3 nguyen ham va tich phan

Tìm nguyên hàm bằng phơng pháp đổi biến số Cơ sở của phơng pháp đổi biến số là định lí sau: Định lí 1: Giả sử u = ux là một hàm số có đạo hàm liên tục trên I sao cho hàm số hợp f[ux] xác

Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng I Hàm số F(x) đợc gọi là

nguyên hàm của hàm số f(x) trên I nếu F'(x) = f(x) với mọi x

thuộc I

Định lí 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên

khoảng I Khi đó:

a Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).

b Ngợc lại, nếu G(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc I.

Kí hiệu �f(x)dx để chỉ họ tất cả các nguyên hàm của hàm sốf(x)

3 tính chất cơ bản của nguyên hàm

Định lí 3: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và G(x) là

một nguyên hàm của hàm số g(x) thì:

a �[f(x) g(x)]dx� = �f(x)dx  �g(x)dx = F(x)  G(x) + C.

b Với mọi số thực a  0:

af(x)dx

� = a�f(x)dx = a.F(x) + C

4 Tìm nguyên hàm bằng phơng pháp đổi biến số

Cơ sở của phơng pháp đổi biến số là định lí sau:

Định lí 1: Giả sử u = u(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên

I sao cho hàm số hợp f[u(x)] xác định trên I Khi đó, ta có:

Bớc 1: Chọn u = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho

thích hợp, rồi xác định x = (u) (nếu có thể)

Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phơng pháp lấynguyên hàm từng phần ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Biến đổi:

f(x)dx = f1(x).f2(x)dx

Bớc 2: Đặt:

1 2

Lu ý: Khi sử dụng phơng pháp lấy nguyên hàm từng phần để

tìm nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắcsau:

a Lựa chọn phép đặt dv sao cho v đợc xác định một cách

phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân Vì vậy,

Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên khoảng I và

a, b là hai số thuộc I (a < b) Diện tích S của hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hành và hai ờng thẳng x = a, x = b là S =

Định lí 2: Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên I và a, b, c là ba

số bất kì thuộc I Khi đó ta có:

Từ đó, chúng ta thấy có hai phơng pháp đổi biến:

Bớc 2: Lấy vi phân dx = ’(t)dt, giả sử ’(t) liên tục

Bớc 3: Ta lựa chọn một trong hai hớng:

đơn ánh để diễn tả kết quả hàm số của tthành hàm số của x)



Chó ý: §Ó minh ho¹ viÖc lùa chän mét trong hai híng trªn, ta cã

f (x).f (x)dx

Bíc 2: §Æt:

1 2

1 Lựa chọn phép đặt dv sao cho v đợc xác định mộtcách dễ dàng

Dạng 4: Tích phân I = eaxcos(bx) (hoặc

eaxsin(bx)) với a, b  0 khi đó đặt u =cos(bx) (hoặc u = sin(bx))

III Một số ứng dụng hình học của tích phân

1 Diện tích của hình tròn và của hình elíp

a Hình tròn bán kính R có diện tích S = R2

b Hình elíp (E): 22 22

b

ya

x

 = 1 có diện tích S = ab.

2 tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng cong

a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) (f(x) liên tục trên đoạn [a; b]), trục Ox và hai đờng thẳng x = a và x

a)(Oxsử

ảgivà)(Ox

Giả sử mặt phẳng ()  Ox và ()  Ox =

x (a  x  b) cắt T theo một thiết diện có

diện tích S(x) (là hàm số liên tục theo

biến x)

Khi đó, thể tích V của vật thể T đợc cho bởi công thức:

V = 

b a

dx)x(

2dx

b a

5 Thể tích khối nón và khối chóp, khối nón cụt và khối cầu

a Thể tích khối nón (khối chóp) có diện tích đáy bằng B và chiều cao h đợc cho bởi V =

3

1Bh

b Thể tích khối nón cụt (khối chóp cụt) có diện tích hai đáy là

B1, B2 và chiều cao h đợc cho bởi:

V = 3

1(B1 + B2 + B1.B2 )h

c Thể tích của khối cầu có bán kính R đợc cho bởi:

Dạng toán 1: Tìm nguyên hàm sử dụng bảng nguyên

hàm của một số hàm số thờng gặp và các tính chất cơ bản của nguyên hàm

Phơng pháp

Sử dụng:

Thí dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

học sinh ôn lại các công thức 1, 2, 3 trong bảngnguyên hàm

 Câu b) đợc trình bày theo hai cách với mục

đích yêu cầu các em học sinh đa ra lời đánhgiá Và rút ra nhận định rằng cách 2 luôn đợc u

không thể sử dụng cách 1

Với cách 2 các em học sinh có thể hiểu theo

2x 3x dxx

 ở câu b) ngoài việc thực hiện động tác táchbiểu thức ban đầu thành các toán tử nhỏ, chúng

ta còn sử dụng công thức:

du ln u C

Thí dụ 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a f(x) sin4x cos  x2 b ����2cos 3x 4sin2  3x2.sinx2���dx

� = ��2cos 3x 4sin2  3x2.sinx2��dx

� = � 1 cos6x 2cosx 2cos2x dx   

= x16sin6x 2sinx sin2x C   .



Nhận xét: Nh vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số

trên:

học sinh ôn lại các công thức 4.a và 4.b trongbảng nguyên hàm

biểu thức ban đầu thành các toán tử nhỏ (cụ thể

là phép hạ bậc và biến đổi tích thành tổng)

mà có thể xác định đợc nguyên hàm của chúngdựa vào bảng nguyên hàm

Thí dụ 4 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:



2x x x 2x x

2 2.2 3 3

dx4

học sinh ôn lại công thức 4.c trong bảng nguyênhàm Tuy nhiên, trớc đó chúng ta thực hiện thêm

động tác tách biểu thức ban đầu thành các toán

tử nhỏ

 Câu b) đợc đề xuất với mục đích giúp các emhọc sinh ôn lại công thức 4.d trong bảng nguyênhàm Tuy nhiên, trớc đó chúng ta thực hiện hai

động tác tách biểu thức ban đầu thành các toán

học sinh ôn lại các công thức 5.a và 5.b trongbảng nguyên hàm

biểu thức ban đầu thành các toán tử nhỏ

Cuối cùng, thông qua những thí dụ trên các em họcsinh cũng đã đợc làm quen với việc sử dụng cácphép biến đổi để làm xuất hiện những toán tử

mà có thể xác định đợc nguyên hàm của chúngdựa vào bảng nguyên hàm, ý tởng này sẽ đợc trìnhbày cụ thể trong dạng toán tiếp theo

§Ó t×m nguyªn hµm cña hµm sè y = f(x) b»ng ph¬ng ph¸pph©n tÝch, ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau:

Chó ý quan träng: §iÓm mÊu chèt lµ phÐp ph©n tÝch trong

b-íc 1, c¸c em häc sinh cã thÓ rót ra ý tëng cho riªng m×nh tõmét vµi minh ho¹ sau:

nh©n ®a thøc ta viÕt l¹i:

(x 1)(x 2)  =

(x 1) (x 2)(x 1)(x 2)

f(x) = x 1 x

(x 1) x

 

đổi tích thành tổng ta viết lại:

Cách 2: Ta biến đổi:

f(x)dx

� = (x  1)(x  2)dx = (x  1)[(x  1)  1]dx = [(x  1)2 (x  1)]dx

= [(x  1)2  (x  1)]d(x  1) = 1

3(x  1)3  1

2(x  1)2 +C

Nhận xét: Qua thí dụ trên chúng ta bắt đầu làm quen với việc

xác định nguyên hàm của các hàm đa thức bằng

 Cách 2 sử dụng đồng nhất thức x  2 = (x 1)  1 để biến đổi nguyên hàm về dạngtổng của các udu Tuy nhiên, các em họcsinh sẽ thấy ngay rằng cách giải này đợctrình bày chỉ mang tính minh họa bởi nóphức tạp hơn nhiều so với cách 1.

2 ở câu b) chúng ta có thể tổng quát với nguyênhàm:

I = x(ax + b)dx, với a  0bằng việc sử dụng đồng nhất thức:

1 ở câu a) chúng ta chỉ cần thực hiện phép chia

đa thức là đã biến đổi phân thức hữu tỉ ban

đầu thành tổng các nhân tử mà nguyên hàmcủa mỗi nhân tử đó có thể nhận đợc từ bảngnguyên hàm

Cách 1: (Phơng pháp đồng nhất hệ số): Đồng nhất

đẳng thức, ta đợc:

A B 02A B 1

Nhận xét: Để tìm nguyên hàm của các hàm số ở ví dụ trên

chúng ta đều sử dụng phép nhân liên hợp bậc hai,

cụ thể:

Tuy nhiên:

1 ở câu a) sau phép lấy liên hợp chúng ta nhận

đ-ợc ngay tổng các nhân tử mà nguyên hàm củamỗi nhân tử đó có thể nhận đợc từ bảngnguyên hàm

2 ở câu b) chúng ta cần thực hiện thêm việc táchhàm số nhận đợc thành hai hàm số nhỏ bởi cầntới hai dạng x dx

biến đổi tích thành tổng Các em học sinh hãynhớ lại:

sinx.siny = 12 [cos(x  y)  cos(x + y)]

sinx.cosy = 12 [sin(x + y) + sin(x  y)]

cosx.siny = 12 [sin(x + y)  sin(x  y)]

2 ở câu b) chúng ta sử dụng phép phântích dần và khi xuất hiện những hàm sinxhoặc cosx bậc cao chúng ta sử dụng công thứchạ bậc Các em học sinh hãy nhớ lại:

� = cos3xdx = cos2x.cosx.dx = (1  sin2x)cosx.dx

= cosx.dx  sin2x.d(sinx) = sinx  1

3sin3x + C.

b Sử dụng đồng nhất thức:

1 1 tanxcos x

đích cho các em học sinh thấy tính linh hoạttrong các phép biến đổi lợng giác của hàm số dớidấu tích phân

2 ở câu b) chúng ta có thể tổng quát với In =

cotndx (hoặc In = tanndx), với n  2

Thí dụ 6 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

e1

Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp đổi biến

Thí dụ 1 Tìm các nguyên hàm sau:

b Đặt u = 2sinx  3, suy ra du = 2cosx.dx  cosx.dx 1du



trên dấu hiệu thứ nhất trong bảng dấu hiệu

hợp với TS Lời giải này đợc đề xuất dựa trên nhậnxét đạo hàm của cos thì bằng sin ý tởng này đ-

ợc tiếp tục sử dụng trong câu d)

Thí dụ 2 Tìm các nguyên hàm sau:

a �x.sin(x 1)dx2 b �esinx.cosxcos2x.dx

 Giải

a Đặt u = x2  1, suy ra du = 2xdx  xdx = 1du

2

Từ đó:

cos u 

2 ở câu a) bằng việc lựa chọn ẩn phụ u x 1

chúng ta nhận đợc một nguyên hàm lợng giác, đểrồi sử dụng phơng pháp phân tích để tìm nó.Tiếp theo, chúng ta sẽ quan tâm tới việc lựa chọn

ẩn phụ đợc đề xuất dựa trên các dấu hiệu trongbảng dấu hiệu

Thí dụ 4 Tìm các nguyên hàm sau:

Nhận xét: Nh vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số

trên:

trong bảng dấu hiệu

khử đợc x trong hàm số cần tìm nguyênhàm

Các em học sinh có thể thấy ngay rằng độ phứctạp trong lời giải của hai cách này là nh nhau.Tuy nhiên, điều này đã thay đổi trong câu b)

trong bảng dấu hiệu

L = 2

2

2du

1 u2u

Nhận xét: Nh vậy, để tìm nguyên hàm trên chúng ta lựa

chọn phép đổi biến dựa trên đề xuất của dấu hiệuthứ ba trong bảng dấu hiệu

Tuy nhiên, do tính đặc thù của các hàm số lợng giácnên nếu biết vận dụng đúng các phép biến đổi l-ợng giác chúng ta có thể nhận đợc một lời giải đơngiản hơn, đó chính là các cách giải 2 và 3

Thí dụ 6 Tìm nguyên hàm sinx.cos x.dx32

1 cos x

 Giải

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Đặt t = 1 + cos2x, suy ra:

dt = 2sinx.cosx.dx  sinx.cosx.dx = 1

2dt.

Khi đó:

3 2

Cách 2: Đặt t = cos2x, suy ra:

dt = 2sinx.cosx.dx  sinx.cosx.dx = 1

2dt

Khi đó:

3 2

trong bảng dấu hiệu

1cos x.d(cos x)2

Nhận xét: Trong thí dụ trên ở câu a), chúng ta đã dùng tới

thể thực hiện đợc bài toán

Thí dụ 8 Tìm nguyên hàm dx2

x a

 Giải

Đặt t = x + x2a suy ra:

dt = (1 + 2x

x a )dx =

2 2

Nhận xét: Đây là ví dụ mở đầu minh hoạ phơng pháp lấy

nguyên hàm từng phần và hai câu hỏi đợc đặt ralà:

1 Câu 1 "Tại sao lại lựa chọn phơng pháp lấy nguyên

hàm từng phần ?", để trả lời câu hỏi này chúng ta

sử dụng nhận xét:

các hàm số thờng gặp, do đó cần nhữngphép phân tích để chuyển nó về dạng mộtbiểu thức chứa các hàm số có trong bảngnguyên hàm Tuy nhiên, với những phép phântích đại số thông thờng sẽ không thể thựchiện đợc yêu cầu trên bởi f(x) là một hàm

không thuần nhất (thơng của hàm đa thứcvới hàm lợng giác hoặc với hàm mũ và lôgarit).

cũng không thể thực hiện đợc bởi không cóphần tử trung gian chuyển đổi giữa hàm đathức và hàm lợng giác, hàm mũ và lôgarit

2 Câu 2 "Tại sao lại lựa chọn cách đặt u và dv nh

vậy ?", để trả lời câu hỏi này chúng ta sử dụng

phân tích mang tính chủ quan sau:

x

1x

1

thoả mãn "Phép đặt dv sao cho v đợc xác

định một cách dễ dàng" Tuy nhiên, sẽ có họcsinh đặt câu rằng trong trờng hợp trái lại (dv

= xdx) thì v cùng đợc xác định một cách dễ

2x )

bởi khi đó việc tính du trở nên phức tạp hơn

xác định một cách dễ dàng (vì v vẫn là hàmhợp)

Dạng 1: Tính I = �P(x)sin( x)dx hoặc �P(x)cos( x)dx với P là

ThÝ dô 2 T×m c¸c nguyªn hµm sau:

Bớc 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ " khử " đợc đa thức.

Thí dụ 3 Tìm các nguyên hàm sau:



� = 1

2x.e2x + 1  1 2x 1

e4

I = P(x)lnx 

1

I

P(x)dxx

�

14 2 43 .

Bớc 2: Nguyên hàm I1 đợc xác định bằng cách chia đa thức

Thí dụ 5 Tìm các nguyên hàm sau:

v sin(2x 1)2

v cos(2x 1)2

J = 1

2ex + 1.cos(2x+1) + 1 x 1

e cos(2x 1).dx2

 

2ex+1.cos(2x+1)+ 1

2I (2)

Thay (2) vào (1), ta đợc:

D¹ng to¸n 1: TÝnh tÝch ph©n sö dông c¸c tÝnh chÊt

cña tÝch ph©n vµ b¶ng nguyªn hµm cña mét

xx

2x

tÝch ph©n thµnh c¸c hµm sè nhá råi sö dôngc«ng thøc s½n

ThÝ dô 2 Hµm sè f(x) = a.sin x + b.cosx tho¶ m·n f(1) = 2

1 0

dx)x(

 Với 

1

0

dx)x(

Chú ý: Tính chất 3 thờng đợc sử dụng để tính tích phân

của hàm chứa dấu trị tuyệt đối

Thí dụ 4 Tính tích phân I =

2 2 2

( +  

1

1

2)dxx1

2

1

2 1)dxx

dấu tích phân và để thực hiện điều này chúng ta

trên [2; 2], từ đó sử dụng tính chất 3 để tách tíchphân ban đầu thành những tích phân nhỏ mà

Chú ý: Nếu hàm dới dấu tích phân là hàm cực trị nh Min(f, g, )

hoặc Max(f, g, ) khi đó cần thực hiện phépxét dấu hiệu các hàm

dx)2x

Chú ý: Nếu biết biết cách tận dụng ý nghĩa hình học của tích

phân, trong nhiều trờng hợp chúng ta có ngay đợc đáp

số của một tích phân tơng đối phức tạp

Thí dụ 7 Tính tích phân I = a a x dx

a

2 2

Khi đó:

I =

1

2 0

đã đợc trình bày trong chủ đề về nguyên hàm)

sin x dx4

biến đổi tích thành tổng Từ đó, nhận đợc giátrị của tích phân

 ở câu b) chúng ta chỉ cần sử dụng công thức hạbậc và công thức giữa hai góc hơn kém nhau

 ở câu a) việc sử dụng phép nhân liên hợp là

điều chúng ta đã đợc biết trong chủ đề vềnguyên hàm

về việc tính giá trị của một biểu thức lợng giác tại

thức đó trớc khi thay giá trị x0 vào

x (1 x ) dx

1

2 2 0

5xdx(x 4)

 Giải

a Đặt u = 1 + x4, suy ra du = 4x3dx

Đổi cận:

x 1 x dx

3

5 2 0

x 1 x dx

2 2 1

u du

� = 32

1

1u

1(1 x ) d(1 x )

= 2 3/2 3

0

1(1 x )

(u 1) u du

2

6 4 2 1

 Cách 1 và cách 2 đợc đề xuất dựa trên dấu hiệu thứhai trong bảng dấu hiệu ở chủ đề 2.

cách 2

Thí dụ 4 Tính tích phân I =

1 2x 0

1 x dx

2/ 3

2 2

I =

/6

2 0

Chó ý: a Trong lêi gi¶i trªn viÖc lùa chän miÒn gi¸ trÞ cho Èn

phô t phô thuéc vµo hai cËn cña tÝch ph©n

b Cũng có thể sử dụng phép đổi biến t = 1

2

dx1

x 1x



� = 3 / 2

2 1/ 2

x 1 x dx

1 2 0

I =

/4

2 2 0

dttant 1 tan t

d(cost)cos t



/4 3 0

13cos t

(1 tan t)dttan t 1

Dựa vào việc xem xét cận của tích phân và tính chất của hàm

số dới dấu tích phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ, thôngthờng:

x sinx.dx

1 2010 0

x sinx.dx

Xét tính phân J =

0 2010 1

1 0

2004 sin t dt

1 0

cos tdt



2 3 0

Nhận xét: Với tích phân trong a), các em học sinh cha có kinh

nghiệm thờng suy nghĩ theo hai hớng sau:

Hớng 1: Sử dụng phơng pháp tích phân từng

đó ta cần thực hiện 2010 lần tích phân

từng phần và điều đó đơng nhiên khôngthực tế.

Hớng 2: Sử dụng phơng pháp tích phân từng phần

cho công thức tổng quát

1 n 1

x sinxdx

bằng phơng pháp truy hồi nhận đợc kếtquả

Thí dụ 3 Tính các tích phân sau:

a I =

1

2 0

xln(1 x )dx

1 2 0

1 x1

xdxcos x

Ngoài ra I2 = 21x2

1

0 = 21.(3)

Thay (2), (3) vào (1) ta đợc I = tan1 + ln(cos1)1

2.

Thí dụ 4 Tính tích phân I = x

1

x e 0

e dx

 Giải

Viết lại I dới dạng:

1

x e 0

 2 0

x2cos

dx.x2sin2du

.Khi đó:

I2 = ex cos2x 1

0 + 2    

1 2

I

1 0

xsin2 xdxe

x2sin

xdx2cos2du

,

) = 3

1e

x2cosu

xdx2sin2du

.Khi đó:

J = excos2x + 2exsin2xdx

x2sinu

xdx2cos2du

.Khi đó:

K = exsin2x2excos2xdx = exsin2x2J

(3)Thay (3) vào (2), ta đợc:

J = excos2x + 2( exsin2x2J)  J =

5

1(cos2x + 2sin2x)ex + C.(4)

2

1)bc

10/1b

2/1a

.Vậy, ta có:

2 / 2

Đ3 ứ ng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Dạng toán 1: Tính diện tích hình phẳng dạng 1

Phơng pháp

Với yêu cầu "Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số y = f(x) (liên tục trên đoạn [a; b]), trục hoành và hai đờng thẳng x = a, x = b và trục Ox"

Bớc 2: Xét dấu biểu thức f(x) trên [a; b].

Từ đó phân đợc đoạn [a; b] thành các đoạn nhỏ, giảsử:

[a; b] = [a; c1][c1; c2]  [ck; b]

mà trên mỗi đoạn f(x) chỉ có một dấu