Đại số và ứng dụng

- vSircknm lý lliuyêì CÍÌC vành lịa phương dể klìảo sál h i'll TI In lài.. - Nuhièn cứu bài loan về sự bùng no lố hợp c;k' ui;’ti pliiíp.. PHẨN CHÍNH BÁO CẢO... Kết quả này là sự lổng qu

D Ạ I HOC Q l l ố c í ỉ IA HẢ NỘI TRƯỜNG Đ Ạ I HỌC K H O A H Ọ C T ự N H I Í Ì N

M Ã S Ố : Q T - 9 9 - 02

( M lỉ T R Ì t r ô T Ả I : PCS I S TR Ầ N T K O N í; I n r

l l ỉ i N ôi - 2001

TÍ N *)P: TÀI : Ỉ)ẠI SỐ VÀ ỨN(; DUNG

4 M ụ c liê u và nội d i m s n g h iê n cứu :

T m n ^ i (1ề 1(1 i Q 1 9 ^ - 0 2 ( h ú n g l ò i C|n a i l l í ì m n g h i ê n C I Í I I n h r n t ^ v i ì n i l r

‘ỈÍIII (lAy :

- Nghiên cứu (.ác lính chái cfm dể phân loai các câu lu ìc dai số.

- vSircknm lý lliuyêì CÍÌC vành (lịa phương dể klìảo sál h i'll TI (In (lài.

- Nuhièn cứu bài loan về sự bùng no lố hợp c;k' ui;’ti pliiíp.

5 (Vic kêf (|Uỉi (líil (lược :

1 S u b je c t : Algebra and A p lic a lio n s Code : Q T -9 9-02

2 L e n d e r o f S u b je c t : Ass Pro I' Dr Iran T ro ll g 11 Lie

3 Participants :

- Dr Nguyen Due Dal

- Dr Pliciin V ic l I lunji

- Dr Nguyen Van V in li

- Ma Npuycn llmi I I(U)

4 O v c r n ll o b je c tiv e s :

I n 111C' s u l i j c c l ( / 1 - 9 9 - 0 2 w c l i m i l m i l s l i u l y o n 111C' l o l l n w i n o p r n h k ' m ^ :

- Rcscarch I he iMclical pm|XTlies lo chissilv llie i i l ^ i b i a i c slmc Hues.

- Rcscitixh t he problem ('I the cnin ltin a lm y ex pic >sic >11 OÍ solutions.

5 Results :

* [ lie IK'W I ifu ills lu u c been iilliiiiic d as Inllmvinj^s :

- T h e M f i K T a l ( I c l i n i l i f i n ( ' I i c j j u b n il V I' M i n h i t r n i y K n l ^ c H n i s 11 a ^ l x ’1’ 11

i III I ( )(l u c c d a n d l l i c ia < lic ;)l I/lu ll a c l c i i s l i c n l i c u u liM I l i c ^ h ;is lx'C'11 s h o w e d

r i l l ' n e w c / n m e p l i l l l i e l o r s i o n s o l í) ; t l e c h i ; i s ;1I1(Ỉ I I n ' n e w Cl MIC (.'I'll

<>l lilt' linear nulic;! ni Irilliccs liiivc heen eivon Il is proved lhal llic^c

c o n c c p l s S í i l k l v ||)(' I m u l a m e n l a l p m p t T i i c s ý m i l í i r I n I l i o s c o l I h e i r K l i c ; i h

of I illgs

- Some k is ic p m p j ' l k ' s ('I llic Icim lli lu n c lio iis (Ic liik 'd In ;i xysk'ni n|

paramelcrs ill local I'inivs h a \c k 'c n in \c s li^ iilc d

4

- A new concept o f he equivalancc o f binary liccs to lin iil II

com bina tory explosion o f solutions has been proposed.

* The publication contains 6 s c ic n iiic papers and 2 lexbooks.

XÁC N IIẬ N ( ’ HA HAN m i l N IIlftlM

Iỉ PHẨN CHÍNH BÁO CẢO

1 M ờ (Inn :

Njzliic'ii cứu phân loại các cấu Inìc dại so là môi VÍÌI 1 (U- KHIU IcVii C'> \ ;u

I m (|U ÍII1 I r o n g I r o n g n h i ề u l ĩ n h v ự c l ý l l m v c l CŨI1U n l u r iÍ Ịi ( ! m ụ : c M;i In ;iii

h o c T r o n " đ ề tài n g h i ê n C IÍII ( / ĩ - () (M )2r c l u i n g I n i c h í k l u i n s;íi I i h ĩ h i í ; v;'in <lr

n ù i c ; k ' l l i à n h vìCmi ( h a m g iỉi đ ê !?ú CỊn a il l â m SÍHI ( l i l y :

K liả o sát tính chất căn llic o n^hhi K um sh - A m its m Irn im plum i liu

CÍÌC (till số Irên vímli giao lmiín có (1()'I1 vị phạm Irù dàn v;i pluim liìi c;í( í )

(1;ii số ( ’hứng m inh định lý B irlỉilio l tirưng ứng voi sự plifm ln;ii CIU moi

l í n h c l i â ì c ă n I r o n g c á c p h ạ m I r ì i c h u i , £ 2- c1ị ì s ố K l i ỉ í o Sííl ( Ị Mil 11 l i e u i í m l í n l i

c l i A l c á n VM c ; k ' l í n h c h ấ l c h í n h ( Ị t i y I Í11I1 x o í i n v v

Sử (Iiiiijl1 lý Ihiiyốl Cik' vành clịa [ìliưong (1ê kliâo SiíI \;i line liio'nu liíini

(lô (Ini.

hop Im nu (|II;Í Irìiili l;íp ráp lự (lônu

MỎI m m - li i'll quail (rong cúii nghiên ciVu klìáo sá! I ll ume v;ìn <K' Ill'll

( I;ìV là n ^ o ì i i c á c - k ố l q u á m<vi c à I I I m ' o i i u l ó i x á c ( l i n h I i l i i f n i l M i ’ll ( l e Ilii« I'

l i ( f | i c ó 111C l à m ( l ề l à i l i u Ị n á n p h ụ c VII ( l ; m I;i() Sciii ( h i i l i n e

- (Ytc lliíình viên liìiìli bàv bni loan cu llic các du' k i ù i v r pliưnnu |)li;ip

f ) n ii'j \ kiì'1) v è b o f l i c , n ô i ( l u n ụ ( lc b i c n ^ n ;m L iiiíi’ l i ì n ỉ i

h/ T I ' a Ht g i a các hôi Iiíỉlìị k h o a hoe :

- I lõi nuliị ứim (lung loán lio r lonn (ỊIKK' Mil Nòi.

- 1 lòi null ị t|U<V 10 VC klio;i hoc lính loan I hì N oi 20(H).

- I l ỏ i I i u l u l o a n C Ị I K K ' \ v f ) ; i i s ò - 1 n | K ) - I l ì n h l i n e ( J | | \ N l i m i V I Í K I

7

3 Các kết quả :

a í C á c kết q u ả k hoa học c hí n h đã (hực hiện :

khoa học sau đay :

* Đã đưa ra clịnli nghĩa long C|iial VC lính chai chính C|tiy Im no mc>! (l;i

K iirish - A m ils u r Kết quả này là sự lổng quái hoá cm- línli d u ìt chính (|II\

(lã (lược nhiều nhà toán học nghiên cứu Im n g lý ihuyêl vành.

U -đại số (lính clìấl căn có lớp nửa đơn tli truvổn) và (tã chứng m inh Cik tínli

cliấl quan Irọng của línli cliấl xoắn Các kếl quả này là sụ khái quái liná r;íc

kốl (ỊHr) Irước clíly Im ng các phạin lĩ ù vành kốl hop, nửa nhúm vứi 0

Í2 nhóm .

lính củii một (làn Đã cluing l(’) rằng căn luyến lính cúa môl tlmi llioii miìn hê

tiC ’11 đổ CIUI CÌÍI 1 Kurosh - A m ils n i' và lc^Ịi nừa dơn là các dàn p liã ii p lin i lon

sứ ( l n i i l các IIIyen lính để kliao sál cấu ỉriíc dàn m odular.

* K luio sál các lính cliâì tím các liỉìm dô (1.U theo tl hiên liôn koi vứi he

cl lliam số cùa môdun liên vành địa phương giao hoán và cluínL m inlì nin[

đặc lnrng cùa mỏdun với giá li ị hàm độ dài kh ông dil'o'iig.

* Dã dưa ra một khái niêm lương đương của các cây nhi Ịiiiàn Kluíi

h i l l cliê được sự hìinu nổ lổ liợp cùa các giai pluíp.

- Dai so và hình học giái lích, N X B Đ I 1QCÌ I là Nôi 2001

(U ìing clio sinh viên các ngfinh K H T N (khôi% pluíi nuìmli io;ín) \;i

Sau hai năm lioạt độn^ cùa đổ lài Q T -9 9 -0 2 clu in g lòi cíã (Uil ilưov moi

số kC‘ l C|IJH nhỏ về N C KI1 cũng đào lạo và phục vụ đào lao đcú line vì\ SÍIII

v;ìn (lổ lin in g nôi (.hmg nghiên cứu cìm đề lài f / r ’-l )y-92 CÒI 1 có 11 1 0 liốp luc IAiI (lài O u ' kốl (|ii;’t (lã đai được còn ị:Ợi m<v Iihicu van (1c (ló l;i (1r Ifii 1111Ì \ i

cho các luận íí 11 s;hi dại học.

lõi xin chilli llùuih Cíim ơn B;m ịiiá m liiêu Tnrờni: f)rii hoc K Ỉ I IN I ’lionu

K I I - C N \ à ĐTSĐ1I Phòng Tài vụ Trường Đ í l K H T N và Ran chú n liK in

khoa lo;íii - Cơ - T ill hoc đã lạo điều kiện cho cluíne lôi lioìin llùmli

111í i c In VII.

5 Tà i liệu tham khảo :

I I I N u u y ẻ n Đ ứ c D e l l O n t h e l i n e a r r a d i c a l ( ' I b i l l i c e v \ ' N U l n i n n ; i l <>Ị

^ŨCIH C iKcvplccl lo publication.

Iku' (N pjuili I oán ) I Ini nghị Klìoa hoc I ni'o'nu f ) l IK I I I N (()2 OỊi) I

1^1 N u u v c n I h á i 1 l o à ( )|1 I l i e k ' l i u t l i Í U I1C l i o n s ( I c i i n c d I n ;i ' ' V s t i - m ( ' I

p a f t m c l c i 1-; ill local linus V N Ụ loiim n ! OÍ Sc iciK c Nil! I \ \ N’ I I'i'i'J

<-)

Ị4 | Nguyễn rl1iái Hoa O il lilt' m odules liỉiv in ^ p I ( M ) • () H;í<< I ;ín

I.^Ị TiÀn T rong IIuệ\ O il 1 lie radical cliídíiclci isiic <>l rc^nhu ilic^ \ ‘ NU Journal <>l Scicnce, accepted lo publicalinn.

|6 | Phạm V iệ l llìin g và ĩ Irin M in h Tuân O il a I C |1 K ^ C Ĩ ) I ; I ! I \ X '

approach lor assembly scquencc rc n c iitlio n Ráo Cíío khon hot lai I Ini nulti

quôV lế về khoa line ifnlt loán, I là Noi 2000.

( 1 * 1111 U K

'■ All phfun :

Bill h;i() klioa hoc (in gửi (Ifme

- lỉíío cáo klioa hoc ( in tnn.iz bn

- S á c l i ( in X I I ítl h ỗ II

* PIikmi (1;iiiu k V kcl C|ii;t null it'11 d ill.

I I

! lu' lattices r:c »1 a IntỉicT I., we consider a Ị); 111 i (• 11Í; 11 lyp c of its COIUMMI.-IICI-S w hich

w e C i l l l l i n e n i C(M1LM II CI I CI ' T h e i n l e i s c c t i o n o l I h o s t ’ c o i f c i U C I I ' C ' ? ( I r m ' t c d l i y 1(1 I

< ;iIlc<.I l ( ' l x ' t h e l i n e a l I’i i d i c i i ! o f L., W e w i l l Ị1I O V 0 I h n l s i l l ' l l M i k ' U t i ^ f i t ' s S(1|11C f u !1ÍI Í1111011 t i l ] p r o p e r t i e s s i m i h i r 111 I h n s i - n l i ; t ( l i c ; i l o f l i n j s M i ' i r n y i - ' I \ v r

also show that the class o f all distributive Indices is r - s e m is im p |t\ Iỉ',1" I ht'i'1 ■■111

T l wo prest'111 nil application (if the Kulical to c la s s ify in e m i 'd u h r 1;VIIi< c

2 L in e a r ra d ic a l o f h illices ;|| 1 (I i f s p r o p c r l k 's

2 1 N o l i i l i o n s [_01 I be a I n l l k v , I i l t - Ỉ. m ill /> hi,' ;i Cl'11SJI Ik-lieV ('11 I tliỊỤi:

( i) Symbol r/||/> means thill II is incompnniM t' with I) and \n]r is /) cqniv:il'MKv

c l n s s J f ;i.

(b) j"|,, \b\n if and on I V if n\ r ' \h\r ;m<l *.1 - \a\r ]í/ /'I,,,.* ■ If

( c f T h c l i n i a l and Iht’ 1 a I ^ t COIII’ I i k M k c s o n '111 I ;m~ d e l i n k ' d I n ;1M(I 7

r v s p c c l i v e l V.

2 2 D c T i n i l i n n I c l I h o ; i l a l l k v A c o n t M l i o n A ' i > I ' M I i s • • a l l e t l l i ' l v 1 1 1 1 c' n I i f

I lit' q u o t i c n l lallico Ỉ I> Is l i n i | u

ill the h iltk v iIk’i i i v, linear 'OIÌÍMUCIK L"< h v q iH ’ iillv ỉl 1' c.-tsv l<>

llial the I wo- c l a s s .-I'liLM'Ucnccs ;tic l i i kMi

rile lollow proposition shows the o x N k 'rk (' í I wo-'.-loss '- ( ' I I S I I I U I 'i'v

l l i i s piopoMtion can K ’ ( l i w l l v I'lovvd 111 im plied from Iho ic m iI k ill ill1’ Inlln • tlicorv I 4, f-1 |.

2 V P r o p o s i t i o n I f D is a di s t r i b u t i v e lattice ;md n h D I J -r- / then ihcre exists

1 !'"I ■ ÍV I I."- ■ ili'-k' vi'-'l line I! ontiuen- Cv iỉiimi -|\ Cl 'I)M N

'I 'ho ■•! I’-S.'s ' n j I } •; n ' H1' I I "Ị <’I I ' i 1 ■ ' I ill’.' hi ^ 0 s "if) 11 ỉ M I In Is

i \ - Ì ,11 /••> 'Aliirh -nncisis of •.-kty-'s -• [ ; ’ • ý ) - i n } { ! I

_!.6 I’ rnpnsil inn ( ] | r M ;m ; 1 rỉ'' 11 la I \ l;iPi;e I I ho qiii'licul ỉ nu I I 1 <I ' 1

-< ! M i i l - ' M l i ' 0

1 ’ I cl I) be a Ĩ lien \) I'' l1 i ''11 it'll ni' : |( ; n v l 0!]'■ ii l M ) '

-if I 1 I w e h;\\e M ĩ I H i / ’ \ 1 - ĩ ’A he 1 e c I - / ate liii'Mi co nei'U fiK *s

"II 1 \ s w ’ ! I - k 111 'U n I r' I ) I ' ill'1 s u K life i'i p i M1IJ ■' t I 'I' <|I|1 'I k'lit I 'III! JOC I I' > ' / On Hu: Ml lie I hnini h\ le íin ili' 111 I , IS (li -1T ih i i i \ I < ' I c a d i - / Iìh is iI r '

Ijih'hi'n! I ;i 111 ■_ I 111 ' K ( lic l r i h u l i \ 0 lot'

f 2 I 11 li'llo u s J Ì R V i l \ !i 1'IVI ( r ? I ;md ill-' p;n I ■ I I

2 7 t t e m : i r k M l I ~ > n m J 0 i K V ' ' M I I M l h ' l i 'Ị I ' I I I ’ ’ v n i b - ' l '

l i 11' ' k ' s ,1 ' I I L ' l l l ' J I l ■ '11 / ■I's I I ' I I mvv ,

l i 1 ! I t'l „■ / • Ỉ he cl Inllict.' honv '1111 'I I’ll I 111 uni - hr- ;i > 11 I u ■ 11 I'll I

T hen oil I ! I here ; ' \ i s t ' a c o n e p e n c e I

r

/

M l

1 -y 1

Setting p f\p.r~p we have L ) = L i p ;ind ( a / p) /f> is a c o iiiin u ’ n :e oil f,,I /> It call he easily deduced that Í ^ (7 :) "1.1)) r: ' ( i ' \ c IVI„) - Ỉ rT / ’ ) / ’

First, we prove: r r , f) is linear I'll /,//) if and OI) IV if IT is line ar (in I

i \ ( j ( I,sw7v Let ơ /I h r lineal and 1.1/ ~ Ĩ { ! ■!/) 4 n - ll is needed lo prove

lhal | r | „ • 71 -r or |?/|„ < l.r|,T A c CO I xl i lie H' Í 2 7 ) (; n : (|:itL, Ivi,,) 9 a /> Si 111 I'

<T//> is lineal 'AÌthonl loss o f ỵcnci wc can M in n ie that 111, Ị//I \ii(l M> wife sh;111 show: i r|„ ■ |//|., Rv (* I )(h) ihcrc oxisl 1' - I.í Ị,, Jill I // - |//|, 11 h

that r' -• i f Sincc /> I-T it inip lics r' r \ r \ n i / - Ịí/|,.i.i' |.r|ơ •'

Sii lfi i i cnt V I hr piool is liiv ia l.

Now rnMMilci ine all I lie linear COIU’ 1 uen< cs r r , j p i c /, nil Ỉ /> we h ;iw

I { I I > ) f l i ' T I 1 - 1 } P|{,Tf I 1 ~ M / ’■ ;^ :,v ’x' { ' T ' I ; M '1°'^ ’" ’t

c Oil t Ml 11 :ill I 111' liikvir ' PIIL'I iil'IK l’s 'Ml [ lIu 'K -li'K ’ ;■(/.) - f i | ' \ ! > - / Ị'.

I 111 I S , ( r ị Ỉ ) ■ / ) ] , » ' - f l l ^ I I ' Z I } I> , i 0 / ( ; ■ ( / ) ) I ( T : ( ỉ I )

I lie I'lPi'l i1' compltMeil.

[11 s u iim ic ir v , wc have p in p o s o j tht' c o iv c p i f >r I i non I r ;u lia il 1(1 ) n| ;| b ilic o

! and s lu 1V\ • Ị í ho im poium l prnptf1i|\s of 1(1.):

I ) II / • I ' i'-: :i hom om orphism 1 ht-11 ' ( / ■ ( / ) ) / ■( ' ( / I)

’ 1 I <M :m u l'iln u v Inti ice L i t Ị I f I n

l ! i s W i ' i l h n K ' D l i c i i i i i y I h i l l i h c ^ c I ' K ' p t ' i i i c ^ l i t ' C o n n u h l o d n n ; i l i * P ' i i s l \ I ' l l l i ' K t

-ol I ;kIÍc;iIs ('! 1 iII

2.*> I ) c l ' i n i l i o n l l i c l a i l i c c l is c;i I lt'( I 1(1 lie I I ;u I |i;a I '111(1 r- S f m i s i m Ị ' l r i Í It I ) '

,U)(! ’ ị ỉ ) - \ I>’ SỊV'.''I i w l v I lie I'ln^s <i :i|| the I - so in i s i 111 p to ■■'lilt'd to

m odul.u I ;it I ices Here, fill' lalticss it is pat ticular that I ’ is 1-semi sim ple I ;i ^ ^ riie ie fn it ’ the clt\ssi Realion-prohlom is o f ititciest itself.

I Foi e xam p le , consider a nu itlu lfr hittiiv M As ill R xam p le 2.5, we s;nv thnl u I

is 1 - rad i c a I liittii-e O n the oi l i er hand, I lie" subl all ices o f M w h i c h are i s o m p i p h i r

to A / 1 pievt’ iil M from heiim ilis liib u iiv e Since M / r ( \ l ) is distributive, t'.’K'h Miblaliii_'<i isonioi])l)ic to \ l \ lo one ol t-qui valence classes o f | ( M) M;isc<l upon I In- above iviisnns ; I rn V 0 ;il lilt’ -itiKlv 111 I he p;ti I ii'iibir rii( H1 11 1 ;m lalliccs Inim ulnled in iht* inllcnvini! tlu'nrem.

.V I I h t 'O ic m Lei M h# a m< M11 ] (n I l:illk b which is not (lisli ihutive 1.01 A lx* a

M ibhittkv | | M such 1 licit:

I ) A is c o n v e x

A is I I niliciil.

M A ton I ;i i 11 s ;ill suM iini'VS ('I [VI whil h III’ ismiii'i |)hic lo W|.

I I l l ’ll I ( M ) has ('lit' cl ass L't ị 11 ;i I t o A 11H' o l h i'1 ' h i s s e s ( i f i h i ' v I ' x i s l ) ;uc (li^

tl il'llt iw

f ' l n o f w v I ;in ;isMinu' (hill \ / ' i f IM , ’.Vi' pn'vt.':

.1.2.1 A'HIHKI II h <- M \ 1 I lion ill M i h c f l exis1® ;i I w o cl nss ' ■ (1111! I Ill'll' V ni l ' '

( I;i ss (' I w 11 i < ■ 11 I ' n n l n i n s A , l l i e fit hoi c o n l n i n s h

r r n n f o f I e m m / I Foi h anti A we have ilig f o l l ' n v i n e u l l c i I i i i l i v v s :

( I ) -lí/ />.

(II) eilhoi ~ I I ('I “I" A I I : ■ /’.

h ) I f ] ( ■ — / ■ ( / ) ) 11 1 t h e n 'I <- I) <\ it i m p l i e s I h i t 1 !> — _ \ ( l i n e I ) n m ' ' ' M r , ( l ĩ

h u t il f t Mi l l ; ul i c l ^ t l i t ’ ; i s s u m | ’ l i o n I l i u s / ' ( / < ) N \ 0.

W c (Jennie In J I 111’ fam ily of <tll niter-; O'nuimint: /> bill mil ;mv i l l m a i l ol

A C o n sid e r J- w illi le lalinn L I 111 {/■, ị ' -T I } Ho n chnin (It) / it is oas\ In

i t r d t K V that ( J{ I ] I I / } J - D u e til / o m \ L e m m a , I he re exi st s a r n a x i m n l

I’ k'ment ('I } w hich we denote by r:

Wo '/I'lis u li’ i I 111' klcal ucncm tcJ b \ A ; t i:: t i n /( 1' { I \ l I ■ II til] |c»mo

Now, foi both eases ( h ami ( I I ) '.VC shi\ll p r m c that / u I M

1 W e suppose that 3c c \ l r ? ■/ u I F i i s l \ \ c pr o v e the asserti on:

( > ) '■'■ l ~ I I • <■ < T F

Indeed, if ' i j rz •/ 7 V f ? I l;ikc sublaltice K Generated h\ J ' ( 1 So K

consists ol elements iis <■ ) I r w ilh / - ./ Qenole / ơ \ Ị { r \ l I /■ < /

for so me /.' - K \ i! i m p l i e s I hit I / c , H I \ ) ;iikI l i l \ ) ["] /■' 0 T h i s c o n n ulicts the m a x i m a l i l y o f ) T h u s ( / ) is pr ov e d.

By d iK ililv we linve ihc sim ikn a s s o iI io n :

;ind p Bu! this conli íìtlicK 1 he file I dial ?/ -2 / and 1 'E r

Ill fi l i al , w e sec lh;il / L 1I M- T hi s m e a n 1; lhal I mi l l F f o r m ;i I wo- cl nss

0C|uiV’i)Icncc w h e r e e i t her A c .I II f7: I ill CỈ1SC ( I ) or }> f .1 A I ill ease

(II) Rccmisc .1 is ail i(le;il and r is a filler, il follows I ha t iliis ec] I li\M loncc* :i

1 h c K 'io ir llic \ ail.- (Jisii ihulive.

'liu* ptool of I hem cm i1' completed.

3.3.K t m;n k Il is w orlli iv m n ikin e lh;il liillices in iH'iKT.'il, ;uo not ( I r l i i h u l i w

I v c iiu s c ih cv 111 ;t \ conliiin not only s u M a llk ỉ’ ]!■> hut ÍI1 so A v Ỉ h c ii'in ic llu- (.■|;isM(u:;ition p m N c m c 1 iffiL'uh (see R \;im p le 2.5).

R E F E R E N C E S

i i ' i f -V A jze n cfe l i f f c o r v o f r a j k - i l1 f : 1 ’ : 1 < i J, : ì I - ; n

i ] i i ‘ .1!: h ii' t e r r i e s A m e r .1 M a i h 7(>I ]0 > ) J 1•"'

D i n l i I l y i n a 2 Cìi.i S\V r - {7- v Ị là l.ínli cliAl, x o a n I r o n g 11. M ồ i /i’ l { A)

gọi là t u ư n g d ắ i i Ị ' r - x o ắ n n ế u r , \ { R ) — /? /1 1 /í gọi là í ! (lại số ỉ x o ắ n n ế u

- C>A- M ỗ i / ỉ 63 ( ( 1 ) gọi là t u ơ n g ( l ni i g r - m ì n ( l o n 11PI1 í í \

.1 t il goi là l ì - d a i số ; - m V a (lcrn n ế u — A I-(V|) l ã t ( Ẳ ( ;í( t i i ( r ĩ ) f j

M ô n l i (l(ỉ 2 . 2 ;i) Nr.u l ỉ , s (: C ( / l ) , s C- l ỉ , và s VỚI l ì / s (- R.(r) t hi ỉ ỉ (r £ ( / ) ,

I)) Nếu l ỉ , s ( C( / \ ) , .s (_ l ị , Díì s vái l ỉ / s ( P { i ) t hi ỉ l P ( i )

VNU JOURNAL OF SCIENCE Nat Sci t x v , n ° l - 1999

O N L E N G T H F U N C T I O N S D E F I N E D B Y A ' S Y S T E M O F P A R A M E T E R S T N L O C A L R I N G S

We will nivp in Hi is note some basic proppities of the function 7/L/ (JX) in section

II B A S I C P R O P E R T I E S O F < u , J n )

T l n o u p ; h o n t t h i s n o f r WP r l c n o t p t i v M , m ) ;i c o m m u t a t i v e N o o t h e i i a n l o r n I t m n

wi t h f hr* m a x i m n i ui oal m a n d l i v M .1 f m i t p l v K o n r r n t p d A - m o ( i n | p '.vitli Hi m M — il !,i ’t

12

O n Lenqth F u n c t i o n s D r f ined hf) a Si/st m i •> t

a n d Q ] \ f ( T ị , I ) — r I / Ư Sn v.c l i a v f ’ ( l o u r foi t h e Cfisf’ (■/— ].

Foi il ' ] mi l l t h e iisst'i l i o n is t i i i f ' fot nil A - modul e' s o f d i m e n s i o n ^ (I l?v í ' m m ; i

loi ;\1IV f' I * '1 < I <' ỉ I ( n fr A / Si l Kf ' f ‘jV 1 Q m ( f >) c í I ) '■Ví’ r n II V'f'l if\ I li;i t t l i r m n p ' 1

(|(’ÍÌ|U'(| 1111(1 i! i'i m o r m m o i p h i p m S i n c r <f is f i urj ncl ÌVP a n d 'I7 is i u j f ' d i v r , w>' (ill

/Yw>/': In ! h<' r;isi' <1 I, In' l / ’inma 2.1, Wf' cnn ÍIRSIIIIK' Hint (lrpl.il j\ I 0 Since clcplli

M — <lim M iIkmi M is an A m o d u li' ( 'n lim [Vinr;mlnv l l n i c l L Qm { I-Ị, ;) I I — T ị ' ì\l nnrl

/ l ( A T O v ( - n » l ) ) - I a ( M / t " ' M ) - r i r ' I ' M ) n , r í , , / W )

T l i n f’ini■<’ 1M K, ( >11 ) - 0.

Ill I lie CÍISP (/ — 2 IIV I /'II nun 2 ] and I ,('1 IMII.'I 2.2 wil 1 Kill I ;uiy loss of 11 If (M n f ■ I ; 11 i I \

\v<> < an rissnnir llwil .'1 “ '1 L('f M ,, — h i / I ’Ị ft I , WI- (lim i\f, I Kni nit', p H H l i'c

inifMi-i II W(' SI'I ,r ( n) — (.;•?, 1*2 ) r ' ( v ) - [ i j ] Id I lf a s v s lr m of ; > n I ;UI|H I ' l ' (if 1/., I’til' i f is an <w;i( t scriMOiirc' f'f A - T1 If >f 111 If'S mid A liontmnoi pliisin