05 HHKG

Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC được xác định bởi công thức  2 2 2 2 ; O ABC Các bài toán khoảng cách khác nếu xuất hiện tam diện vuông ta có thể áp dụng công thức trên tín

Vấn đề 3: TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Cho hình chóp OABC là tam diện vuông tại O Khi đó khoảng cách từ O đến

mặt phẳng ABC được xác định bởi công thức  2 2 2 2

;

O ABC

Các bài toán khoảng cách khác nếu xuất hiện tam diện vuông ta có thể áp dụng

công thức trên tính khoảng cách rồi sử dụng thêm công thức tính tỉ số khoảng

cách để tính khoảng cách cần tìm.

MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐẶC BIỆT

Dạng 1 : Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng

SAB SBC ,  ,SAC vuông góc với nhau từng đôi một, diện 

tích các tam giác SAB SBC SAC lần lượt là, , S S S 1 2 3, ,

Khi đó: 1 2 3

.

2 3

S ABC

S S S

Chứng minh:

Đặt SA a SB b SC c ,  ,  Suy ra

S  ab S  bc S  ca

2 2 2

V  abc

1 2 3

2

2

ab bc ca

S S S

Ví dụ 1 Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng SAB SBC ,  ,SAC vuông góc 

với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB SBC SAC, , lần lượt là

15 ,20 ,18a a a Thể tích khối chóp là:

A.20 3a 3 B.

3 20 3

2

6

a

.

2

20 3 3

S ABC

S S S

�Chọn đáp án A

Ví dụ 2 Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng SAB SBC ,  ,SAC vuông góc 

với nhau từng đôi một Diện tích các tam giác SAB SBC SAC, , lần lượt là

 2    2    2

2a cm ; 2a cm ; 4a cm

Thể tích lớn nhất có thể của khối chóp là:

A.a3 20 B.

3 20 3

2

6

a

Giải: Ta có: S. 2.2 (2 ).(4 )

3

ABC



Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:

3 S.

2 (2 ) (4 ) 2

ABC

V

   

Vậy Thể tích lớn nhất có thể của khối chóp là4 3

3 cm

�Chọn đáp án A

Dạng 2 : Cho hình chóp SABC có SA vuông góc vớiABC , 

hai mặt phẳng SAB và  SBC vuông góc với nhau,

BSC ASB 

Khi đó: . 3.sin2 tan

12

S ABC SB

Chứng minh:

.cos

SA SB 

SAB và  SBC vuông góc với nhau

Nên BC vuông góc SAB 

Tam giác SBC vuông tại B nên

2

ABC

BC SB �SV  SB BC SB 

Kẻ AK vuông góc SB Lúc này SK sẽ là khoảng cách từ A đến SBC Do AK 

vuông góc BC và SB

Ta có: AK SA sin SB.sin cos 

sin2 2

SB



Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc vớiABC , hai mặt phẳng  SAB

và SBC vuông góc với nhau, SB a 3,BSC� 45 , �ASB30 Thể tích khối chóp

S ABC là:

A.33

8

2

6

a

.

3

3 3 .1

S ABC

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc vớiABC , hai mặt phẳng  SAB

và SBC vuông góc với nhau,  SB6 cm BSC,� 45

Tìm góc �ASC để thể tích khối chóp S ABC là 9 cm : 3

A 15 B 45 C 75 D Cả A và C Giải: Ta có:

.

15

S ABC SB V











� 

�

� 

�

�Chọn đáp án A

Dạng 3 : Cho hình chóp đều S ABC có đáy ABC là tam giác

đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

Khi đó: 2 2 2

.

3 12

S ABC

Chứng minh:

AG AM a a

b a

SG b �� a�� 

2 1 1 3 . . 3 3

Ví dụ 1 Cho hình chóp đều S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh

bên bằng 2a Thể tích khối chóp S ABC là:

A 2 11

2

12

10

12

a

2 2 2

3 12

S ABC

2

2

12

S ABC a

a b �V 

�Chọn đáp án D.

Ví dụ 2 Người ta làm một cái hộp hình chóp đều có đáy

là tam giác đều cạnh bằnga m , cạnh bên bằng  4 m  

Thể tích lớn nhất có thể của hộp là:

8

Giải: Ta có: 2 32 2 2 12 2

Đặt    2 2

.

12

12

S ABC

t t

Xét hàm số f t  12t t2 � f t'  12 3 t2 suy ra f t'  0�t�2

max max

16 4 2

12 3

�Chọn đáp án B.

Dạng 4 : Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy

bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 

Khi đó: . 3tan

24

S ABC a

Chứng minh:

3 tan 6

SG a 

2

S ABC

3tan

24



Ví dụ Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với

mặt phẳng đáy góc 60 Thể tích khối chóp S ABC là:

A 3 3

48

24

24

12

a

.

S ABC

�Chọn đáp án C

Dạng 5 : Cho hình chóp tam giác đều S ABC có các cạnh

bên bằng bvà cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 

Khi đó: . 3 sin cos3 2

4

S ABC

b

Chứng minh:

sin

SG b 

3 3 .cos

AM AG b 

3 .cos

BC b 

�

2 2

3 3 cos 4

ABC

3 2 3 sin cos

4

�

Ví dụ 1 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có các cạnh bên bằng 2avà cạnh bên

tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Khi đó:

A.1 3

3 1

3 3

3 3

4a

3

3 2 sin60 cos 60 3

S ABC

a

� Chọn đáp án D

Ví dụ 2 Người ta làm một cái hộp hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng

 

a m và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Tìm a để thể tích khối chóp là

 3

6 m ?

3 sin cos 3 sin60 cos 60

S ABC

�Chọn đáp án A

Ví dụ 3 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có các cạnh bên bằng 4và cạnh bên

tạo với mặt phẳng đáy góc  Thể tích lớn nhất có thể của khối chóp S ABC là:

A.32

3

.

3.4 sin cos

16 3sin cos 4

S ABC

. sin t�cos  1 t �V S ABC16 3 1t t

Xét hàm số f t  t 1t2 � f t'  1 3t2 suy ra '  0 1

3

f t  �t �

max

3

�Chọn đáp án A

Dạng 6 : Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh bằng a, và SA SB SC SD b    Khi đó:

6

Chứng minh:

2

2

a

SO SA OA  b 

2

2 2

1

S ABCD

a

2 42 22 6

a b  a



Ví dụ 1 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a, và SA SB SC SD    2a Thể tích khối chóp S ABCD là:

A 3 6

6

2

6

3

a

.

S ABCD

� Chọn đáp án C

Ví dụ 2 Người ta làm một cái hộp hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và SA SB SC SD    3 Thể tích lớn nhất có thể của khối chóp S ABCD là:

8

Giải: Ta có: . 2 42 22 2 12 22

.

12

12

S ABC

t t

Xét hàm số f t  12t t2 � f t'  12 3 t2 suy ra f t'  0�t�2

max 16 4

2 16 max 2 ; 2 ; 0 ; 12

12 3

�Chọn đáp án B.

Cho hình chóp tam giác đều S ABC có các cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt

phẳng đáy góc 

Khi đó . 3tan

12

S ABC a

Câu 6 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng 6 cm và cạnh bên  

tạo với mặt phẳng đáy góc Tìm  để thể tích khối chóp S ABC là 9 3 cm 3

28

Giải: Ta có: . 3tan 6 tan3 9 3 tan 3 60

S ABC a

�Chọn đáp án C