Ỉ là chỉ số cuối cùng trong dãy 1, 2, I sao cho B Ị không chia hết cho P nhưng B I + 1 : : : Ta xét hệ số A M + L

của ^(^ta có

A

M +1 = H F M + K F M - 1 + К Г С Т - 2 + • • •Trong đẳng thức sau cùng tất cả các số hạng bên phải đều chia hết cho P , từ đây suy ra A M + I không chia hết cho P

Mà theo điều kiện hai của định lý thì chỉ có khả năng với M + I < K hay M + Ỉ - K < 0 .Nhưng khi đó

Ỉ > 1 + M + I — K > { L + m) + I — K = N + I —

K > N — K Định lý này được ứng dụng với các sỐ K hoặc là lớn

hoặc là nhỏ

Ví dụ2.4.5 Cho đa thức / (jc) - X N + 29 jc"_1 + 2009 (neZ

Chứng minh rằng F ( X ) không thể phân tích thành tích của hai đa thức hệ

số nguyên và có bậc lớn hơn hoặc bằng 1

Lời giải Sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng ta thấy / (jc) = jcn+ 29

X

N ~ L + 2009 có a 0 = 1; a x = 29; a 2 = = ữ n _2 = 0; a n = 2009 Xét số nguyên

tố P = 41 thì theo tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng: Nếu /(jc)khả quy thì nó sẽ

là tích của hai đa thức, một đa thức bậc một và

một đa thức bậc N - 1

Thật vậy, vì A 0 không chia hết cho 41, A 2 , A 3 , A : , an khôngchia hết cho 412

Do đó, giả sử / (jc) = (jc - a) G(jc) Khi đó F ( X )có nghiệm là A và A

phải là ước của 2009.

3 = 9 chia hết 32, không chia hết cho 33

Áp dụng tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng thì/(jc) không thể phân tích được thành nhiều hơn 2 thừa số khác hằng số

Giả sử F ( X ) phân tích được thành 2 thừa số khác hằng số Khi đó/ ( JC) được phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc hai

/ ( jc) = (jc — A ) ( X 2 + B X + C )

Khi đó A sẽ là ước của 9

Như vậy A - {±1;±3;±9 }

Thay các giá trị của A vào F ( X ) đẳng thức không xảy ra

Vậy đa thức không thể phân tích thành 2 thừa số khác hằng số

Vậy đa thức đã cho bất khả quy

2.4.3.2 Tiêu chuẩn Polya

N +1

Lời giải Ta có 1,2,3, ,100 là 100 số nguyên khác nhau không phải là nghiệm của /

Mà / ( D Ị ) <với D Ị là các số từl đến 100

Vậy / bất khả quy

Định lý lAA.Cho f (jc) G z bậc n Đặt m —

2.4.3.3 Tiêu chuẩn Perron

Định lý 2.4.5.ChoP(jc)là đa thức hệ số nguyên Giả sử tồn tại số nguyên B

và số nguyên tố P sao cho chúng thỏa mãn điều kiện sau:

p ( b ) = p p ( b - 1)*0

Tất cả các nghiệm (^.(=1,2, , R Ì ) của đa thức P ( X ) thỏa mãn bấtđẳng

t h ứ c № < b - ~

2

Khỉ đó đa thức p ( x ) không phân tích được.

Chứng minh Trước hết ta giải thích ý nghĩa hình học của điều kiện 3) Số

Í H Ậ kí hiệu phàn thực của một số phức Ệ , còn S H Ậ < R , Ở đây R là một số thực nào đó, nghĩa là Ẹ nằm bên trái đường thẳng đi qua điểm có hoành độ R và song song với trục tung Như vậy điều kiện 3 theo ý nghĩa hình học là tất cả các nghiệm của/>(jc) nằm trong mặt phẳng bên trái của