Số lớn nhất trong các ớc chung của a và b đợc gọi là ớc số chung lớn nhất của a và b và ký hiệu UCLNa,b hay a,b Khi a,b=1 ta nói hai số a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.. Số dơng nhỏ
Trang 1Phòng Giáo dục - đào tạo huyện định hoá
Trờng THCS bảo Cờng
================
Chủ đề tự chọn nâng cao
Môn Toán lớp 6
“ Các vấn đề về tính chia hết,ớc và bội ”
Bảo Cờng, tháng 10 năm 2007
Chủ đề “Các vấn đề nâng cao về tính chia hết ,ớc và bội.”
I Lý thuyết
1 Phép chia hết
Cho a và b là hai số nguyên và b≠ 0 Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại số nguyên q sao cho a = b.q
Khi a chia hết cho b ta nói b là ớc của a hay b chia hết a,hoặc có thể nói a là bội của b
*Tính chất :
a a chia hết cho b, b chia hết cho c thì a chia hết cho c
b a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a+b) chia hết cho m ; (a-b) chia hết cho m,(ax +by ) chia hết cho m (x,y Z)
c a chia hết cho m.n thì a chia hết cho m và a chia hết cho n
Trang 22 Phép chia có d
Định lý : Cho a và b là hai số nguyên và b ≠ 0 khi đó tồn tại duy nhất cặp số nguyên
(q,r) sao cho a = b.q +r và 0 ≤ r ≤ | b| - 1
Trong đó r gọi là số d,q gọi là thơng
3 UCLN
Cho hai số nguyên a và b không đồng thời bằng 0 Số nguyên d đợc gọi là ớc chung của a và b nếu d là ớc của cả a và b Số lớn nhất trong các ớc chung của a và b
đợc gọi là ớc số chung lớn nhất của a và b và ký hiệu UCLN(a,b) hay (a,b)
Khi (a,b)=1 ta nói hai số a và b là hai số nguyên tố cùng nhau
*Tính chất
a (a,b) = (b,a)
b (a,0) = | a| a ≠ 0,(a,1) = 1 a , (a,a) = | a | a ≠ 0
c k(a,b) = (ka,kb), k 0
d (a,b) = (b, a- b)
e Nếu (a,c) = 1 thì (ab,c) = (b,c)
f (a1,a2, an) = ( d,an) trong đó d = (a1,a2, an-1)
Để tìm UCLN của a và b trong trờng hợp a không chia hết cho b ngoài cách phân tích a,b ra thừa số nguyên tố còn có một thuật toán hiệu quả xuất phát từ tính chất 4 nêu trên ( thuật toán ơclit)nh sau :
a = b.q +r1 và 0 ≤ r1 ≤ | b|
b = r1.q1 +r2 và 0 ≤ r2 ≤ r1
r1 = r2.q2 +r3 và 0 ≤ r3 ≤ r2
rn-2 = rn-1.qn-1 +rn và 0 ≤ rn ≤ rn-1
rn-1 = rn.qn( rn+1 = 0)
Khi đó (a,b) = ( b,r1) = (r1,r 2) = ( rn-1,,rn) = rn
4 BCNN
Cho hai số nguyên a và b khác 0 Số nguyên m đợc gọi là bội chung của a và b nếu m là bội của cả a và b Số dơng nhỏ nhất trong các bội số chung của a và b đợc gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b
Ký hiệu BCNN(a,b) hay a, b
*Tính chất
a a, b = b ,a
b a, 1 = | a | a ≠ 0
a, a = | a | a ≠ 0
c k a, b = ka, kb ,k 0
d Nếu d là ớc chung của a và b thì
d
b d
a d
b a
,
,
e (a,b) a, b = a.b a,b thoả mãn a.b > 0
f a1, a2 , an = m,an nếu m = a1, a2 , an-1
5 Một số tính chất khác
a.Nếu a chia hết cho m ,a chia hết cho n và (m,n)= 1 thì a chia hết cho m.n
b a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hết cho c
c p nguyên tố ,nếu a.b chia hết chop thì a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p
d Chia (n+1) số nguyên dơng cho n(n 1) luôn nhận đợc hai số d bằng nhau
e Trong n số nguyên liên tiếp (n 1) luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n
g Tích của n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n ( n N*)
h Nếu (a,b) = d thì tồn tại 2 số nguyên x,y sao cho : ax+by = d
Trang 3II Một số dạng bài tập
A Bài tập về tính chia hết
Bài toán 1 : Chứng tỏ rằng :
a. Trong 2 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2
b. Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3
c. Rút ra bài toán tổng quát
Giải :
a Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là n,n+1,n+2
Xét phép chia n cho 2 có thể xảy ra :
* Hoặc n chia hết cho 2 bài toán đợc chứng minh
* Hoặc n không chia hết cho 2 n chia cho 2 d 1 n = 2k +1 ( k N) n+ 1 = 2k+2 vậy n+1 chia hết cho 2 Bài toán đợc chứng minh
b Tơng tự nh ý a ( xét phép chia cho 3)
c Bài toán tổng quát : Trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n
Bài toán 2 : Chứng tỏ rằng :
a.Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
b Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
c Tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 5 không ?
d Rút ra bài toán tổng quát
Giải :
a Gọi tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là : n+(n +1) + (n +2) = 3n +3
Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 (Theo t/c chia hết của tổng )
b Gọi tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là :
n+(n +1) + (n +2) +(n+3) = 4n+5 không chia hết cho 4
c Chứng minh tơng tự Tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5 d.Bài toán tổng quát : Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n nếu n lẻ,không chia hết cho n nếu n chẵn
Các bài tập t ơng tự :
1.Trong 2 số chẵn liên tiếp có một số chia hết cho 4
2.Tổng 2 số lẻ liên tiếp chia hết cho 4
3 Tổng 2 số chẵn liên tiếp không chia hết cho 4
d.Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Bài toán 3 : Chứng minh rằng
a ab + ba chia hết cho 11
b Nếu ab = 2 cd thì abcd chia hết cho 67
Giải :
a ab + ba =( 10a +b) + (10b +a) = 11a +11b chia hết cho 11
b abcd = 100 ab + cd = 100.2 cd + cd = 201 cd chia hết cho 67
Các bài tập t ơng tự :
Chứng minh rằng :
1.abcabc chia hết cho 7,11,13
2.abcdeg chia hết cho 23 và 29 nếu abc = 2 deg
3 Nếu ab + cd + eg chia hết cho 11 thì abcdeg chia hết cho 11
4 Cho ( abc – deg) chia hết cho 7 ,chứng minh : abcdeg chia hết cho 7
Bài toán 4 : Cho A = 3 +3 2 +3 3 + 3 60
a Chứng minh A chia hết cho 4
b Chứng minh A chia hết cho 13
Trang 4c Chứng minh A chia hết cho 10
Giải :
a.A = (3 +32) +(33 +34)+ (3 59 + 360) = 3( 1+ 3) + 33(1 + 3)+ +359(1+3) =
= 4 (3+33+ +359) chia hết cho 4
b,c : Tơng tự ý a
Các bài tập t ơng tự
1.Cho B = 5 + 5 2 +5 3 + 599
Chứng tỏ B chia hết cho 6,31
2 Cho C = 7 + 7 2 +7 3 + 7100
Chứng tỏ : C chia hết cho 8,chia hết cho 400
Bài toán 5 :
Chứng minh rằng với số nguyên dơng n ta đều có n 3 +5n chia hết cho 6
Giải : Có n3+5n = n3- n + 6n = n( n2-1)+6n = n(n-1)(n+1) +6n
Vì 6n chia hết cho 6, n(n-1)(n+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2
và 3 mà (2,3) = 1 n(n-1)(n+1) chia hết cho 6 n3+5n chia hết cho 6
Bài toán 6 :
Cho a,b,c là các số nguyên ,chứng minh rằng :
a 3 + b 3 +c 3 chia hết cho 6 a + b +c chia hết cho 6
Giải : Đặt M = a3+ b3+c3, N = a + b +c
Xét hiệu : M – N = (a3+ b3+c3) – (a + b +c) = (a3 – a)+ ( b3 –b) +(c3 – c) chia hết cho 6 ( theo bài toán 5)
Vậy M – N chia hết cho 6 nên : M chia hết cho 6 N chia hết cho 6 bài toán đợc chứng minh
Bài toán 8 :
Chứng minh rằng (a+2b) chia hết cho 3 (b+2a) chia hết cho 3
Giải : Vì (a+2b) chia hết cho 3 2(a+2b) chia hết cho 3 2a +4b chia hết cho 3
(2a + b) +3b chia hết cho 3 2a + b chia hết cho 3 ( vì 3b chia hết cho 3)
Ngợc lại : Vì (b+2a) chia hết cho 3 2(b+2a) chia hết cho 3 2b +4a chia hết cho 3
(2b + a) +3a chia hết cho 3 2b + a chia hết cho 3
Các bài tập t ơng tự
Chứng minh rằng :
1 (a + 4b )chia hết cho 13 (10a +b) chia hết cho 13.
2 (6x + 11y )chia hết cho 31 (x + 7y) chia hết cho 31
3 (a + 5b )chia hết cho 17 (3a - 2b) chia hết cho 17
4 (3a + 2b )chia hết cho 13 (6a +b) chia hết cho 13
d. Bài tập về UC,UCLN,BC,BCNN.
Bài toán 1 : Dùng thuật toán ơ cơ lít tìm :
1. UCLN( 702,306)
2. UCLN( 528,204)
3. UCLN( 240,891)
Bài toán 2 : Tìm n N biết : (n – 4 ) chia hết cho (n – 1)
Trang 5Giải : có n – 4 = (n – 1 ) – 3
Vì (n – 1) chia hết cho (n – 1) nên để : (n – 4 ) chia hết cho (n – 1) thì 3 phải chia hết cho (n -1) hay (n -1 ) là ớc của 3
U(3) = 1,3 Vậy n – 1 = 1 n = 2 ; n – 1 = 3 n = 4
Vậy n 2,4 thì (n – 4 ) chia hết cho (n – 1)
Các bài tập t ơng tự
Tìm n N biết :
4 2n chia hết cho (n – 2)
5 (n2 – 4 ) chia hết cho (n + 1)
6 (n2 +7 ) chia hết cho (n + 1)
7 (3n2 – 4 ) chia hết cho (n + 3)
Bài toán 3 : Tìm UCLN (2n +1, 3n+1)
Giải : Gọi d là UCLN của 2n+1 và 3n+1
Ta có 2n+1 chia hết cho d 3(2n+1) chia hết cho d
3n+1 chia hết cho d 2(3n+1) chia hết cho d
Do đó : [3(2n+1)-2(3n+1)] chia hết cho d 1 chia hết cho d d = 1
Vậy UCLN(2n +1, 3n+1) = 1
Các bài tập t ơng tự
Tìm UCLN của
1.(7a+1,8a+3) với aN
2.(2n+1,6n+5) với nN
3.(11a+2,18a+5) với aN
Bài toán 4 :Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 75 và UCLN của chúng bằng 5
Giải : Gọi 2 số tự nhiên cần tìm là a,b
Theo đầu bài ta có : a.b = 75 ; UCLN(a,b) = 5
Vì UCLN(a,b) = 5 a = 5.a1; b = 5.b1 trong đó (a1,b1) = 1
Từ a.b = 75 ta có a.b = 25a1.b1= 75 a1.b1= 3 a1 =1 ; b1= 3 hoặc ngợc lại
Vậy 2 số cần tìm là : 5; 15
Các bài tập t ơng tự :
1.Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 66 và UCLN của chúng bằng 6 đồng thời có một
số chia hết cho 5
2.Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 84 ,UCLN của chúng bằng 6
3 Tìm hai số tự nhiên biết rằng tích của chúng bằng 300 ,UCLN của chúng bằng 5
4 Tìm hai số tự nhiên biết rằng hiệu của chúng bằng 84 ,UCLN bằng 28 ,các số đó trong khoảng từ 300 đến 440
5 Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 4320 và BCNN bằng 360
6.Tìm hai số tự nhiên a và b biết :
a a+2b = 48 và UCLN (a,b) + 3 BCNN (a,b) = 114
b.2a- 3b = 100 và 15 BCNN(a,b) + 8 UCLN(a,b) = 1990
Bài toán 5 : Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho chia a cho 3,cho 5,cho 7 đợc số d lần lợt là 2,3,4.
Giải : Theo đầu bài ta có :
a= 3m+2 (mN) 2a= 6m+4 2a chia cho 3 d 1
Trang 6a= 5n+3 (nN) 2a= 10n+6 2a chia cho 5 d 1
a= 7p+4 (pN) 2a= 14p+8 2a chia cho 7 d 1
2a- 1 BC( 3,5,7) để a nhỏ nhất thì : 2a-1 = BCNN (3,5,7) = 105 a = 53
Vậy số tự nhiên cần tìm là 53
Các bài tập t ơng tự
1 Tìm dạng chung của số tự nhiên a chia cho 4 d 3,chia cho 5 d 4,chia cho 6 d 5,chia hết cho 13
2 Tìm số tự nhiên n lớn nhất có 3 chữ số sao cho n chia cho 8 d 7,chia cho 31d
28
3 Một liên đội khi xếp hàng 2,hàng 3,hàng 4,hàng 5 đều thừa 1 ngời Tính số đội viên của liên đội biết rằng số đó trong khoảng từ 100 đến 150