Các số đại số và ứng dụng vào giải phương trình diophantine

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN --- NGUYỄN THỊ NGỌC HOA CÁC SỐ ĐẠI SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Hà Nộ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

-

NGUYỄN THỊ NGỌC HOA

CÁC SỐ ĐẠI SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

DIOPHANTINE

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số

Hà Nội, 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

-

NGUYỄN THỊ NGỌC HOA

CÁC SỐ ĐẠI SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

DIOPHANTINE

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học

TS Lê Quý Thường

Hà Nội, 2019

Möc löc

1.1 V nh v  tr÷íng 6

1.2 V nh nh¥n tû hâa 9

1.3 Mæun 10

2 Sì l÷ñc v· sè nguy¶n ¤i sè 12 2.1 Sè nguy¶n ¤i sè 12

2.2 Bao âng nguy¶n 18

2.3 Mð rëng ¤i sè cõa mët tr÷íng 20

2.4 Li¶n hñp cõa mët ph¦n tû tr¶n tr÷íng K 22

2.5 C¡c li¶n hñp cõa sè nguy¶n ¤i sè 23

2.6 C¡c sè nguy¶n ¤i sè tr¶n mët tr÷íng to n ph÷ìng 25

3 Sè ¤i sè v  Ph÷ìng tr¼nh Diophantine 33 3.1 Ph÷ìng tr¼nh Diophantine x2 − 2y2 = ±1 33

3.2 Ph÷ìng tr¼nh Diophantine x2 − my2 = 1 37

3.3 Mët sè tr÷íng hñp væ nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Diophantine y2 − x3 = k 41

3.4 Gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophantine y2 − x3 = k 43

1

2

Líi c£m ìn

Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa khâa luªn, em xin b y tä lángc£m ìn tîi c¡c th¦y cæ khoa To¡n, tr÷íng ¤i Håc S÷ Ph¤m H  Nëi 2,c¡c th¦y cæ trong tê bë mæn ¤i sè công nh÷ c¡c th¦y cæ tham gia gi£ngd¤y ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng tri thùc quþ b¡u v  t¤o i·u ki»n thuªnlñi º em ho n th nh tèt nhi»m vö khâa håc v  khâa luªn

°c bi»t, em xin b y tä sü k½nh trång v  láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi TS.L¶ Quþ Th÷íng, ng÷íi ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n, ch¿ b£o tªn t¼nh gióp ï

º em câ thº ho n th nh khâa luªn n y

Do thíi gian, n«ng lüc v  i·u ki»n b£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶n b£n khâaluªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng sai sât V¼ vªy, em r§t mong nhªn ÷ñcnhúng þ ki¸n gâp þ quþ b¡u cõa c¡c th¦y cæ v  c¡c b¤n

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2019

Sinh vi¶n

Nguy¹n Thà Ngåc Hoa

3

Líi nâi ¦u

Ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n (ph÷ìng tr¼nh gi£i ÷ñc tr¶n tªp hñpc¡c sè nguy¶n) l  mët bë phªn quan trång cõa to¡n håc Làch sû gi£i c¡cph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n l  mët cuëc h nh tr¼nh li k¼ v  ¦y h§p d¨n

èi vîi nhúng ai y¶u th½ch to¡n håc Ch­c h¯n måi ng÷íi v¨n cán nhî ¸n

b i to¡n Fermat, giîi to¡n håc ph£i m§t ba th¸ k¿ º ÷a ra líi gi£i trånvµn cho b i to¡n n y Tuy nhi¶n b i to¡n Fermat â ch¿ l  mët ph¦n trongchuéi c¡c ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n Diophantine (Diophantine l  mët

nh  to¡n håc ng÷íi Hy L¤p, æng sèng ð Alexandria v o th¸ k¿ thù III, ng÷íichuy¶n nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n) ùng tr÷îc mët cængtr¼nh v¾ ¤i v· ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n cõa Diophantine, mët c¥u häiluæn luæn ÷ñc °t ra: Câ thuªt to¡n chung n o º gi£i t§t c£ c¡c ph÷ìngtr¼nh Diophantine? Qu£ thüc ¥y l  mët i·u khâ kh«n Tuy nhi¶n èivîi mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh Diophantine ta câ thº gi£i ÷ñc b¬ng vi»c ¡pdöng sè ¤i sè Vªy chóng ta câ thº sû döng c¡c ki¸n thùc n o cõa sè ¤i

sè º gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophantine v  c¡ch gi£i mët sè lîp Diophantine

§y nh÷ th¸ n o? º gi£i quy¸t c¥u häi n y chóng tæi ¢ lüa chån chõ ·

C¡c sè ¤i sè v  ùng döng v o gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophantine

Nëi dung cõa khâa luªn n y gçm ba ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng n y nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc

cì b£n v· v nh, tr÷íng v  mæun, l m n·n t£ng chu©n bà cho nëi dungcõa c¡c ch÷ìng ti¸p theo

4

Ch÷ìng 2: Sì l÷ñc v· sè nguy¶n ¤i sè Chóng tæi tr¼nh b y c¡c nëidung v· c¡c sè ¤i sè ¥y l  c¡c ki¸n thùc quan trång gióp gi£i quy¸t c¡c

b i to¡n cõa ch÷ìng sau

Ch÷ìng 3: Sè ¤i sè v  Ph÷ìng tr¼nh Diophantine ¥y l  ch÷ìngtrång t¥m cõa khâa luªn Trong ch÷ìng n y, chóng tæi vªn döng c¡c ki¸nthùc ¢ chu©n bà ð hai ch÷ìng tr÷îc º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m v gi£i mët sè lîp c¡c ph÷ìng tr¼nh Diophantine

Do thíi gian, n«ng lüc v  i·u ki»n cán h¤n ch¸ n¶n khâa luªn khængthº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât K½nh mong quþ th¦y cæ ân nhªn v  ânggâp c¡c þ ki¸n quþ b¡u º khâa luªn cõa chóng tæi câ thº ho n thi»n hìn.Tr¥n trång

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi ¢ nh­c l¤i c¡c ki¸n thùc v· v nh, i¶an,mi·n nguy¶n v  tr÷íng, v nh nh¥n tû hâa v  mæun T i li»u tham kh£och½nh trong ch÷ìng n y l  [1]

1.1 V nh v  tr÷íng

Mæt v nh l  mët tªp hñp R 6= ∅ ÷ñc trang bà hai ph²p to¡n hai ngæi

• Ph²p cëng: + : R × R → R, (x, y) 7→ x + y,

• Ph²p nh¥n: · : R × R → R, (x, y) 7→ x · y = xy,

thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau ¥y:

(a) (R, +) l  mæt nhâm abel;

(b) Ph²p nh¥n câ t½nh ch§t k¸t hñp;

(c) Ph²p nh¥n ph¥n phèi v· hai ph½a èi vîi ph²p cëng:

(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zyvîi måi x, y, z thuëc R

6

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 7

V nh R ÷ñc gåi l  giao ho¡n n¸u ph²p nh¥n giao ho¡n V nh R ÷ñcgåi l  câ ìn và n¸u ph²p nh¥n cõa nâ câ ìn và, tùc l  tçn t¤i mët ph¦n

tû 1 ∈ R sao cho 1 · x = x · 1 = x, vîi måi x thuëc R V nh R ÷ñc gåi

l  khæng câ ÷îc cõa khæng n¸u xy = 0 khi v  ch¿ khi x = 0 ho°c y = 0.Mët v nh giao ho¡n, câ ìn và v  khæng câ ÷îc cõa khæng ÷ñc gåi l mët mi·n nguy¶n Mët mi·n nguy¶n m  måi ph¦n tû kh¡c khæng ·u kh£nghàch ÷ñc gåi l  mët tr÷íng

Tªp hñp c¡c sè nguy¶n Z vîi ph²p cëng v  ph²p nh¥n thæng th÷íng l mët mi·n nguy¶n C¡c tªp hñp Q, R v  C vîi ph²p cëng v  ph²p nh¥nthæng th÷íng l  c¡c tr÷íng

Tªp hñp Z/n c¡c lîp çng d÷ c¡c sè nguy¶n modulo n còng vîi c¡cph²p to¡n [x] + [y] := [x + y], [x][y] := [xy] l  mët v nh giao ho¡n câ ìn

và câ húu h¤n ph¦n tû Nâ ÷ñc gåi l  v nh c¡c sè nguy¶n modulo n V nh

Z/n l  mët mi·n nguy¶n khi v  ch¿ khi n l  mët sè nguy¶n tè Hìn núa,

Z/n l  mi·n nguy¶n khi v  ch¿ khi nâ l  mët tr÷íng

Tªp hñp c¡c a thùc n bi¸n vîi h» sè tr¶n mët v nh R còng vîi ph²pcëng v  ph²p nh¥n a thùc thæng th÷íng lªp th nh mët v nh, ÷ñc gåi l 

v nh a thùc n bi¸n v  ÷ñc k½ hi»u l  R[x1, , xn] N¸u R l  mët mi·nnguy¶n th¼ R[x1, , xn] công l  mët mi·n nguy¶n

Mët v nh con cõa mët v nh R l  mët tªp con cõa R âng èi vîi ph²pcëng v  ph²p nh¥n Mët i¶an tr¡i cõa v nh R l  mët v nh con I câ t½nhh§p thö èi vîi ph²p nh¥n tø b¶n tr¡i, tùc l  ra ∈ I vîi måi r ∈ R v 

a ∈ I Mët i¶an ph£i cõa v nh R l  mët v nh con I câ t½nh h§p thö èivîi ph²p nh¥n tø b¶n ph£i, tùc l  ar ∈ I vîi måi r ∈ R v  a ∈ I N¸u Ivøa l  mët i¶an tr¡i vøa l  mët i¶an ph£i cõa R th¼ nâ ÷ñc gåi l  mëti¶an (hai ph½a) cõa R N¸u R l  mët v nh giao ho¡n th¼ c¡c kh¡i ni»mi¶an tr¡i v  i¶an ph£i tròng nhau

Cho S l  mët tªp con cõa v nh R Mët i¶an I ÷ñc gåi l  i¶an sinh

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 8

bði S, k½ hi»u I = (S), n¸u I l  i¶an nhä nh§t chùa S Mët c¡ch t÷ìng

÷ìng, (S) l  giao cõa t§t c£ c¡c i¶an cõa R chùa S N¸u S ch¿ bao gçmmët ph¦n tû S = {a}, a ∈ R, th¼ ta vi¸t (a) thay v¼ vi¸t ({a}), v  gåi (a)

l  mët i¶an ch½nh cõa R Mët mi·n nguy¶n m  måi i¶an ·u l  i¶anch½nh ÷ñc gåi l  mët mi·n ch½nh

V nh Z l  mët mi·n ch½nh, måi i¶an cõa Z ·u câ d¤ng (n) = nZ,vîi n l  mët sè tü nhi¶n V nh K[X], vîi K l  mët tr÷íng, công l  mëtmi·n ch½nh, måi i¶an cõa K[X] ·u câ d¤ng (f (X)), i¶an sinh bði mët

a thùc n o â trong K[X]

Gi£ sû R l  mët v nh giao ho¡n v  câ ìn và Khi â mët i¶an P cõa

R ÷ñc gåi l  nguy¶n tè n¸u P 6= R v  xy ∈ P khi v  ch¿ khi x ∈ P ho°c

y ∈ P Mët i¶an M cõa R ÷ñc gåi l  cüc ¤i n¸u M 6= R v  khæng tçnt¤i mët i¶an I cõa R sao cho I 6= M, I 6= R v  M ⊆ I ⊆ R Chó þ r¬ng,måi i¶an cüc ¤i ·u l  nguy¶n tè i·u ng÷ñc l¤i nâi chung khæng óng,nh÷ng nâ óng vîi R l  Z ho°c K[X], vîi K l  mët tr÷íng

M»nh · 1.1 Cho R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và v  I l  mët i¶ancõa R Khi â

(a) I l  i¶an nguy¶n tè khi v  ch¿ khi R/I l  mët mi·n nguy¶n;

(b) I l  i¶an cüc ¤i khi v  ch¿ khi R/I l  mët tr÷íng

V½ dö, a thùc X2 + 1 trong R[X] khæng câ nghi»m thüc n¶n i¶an(X2 + 1) l  mët i¶an nguy¶n tè cõa v nh R[X] I¶an n y công cüc ¤ibði v¼ R/(X2 + 1) ¯ng c§u vîi C, l  mët tr÷íng

N¸u K l  mët tr÷íng húu h¤n, nâ câ t½nh ch§t quan trång sau ¥y.M»nh · 1.2 Cho K mët tr÷íng húu h¤n Khi â tçn t¤i mët sè nguy¶n

tè p v  mët sè tü nhi¶n n sao cho |K| = pn

B i to¡n x¥y düng mët tr÷íng câ pn ph¦n tû câ thº thüc hi»n ÷ñc nhíM»nh · 1.1 Thªt vªy, x²t v nh a thùc (Z/p)[X] v  x¥y düng mët a

l  c¡c v nh nh¥n tû hâa.

ành ngh¾a 1.3 Mët v nh Euclid l  mët mi·n nguy¶n R ÷ñc trang bàmæt h m δ : R \ {0} → N sao cho c¡c t½nh ch§t sau ¥y ÷ñc thäa m¢n :

• δ(ab) ≥ δ(a) vîi måi a, b kh¡c 0 trong R,

• Vîi måi a, b ∈ R, b 6= 0, tçn t¤i c¡c ph¦n tû q, r ∈ R sao cho

a = qb + r, trong â ho°c r = 0 ho°c δ(r) < δ(b)

V nh Z l  mët v nh Euclid èi vîi h m δ l  h m gi¡ trà tuy»t èi | · |

V nhK[x], vîi K l  mët tr÷íng, l  mët v nh Euclid èi vîi h m δ l  h mbªc deg cõa a thùc

ành ngh¾a 1.4 Cho R l  mët mi·n nguy¶n Ph¦n tû kh¡c khæng a ∈ R

÷ñc gåi l  b§t kh£ quy n¸u a khæng kh£ nghàch v  n¸u ¯ng thùc a = bc,vîi b ∈ R, c ∈ R), k²o theo ho°c b ho°c c l  kh£ nghàch Mët ph¦n tûkhæng b§t kh£ quy th¼ ÷ñc gåi l  kh£ quy

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 10

Mët sè nguy¶n n ∈ Z l  ph¦n tû b§t kh£ quy cõa Z khi v  ch¿ khi n

l  mët sè nguy¶n tè a thùc X2 − 2 l  ph¦n tû b§t kh£ quy cõa Q[X]nh÷ng nâ l  ph¦n tû kh£ quy trong R[X],

Mët ph¦n tû a 6= 0 trong mët mi·n nguy¶n R ÷ñc gåi l  ph¥n t½chduy nh§t ra c¡c ph¦n tû b§t kh£ quy n¸u a = up1· · · pm, trong â u l  mëtph¦n tû kh£ nghàch cõa R, p1, , pm l  c¡c ph¦n tû b§t kh£ quy cõa R,

v  n¸u câ hai ph¥n t½ch nh÷ vªy

a = up1· · · pm = vq1· · · qn,vîi v kh£ nghàch v  q1, , qn b§t kh£ quy trong R th¼ m = n v  sau mëtph²p ho¡n và c¡c ch¿ sè n¸u c¦n, ta câ pi = viqi(i = 1, , m) vîi vi kh£nghàch trong R

ành ngh¾a 1.5 Mët v nh nh¥n tû hâa (hay v nh Gauss) l  mët mi·nnguy¶n trong â måi ph¦n tû kh¡c 0 ·u câ ph¥n t½ch duy nh§t ra c¡cph¦n tû b§t kh£ quy

ành lþ sau ¥y quan trång trong thüc h nh

ành lþ 1.6 Méi v nh Euclid l  mët mi·n ch½nh Méi mi·n ch½nh l  mët

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 11

(a) (M, +) l  mët nhâm abel,

(b) (αβ)x = α(βx), vîi måi α, β ∈ R, x ∈ M,

(c) (α + β)x = αx + βx, vîi måi α, β ∈ R, x ∈ M,

(d) α(x + y) = αx + αy, vîi måi α ∈ R, x, y ∈ M,

(e) 1.x = x.1 = x, vîi måi x ∈ M

V½ dö, méi nhâm abel l  mët mæun (tr¡i) tr¶n v nh Z Tªp hñp c¡c

a thùc mët bi¸n h» sè trong mët v nh R l  mët R-mæun vîi c¡c ph²pto¡n thæng th÷íng

ành ngh¾a 1.8 Mët R-mæun M ÷ñc gåi l  húu h¤n sinh n¸u tçn t¤imët sè húu h¤n ph¦n tû u1, , un cõa M sao cho måi ph¦n tû x ∈ M

·u l  mët tê hñp R-tuy¸n t½nh cõa {u1, , un}, tùc l 

x = α1u1 + + αnun,vîi α1, , αn ∈ R

Ch֓ng 2

Sì l÷ñc v· sè nguy¶n ¤i sè

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m, v½ dö v  k¸tqu£ sè nguy¶n ¤i sè, sè ¤i sè, li¶n hñp cõa mët sè ¤i sè, li¶n hñp cõamët sè nguy¶n ¤i sè v  c¡c sè nguy¶n ¤i sè tr¶n mët tr÷íng to n ph÷ìng

T i li»u tham kh£o ch½nh l  [3]

2.1 Sè nguy¶n ¤i sè

Cho hai mi·n nguy¶n Av  B sao cho A ⊆ B Ta câ ành ngh¾a sau ¥y

ành ngh¾a 2.1 Ph¦n tû b ∈ B ÷ñc gåi l  nguy¶n tr¶n A n¸u tçn t¤i

n ∈N>0 v  a0, , an−1 ∈ A sao cho

bn + an−1bn−1+ · · · + a1b + a0 = 0

Trong tr÷íng hñp A = Z v  B = C, méi ph¦n tû b ∈ C nguy¶n tr¶n Z

÷ñc gåi l  mët sè nguy¶n ¤i sè

V½ dö, sè √2 ∈ C l  mët sè nguy¶n ¤i sè v¼ √

2 l  nghi»m cõa a thùclãi X2 − 2 trong Z[x], sè −1

2 + i

√ 3

2 ∈ C l  mët sè nguy¶n ¤i sè v¼ nâ

l  nghi»m cõa cõa a thùc lãi X2 + X + 1 = 0 trong Z[x] Trong khi â,

Ch÷ìng 2 Sì l÷ñc v· sè nguy¶n ¤i sè 13

¤i sè Khi â tçn t¤i a0, , an−1 ∈ Z sao cho

1

√2

n

+ an−1

1

√2

n−1

+ · · · + a1√1

2 + a0 = 0,tùc l 

tä √ 1

2 ∈ C khæng l  sè nguy¶n ¤i sè

N¸uAl  mët tr÷íng v A chùa trong mët mi·n nguy¶nB th¼ mët ph¦n

tû b ∈ B nguy¶n tr¶n A ÷ñc gåi l  mët ph¦n tû ¤i sè tr¶n A Trongtr÷íng hñp A = Q, B = C, ph¦n tû ¤i sè b ∈ C tr¶n Q ÷ñc gåi l  mët

sè ¤i sè

V½ dö, √ 1

2 l  mët sè ¤i sè (m°c dò nâ khæng l  sè nguy¶n ¤i sè), bðiv¼ √ 1

2 l  nghi»m cõa a thùc X2 − 12 trong Q[X]

ành ngh¾a 2.2 (Mi·n nguy¶n tr¶n mët mi·n con) ChoA, B l  c¡c mi·nnguy¶n sao cho A ⊆ B N¸u måi ph¦n tû cõa B ·u nguy¶n tr¶n A th¼ tanâi B nguy¶n tr¶n A

B nguy¶n tr¶n A

Ta x²t mët v½ dö kh¡c phùc t¤p hìn Cho A = Z, B = Z+Z(1+

√ m

2 ),trong â m khæng l  mët sè ch½nh ph÷ìng, m ≡ 1 (mod 4) Khi â èivîi måi ph¦n tû z = a + b1+

√ m

2 cõa B ta câ 2z − (2a + b) = b√

m, tø â4z2 − 4z(2a + b) + (2a + b)2 − mb2 = 0

Chùng minh Dob ∈ B nguy¶n tr¶n An¶n tçn t¤i mët sè tü nhi¶nn ≥ 1

v  tçn t¤i c¡c ph¦n tû a0, a1, , an−1 ∈ A sao cho

bn + an−1bn−1+ · · · + a1b + a0 = 0 (2.1)

Do a ∈ A ⊆ B n¶n ab ∈ B, v¼ vªy nh¥n hai v¸ cõa (2.1) vîi an ta câ

(ab)n+ an−1a(ab)n−1+ · · · + a1an−1(ab) + a0an = 0

Vªy ab l  nghi»m cõa a thùc lãi

f (x) = xn+ an−1axn−1+ · · · + a1an−1x + a0antrong A[x] Nâi c¡ch kh¡c, ab nguy¶n tr¶n A

M»nh · 2.4 Cho c¡c mi·n nguy¶n A ⊆ B ⊆ C Khi â:

(a) N¸u z ∈ C nguy¶n tr¶n A th¼ z nguy¶n tr¶n B

(b) N¸u C nguy¶n tr¶n A th¼ C nguy¶n tr¶n B

Chùng minh M»nh · n y l  hiºn nhi¶n v¼ måi a thùc h» sè trong A

câ thº xem l  mët a thùc h» sè trong B

ành lþ 2.5 Cho c¡c mi·n nguy¶nA ⊆ B v  cho b ∈ B Khi â b nguy¶ntr¶n A khi v  ch¿ khi A[b] l  mët A-mæun húu h¤n sinh

k=0αkbk, vîi

m ∈ N v  αi ∈ A Theo chùng minh tr¶n, f (b) ∈ Abn−1 + · · · + Ab + A.Vªy 1, b, , bn−1 l  mët h» sinh húu h¤n cõa A-mæun A[b], tùc l  A[b]

l  mët A-mæun húu h¤n sinh

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû A[b] l  mët A-mæun húu h¤n sinh Khi â tçn t¤imët h» sinh gçm húu h¤n ph¦n tû u1, , un ∈ A[b] sao cho A[b] =

Au1+· · ·+Aun Rã r ngu1, , un khæng çng thíi b¬ng0 X²tbui ∈ A[b].Tçn t¤i aij ∈ A, vîi j = 1, , n, sao cho

bui = ai1u1 + + ainunvîi måi i = 1, , n Do â ta câ

a11− b a12 · · · a1n

a21 a22− b · · · a2n

an1 an2 · · · ann − b

= 0,

Ch÷ìng 2 Sì l÷ñc v· sè nguy¶n ¤i sè 16

trong âP (X) l  a thùc °c tr÷ng cõa ma trªn(aij)n×n Khi â a thùc

f (X) = (−1)nP (X) l  a thùc lãi thuëc A[X] Do f (b) = 0 n¶n b nguy¶ntr¶n A

ành lþ 2.6 Cho c¡c mi·n nguy¶n A ⊆ B v  cho b ∈ B Khi â n¸u tçnt¤i mët mi·n nguy¶n C sao cho A[b] ⊆ C ⊆ B v  C l  mët A-mæun húuh¤n sinh th¼ b nguy¶n tr¶n A v  A[b] l  mët A-mæun húu h¤n sinh.Chùng minh Theo gi£ thi¸t, tçn t¤i mët mi·n nguy¶nC sao choA[b] ⊆

C ⊆ B v  C l  mët A-mæun húu h¤n sinh Do â tçn t¤i c1, , cn ∈ Csao cho

C = Ac1 + · · · + Acn.V¼ A[b] ⊆ C n¶n b ∈ C, do â bci ∈ C vîi måi i = 1, , n Tçn t¤i

aij ∈ A vîi j = 1, , n sao cho

a11− b a12 · · · a1n

a21 a22− b · · · a2n

an1 an2 · · · ann − b

... số nguyản Ôi số< /h3>

nh lỵ 2.18 Náu C l mởt số nguyản Ôi số (tực l, l mởt phƯn

tỷ nguyản trản Z) thẳ cĂc liản hủp cừa nõ trản Q cụng l cĂc số nguyản

Ôi số. .. Pα(β)q(β) = Ã q() = Nhữ vêy l nguyản trản Z, tực l lmởt số nguyản Ôi số

nh lỵ 2.19 Náu C l mởt số nguyản Ôi số thẳ P(X) Z[X].Chựng minh Gồi... 22

Ch÷ìng Sì l÷đc v· số nguyản Ôi số 20

h0 = v hằ số cao nhĐt cừa g(X) bơng nản c = c, â d = ˜d Suy rag(X) ∈Z[X],