Cấu trúc đại số và ứng dụng

NHỮNG KIẾN TH C LIÊN QUAN ..... Vành Gauss Vành nhân tử hóa .... Vành Artin và vành Noether .... Vành nguyên th y và vành nửa nguyên th y ..... Chú ý: nên t ĩ suy ra vành nửa nguyên thuỷ

ỜI C ƠN

Vương T ông -

n -

Sinh viên

Ng n T T ắ

ỜI C Đ N

Vương T ông

C C

Ở Đ U

1

2 L ch sử nghiên c u c tài 1

3 ng và ph m vi nghiên c u c tài 1

4 Nhi m vụ nghiên c u c tài 1

5 u 1

6 K t c u c a khóa lu n 2

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN TH C LIÊN QUAN 3

é i s m ngôi và tính ch t 3

ĩ 3

1.1.2 Ví dụ 3

1.1.3 Tính ch t 3

1.2 Quan h th t n ngôi và tính ch t 4

ĩ 4

1.2.2 Ví dụ 4

1.2.3 Tính ch t 4

1.2.4 Quan h c bi t 4

CHƯƠNG 2 C U TR C ĐẠI S VÀ NG D NG 7

2.1 C i s s p th t 7

ĩ 7

2.1.2 Ví dụ 7

C c bi t 10

2.2.1 Nhóm t do 10

2.2.2 Nhóm Aben t do 16

2.2.3 Nhóm Aben h u h n sinh 19

4 ng c u nhóm 26

2.2.5 Nhóm gi c 27

2.2.6 Ứng dụng 28

2.3 Các l c bi t 29

2.3.1 Mi n nguyên 29

2.3.2 Vành Gauss (Vành nhân tử hóa) 32

2.3.3 Vành chính 33

3 4 Ơ 34

2.3.5 Vành Artin và vành Noether 36

2.3.6 Vành nguyên t và vành nửa nguyên t 39

2.3.7 Vành nguyên th y và vành nửa nguyên th y 40

3 8 nh nử 41

3 9 ử 42

2.3.10 Ứng dụng 43

4 C c bi t 44

4 M 44

4 M do 46

4 3 M nh 48

4 4 M i x 49

2.4.5 M A 50

2.4.6 M ử 51

2.4.7 Ứng dụng 52

KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KH O 54

Ở Đ U

1 ọn

m

Vương Thông : C

ng ng 2 ng n

ĩ

3 Đ ư ng ng n

ụ

4 N ng n

M

M

M

5 P ương ng n

6 ận

ụ :

C :

Ch : C ụ

CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN TH C LIÊN QUAN

1.1 P é n i s m ngôi và tính ch t

1.1.1 Đ n ng ĩ

 Đ n ng ĩ 1.1

ChoX , ta g é i s nh trên X là m t ánh x f X:  X X ng vi t xfy Kí hi u: , *, 

x yX, n u x~ y theo quan h ~ thì ta xem x và y là

u này giúp r t nhi u trong ho ng th c ti n c i

x yX c v i nhau

   

Inf A Sup A, 

Ω g é i s 0 ngôi: l y ph n tử θ; é

i s 1 ngôi: l y ph n tử i c a a X ; 2 é i s 2 ngôi vi t theo

l i c ng: a b é i s 2 ngôi vi t theo l i nhân: a b

u: x i ℂ 2

1 0

i   

g SX, X là nhóm thì t n t i duy nh ng c u h F: Xsao cho

hf g, t tam giác sau giao hoán:

k F F sao cho kf ' f t tam giác sau giao hoán:

é :

Coi f F', ' g X,  ĩ Theo trên jkf ' j kf ' if ' f ' 1F' f ' f F', '

F'F'

Suy ra jk 1F'

k  j1 

 Đ nh lí 2.3 (T n t i nhóm t do) V i m i t p S luôn t n t i nhóm t do trên S

X F X F: u T   S  1, 1  a,1 a1; a, 1  1

a , a S “ ” C

ử : 1 2 1 2 k, , 1, k i a a  a  a   S i k

 1, 1 , 1, i i k      C

1

a 1

a , a S “ ” ử

F ử e: F  w e,

F

F

Gi sử F f,  và F f', 'là hai nhóm Aben t nh trên S Khi

n t i duy nh ng c u j F: F' sao cho if  f ', t n t i duy nh t

G i S là h ng c a nhómF S, kí hi u: rank F S

2.2.3.Nhóm Aben hữu h n sinh

ử A a , B b m

p m

p m

n ts t s,  n A   t ,B s

 Nhóm giả ƣ c

Nhóm c g i là nhóm gi c n các nhóm con G G 0   G1 G s  e sao cho G i1 G i

a dãy là nh ng nhóm xyclic có c ng là 2, 3, 2, 2

+ Nhóm Galois c c 5 không gi

i x ng S n không gi c v i m i n5 Vì v y, nh

b c 5 s không gi c b c

iii) Phép nhân phân ph i v i phép c ng thì X g i là vành

- N é X ch t giao hoán thì X g i là vành giao hoán

2.3.2 Vành Gauss (Vành nhân tử hóa)

n n

n

2.3.3 Vành chính

a) Đ n ng ĩ

- Mi X c g i là vành các i i t t là vành chính n u m i i X u là i

b aq r  r0     r  a

2.3.5 Vành Artin và vành Noether

a) Đ n ng ĩ

D a vào khái ni A

Gi sử R là m t vành R c xem là m (n u R không ph i là giao hoán thì có s phân bi i)

R- M c g ng là Artin) n u m i t p con khác r a M có ít nh t m t ph n tử c i (c c ti u) theo quan h bao hàm

2.3.7 Vành nguyên thuỷ và vành n a nguyên thuỷ

a) Đ n ng ĩ

 Đ n ng ĩ 2.16

Gi sử C an ph i t i c a vành R T p h p D r R R C:   là hai phía l n nh t ch a trong C D c R c g i là m nguyên thuỷ bên ph i c a R n u t n t i m t n nh t ch a trong C

R c g i là vành nửa nguyên thuỷ (bên ph i) n u Rad R 0

Chú ý: nên t ĩ suy ra vành nửa nguyên thuỷ bên ph i

ửa nguyên th y bên trái

b) Các ví d

(1) M R u là vành nguyên thuỷ

(2) M R R Rad R/   là vành nửa nguyên th y

2.3.10 ng ng

é ụ :

ℤ, ℚ[x], ℝ[x], ℂ[x] - ℤ :

-  3 a b 3 a b| ,  

4 2.2   1 3 1  3

4

-  i Ơ  i

- Trong ℚ[x] :

- Trong ℝ :

    1    2  1 2  1 1 1 1 1 s r n n m m r r s s s f x  a x b a x b  x  x  x  x 2

4 0 k k  k k     - Trong ℂ :

hf g, t tam giác sau giao hoán:

2.4.3 ô n x ảnh

a) Đ n ng ĩ

 Đ n ng ĩ 2.20

M i là x nh n u v i m ng c u f P: B và toàn c u :

2.4.5 ô n N e e ô n n

a) Đ n ng ĩ

M t R- M c g ng Artin) n u m i t p con khác r a M có ít nh t m t ph n tử c

ng c c ti u) theo quan h bao hàm

2.4.6 Mô n ơn ô n n ơn

a) Đ n ng ĩ

M

M R- R- ử R-

2.4.7 ng ng

R-

:

không gi ụ

ẾT UẬN

;

ĩ