Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều

LỜI CAM ĐOANLuận văn này là kết quả của em trong quá trình học tập và nghiên cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn của thầy Vương Thông Em xin cam đoan luận văn về đề tài “ Cấu trúc đại số sắp

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Nguyễn Thị Xen

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này là kết quả của em trong quá trình học tập và nghiên cứu

vừa qua, dưới sự hướng dẫn của thầy Vương Thông

Em xin cam đoan luận văn về đề tài “ Cấu trúc đại số sắp thứ tự.

Cấu trúc tự do Đại số hữu hạn chiều” không trùng với bất kỳ luận văn nào

khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Người thực hiện

Nguyễn Thị Xen

Mục lục

Mở đầu 1

Nội dung 2

C hương 1: Cấu trúc đại số sắp thứ tự 2

1.1 Cấu trúc đại số 2

1.1.1 Phép toán đại số n ngôi và tính chất 2

1.1.2 Quan hệ n ngôi 7

1.2 Cấu trúc sắp thứ tự 11

1.2.1 Định nghĩa 11

1.2.2 dụVí 11

C hương 2: Một số lớp CTĐS đặc biệt 14

2.1 Một số lớp nhóm đặc biệt 14

2.1.1 Nhóm tự do 14

2.1.2 Nhóm Abel tự do 19

2.1.3 NhómAbel hữu hạn sinh 24

2.1.4 Nhóm các đồng cấu nhóm 38

2.1.5 Nhóm giải được 41

2.2.Một số lớp vành đặc biệt 43

2.2.1 Miền nguyên 43

2.2.2 Vành Gauss 46

2.2.3 Vành chính 47

2.2.4 Vành Ơclit 48

2.2.5 Vành nguyên tố và nửa nguyên tố 49

2.2.6 Vành nguyên thủy và nửa nguyên thủy 50

2.2.7 Vành địa phương và nửa địa phương 51

2.3 Một số lớp môđun đặc biệt 52

2.3.1 Môđun 52

2.3.2 Môđun tự do 52

2.3.3 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh 56

C hương 3: Đại số hữu hạn chiều 58

3.1 Định nghĩa và ví dụ 58

3.1.1 Định nghĩa 58

3.1.2 dụVí 58

3.2 Xét một số K_ Đại số 59

3.2.1 sốĐại tenxơ 59

3.2.2 sốĐại ng oài 62

3.2.3 sốĐại đối xứng 67

3.3 K_Đại số hữu hạn chiề u 71

K ết luận 72

Tài liệu tham khảo 73

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài.

Đại số là một chuyên ngành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học toánhọc.Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại.Tuy nhiên để đisâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có sự hiểu biết một cách sâu sắc về cấutrúc Đại số

Vì vậy em đã mạnh dạn chọn đề tài “ Cấu trúc đại số sắp thứ tự Cấu

trúc tự do Đại số hữu hạn chiều” cùng với sự giúp đỡ của thầy Vương Thông, với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Đại số.

2 Mục đích nghiên cứu.

Đưa ra một số lớp cấu trúc đại số đặc biệt và mối quan hệ giữa chúng,với các kiến thức ở phổ thông, từ đó góp phần làm phong phú thêm các lớpcấu trúc đại số

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.

+ Đối tượng nghiên cứu:

- Các nhóm

- Vành

- Môđun

+ Phạm vi nghiên cứu: Đọc các tài liệu có liên quan

4 Nhiệm vụ nghiên cứu.

+ Tìm hiểu sâu hơn về các nhóm, các vành, các môdun

5 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp đọc sách, tra cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, đánh giá

 Maxa,b(là PTĐS 2 ngôi)

 Mina,b(là PTĐS 2 ngôi)

 (a,b): USCLN (không là PTĐS 2 ngôi)

 [a,b]: BSCNN (không là PTĐS 2 ngôi)

Tóm lại trên  có vô số PTĐS 2 ngôi

Tương tự trên các tập số khác  ,  [ 2 ],  [ n 2 ],…  , , , K :số siêu

phức, ta có nhiều phép toán đại số 2 ngôi

2. Đối tượng là các số nguyên đồng dư theo môđun n

i j k , k{0,1,…n-1}

Tổng quát A[x], với A là vành giao hoán, có đơn vị bất kì

Nhận xét: Các ví dụ 2, 3 xuất phát từ các PTĐS 2 ngôi trên các đối tượng

đã biết ta xây dựng được các PTĐS 2 ngôi trên các đối tượng mới

Nếu x > 1 thì không giao hoán Phép toán có kết hợp

Phép toán có đơn vị nếu x = 1

Nếu x >1 thì có nhiều đơn vị trái mà không có đơn vị phải

8. Xuất phát từ tập X đã biết ta có thể xây dựng được nhiều phép toántrên các đối tượng mới

Ví dụ: -Từ phép cộng, nhân các số thực ta xây dựng được các phép toántrên Matn(X), X[x]

Tổng quát : Cho X là vành giao hoán, có đơn vị, ta xây dựng được các phépcộng, nhân trên Matn(X), X[x]

- Từ các phép toán trên các mệnh đề : , ,, 

ta cũng xây dựngđườc các phép toán tương ứng trên các đại số vị từ n ngôi cũng xác định trêntập X bất kì

- Cho (X,+) là nhóm giao hoán

Kí hiệu End(x) = { f: XX là tự đồng cấu

của X } Xác định phép cộng trên End (x) như sau:

= [f(x)+g(x)]+ [f(y)+g(y)]

= (f+g)(x)+(f+g)(y)Suy ra (f+g)End(x)

9. Thể Quarternion: (Còn gọi là số siêu phức)

Số siêu phức, dim

 =2, dim  K =4.

Kí hiệu K={ a+bi+cj+dk | a,b,c,d  }

-Phép cộng : =a+bi+cj+dk

=a‟+b‟i+c‟j+d‟kSuy

Chú ý Để nhớ bảng nhân cần hoán vị vòng quanh và phản hoán vị (trừ d1,c1)

cụ thể là : {1,i,j,k} ta có : ij=k, jk=i, ki=j

-Căn cứ vào bảng nhân trên ta thực hiện đựơc phép nhân giữa các phần tử của K

= (aa‟-bb‟-cc‟-dd‟)+(ab‟+ba‟+cd‟-dc‟)i+(ac‟+ca‟-bd‟+db‟)j

+(ad‟+bc‟-cb‟+da‟)k-Mỗi phần tử khác không đều có nghịch

đảo Giả sử K*

Ta biến đổi nhƣ sau:

1 = 1

a bi

-Nhân vô hướng : r , r=ra+(rb)i+(rc)j+(rd)kK.

Ta có (K,+) cùng với nhân vô hướng trên lập thành  - không gian vectơ

Vậy (K,+,., nhân vô hướng với  ) là  - đại số không giao hoán Đại

 Giao hoán: x, yX: xy=yx

 Tồn tại trung hoà (đơn vị):

X:+x=x

xX

e X: e x=x

xX

 Mỗi xX, phần tử đối - xX, phần tử nghịch đảo x

Ví dụ trên  xác định phép toán : ab=a2+b2+ab phép toán có tính chất giao hoán không có tính chất kết hợp

Tìm đơn vị: giả sử e là đơn vị:

không có đơn vị Cách 2 : Xem (2) nhƣ đa thức của

biến a :a2+( e 1).a+ e2

a ĐN - Ta gọi là quan hệ 2 ngôi xác định trên XY một bộ phận

RX Y Nếu (x,y)R ta viết xRy và nói x có quan hệ R với







X1 X2

 

X n

1 X là tập người, Y 

xR1n nếu n là tuổi của x tính đến năm nào đó

xR2n nếu n > tuổi của x

xR3n nếu n< tuổi của x

xR4n nếu x sinh năm n, có thể dẫn ra nhiều quan hệ R tương tự

2 X là tập người

Xét các quan hệ R sau:

xRy nếu x là bố đẻ của yxRy nếu x là bạn cùng tuổi với y xRy nếu x là cùng giới với yxRy nếu x là cùng trình độ học vấn với y 3.Trên  các số tự nhiên xét các quan hệ sau:

xRy nếu x y xRy nếu x | y xRy nếu (x-y) 4 xRy nếu x y4.X là tập các tam giác

2 Tính chất đối xứng: x,yX, Nếu xRy thì yRx

3 Tính chất phản xứng: x,yX Gỉa sử xRy và yRx suy

ra x=y

4 Tính chất bắc cầu: x,y,zX Gỉa sử xRy và yRz suy

ra xRz

d Hai quan hệ 2 ngôi đặc biệt

 Quan hệ tương đương

 



-Định nghĩa : Quan hệ 2 ngôi R có 3 tính chất : Phản xạ, đối xứng, bắc cầu làquan hệ tương đương.

Thường kí hiệu : ~

x,yX Nếu x~y theo quan hệ tương đương ~ thì ta xem x và y là như nhau, điều này giúp rất nhiều trong hoạt động thực tiễn của con người.-Tính chất :

Thường kí hiệu là: ( )

Khi đó ta nói X là tập được sắp thứ tự bởi quan hệ thứ tự bộ phận .Thường kí hiệu là (X, )

x,yX, gọi là so sánh được với nhau nếu x y hoặc yx.

Tập sắp thứ tự bộ phận (X, ) gọi là toàn phần nếu x,y

X đều so sánh được với nhau

- Có 4 loại phần tử trong tập sắp thứ tự bộ phận (X, )

+Tối thiểu(TT):aX gọi là phần tử TT nếu xX giả

sử x a thì x = a

+Bé nhất(BN): aX gọi là phần tử BN nếu xX ax+Tối đại(TĐ): aX gọi là phần tử TĐ nếu xX giả sử

a x thì x = a

+Lớn nhất(LN):aX gọi là phần tử LN nếu xX x a

Ta có : Nếu aX là phần tử BN thì a là TT, ngược lại nói chung

không đúng Nếu aX là phần tử LN thì a là TĐ, ngược lại nóichung không đúng Nếu có nhiều TT thì không có BN

Nếu có nhiều TĐ thì không có LN

- Inf(A) , Sup(A)

Cho A X

x X được gọi là cân dưới của A nếu x a với mọi aA.Phần tử lớn nhất trong các cận dưới của A gọi là cận dưới đúng của A,Nếu có thì được kí hiệu là inf(A)

Tương tự có cận trên và sup(A)

-Có một số kiểu sắp thứ tự: Acsimet, rời rạc, trù mật

- Hai tập sắp thứ tự đẳng cấu:

+Cho hai tập sắp thứ tự (X,  1) (X‟,  2)

+Nếu tồn tại song ánh f:XX‟ sao cho a,bX,

a1 b thì f(a) 2f(b)

Khi đó ta nói hai tập sắp thứ tự (X, 1) đẳng cấu với (X‟, 2)

Chú ý : Ta còn xét quan hệ tiền thứ tự : Là quan hệ hai ngôi thoả mãn phản

xạ và bắc cầu, trong thực tế quan hệ tiền thứ tự được dùng rộng rãi hơn

1.2 Cấu trúc sắp thứ tự

1.2.1.Định nghĩa.

Gọi là cấu trúc đại số sắp thứ tự một bộ (X, , ) trong đó

X là tập nền khác rỗng, là tập các phép toán đại số với số ngôikhác nhau, là tập quan hệ thứ tự toàn phần trên X

Thoả mãn một số điều kiện nào đó

Các điều kiện này gọi là hệ tiên đề của cấu trúc sắp thứ tự (X,

1.2.2 Ví dụ.

Ví dụ 1: Nhóm sắp thứ tự là (X, , ) trong đó X,

gồm một PTĐS 0 ngôi phép lấy phần tử trung hoà 

một PTĐS 1 ngôi phép lấy phần tử đối của mỗi phần tửmột PTĐS 2 ngôi: a+b

một PTĐS 1 ngôi lấy phần tử đối của

a X một PTĐS 2 ngôi viết theo lối cộng : a+b một PTĐS 2 ngôi viết theo lốinhân: a.b

Hệ tiên đề của vành sắp thứ tự :

1 PTĐS hai ngôi + có tính chất kết hợp

2 PTĐS hai ngôi + có tính chất giao hoán

7 Quan hệ thứ tự toàn phần tương thích đối với hai phép toán, nghĩa là:

a,bX, giả sử ab thì a+cb c , cX

7 aX : e a = a

8 Mỗi aX* , a”X: a” .a = e

9 phép nhân phân phối đối với cộng : a(b+c) = ab + ac

10 tương thích đối với 2 phép toán , nghĩa là

a, bX , giả sử a b thì a+c b+c cX

a.cb.ccX+

a.cb.ccXChẳng hạn có các trường sắp thứ tự : (  ,+,., ) , (  ,+,., ) Còn (  ,+,., ) không trở thành trường sắp thứ tự theo nghĩa :

Giả sử trên  xác định được quan hệ cũng tương thích đối với hai phép

toán Khi đó ta có x  *, x2 > 0 vì x  *, nếu x> 0

x2> 0, Nếu x< 0 -x> 0 (-x)(-x) = x2

> 0

Ta có   , Ta muốn quan hệ trên  khi thu hẹp về  vẫn giữ ngưyên Khi đó gặp mâu thuẫn sau : x = i  * nhưng i2 = -1 < 0 (mâuthuẫn)

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ LỚP CTĐS ĐẶC BIỆT

2.1 Một số lớp nhóm đặc biệt

2.1.1 Nhóm tự do

a ĐN Cho S là tập tùy ý, ta gọi là nhóm tự do xác định trên tập S là

cặp (F,f) trong đó F là một nhóm, f: S F là ánh xạ, sao cho với

Theo định nghĩa nhóm tự do thì ! đồng cấu h: FX sao cho hf=g

h[f(a)]= (hf)(a)= g(a) g(b)= (hf)(b)= h[f(b)]

f(a) f(b) vì h là ánh xạ

 Giả sử A F và A= <f(S)>, ánh xạ f sinh ra g:

SAF

F

Ta có 1A cũng thỏa mãn 1Ff=f 1F=k do (f, F) là tự do ! đồng cấu từ

k cũng thỏa mãn kf=(iAh)f=iAg=f F

S Khi đó đẳng cấu j: FF‟ sao cho jf=f‟

và đẳng cấu k: F‟ F sao cho kf‟=f tức là 2 sơ đồ tam giác sau giao hoán: S f F S f‟ F‟

F F‟

Do (f‟,F‟) là nhóm tự do xác định trên S nên! đồng cấu nhóm k: F‟

F sao cho kf‟=f, tức là sơ đồ tam giác sau giao hoán

S f‟ F‟

f !kF

Xét sơ đồ sau:

jF‟

k !kj

FCoi (f,F) trong sơ đồ trên như cặp (g,X) trong định nghĩa

Theo trên kjf= k(jf)= kf‟=f=1Fg, Do (f,F) là nhóm tự do ! đồng cấu từ FF để tam giác ngoài cùng giao hoán

kj=1F j là toàn cấu

Tương tự xét sơ đồ:

S f‟ F‟

f kf‟ F jkj

F‟

Coi (f‟,F‟) trong sơ đồ trên nhƣ cặp(g,X) trong định nghĩa

Theo trên jkf‟=j(kf‟)=jf=f‟=1F‟f‟, do (f‟,F‟) là nhóm tự do! đồng cấu từ F‟ F để tam giác ngoài cùng giao hoán

- Xác định phép toán đại số 2 ngôi x trên F:

x,vF.Nếu x=e thì uv=ev=v

Nếu v=e thì uv=ue=uNếu x e, v e thì uv là viết kế tiếp tích hình thức nhƣ trên, trong

uv ta xóa đi các tích dạng a1a-1, a-1a1 nếu có mặt uv là chữ rút gọn, xóa hết thì coi uv=e

- Dễ dàng kiểm tra đƣợc F cùng với phép toán trên lập thành một nhóm

a1 2

g hX

- a S , (hf)(a)=h[f(a)]=h(a1)=g(a)1=g(a) hf=g tức là

sơ đồ tam giác

sau giao hoán

- ! đồng cấu h: F X sao cho hf=g

Giả sử đồng cấu k: F X sao cho kf=g

- Do f: SF là một đơn ánh, nên đồng nhất S với f(S)

SF và F=<S>

- ánh xạ g: SX đều mở rộng duy nhất thành đồng cấu h:

FX ta gọi F là nhóm tự sinh bởi tập S

2.1.2 Nhóm Aben tự do.

a ĐN Cho S là một tập hợp Ta gọi nhóm Aben tự do trên tập S, một

nhóm Aben F cùng với một ánh xạ f: SF sao cho với mọi ánh

xạ g: SX, X là

nhóm Aben thì

giao hoán

! đồng cấu h: F X sao cho hf=g, tức là sơ đồ

tam giác sau

Chứng minh Tương tự trong phần nhóm tự do.

c Tồn tại nhóm Aben tự do xác định trên tập S.

Định lí2 (Tồ n tạ i duy nhấ t ) Giả sử (F,f) và (F‟,f‟) là hai nhóm Aben tự

Cách 1 Đưa vào khái niệm: hoán tử của 2 phần tử:

Cho a,bX là nhóm, gọi phần tử aba-1b-1 là hoán tử của 2 phần tử a, b

hoán tử của X, gọi là nhóm con hoán vị của nhóm X Ta cũng có nhóm

thương X

(

X )

là nhóm Aben

Khi đó k sinh ra đồng cấu k =h: FX sao cho hp=k.

( Tổng quát: Cho đồng cấu f: X Y, A X

AKerf thì f sinh ra đồng cấu

Khi đó đồng cấu k‟=h‟p: GX cũng thỏa mãn

k‟j=h‟pj=h‟f=g Do tích duy nhất của đồng cấu từ GX

Và cộng là phương trình đại số 2 ngôi xác định trên F

- Kiểm tra được (F,+) là nhóm Aben, trung hòa là : S 

(s)

Nhận xét: Vì f: SF là đơn ánh đồng nhất S với f(s)

và F=<S> và vớ i mọi ánh xạ g: S X đều mở rộng duy nhất thành đồng cấu h: FX

Do đó nói gọn F là nhóm Aben tự do xác định trên S

Tập S đƣợc gọi là cơ sở của nhóm Aben tự do S Gọi S là hạng của nhóm FS

Kí hiệu là r(FS) (range)

2.1.3 Nhóm Aben hữu hạn sinh.

Có 2 toàn cấu PA: A B A , PB: A B B

(a,b)  a (a,b)  bGọi là các toàn cấu (phép chiếu ) tự nhiên

Do iA, iB là các phép nhúng nên đồng nhất A với i(A), b với i(B) do đó coi

A, B là các nhóm con chuẩn tắc của P (A= KerPB, B= KerPA)

Phân tích: Cho A,B X , Nếu X= AB và A  B={e} thì ta nói X phân tích được thành tích trực tiếp của 2 nhóm con A, B

Định lí 1 Nếu X phân tích được thành tích trực tiếp của 2 nhóm con chuẩn

tắc A, B thì vớ i mọ i phần tử của A giao hoán được vớ i mọ i phần tử của B

và vớ i mọ i phần tử của X biểu diễn duy nhất dưới dạng ab, aA, bB

Chứng minh - aA, bB Xét hoán tử c=aba-1b-1=(aba

-1)b-1 B vì B

X

=a(ba-1b-1) A vì A X

c A  B {e} c=e

aba1b1 ab ba

- xX, giả sử x=ab=uv, a,uA, b,vB

nhân trái với a-1, phải với v-1 a-1u=bv-1 A 

B={e} a-1u= e b= v Ví dụ: Cho X=<a>6, chọn A=<a2>3, B=<a3>2.

A={e,a2,a4}, B={e,a3}, AB={e,a3,a2,a5,a4,a}=X, A  B={e}

Định lí 2 Giả sử X phân tích đƣợc thành tích trực tiếp của 2 nhóm con A,B

P=AB là tích trực tiếp của 2 nhóm A,B Khi đó X  P

Chứng minh.

Xét ánh xạ f: P=AB X

(a,b)  ab Thật vậy (a1,b1),(a2,b2)

P,

f((a1,b1),(a2,b2))= f((a1a2 , b1b2))= a1a2b1b2

Do X là phân tích thành tích trực tiếp của A,B f là toàn ánh, f là đơn ánh (giả sử (a,b) Kerf f(a,b)=ab=e=ee

(a,b)= (e,e)

Từ đó ta đồng nhất nhóm X với tích trực tiếp AB Vì thế nên gọi là sự phân tích trên là phân tích thành tích trực tiếp

Cho A,B là hai nhóm tùy ý, theo trên ta cóiA(A)=A

{eB}, iB(B)={eA}B, iA, iB là các đơn cấu nên đồng nhất A=iA(A), B=iB(B)

Ta có P phân tích đƣợc thành tích trực tiếp của 2 nhóm con chính tắc iA(A) và

iB(B) Với sự đồng nhất trên ta cũng nói P phân tích đƣợc thành tích trực tiếpcủa 2 nhóm con A,B; p=AB

Ta có thể mở rộng khái niêm này cho một họ bất kỳ các

nhóm Thật vậy: Cho họ các nhóm {Xi}I I

Tổng trực tiếp yếu là tổng trực tiếp của các nhóm, thường kí hiệu là :

Là các đơn cấu, toàn cấu, gọi là phép nhúng, chiếu thứ i.

Định lí 3 Cho họ các nhóm Xy cho cấp vô hạn {Xi}i  I

Khi đó  F , F là nhóm Aben tự do sinh bởi tập I