1 PPquynaptoanhoc baigiang

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I.. Vậy biểu thức 1 đúng.. Vậy biểu thức 2 đúng... Vậy biểu thức 1 đúng.. Vậy biểu thức 2 đúng... Vậy biểu thức 1 đúng.. Vậy biểu thức 2 đúng... Cứ như vậy,

-Lớp 11

Tài liệu bài giảng (Khóa toán 11)

01 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

I CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP

1. Để chứng minh một mệnh đề P n 

đúng với mọi n N� * thì ta thực hiện theo các bước sau:

 Kiềm tra mệnh đề đúng với n 1.

 Giả sử mệnh đề đúng với n k , đưa ra biểu thức của P k 

, ta gọi là giả thiết quy nạp

 Với giả thiết P k 

đã đúng, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n k  1.

2. Để chứng minh một mệnh đề P n 

đúng với mọi n�p, (plà một số tự nhiên) thì ta thực hiện như sau:

 Kiểm tra mệnh đề đúng với n p .

 Giả sử mệnh đề đã đúng với n k , đưa ra được biểu thức của P k 

, ta gọi là giả thiết quy nạp

 Với giả thiết P k 

đã đúng, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n k 1

II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Ví Dụ 1. Chứng minh các biểu thức sau đúng với mọi số tự nhiên n dương:

a)

 1

2

n n

    

b)

   

6

Lời giải

a)

 1

2

n n

    

 1 Với n1 thì ta có

1.2 1 2

 � 1

đúng

Giả sử  1

đúng với n k , khi đó ta có:

 1

2

k k

    

Ta chứng minh  1

đúng với n k 1, tức là 1 2 3  1  1  2

2

      

Thật vậy, 1 2 3  1 1 2 3   1  1 1

2

k k

 1 2 1 2

2



Vậy biểu thứ đúng với n k 1

-Lớp 11

b)

   

6

Với n 1 thì ta có 2 1.2.3  

6

đúng

Giả sử  2

đúng với n k , khi đó ta có

   

1 2 3

6

Ta chứng minh  2 đúng với n k  1, tức là

  2     

6

Thật vậy, 2 2 2 2  2  2 2 2 2  2

1      2 3 k k 1  1    2 3 k   k 1

 1 2  1  2

1 6

k

 

     2

6

6

6



 1  2 2  3

6



Vậy biểu thức  2

đúng

a) 1.2 2.5 3.8    n n3  1 n n2 1 với mọi n dương.

b) 3n  n2 4n5 với mọi số tự nhiên n� 3.

Lời giải

a) 1.2 2.5 3.8    n n3  1 n n2 1  1

Với n 1 thì ta có: 1.2 1 1 1 2  �  1 đúng

Giả sử  1

đúng với n k , khi đó ta có: 1.2 2.5 3.8    k k3  1 k k2 1

Ta chứng minh  1

đúng với n k  1, tức là

        2  1.2 2.5 3.8    k k3   1 k 1 3k  2 k 1 k2

Thật vậy, 1.2 2.5 3.8    k k3   1 k 1 3  k 2 k k2   1 k 1 3  k2

k 1 k2 3k 2

     k 1 k1 k2   2 

-Lớp 11

b) 3n  n2 4n5  2

với n 3 thì ta có 33  32 4.3 5 � 27 26 � 2

đúng

Giả sử  2

đúng với n k , khi đó ta có 3k  k2 4k5

Ta sẽ chứng minh  2

đúng với n k 1, tức là 1  2  

3k  k 1 4 k 1 5

Thật vậy, 3k 13 3 3k  k24k 5 3k212k 15 k22k 1 4k  1 5 2k26k5

             do 2k26k 5 0 k.

Do đó ta được 1  2  

3k  k 1 4 k 1 5

Vậy  2

đúng

BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1. Chứng minh rằng với  ��n *, ta có:

a) 2n 2n1,n�3  b) 2n2 2n5.

Câu 2. Chứng minh rằng với  ��n *, ta có:

b)

n



Câu 3. Chứng minh rằng với  ��n *, ta có:

a)

b) 1 1 1 13, 1 

Câu 4. Chứng minh rằng với  ��n *, ta có:

a)

 2

2

1 2

4

n n

1.4 2.7   n n3  1 n n1

Câu 5. Chứng minh rằng với  ��n *, ta có:

a) 1.2 2.3  1  1  2

3

b) 1.2 2.31 1  1 1 1.

n

Câu 6. Chứng minh rằng với  ��n *, ta có:

2

3

n n

b) 1 4 7 3 2 3 1

2

n n

Câu 7. Chứng minh rằng với  ��n *, ta có:

a) n311n chia hết cho 6 b) n33n25 chia hết cho 3.

-Lớp 11

c) n32n chia hết cho 3 d) 7.22n 232 1n chia hết cho 5.

Câu 8. Cho tổng S n 1.3 3.5 5.71  1  1   2n 1 2 1 n 1.

a) Tính S S S S1; ; ; 2 3 4

b) Hãy dự đoán công thức tính S n và chứng minh dự đoán đó bằng quy nạp

Đ/s: n 2 1

n S

n



 .

Bài 9: [ĐVH] Cho t ng ổ

1.5 5.9 9.13 (4 3)(4 1)

n

S

a) Tính S S S S1; ; ;2 3 4

b) Hãy d đoán công th c tính Sự ứ n và ch ng minh d đoán đó b ng quy n p.ứ ự ằ ạ

Đ/s: n 4 1

n

S

n



 .

Bài 10: [ĐVH] Dãy s ố  a n được cho nh sau ư a1 2,a n1 2a n,v i ớ n1, 2,

Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ n��*ta có: a n 2cos2n 1





L I GI I BÀI T P LUY N T P Ờ Ả Ậ Ệ Ậ Bài 1: [ĐVH] Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ n��*, ta có:

a) 2n  2n 1;n� 3  b) 2n2 2n5.

L i gi i: ờ ả

a) 2n  2n 1n� 3  1

+) V i ớ n3thì ta có 2 3   8 2.3 1  � 1 đúng.

+) Gi s ả ử  1 đúng v i ớ n k , khi đó ta có 2k  2k 1k � 3

+) Ta sẽ ch ng minh ứ  1 đúng v i ớ n k 1, t c là ứ 2k 1  2k   1 1 2k 3

Th t v y, ậ ậ 2k1  2.2k  2 2 k  1 4k  2 2k 3 �k 3

V y bi u th c ậ ể ứ  1 đúng

b) 2n2 2n5  2

+) V i ớ n1thì ta có 2 3   8 2.1 5  � 2 đúng.

+) Gi s ả ử  2 đúng v i ớ n k , khi đó ta có 2k2 2k5

+) Ta sẽ ch ng minhứ  2 đúng v i ớ n k 1, t c là ứ 2k3  2k   1 5 2k 7

Th t v y, ậ ậ 2k3 2.2k2 2 2 k 5 4k 10 2k  �7 k N*

V y bi u th c ậ ể ứ  2 đúng

Bài 2: [ĐVH] Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ n��*, ta có:

-Lớp 11

b)

n

 .

L i gi i: ờ ả

,  1 +) V i ớ n2thì ta có 2

đúng

+) Gi s ả ử  1 đúng v i ớ n k , khi đó ta có 2 2 2

+) Ta sẽ ch ng minh ứ  1 đúng v i ớ n k 1, t c là ứ 2 2 2  2





Th t v y,ậ ậ

V y bi u th c đã cho đúng v i ậ ể ứ ớ n k 1.

V y bi u th c ậ ể ứ  1 đúng

b) 1 3 2 1 1 2 

n



+) Với n1 thì ta có 1 1  2

2 5 �

đúng

+) Giả sử (2) đúng với n k , khi đó ta có

k

 .

+) Ta sẽ chứng minh (2) đúng với n k 1, tức là

 

k

 

Thật vậy,

 

Lại có:      2

2k1 2k 3 2k2 �

 

k

 

Vậy biểu thức (2) đúng

Lời giải:

Bài 3: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n��*, ta có:

a)

-Lớp 11

a)

(1) +) Với n1 thì ta có 1 2 1 đúng.

+) Giả sử (1) đúng với n k , khi đó ta có

+) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n k 1, tức là



Thật vậy,

Lại có

1

1

k

 Vậy nên biểu thức đã cho đúng với n k 1.

Vậy biểu thức (1) đúng

b)

+) Với n2 thì ta có 1 1 13  2

3 4 24�

đúng

+) Giả sử (2) đúng với n k , khi đó ta có

+) Ta sẽ chứng minh (2) đúng với n k 1, tức là

Thật vậy,

Vậy nên biểu thức đã cho đúng với n k 1.

Vậy biểu thức (2) đúng

Lời giải:

Bài 4: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n��*, ta có:

a)

 2

2

1 2

4

n n

   

1.4 2.7   n n3  1 n n1

-Lớp 11

a)

 2

2

1 2

4

n n

   

(1)

+) Với n1 thì ta có 1 1 22 2  1

4

đúng

+) Giả sử (1) đúng với n k , khi đó ta có 2 2

1 2

4

k k

+) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n k 1, tức là 3 3 3   3 1 2 22

4

Thật vậy, 3 3 3  3 2 1    2 3 2   2 22

Vậy biểu thức đã cho đúng với n k 1.

Vậy biểu thức (1) đúng

1.4 2.7   n n3  1 n n1 (2)

+) Với n1 thì ta có 1.4 1.2 2 � 2

đúng

+) Giả sử (2) đúng với n k , khi đó ta có    2

1.4 2.7   k k3  1 k k1 +) Ta sẽ chứng minh (2) đúng với n k 1, tức là

         2

1.4 2.7   k k3   1 k 1 3k  4 k 1 k2

Thật vậy,

1.4 2.7   k k3   1 k 1 3k 4 k k1  k 1 3k  4 k 1 k     k 3k 4 k 1 k2 Vậy biểu thức đã cho đúng với n k 1.

Vậy biểu thức (2) đúng

Lời giải:

a) 1.2 2.3  1  1  2

3

(1)

Bài 5: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n��*, ta có:

a) 1.2 2.3  1  1  2

3

b) 1.2 2.31 1  1 1 1

n

n1

-Lớp 11

+) Với n1 thì ta có 1.2 1.2.3  1

3

đúng

+) Giả sử (1) đúng với n k , khi đó ta có 1.2 2.3  1  1  2

3

+) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n k 1, tức là

       1  2  3

3

Thật vậy,        1  2      

 1  2  3

3

biểu thức đã cho đúng với n k 1. Vậy biểu thức (1) đúng

b) 1.2 2.31 1  1 1 1

n

  (2)

+) Với n1 thì ta có 1 1  2

1.2 �2

đúng

+) Giả sử (2) đúng với n k , khi đó ta có 1.2 2.31 1  1 1 1

k

+) Ta sẽ chứng minh (2) đúng với n k 1, tức là 1.2 2.31 1  1 1  1 1 2 12

k



Thật vậy, 1.2 2.31 1  1 1  1 1 2 1  1 1 2 11 12

k

k

 

 1  1 2 12

   biểu thức đã cho đúng với n k 1.

Vậy biểu thức (2) đúng

Lời giải:

Bài 6: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n��*, ta có:

2

3

n n

b) 1 4 7 3 2 3 1

2

n n

n1

-Lớp 11

a) Với n1; n2, bài toán đúng Giả sử bài toán đúng với n k thì

2

3

k k

Ta chứng minh đúng với n k 1

   2     2

Theo nguyên lý quy nạp thu được đpcm

b) Dễ thấy bài toán đúng với n1; n2.

Giả sử bài toán đúng với n k thì 1 4 7 3 2 3 1

2

k k

Ta chứng minh đúng với n k 1

Thật vậy     3 1 3 2 5 2  1 3  1 1

Theo nguyên lý quy nạp thu được đpcm

Lời giải:

a) Ta có n311n n  3 n 12n n n  1 n 1 12 n.

Rõ ràng n n 1 n1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 3 Cụ thể:

Bài 7: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n��*, ta có:

a) n311n chia hết cho 6 b) n3  3n2  5 chia hết cho 3

c) n3 2n chia hết cho 3 d) 7.2 2n 2  3 2n 1 chia hết cho 5.

-Lớp 11

Mặt khác trong 3 thừa số n n, 1, n2 tồn tại ít nhất một số chẵn 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên

tích đó chia hết cho 6 Do đó ta có đpcm

c) Ta có n3  2n n 3  n 3n n n   1 n  1 3n.

Rõ ràng n n  1 n 1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 3 Cụ thể

n k �n n n  k n n M

n k �n n n n k n M

n k �n n n  n n k M

Từ đó n3  2n n 3  n 3n n n   1 n  1 3nM 3.

d) Bài toán đúng với n1;n2 Giả sử bài toán đúng với n k thì n k � 7.2 2k 2  3 2k 1 M 5.

Tiếp tục chứng minh bài toán đúng với n k  1

n k  �          4.7.22k 29.32k 1 4 7.2 2k 232k 15.32k 1M5

Cứ như vậy, theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh

a) Tính S S S S 1; ; ;2 3 4

b) Hãy dự đoán công thức tính S và chứng minh dự đoán đó bằng quy nạp n

Lời giải

b) Dự đoán n 2 1

n S

n





Rõ ràng theo câu a dự đoán đúng với n1; 2;3; 4.

Giả sử bài toán đúng với n 1.3 3.5 5.71 1 1 2 1 2 1 1 2 1

k

n k S

Ta chứng minh điều này đúng với n k  Thật vậy 1

-Lớp 11

       

1

k

n k S



         

k k

Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh

Bài 9: Cho tổng S n  1.5 5.9 9.131  1  1   4n 3 4 1 n 1

a) Tính S S S S 1; ; ;2 3 4

b) Hãy dự đoán công thức tính S và chứng minh dự đoán đó bằng quy nạp n

Lời giải

b) Dự đoán n 4 1

n S

n





Rõ ràng theo câu a dự đoán đúng với n1; 2;3; 4.

Giả sử bài toán đúng với n 1.5 5.9 9.131 1 1 4 3 4 1 1 4 1

k

n k S

Ta chứng minh điều này đúng với n k  Thật vậy 1

1

k

n k S



         

k k

Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh

-Lớp 11

được cho như sau a1  2,a n1  2 a n n,  1, 2,

Chứng minh rằng với mọi n�� ta có: * 2cos 1

2





Lời giải

Xét bài toán đúng với n1;n2 Giả sử bài toán đúng với 2cos 1

2



Ta chứng minh bài toán đúng với n k  Thật vậy 1

2

Theo nguyên lý quy nạp ta được điều phải chứng minh