Tính Bất Khả Quy Của Đa Thức Có Hệ Số Là Số Nguyên

Mở đầuNếu như trong số học, số nguyên tố giữ một vai trò quan trọng, thì trongđại số, đa thức bất khả quy với hệ số nguyên hay hệ số hữu tỷ cũng có vaitrò quan trọng không kém, bởi vì mọ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN HUY QUÝ

TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC

CÓ HỆ SỐ LÀ SỐ NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN HUY QUÝ

TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC

CÓ HỆ SỐ LÀ SỐ NGUYÊN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH Hà Huy Khoái

THÁI NGUYÊN - 2016

Mục lục

Chương 1 Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein, Osada và ứng

1.1 Khái niệm đa thức bất khả quy 3

1.1.1 Vành đa thức 3

1.1.2 Đa thức bất khả quy 4

1.1.3 Đa thức bất khả quy trên Q 8

1.2 Đa thức bất khả quy với hệ số nguyên 13

1.2.1 Tiêu chuẩn Eisenstein 13

1.2.2 Tiêu chuẩn Osada 15

1.3 Vận dụng Tiêu chuẩn Eisenstein 16

1.4 Vận dụng Tiêu chuẩn Osada 17

Chương 2 Tiêu chuẩn bất khả quy của Ore, Ram Murty, Cha-hal, Girstmair và ứng dụng 18 2.1 Tính bất khả quy và giá trị nguyên tố 18

2.1.1 Tiêu chuẩn Ore 19

2.1.2 Các giá trị nguyên tố và tính bất khả quy 26

2.2 Tính bất khả quy và đồng dư modulo p 28

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, cơ quan nơi tôi côngtác đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thờigian học tập và hoàn thành luận văn này.

Mở đầu

Nếu như trong số học, số nguyên tố giữ một vai trò quan trọng, thì trongđại số, đa thức bất khả quy với hệ số nguyên hay hệ số hữu tỷ cũng có vaitrò quan trọng không kém, bởi vì mọi đa thức đều phân tích được thành tíchcác đa thức bất khả quy Trên trường phức, các đa thức bất khả quy là đathức bậc nhất, trên trường thực các đa thức bất khả quy là đa thức bậc nhấthoặc bậc hai Trên trường hữu tỷ thì các đa thức bất khả quy không đơn giảnnhư vậy Theo bổ đề Gauss thì một đa thức là bất khả quy trên trường hữu

tỷ khi và chỉ khi nó bất khả quy trên vành số nguyên Do vậy, việc nghiêncứu tính bất khả quy của các đa thức với hệ số nguyên là cần thiết và luônluôn thời sự

Nhà toán học nổi tiếng L.Kronecker đã từng nói " Chúa đã cho chúng

ta các số nguyên, tất cả còn lại là tác phẩm của con người." Từ thời học phổthông, tất cả chúng ta đều quen thuộc với những điểm tương đồng giữa tậphợp các số nguyên và tập hợp các đa thức một biến Một mô hình dạng này

là thuật toán Ơ-clit (với phép chia)

Mục đích của luận văn này là trình bày một cách tổng quan về tính bất

khả quy của các đa thức hệ số nguyên trên trường Q Trong đó, trình bày

một số khái niệm đã biết xung quanh khái niệm đa thức bất khả quy, một

số tiêu chuẩn bất khả quy của một đa thức và một số bài tập vận dụng Vớimục đích trên luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein, Osada và ứng dụng.

Trong chương này, trình bày khái niệm vành đa thức, đa thức bất khảquy; đa thức bất khả quy trên Q; đa thức bất khả quy với hệ số nguyên; một

số tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein và ứng dụng

Chương 2 Tiêu chuẩn bất khả quy của Ore, Ram Murty, Chahal, Girstmair và ứng dụng.

Mục tiêu của chương này là trình bày một số kết quả tương đối gần đâycủa Ore; Ram Murty; Chahal; Girstmair; Schur và một số ứng dụng

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 5 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Huy Quý

Nhắc lại rằng một tập V6= ∅ cùng với phép cộng được gọi là một nhóm nếu

các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) Phép cộng có tính kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c với mọi a, b, c ∈ V.(ii) Tồn tại phần tử 0 ∈ V sao cho a + 0 = 0 + a = a với mọi a ∈ V

(iii) Mỗi a ∈ V, tồn tại phần tử đối −a ∈ V sao cho a + (−a) = (−a) + a = 0

Nếu thêm điều kiện a + b = b + a với mọi a, b ∈ V thì V được gọi là nhóm

giao hoán Nhóm cộng V được trang bị thêm phép toán nhân được gọi là một vành nếu 3 điều kiện sau thỏa mãn:

(i) Phép nhân có tính kết hợp: (ab)c = a(bc) với mọi a, b ∈ V

(ii) Tồn tại phần tử đơn vị 1∈ V sao cho a1 = 1a = a với mọi a ∈ V

(iii) a(b + c) = ab + ac và (b + c)a = ba + ca với mọi a, b, c ∈ V

Nếu thêm điều kiện ab = ba với mọi a, b ∈ V thì V là vành giao hoán.

Định nghĩa 1.1.1 Một đa thức biến x với hệ số trên V là một tổng hữu

Kí hiệu V [x] là tập các đa thức một biến x với hệ số trên V

không định nghĩa bậc cho đa thức 0 Nếu f (x) = a ∈ V thì f (x) được gọi là

đa thức hằng Các đa thức bậc 1 được gọi là đa thức tuyến tính.

Định nghĩa 1.1.2 Với hai đa thức f (x) = ∑ aixi và g(x) = ∑ bixi trong V [x],định nghĩa

i+ j=k

Khi đó V [x] là vành giao hoán với phép cộng và phép nhân đa thức Vành

của vành là đa thức 0, phần tử đơn vị của vành là đa thức 1

có ước thực sự Từ đây ta có khái niệm đa thức bất khả quy trong vành đathức V [x] Chú ý rằng V [x] là miền nguyên

Định nghĩa 1.1.3 Cho f (x) ∈ V [x] là đa thức khác 0 và không khả nghịch.

Ta nói f(x) là bất khả quy trên V nếu nó không có ước thực sự Ta nói f(x)

khả quynếu f (x) có ước thực sự

Chú ý rằng tính bất khả quy của đa thức phụ thuộc vào vành cơ sở Chẳng

hạn, đa thức 2x + 2 là bất khả quy trên trường Q Tuy nhiên 2x + 2 khôngbất khả quy trên vành Z bởi vì các đa thức 2 và x + 1 đều là ước thực sự của

quy trên C

Bổ đề 1.1.4 (i) Đa thức f(x) là bất khả quy nếu và chỉ nếu f(x+a) là bất khả

quy với mọi a ∈ V.

phân tích của f (x + a) thành tích của hai đa thức có bậc thấp hơn khi và chỉ

bậc thấp hơn Vì vậy f (x) bất khả quy khi và chỉ khi f (x + a) bất khả quy.

Từ nay đến hết mục này chúng ta làm việc với đa thức có các hệ số trên mộttrường K Trong trường hợp này, các đa thức hằng khác 0 đều khả nghịch

Do đó ta có ngay kết quả sau:

(ii) Đa thức f(x) với hệ số trên trường K là bất khả quy nếu và chỉ nếu degf(x)>0 và f(x) không phân tích được thành tích của hai đa thức có bậc

bé hơn

Sau đây là tính bất khả quy của các đa thức bậc thấp

(iii) Trên một trường K, các phát biểu sau là đúng.

Đa thức bậc nhất luôn bất khả quy.

Đa thức bậc 2 và bậc 3 là bất khả quy nếu và chỉ nếu nó không có nghiệm trong K.

bậc thấp hơn, do đó nó bất khả quy

Giả sử f (x) có nghiệm x = a ∈ K Vì deg f (x) > 1 nên theo kết quả đã chứngminh được ta có f (x) = (x−a)g(x), trong đó g(x) ∈ K[x] và degg(x)=deg f (x)-1≥1 Do đó f (x) khả quy

Ngược lại, giả sử f (x) khả quy Vì f (x) có bậc 2 hoặc 3 nên f (x) phântích được thành tích của hai đa thức có bậc thấp hơn, một trong hai đa thức

đó phải có bậc 1 Rõ ràng đa thức bậc 1 trên một trường có nghiệm trongtrường đó, vì thế f (x) có nghiệm trong K.

Chú ý rằng phát biểu (ii) trong bổ đề trên là không đúng cho trường hợp bậccủa đa thức lớn hơn 3 Cụ thể, nếu f (x) bậc lớn hơn 3 và có nghiệm trong K

thì f (x) khả quy Tuy nhiên, tồn tại những đa thức không có nghiệm trong

R nhưng nó khả quy trên R

Mệnh đề 1.1.5 Cho p(x) ∈ K[x] là đa thức có bậc dương Khi đó p(x) bất

khả quy nếu và chỉ nếu p(x)|a(x)b(x) kéo theo p(x)|a(x) hoặc p(x)|b(x) với mọi a(x), b(x) ∈ K[x] Đặc biệt, nếu đa thức bất khả quy p(x) là ước của một tích hữu hạn thì đa thức p(x) phải là ước của ít nhất một trong các đa thức đó.

đều không là bội của p(x) Do p(x) bất khả quy nên gcd(p(x), a(x))=1 vàgcd(p(x), b(x))=1 Theo kết quả đã chứng minh được, tồn tại

đẳng thức này ta có

1 = p(x)g(x) + r(x) f (x)a(x)b(x)

với g(x) ∈ K[x] là một đa thức nào đó Vì p(x)|a(x)b(x) nên đa thức bên vếphải của đẳng thức trên là bội của p(x), trong khi đó đa thức bên vế trái là

1 không chia hết cho p(x) Điều này là vô lý

s(x), r(x), e(x), f (x) ∈ K[x] sao cho

đẳng thức này ta có

1 = p(x)g(x) + r(x) f (x)a(x)b(x)

với g(x) ∈ K[x] là một đa thức nào đó Vì p(x)|a(x)b(x) nên đa thức bên vếphải của đẳng thức trên là bội của p(x), trong khi đó đa thức bên vế trái là

1 không chia hết cho p(x) Điều này là vô lý

Ngược lại, do p(x) có bậc dương nên p(x) 6= 0 và không khả nghịch Giả sửp(x) = a(x)b(x) với a(x), b(x) ∈ K[x] Khi đó p(x)|a(x)b(x) Theo giả thiết,p(x)|a(x) hoặc p(x)|b(x) Vì thế p(x) không có ước thực sự, do đó p(x) bấtkhả quy.

Định lý cơ bản của số học nói rằng mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân

tích được thành tích các thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhấtnếu không kể đến thứ tự các thừa số Kết quả sau đây là một sự tương tự đốivới đa thức.

Định lý 1.1.6 [1] Mỗi đa thức dạng chuẩn bậc dương trong K[x] có thể

phân tích được thành tích các đa thức bất khả quy dạng chuẩn và sự phân tích này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử.

theo bậc của đa thức Giả sử f (x) ∈ K[x] là đa thức dạng chuẩn bậc d > 0.Nếu d = 1 thì f (x) là bất khả quy, và sự phân tích bất khả quy của f (x) là

Nếu f (x) bất khả quy thì f (x) có sự phân tích bất khả quy là f (x) = f (x) Vìthế ta giả thiết f (x) không bất khả quy Khi đó f (x) = g(x)h(x) với degg(x),

dạng chuẩn Vì thế, f (x) phân tích được thành tích của hữu hạn đa thức bấtkhả quy dạng chuẩn

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của phân tích Giả sử f (x) có hai

sự phân tích thành nhân tử bất khả quy dạng chuẩn

Ta chứng minh bằng sự quy nạp theo n rằng n = m và sau khi đánh lại

n> 1 Vì p1(x) = q1(x) nên

Theo giả thiết quy nạp ta có n −1 = m −1 và bằng việc đánh số lại thứ tự các

Hệ quả 1.1.7 (i) Cho f (x) ∈ K[x] là đa thức với hệ số cao nhất là an Khi

tử bất khả quy dạng chuẩn, và sự phân tích này là duy nhất nếu không kểđến thứ tự các nhân tử

Euclide chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố Kết quả sau đây là một

sự tương tự cho đa thức bất khả quy

(ii) Trên một trường K bất kỳ, có vô hạn đa thức bất khả quy dạng chuẩn

vô hạn các đa thức bất khả quy dạng chuẩn.

1.1.3 Đa thức bất khả quy trên Q

Mục tiêu của mục này là trình bày một số tiêu chuẩn bất khả quy của đathức trên Q

Giả sử f (x) ∈ Q[x] Chú ý rằng f (x) là bất khả quy trên Q khi và chỉ khi

Rõ ràng a f (x) ∈ Z[x] Do đó ta chỉ cần xét tính bất khả quy trên Q cho các

đa thức với hệ số nguyên Từ nay đến hết mục này, luôn giả thiết f (x) =

Mệnh đề 1.1.8 (i) Cho f (x) = anxn+ · · · + a1x+ a0 ∈ Z[x] Nếu phân số

tối giản r/s là nghiệm của f (x) thì r là ước của a0 và s là ước của an Đặc biệt, nếu an= ±1 thì mọi nghiệm hữu tỷ của f (x) đều là nghiệm nguyên và

số nguyên này là ước của số hạng tự do a0.

(ii) Cho f (x) = anxn+ · · · + a1x+ a0∈ Z[x] và m ∈ Z Nếu phân số tối giản

r/s là nghiệm của f (x) thì r − ms là ước của f (m) Đặc biệt, (r + s) là ước

của f (− 1) và (r − s) là ước của f (1).

Ví dụ 1.1.9 Để xét tính bất khả quy trên Q của đa thức f (x) = x3+ 2x2−

r|21 Suy ra r chỉ có thể là ±1, ±3, ±7, ±21 Kiểm tra trực tiếp ta thấy các

số này đều không là nghiệm của f (x) Vậy đa thức f (x) không có nghiệmhữu tỷ Do f (x) có bậc 3 và không có nghiệm trong Q nên f (x) bất khả quytrên Q

Tiếp theo chúng ta xét tính bất khả quy trên Q bằng cách sử dụng Bổ đềGauss Chú ý rằng đối với đa thức bậc ≥ 4, ta không thể suy ra tính bất khảquy trên Q từ việc kiểm tra đa thức không có nghiệm hữu tỷ Chẳng hạn,

Gauss cho phép chúng ta xét tính bất khả quy trên Q thông qua tiêu chuẩnkhông phân tích được trên Z

Định lý 1.1.10 [Bổ đề Gauss][1] Cho p(x) ∈ Z[x] Giả sử p(x) = g(x) f (x)

với g(x), f (x) ∈ Q[x] Khi đó tồn tại g∗(x), f∗(x) ∈ Z[x] sao cho degg(x) =

khả quy trên Q thì nó phân tích được thành hai đa thức với hệ số có bậc thấp hơn.

Trước khi chứng minh định lý trên, chúng ta nhắc lại khái niệm đa thức

nguyên bảnvà một số tính chất của nó

Định nghĩa 1.1.11 Đa thức f (x) ∈ Z[x] được gọi là nguyên bản nếu ước

chung lớn nhất của các hệ số của f (x) là 1

Bổ đề 1.1.12 Tích của hai đa thức nguyên bản là đa thức nguyên bản.

Dưới đây là một số ví dụ xét tính bất khả quy trên Q bằng việc sử dụng Bổ

đề Gauss

Ví dụ 1.1.13 (i) Đa thức f (x) = x4+ 5x3+ x2+ 5 bất khả quy trên Q

tỷ Vì thế f (x) không là tích của một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc

ba Giả sử f (x) khả quy trên Q Theo Bổ đề Gauss, f (x) có sự phân tích

nhất hệ số ở hai vế của đẳng thức f (x) = g(x)h(x) ta được

Vì bd = 5 và vai trò b, d như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thểgiả thiết b = 1, d = 5 hoặc b = −1, d = −5 Nếu b = 1, d = 5 thì c + 5a =

khả quy trên Q

tỷ.Vì thế f (x) không là tích của một đa thức bậc nhất và một đa thức bậcbốn Giả sử f (x) khả quy trên Q Theo Bổ đề Gauss, tồn tại phân tích f (x) =

Trường hợp 2: b = −1, e = −5 Khi đó c + a = 0, d + ac = 2, −c + ad =

Trường hợp 3: b =5, e = 1 Khi đó a + c = 0, d + ac = −4, 5c + ad = 0, a +

Trường hợp 4: b = −5, e = −1 Khi đó a + c = 0, d + ac = 6, −5c + ad =

vậy f (x) bất khả quy.

1.2.1 Tiêu chuẩn Eisenstein

Định lý 1.2.1 [Tiêu chuẩn Eisenstein] [1] Cho f (x) = anxn+ · · · + a1x+

(i) p không là ước của hệ số cao nhất an;

(ii) p là ước của các hệ số a0, a1, · · · , an−1;

(iii) p2 không là ước của hệ số tự do a0.

Khi đó f (x) là bất khả quy trên Q

Vậy f (x) là bất khả quy trên Q 

Định lý 1.2.2 [Tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng] Cho f (x) = a0xn+a1xn−1+

sao cho a0 không chia hết cho p và các ai chia hết cho p với i = k +1, k +

của hai đa thức với hệ số nguyên, f (x) = g(x)h(x), thì bậc của một trong hai đa thức g(x) hoặc h(x) không nhỏ hơn n − k.

an p Kí hiệu bu là hệ số cao nhất tiên của g(x) không chia hết cho p Tất

Ví dụ 1.2.3 Chứng minh rằng đa thức x7+ 5x4+ 35 là bất khả quy

Giải.Theo tiêu chuẩn Eisenstein chọn p = 5.Ta thấy:

chuẩn Eisenstein với p = 5 Vậy đa thức đã cho là bất khả quy

Ví dụ 1.2.4 Chứng minh rằng đa thức x14+ 10x11+ 60x10+ 50x + 20 là bấtkhả quy

Giải. Nếu chọn p = 2 thì 20 chia hết cho p2 Vì vậy không thỏa mãn tiêuchuẩn Eisenstein Do đó phải chọn p = 5 thỏa mãn tiêu chuẩn Eisenstein.Vậy đa thức đã cho là bất khả quy

Ví dụ 1.2.5 Xét tính bất khả quy của đa thức P(x) = 3x8− 20x6+ 30x4−

Giải.Các ước nguyên tố của a0= 60 là 2, 3, 5 Nếu chọn p = 2 thì a0= 60

thỏa mãn tiêu chuẩn Eisenstein Với p = 5 thì 60, -10, 30, -20 đều chia hết

Chúng ta cũng có thể xét tính bất khả quy theo tiêu chuẩn Eisenstein và một

số phép biến đổi, sau đây là một ví dụ

Ví dụ 1.2.6 Cho p là một số nguyên tố Khi đó đa thức f (x) = xp−1+

k= 1, · · · , p − 1 Hơn nữa Cpp−1= p không là bội của p2 Vì thế h(x) là bấtkhả quy trên Q theo tiêu chuẩn Eisenstein Suy ra f (x) là bất khả quy trênQ.

1.2.2 Tiêu chuẩn Osada

Định lý 1.2.7 [Tiêu chuẩn Osada] Cho f (x) = xn+ a1xn−1+ · · · + an−1x±

những đa thức bậc dương với các hệ số nguyên Vì p là số nguyên tố nênmột trong các số hạng tự do của g hay h phải bằng ±1, chẳng hạn hệ số tự

do của g bằng ±1 Vậy giá trị tuyệt đối của tích các nghiệm của g phải bằng

1 Khi đó g(x) = 0 phải có một nghiệm α với |α| 6 1 Vì α cũng là nghiệm

Điều mâu thuẫn này chứng tỏ f (x) là bất khả quy.

Định lý 1.2.8 [Tiêu chuẩn Osada mở rộng] Cho f (x) = xn+ a1xn−1+

bất khả quy trong Z[x].

các đa thức bậc dương với các hệ số nguyên So sánh hệ số tự do ở hai vế

tố nên một trong các số hạng tự do của g hay của h phải chia hết cho p,

r Gọi m = degh(x) > 1, theo Định lý [D’Alembert-Gauss, Định lý cơ bản

Như vậy p ≤ |r|r−1+ |a1rn−2| + · · · + |an−2r| + |an−1| Điều mâu thuẫn nàychứng tỏ f (x) là bất khả quy.

Ví dụ 1.2.9 Đa thức P(x) = x9+ x8+ · · · + x2+ x + 11 luôn luôn là bất khảquy Vì 11 là số nguyên tố và 11 > 1 + 1 + · · · + 1 = 10 nên p(x) là bất khảquy ( theo tiêu chuẩn Osada)

Bài tập 1. Chứng minh rằng với bất kỳ số nguyên dương n, đa thức f (x) =

Bài giải: Ta phải chứng minh n! f (x) = n! + n!x + x2!2 + + xn là bất khảquy trên Z

Ta chọn số p với p ≤ n < 2p và n chia hết cho p nhưng n! không chia hết

Bài tập 2. Chứng minh rằng với bất kỳ số nguyên dương n, đa thức f (x) =

Theo tiêu chuẩn Eisenstein với p = 2, đa thức f (x + 1) là bất khả quy trongZ[x] Do đó f là bất khả quy trong Z[x]

Hệ quả 1.3.1 Với mỗi số nguyên tố p, đa thức chia đường tròn thứ p là bất