XÂY DỰNG CƠ SỞ DỮ LIỆU CÁC ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY

Trong đề tài này chúng tôi nghiên cứu một phương pháp mang tính hệ thống nhằm mục đích xây dựng sẵn một kho cơ sở dữ liệu các đa thức bất khả quy có khả năng đáp ứng nhu cầu của các ứng

TRẦN ĐỨC DŨNG

XÂY DỰNG CƠ SỞ DỮ LIỆU CÁC ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH HỆ THỐNG THÔNG TIN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với thầy hướng dẫn khoa học, PGS

TS Nguyễn Đình Thúc, người đã gợi ý cho tôi một đề tài hết sức thú vị, đồng thời đã hết lòng giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài với một sự quan tâm sâu sắc và bền

bỉ Chính sự giúp đỡ quý báu và sự quan tâm sâu sắc của thầy đã là nguồn động viên vô hạn và là chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tôi có thể thực hiện đề tài một cách nhanh chóng và thuận lợi

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô khoa Công nghệ Thông tin, Đại học Khoa học Tự nhiên đã truyền đạt cho tôi những kiến thức khoa học vô cùng quý báu làm nền tảng cho việc thực hiện đề tài và quá trình nghiên cứu khoa học sau này Đặc biệt là PGS

TS Đinh Điền, Đại học Khoa học Tự nhiên và thầy Trần Đình Long (nghiên cứu sinh tiến sĩ), Đại học Huế, những người cũng đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình thực hiện

đề tài

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã hết lòng ủng hộ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài Tôi xin cảm ơn tất cả các bạn lớp Hệ thống Thông tin Khóa 17 đã cho tôi những tháng ngày tốt đẹp nhất dưới mái trường thân yêu của chúng ta

MỤC LỤC

DANH MỤC HÌNH 4 

DANH MỤC BẢNG 5 

CHƯƠNG MỞ ĐẦU 6

0.1 Tóm lược đề tài 6

0.2 Mục tiêu cần đạt 6

0.3 Mục đích và nội dung nghiên cứu 7

0.4 Đóng góp của luận văn 7

0.5 Bố cục của luận văn 8

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN 10

1.1 Vai trò của các đa thức bất khả quy 10

1.2 Một số công trình liên quan 11

1.3 Sự phân bố của các đa thức bất khả quy 16

1.4 Ứng dụng của các đa thức bất khả quy 19 

1.4.1 Ứng dụng trong hệ thống mã hóa và chứng thực RSA 19 

1.4.2 Biểu diễn và tính toán trên trường mở rộng 23

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG CƠ SỞ DỮ LIỆU CÁC ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY 25

2.1 Một số khái niệm cơ bản 25

2.2 Xây dựng cơ sở dữ liệu ban đầu 27

2.2.1 Một số định lý toán học có liên quan 27

2.2.2 Giải thuật Berlekamp 30

2.2.3 Giải thuật Cantor-Zassenhaus 34

2.2.4 Giải thuật Simple 38 

2.2.5 Giải thuật tổng quát phân tích đa thức thành các nhân tử bất khả quy 43 

2.3 Tổng hợp các đa thức bất khả quy bậc cao 45

2.3.1 Phát sinh các đa thức bất khả quy bậc cao với số lượng hạn chế 45

2.3.2 Tìm các đa thức bất khả quy bậc cao dạng đặc biệt 46

2.3.3 Sử dụng công thức tổng hợp 50

2.3.3.1 Phương pháp Order-Based 51

2.3.3.2 Phương pháp Primitive-Based 51

2.3.3.3 Phương pháp Varshamov 52

2.3.3.4 Phương pháp Kyuregyan 54

3.2.3.5 So sánh giữa các phương pháp tổng hợp 57

2.3.3.6 Giải thuật kiểm tra tính nguyên thủy 58

2.3.4 Cấu trúc lưu trữ cho cơ sở dữ liệu các đa thức bất khả quy 60

2.3.4.1 Biểu diễn đa thức 60

2.3.4.2 Hàm băm và cấu trúc bảng 60

2.3.4.3 Các giải thuật tìm kiếm và thao tác trên cơ sở dữ liệu 62

CHƯƠNG 3 CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM 64

3.1 Môi trường phát triển ứng dụng 64

3.2 Phát sinh cơ sở dữ liệu ban đầu 64

3.3 Tổng hợp các đa thức bất khả quy bậc cao 69

3.4 Phát sinh các đa thức bất khả quy bậc cao dạng đặc biệt 72

3.5 Thao tác trên cơ sở dữ liệu 74 

3.6 Phân tích đa thức bất kỳ thành các nhân tử bất khả quy 76 

3.7 Sử dụng giao diện Web 78 

3.8 Mở rộng một số chức năng trên trường hữu hạn bất kỳ 82 

3.9 Đánh giá hệ thống và so sánh kết quả 87 

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 90

4.1 Các kết quả đã đạt được 90

4.2 Một số hạn chế 90

4.3 Hướng phát triển 91

TÀI LIỆU THAM KHẢO 92

DANH MỤC HÌNH

Hình 1.1 – Sự phân bố của các đa thức bất khả quy trên trường    19 

Hình 3.1 – Phát sinh cơ sở dữ liệu ban đầu   65 

Hình 3.2 – Tổng hợp các đa thức bất khả quy bậc cao   70 

Hình 3.3 – Phát sinh các đa thức bất khả quy bậc cao dạng đặc biệt   73 

Hình 3.4 – Thao tác trên kho cơ sở dữ liệu   75 

Hình 3.5 – Phân tích đa thức ra thành các nhân tử bất khả quy   77 

Hình 3.6 – Phát sinh đa thức bất khả quy trên giao diện Web   79 

Hình 3.7 – Tổng hợp đa thức bất khả quy trên giao diện Web   80 

Hình 3.8 – Tổng hợp đa thức bất khả quy dạng Trinomial trên giao diện Web   81 

Hình 3.9 – Tìm kiếm các đa thức bất khả quy trong cơ sở dữ liệu trên giao diện Web   82 

Hình 3.10 – Phát sinh đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn bất kỳ   84 

Hình 3.11 – Tổng hợp đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn bất kỳ   85 

Hình 3.12 – Tìm kiếm đa thức bất khả quy trong cơ sở dữ liệu trên trường bất kỳ   86   

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1 – So sánh các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy 13 

Bảng 1.2 – Sự phân bố của các đa thức bất khả quy trên trường 16

Bảng 1.3 – Bảng phép toán cộng trên trường mở rộng 24

Bảng 1.4 – Bảng phép toán nhân trên trường mở rộng 24 

Bảng 2.1 – Cấu trúc lưu trữ cho đa thức bất khả quy 61 

Bảng 3.1 – So sánh hiệu quả của các giải thuật phát sinh đa thức bất khả quy 68 

Bảng 3.2 – Cấu trúc lưu trữ cho đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn bất kỳ 83 

Bảng 3.3 – So sánh số lượng các đa thức bất khả quy bậc giữa và 87 

Bảng 3.4 – Kết quả đánh giá sơ bộ về hệ thống cài đặt thử nghiệm 89   

CHƯƠNG MỞ ĐẦU

0.1 Tóm lược đề tài

Đa thức bất khả quy trên một trường hữu hạn có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, đặc biệt là trong các lĩnh vực mã hóa-mật mã, an toàn thông tin và trong các hệ thống tính

toán số (Number and Algebra Systems) Tuy nhiên, việc phát sinh ra các đa thức bất

khả quy thông thường không phải là một công việc đơn giản, đòi hỏi phải tiêu tốn

nhiều thời gian và công sức và có thể gây ảnh hưởng đến hiệu năng (performance) của

các chương trình ứng dụng (đặc biệt là khi phải phát sinh ra các đa thức bất khả quy với số lượng lớn hoặc có bậc cao) Do đó vấn đề xây dựng sẵn một kho cơ sở dữ liệu các đa thức bất khả quy là một vấn đề hết sức hữu dụng và mang giá trị thực tiễn cao Trong đề tài này chúng tôi nghiên cứu một phương pháp mang tính hệ thống nhằm mục đích xây dựng sẵn một kho cơ sở dữ liệu các đa thức bất khả quy có khả năng đáp ứng nhu cầu của các ứng dụng thực tiễn, nhằm giảm thiểu đáng kể phần chi phí do phải phát sinh các đa thức bất khả quy theo kiểu truyền thống, do đó có khả năng nâng cao hiệu năng của ứng dụng Hệ thống được xây dựng dựa trên một mô hình bao gồm hai giai đoạn: giai đoạn đầu phát sinh ra tất cả các đa thức bất khả quy có bậc nhỏ hơn hay bằng một giá trị ngưỡng nào đó, giai đoạn thứ hai phát sinh ra các đa thức bất khả quy bậc cao Các đa thức bất khả quy ở bậc cao sẽ không còn đầy đủ một cách liên tục nữa

0.2 Mục tiêu cần đạt

Mục tiêu của luận văn là xây dựng một kho cơ sở dữ liệu các đa thức bất khả quy sao cho đầy đủ nhất có thể về số lượng, phong phú về dạng thức và có chứa các đa thức bất khả quy bậc cao Với kho cơ sở dữ liệu này chúng ta có khả năng cung cấp cho ứng dụng các đa thức bất khả quy với số lượng lớn hoặc có bậc cao một cách nhanh chóng

và thuận tiện, giảm thiểu chi phí phát sinh các đa thức bất khả quy và góp phần nâng cao hiệu năng của toàn bộ hệ thống

0.3 Mục đích và nội dung nghiên cứu

Đa thức bất khả quy có nhiều ứng dụng thực tiễn trong khi việc phát sinh ra các đa thức bất khả quy lại thường kém hiệu quả và hao tốn chi phí Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm kiếm một giải pháp tối ưu nhằm phát sinh sẵn ra các đa thức bất khả quy phục

vụ tốt nhất cho các yêu cầu của ứng dụng Nội dung nghiên cứu của đề tài là tìm kiếm các giải thuật phát sinh và tổng hợp các đa thức bất khả quy và một giải pháp lưu trữ và tìm kiếm hiệu quả sao cho có thể trả về các đa thức bất khả quy một cách nhanh chóng

và tiện lợi nhất cho các ứng dụng thực tiễn

Để đề tài có tính khả thi trong điều kiện nguồn lực bị hạn chế, luận văn sẽ chỉ tập trung nghiên cứu các đa thức bất khả quy chủ yếu trên trường nhị phân là trường được sử dụng phổ biến nhất trong tin học Tuy nhiên, các kết quả nghiên cứu có thể dễ dàng mở rộng sang một trường hữu hạn bất kỳ một cách trực tiếp, hoặc chỉ với một số thay đổi nhỏ Trong đề tài này chúng tôi cũng sẽ trình bày với tính cách minh họa và cài đặt thử nghiệm một số chức năng tương tự của các đa thức bất khả quy trên một trường hữu hạn bất kỳ

0.4 Đóng góp của luận văn

Về mặt phương pháp luận đề tài đã đề xuất một phương pháp phát sinh ra các đa thức bất khả quy một cách có hệ thống Phương pháp này kết hợp nhiều phương thức phát sinh ra các đa thức bất khả quy vào một phương thức thống nhất, đó là lưu trữ và tìm kiếm trong kho cơ sở dữ liệu các đa thức bất khả quy đã được xây dựng sẵn Chúng ta

có thể kết hợp ưu điểm của nhiều phương thức khác nhau và hệ thống có thể dễ dàng

mở rộng khi cần thiết Chúng tôi cũng đề xuất một giải pháp đơn giản nhưng hiệu quả

(giải thuật Simple, trang 38) để tìm tất cả các đa thức bất khả quy có bậc nhỏ hơn hay

bằng một giá trị ngưỡng nào đó

Về mặt thực tiễn đề tài đã xây dựng được một kho cơ sở dữ liệu các đa thức bất khả quy tương đối lớn về mặt số lượng (hơn bốn triệu đa thức bất khả quy) và phong phú

về dạng thức (sử dụng một số công thức tổng hợp, mỗi công thức cho ta một dạng thức

khác nhau, ngoài ra còn có dạng đặc biệt trinomial), cùng với cơ chế lưu trữ và tìm

kiếm hiệu quả sẵn sàng cung cấp đa thức bất khả quy cho ứng dụng khi có nhu cầu Với kho cơ sở dữ liệu lưu trữ sẵn này các ứng dụng không còn cần thiết phải quan tâm nhiều đến vấn đề phát sinh ra các đa thức bất khả quy Nếu được khai thác một cách có hiệu quả, chi phí của ứng dụng sẽ giảm thiểu đáng kể đồng thời hiệu năng của ứng dụng cũng sẽ được nâng cao

0.5 Bố cục của luận văn

Luận văn bao gồm 5 chương với những nội dung chính như sau:

Chương mở đầu: Tóm lược nội dung cần thực hiện của đề tài, đề ra mục tiêu cần đạt,

trình bày mục đích và nội dung nghiên cứu cùng những đóng góp của luận văn

Chương 1: Giới thiệu tổng quan

Chương này giới thiệu vai trò của các đa thức bất khả quy cùng với sự phân bố của chúng trên trường hữu hạn , tóm tắt một số công trình liên quan và nêu lên một số ví

dụ minh họa về ứng dụng của các đa thức bất khả quy trong thực tiễn

Chương 2: Xây dựng cơ sở dữ liệu các đa thức bất khả quy

Chương này trình bày một số khái niệm và định lý toán học cơ sở, các phương pháp và giải thuật cơ bản được sử dụng trong quá trình thực hiện việc xây dựng kho cơ sở dữ liệu các đa thức bất khả quy

Chương 3: Cài đặt thử nghiệm

Chương này trình bày một số kết quả và số liệu thu thập được trong quá trình cài đặt thử nghiệm và vận hành hệ thống, đánh giá hệ thống và so sánh kết quả

Chương 4: Kết luận và hướng phát triển

Chương này trình bày những thành quả đạt được, những điểm còn hạn chế, khả năng ứng dụng và hướng phát triển của hệ thống trong tương lai

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN

1.1 Vai trò của các đa thức bất khả quy

Các đa thức bất khả quy trên một trường hữu hạn đóng vai trò tương tự như các số nguyên tố trong vành số nguyên: chúng là các đơn vị cấu trúc cơ bản và do đó nhiều tính chất đặc trưng của toàn bộ cấu trúc có thể được suy ra từ tính chất của các phần tử

cơ bản này

Mỗi số nguyên bất kỳ trong vành số nguyên đều có thể phân tích một cách duy nhất thành tích của các thừa số nguyên tố Tương tự, mỗi đa thức bất kỳ trên một trường hữu hạn cũng có thể phân tích được một cách duy nhất thành tích của các thừa số là các đa thức bất khả quy

Các khái niệm và kết quả nghiên cứu trên vành số nguyên, chẳng hạn như ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, tính chất nguyên tố cùng nhau của hai số nguyên, thuật

toán chia Euclidean, định lý số dư Trung Hoa, … đã được mở rộng một cách rất tự

nhiên sang trường hữu hạn , khiến cho việc ứng dụng các lý thuyết toán học vào thực tiễn ngày càng phát triển phong phú hơn, và các thành tựu đã gặt hái được lại trở thành động cơ thúc đẩy cho việc nghiên cứu lý thuyết sâu sắc hơn về các tính chất của các phần tử cơ bản này Từ rất lâu, việc nghiên cứu các tính chất của các số nguyên tố và của các đa thức bất khả quy cùng ứng dụng của chúng đã tạo nguồn cảm hứng cho nhiều nhà toán học và tin học qua các thời kỳ khác nhau và vẫn còn tiếp tục phát triển cho tới ngày hôm nay (và trong tương lai)

1.2 Một số công trình liên quan

Các bài toán liên quan đến các đa thức bất khả quy và ứng dụng của chúng đã được nghiên cứu từ rất sớm Chúng ta sẽ chỉ xem xét các bài toán quan trọng nhất có liên quan trực tiếp đến đề tài của luận văn Đó là các bài toán: tìm các tiêu chuẩn để nhận biết và kiểm tra tính bất khả quy của một đa thức, phân tích một đa thức bất kỳ thành tích của các thừa số là các đa thức bất khả quy, xây dựng (hay tổng hợp) các đa thức bất khả quy từ các đa thức bất khả quy đã biết trước đó Các bài toán này không tách rời nhau mà có mối quan hệ nội tại hết sức thú vị Chẳng hạn như chúng ta sẽ thấy ở chương 2, bài toán tìm tất cả các đa thức bất khả quy có bậc là của chúng ta có thể quy về bài toán phân tích một đa thức (đa thức tích) thành nhân tử là các đa thức bất khả quy Hoặc quá trình xây dựng các đa thức bất khả quy có thể quy về quá trình phân tích thành nhân tử bất khả quy của một đa thức khác [10] Các đặc điểm này rất dễ nhận ra trong các giải thuật đã được đề xuất

Đối với bài toán phân tích đa thức thành các nhân tử bất khả quy có hai nhóm giải thuật

được sử dụng: nhóm các giải thuật tất định (deterministic) và nhóm các giải thuật ngẫu nhiên hay không tất định (randomized hay non-deterministic) Hầu hết các giải thuật

đều có độ phức tạp thời gian đa thức theo các biến số (bậc của đa thức) và (kích thước hay số phần tử của trường hữu hạn) Thông thường khi giải bài toán phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả quy ta phải giải một bài toán phụ nào đó, chẳng hạn như bài toán tìm nghiệm của một đa thức, tìm một phần tử sao cho   ( gọi là non-residue), hoặc các bài toán có liên quan đến đại số tuyến tính, chẳng hạn như tìm hạng của một ma trận hay tìm cơ sở của không gian con null space của một không gian tuyến tính như trong giải thuật Berlekamp mà chúng ta sẽ

cài đặt sau này (ở chương 2)

Ta quy ước nếu thời gian thực thi được xác định bởi hàm , thì điều đó có nghĩa

là giải thuật tương ứng cần thực hiện , thao tác số học cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia) trên trường để phân tích hoàn toàn đa thức thành các nhân tử bất khả quy Nếu giải thuật có liên quan đến xử lý ma trận, chúng ta sẽ ký hiệu là chi phí phát sinh thêm do phải thực hiện các phép tính trên ma trận ( 3 đối với phương pháp cổ điển và 2.3755 đối với phương pháp tốt nhất hiện nay do Coppersmith và Winogard đề xuất 1990) Tương tự, chi phí phát sinh thêm do thực hiện các phép toán

không phải là cơ bản trên đa thức, chẳng hạn như tính ước chung lớn nhất của hai đa thức bậc , được cho bởi công thức log (đối với phương pháp tính toán nhanh

(fast polynomial arithmetic) – so với phương pháp cổ điển – thì số mũ thích hợp là 2

hoặc 3)

Bảng 1.1 ở trang kế tổng kết các phương pháp khác nhau đã được sử dụng cho bài toán phân tích đa thức thành các nhân tử bất khả quy cùng với thời gian thực thi và các điều kiện áp dụng hoặc các bài toán phụ cần phải giải của mỗi phương pháp (theo [6], trang 296-298)

Bảng 1.1 So sánh các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy

Tonelli

(1891)

log Chỉ phân tích các đa thức bậc 2 trên trường nguyên tố Cần tìm phần tử không phải là lũy thừa bậc 2 của bất kỳ phần tử nào (     )

Arwin

(1918)

log logChỉ tách các thừa số có bậc khác nhau Tức là mỗi nhân

tử trong kết quả là tích của các thừa số có cùng bậc, do

đó chưa phải là bất khả quy (phân tích một phần) Chẳng hạn

tương tự như trong giải thuật của Berlekamp

Berlekamp

(1967)

logĐối với giá trị lớn thời gian thực thi có thể giảm xuống

do việc sắp xếp lại giai đoạn cuối của giải thuật

chưa được phân tích đầy đủ Sử dụng công cụ giải hệ

phương trình tuyến tính thưa (sparse linear system solver, Wiedemann 1986), thời gian thực thi của phương

pháp này có thể giảm xuống còn log     loghoặc log log , đồng thời giảm không gian lưu trữ xuống còn (thay vì ) nếu áp

dụng cải tiến của Cantor và Zassenhaus (1981)

Moenck

(1977)

log logPhương pháp này yêu cầu phải tìm một nghiệm nguyên

thủy (primitive root) của trường

Rabin

(1980)

log logPhương pháp ngẫu nhiên, dựa vào việc tìm nghiệm trong

các trường đại số mở rộng (algebraic extensions) Tác

giả còn đề xuất giải thuật ngẫu nhiên xây dựng các đa thức bất khả quy bậc trên trường Giải thuật đã

được Ben-Or cải tiến vào năm 1981

Cantor-Zassenhaus

(1981)

log logGiải thuật ngẫu nhiên Phương pháp phân tích thành nhân tử bất khả quy đầu tiên có thời gian thực thi đa thức với không gian lưu trữ

Schoof

(1985)

log log logChỉ phân tích các đa thức bậc 2 trên trường nguyên tố Cần tính các căn bậc 2 [   ] của các hằng số nguyên, chẳng hạn như -1 Độ phức tạp thời gian được tính theo thao tác trên bit Đây là giải thuật phân tích tất định duy nhất được biết đến mà không yêu cầu thời gian thực thi đa thức theo đối số log

Huang

(1991a, 1991b)

logThời gian thực thi phụ thuộc vào hiệu lực của giả thuyết

Riemann mở rộng

1.3 Sự phân bố của các đa thức bất khả quy

Trong mục này chúng ta sẽ khảo sát sự phân bố của các đa thức bất khả quy trên một trường hữu hạn Nói cách khác, ta sẽ xem xét tỷ lệ mà các đa thức bất khả quy bậc chiếm trong toàn bộ các đa thức bậc của trường

Số các đa thức bất khả quy có hệ số đầu bằng 1 và có bậc  của trường được xác định bởi công thức sau đây (theo [26], Theorem 3.25, trang 84)

|

|

    1.3.1 ,

trong đó là hàm Moebius (xem chương 2, trang 27, công thức 2.2.1.2) Số liệu

thống kê của các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 30 trên trường nhị phân được cho trong bảng 1.2 dưới đây

Bảng 1.2 Sự phân bố của các đa thức bất khả quy trên trường

• Cột 1 là bậc của các đa thức khảo sát

• Cột 2 là số các đa thức bất khả quy có bậc , cột 3 là số các đa thức có bậc

• Cột 4 là số các đa thức bất khả quy có bậc nhỏ hơn hay bằng Cột 5 là số các

đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng

Chẳng hạn, với 4 ta có 16 đa thức bậc 4, trong số đó có 3 đa thức bất khả quy (bậc 4) Tương tự ta có 30 đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 4, trong số đó có 8 đa thức bất

khả quy có bậc nhỏ hơn hay bằng 4

Các con số này tăng lên rất nhanh Chẳng hạn với 10 ta có 1024 đa thức bậc 10, trong số đó có 99 đa thức bất khả quy; có 2046 đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 10, trong số đó có 226 đa thức bất khả quy có bậc nhỏ hơn hay bằng 10

Với giá trị của 30, ta đã có 1.073.741.824 (hơn 1 tỷ!) đa thức bậc 30, trong số đó

có 35.790.267 (hơn 35 triệu!) đa thức bất khả quy; có 2.147.483.646 (hơn 2 tỷ) đa thức

có bậc nhỏ hơn hay bằng 30, trong số đó có 74.248.451 (hơn 74 triệu) đa thức bất khả quy có bậc nhỏ hơn hay bằng 30

Nếu ta xây dựng một cơ sở dữ liệu bao gồm tất cả các đa thức bất khả quy có bậc nhỏ hơn hay bằng 30 trên trường thì ta đã có hơn 74 triệu đa thức bất khả quy (trên trường con số này còn lớn hơn nhiều)

Sự phân bố của các đa thức bất khả quy có bậc 10 trên trường được biểu diễn bởi đồ thị trên hình 1.1 ở trang kế

Hình 1.1 Sự phân bố của các đa thức bất khả quy trên trường

1.4 Ứng dụng của các đa thức bất khả quy

Đa thức bất khả quy có nhiều ứng dụng thực tiễn, đặc biệt là trong các lĩnh vực lý

thuyết mã (coding theory), mật mã hóa (cryptography) và an toàn thông tin (information security)

1.4.1 Ứng dụng trong hệ thống mã hóa và chứng thực RSA

Trước hết chúng ta hãy xét một ví dụ về quá trình chứng thực chữ ký trong hệ thống

mã hóa và chứng thực RSA cổ điển Hệ thống dựa trên cơ sở của lý thuyết nhóm hữu

hạn Nếu là tích của hai số nguyên tố khác nhau và thì các phần tử nguyên tố cùng nhau với 1 1 (gọi là các phần tử đơn vị của ) tạo thành một nhóm có bậc là | |

Mọi phần tử của nhóm đều có tính chất là | | 1 Nếu hai số nguyên và thỏa

1 ( nguyên) thì sau hai lần nâng lên lũy thừa của thông điệp ta có kết quả 1 , tức là trở về nguyên vẹn thông điệp ban đầu

Độ an toàn của hệ thống phụ thuộc vào độ khó của quá trình phân tích số thành tích của hai số nguyên tố và

Quy trình trên được mô tả bởi giải thuật dưới đây

Giải thuật RSA cổ điển

Về phía người gửi ( ):

Về phía người nhận ( ):

(7) Giải mã bằng cách tính     ( ) rồi tính ( )

Kết quả trên đã được mở rộng một cách rất tự nhiên sang vành đa thức Giải thuật RSA dựa vào đa thức bất khả quy dưới đây là tương ứng (counterpart) của giải thuật RSA cổ

điển đã nêu trên

Giải thuật RSA dựa vào các đa thức bất khả quy

Quá trình tạo khóa (của người gửi )

(1) Chọn số nguyên tố lẻ và hai đa thức bất khả quy và trên

trường (2) Tính

(3) Tính 1 1 , và lần lượt là bậc của và

(4) Chọn ngẫu nhiên số nguyên , 1 sao cho

gcd  , 1

(5) Sử dụng thuật toán chia Euclidean để xác định , 1 và

1    ( được xác định ở đây là duy nhất)

(6) Công bố khóa công khai , , và giữ là khóa bí mật

Quá trình ký (của người gửi )

(7) Nhận thông điệp trong hệ thặng dư đầy đủ modulo của (8) Tính là một đa thức trong hệ thặng dư đầy đủ modulo

của (9) Sử dụng khóa bí mật để tính    

(10) Gửi thông điệp đã ký và mã hóa của

Quá trình chứng thực (của người nhận )

(1) nhận khóa công khai , , của

• Tấn công hệ thống RSA cổ điển rất dễ đối với các số nguyên tố nhỏ Tuy nhiên,

đối với các số nguyên tố có từ 100 chữ số trở lên thì rất khó tấn công và cần phải sử dụng nhiều máy tính chạy song song

• Tấn công hệ thống RSA dựa trên đa thức trở nên khó hơn khi kích thước của

tăng hoặc khi bậc của các đa thức lớn

1.4.2 Biểu diễn và tính toán trên trường mở rộng

Trường hữu hạn phần tử luôn có số phần tử , trong đó là một số nguyên dương và là một số nguyên tố gọi là đặc số nguyên tố của trường

Trường là một mở rộng đại số đơn giản (simple algebraic extension) của trường

Giả sử là một đa thức bất khả quy bậc  thì có một nghiệm trong trường

và ( là trường mở rộng nhỏ nhất của trường có chứa ) Khi ấy, mỗi phần tử của trường đều có thể được biểu diễn như là một đa thức với biến trên trường có bậc nhỏ hơn

Ví dụ, các phần tử của trường có thể được biểu diễn dưới dạng một đa thức bậc nhất đối với biến là nghiệm của một đa thức bất khả quy bậc hai trên trường , chẳng hạn 1 Các phần tử của đều được biểu diễn dưới dạng , với , Các phần tử đó là: 0, 1 , , 1 Với chú ý rằng 1 0 (do là nghiệm của phương trình 1 0), ta có thể thiết lập các bảng tính toán trên trường mở rộng đối với các phép toán cộng và nhân như sau (các bảng 1.3

và 1.4 ở trang kế):

Bảng 1.3 Bảng phép toán cộng trên trường mở rộng

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG CƠ SỞ DỮ LIỆU CÁC ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY

Quá trình xây dựng cơ sở dữ liệu các đa thức bất khả quy gồm hai giai đoạn:

• Xây dựng cơ sở dữ liệu ban đầu gồm tất cả các đa thức bất khả quy có bậc nhỏ hơn hay bằng một giá trị ngưỡng nào đó

• Tổng hợp các đa thức bất khả quy bậc cao từ các đa thức bất khả quy có trong

cơ sở dữ liệu ban đầu đã được xây dựng trong giai đoạn trước

Các đa thức bất khả quy mà ta xét đến ở đây là các đa thức bất khả quy có hệ số đầu bằng 1 ( 1)

Trước tiên ta tóm lược một số khái niệm cơ bản được sử dụng trong các định lý toán học có liên quan đến quá trình xây dựng cơ sở dữ liệu các đa thức bất khả quy

2.1 Một số khái niệm cơ bản

Các cấu trúc cơ bản của đại số hiện đại là nhóm, vành và trường

Nhóm là một tập hợp trên đó có trang bị một phép toán hai ngôi (thường ký hiệu là ‘+’ hoặc ‘*’) có tính chất kết hợp và có thể có tính chất giao hoán (nhóm giao hoán hay

nhóm Abel) Nhóm có chứa một phần tử đặc biệt gọi là phần tử trung lập thường được

ký hiệu là 0 (đối với nhóm cộng) hoặc 1 (đối với nhóm nhân) và mọi phần tử của nhóm đều tồn tại phần tử đối (nhóm cộng) hay phần tử đảo (nhóm nhân)

Nhóm hữu hạn |G| phần tử có một tính chất rất quan trọng là | | , Tính chất này được sử dụng trong các giải thuật mã hóa và chứng thực như ta đã thấy qua ví

dụ ở mục 1.4.1 trong chương 1

Vành là một tập hợp trên đó có trang bị hai phép toán hai ngôi cộng và nhân, trong đó phép toán nhân có tính chất phân phối đối với phép toán cộng, phép toán cộng là một nhóm giao hoán và phép toán nhân có tính chất kết hợp Nếu phép toán nhân có thêm tính chất giao hoán và mọi phần tử khác không đều có phần tử đảo thì ta có cấu trúc trường

Trường hữu hạn là trường có số phần tử là hữu hạn

Đa thức trên trường hữu hạn là biểu thức có dạng:

    2.1.2

Đa thức ∑ được gọi là liên hợp tuyến tính (linearized

2.2 Xây dựng cơ sở dữ liệu ban đầu

2.2.1 Một số định lý toán học có liên quan

Trong quá trình xây dựng cơ sở dữ liệu ban đầu ta cần tìm kiếm giải thuật cho phép tìm được tất cả các đa thức bất khả quy ở một bậc  nào đó Định lý 2.2.1.1 sau đây (theo [26], Theorem 3.29, trang 85) rất hữu dụng cho mục đích này

Định lý 2.2.1.3

Với 0 ta có:

, ;     2.2.1.4

trong đó tích ở vế phải được thực hiện trên tất cả các số nguyên dương là ước của

1, sao cho là bậc của modulo (tức là không tồn tại số nguyên dương

nào mà lại là ước của 1) và là đa thức cyclotomic bậc  trên

Đa thức cyclotomic bậc , được xác định bởi công thức (theo [26], Theorem 3.27, trang 84):

lý 2.2.1.3, nên ta có thể biểu diễn 2,6; dưới dạng:

Như vậy thay vì phải phân tích đa thức bậc 54 ta sẽ phân tích ba đa thức có bậc nhỏ hơn, trong đó đa thức có bậc lớn nhất là 36

Một định lý có nhiều ứng dụng quan trọng trong lý thuyết trường hữu hạn là định lý

Trung Hoa về phép chia có dư, được phát biểu như sau (theo [1], Định lý 4, trang 66)

2.2.2 Giải thuật Berlekamp

Giả sử rằng là tích của các thừa số phân biệt nhau , , … , (số mũ của các đều bằng 1, ta nói có dạng square-free) Khi ấy giải thuật phân tích

đa thức thành nhân tử bất khả quy của Berlekamp (theo [26], trang 130-134) dựa trên

cơ sở của định lý 2.2.2.1 dưới đây (theo [26], Theorem 4.1, trang 130)

Giả sử rằng: …     2.2.2.2

Ta có:

…

    2.2.2.3 (vì trên trường hữu hạn ta có   )

Ta xây dựng một ma trận , 0 , 1 có kích thước bằng cách tính     như sau:

, , … , , , … ,hay,

, , … , 0, trong đó là ma trận đơn vị cấp

Sử dụng định lý Trung Hoa về phép chia có dư Berlekamp [26] đã chứng minh được rằng các nghiệm cần tìm lập thành một cơ sở của không gian con null space của Từ đó ta có giải thuật Berlekamp sau đây cho bài toán phân tích đa thức thành

các nhân tử bất khả quy Giải thuật bao gồm hai giai đoạn

Giai đoạn 1: Giải thuật tìm các đa thức thỏa  

1 Thành lập ma trận theo công thức 2.2.2.4 ở trên bằng cách thực hiện tính

  , 0 1 (kết quả     chính là dòng thứ của ma trận )

2 Sử dụng phương pháp (giải thuật) Gauss để đưa ma trận về dạng Column Echelon Giả sử ta được ma trận kết quả là

3 Tìm cơ sở của ma trận Kết quả chính là mảng các đa thức cần tìm

Giai đoạn 2: Giải thuật phân tích thành các nhân tử bất khả quy

1 Tính hạng của ma trận , giả sử là Từ đó xác định được số thừa số của

là ( chính là số vectơ thành phần của cơ sở của ma trận )

2 Tính gcd  , với mọi Tích của các thừa số này chính là kết quả phân tích (một phần) của thành các nhân tử bất khả quy

3 Nếu chưa được phân tích thành thừa số thì lặp lại quá trình ở bước 2 cho

và tất cả các thừa số đã tìm thấy được trước đó Có thể cần phải sử dụng tới x , 2 nhưng cuối cùng bao giờ ta cũng đạt được kết quả mong

muốn là phân tích ra thành thừa số bất khả quy (ta không sử dụng  1)

Ví dụ, phân tích đa thức 1 ( 8) ra thành các nhân tử bất khả quy trên trường (theo [26], Example 4.2, trang 133)

Trước hết ta tính     với 2, 0 7

1

11