LAN 1 VIP HH c2

Gọi H là hình chiếu của B lên tia , khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng... Đặt , ,b a h lần lượt là bán kính đ

TA NHẬN BIẾT MỨC ĐỘ THÔNG QUA MÀU QUY ƯỚC.

Chủ đề: MẶT NÓN-MẶT CẦU-MẶT TRỤ Câu 1: MÀU NHẬN BIẾT

Câu 1: MÀU THÔNG HIỂU

Câu 1: MÀU VẬN DỤNG THÂP

Câu 1: MÀU VẬN DỤNG CAO

BÀI 1: MẶT NÓN Dạng 1: Dạng cơ bản.

Câu 2: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h15cm và đường sinh l25cm Thể tích V của khối nón

- Phương pháp:

Thể tích khối nón tròn xoay

2

13

V  r h

Trong đó r là bán kính đáy, h là chiều cao.

Mối quan hệ giữa các đại lượng h,r,l trong hình nón là l h2r2

- Cách giải: Bán kính đáy của hình nón là r l2 h2  252152 20

- Phương pháp:

Thể tích khối nón tròn xoay

2

13

V  r h

Trong đó r là bán kính đáy, h là chiều cao

Mối quan hệ giữa các đại lượng h,r,l trong hình nón là l h2r2

- Cách giải: Bán kính đáy của hình nón là r l2 h2  252152 20

Giả sử thiết diện của mặt phẳng đi qua trục của hình nón với hình nón là tam giác ABC , theo giả thuyết bài toán, ta có ABC là tam giác đều cạnh 2a Do đó hình nón có

Bán kính đáy R a

Độ dài đường sinh lAC2a

Diện tích xung quanh cần tìm S xq Rl .2a a2a2

Câu 5: Một hình nón có tỉ lệ giữa đường sinh và bán kính đáy bằng 2 Góc ở đỉnh của hình nón bằng

A 120 B 30 C 150 D 60

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 6: Cho khối  N

có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15 Tính thể tích V của khối

A V 12 B V 20 C V 36 D V 60.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Gọi l là đường sinh của hình nón, ta có l R2h2

Diện tích xung quanh của hình nón là 15 , suy ra 15 Rl15 3 3 2h2  h4

Thể tích khối nón là

.3 4 123

13

V  R h   

(đvtt)

Câu 7: Cho hình nón tròn xoay có đường cao h40cm, bán kính đáy r50cm Một thiết diện đi qua

đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 24cm Tính

diện tích của thiết diện

Gọi J là trung điểm của AB

của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A B C D    và đáy là hình tròn

nội tiếp hình vuông ABCD là:

A

2

174

- Phương pháp: Diện tích xung quanh của hình nón là S xq rl

( trong đó r là bán kính đáy, l là

độ dài đường sinh)

Mối quan hệ của các đại lượng l,r,h là l  h2r2

- Cách giải: Dựa vào giả thiết ta có bán kính đáy hình nón là bán kính đường tròn nội tiếp hình

vuông nên 2

a

r 

Chiều cao hình nón là khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABCD nên h2a

Độ dài đường sinh hình nón là

Dạng 2: Thiết diện qua trục.

Dạng 3: Khối nón sinh bởi tam giác quay quanh trục.

Câu 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a ,vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax

một đoạn bằng a Gọi H là hình chiếu của B lên tia , khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì

đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng

Câu 4: Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ Chiều cao của chiếc cốc là 20 cm , bán

kính đáy cốc là 4cm , bán kính miệng cốc là 5cm Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B Quãng đường ngắn

nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây?

A 59,98cm B 59,93cm C 58,67 cm D 58,80 cm .

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt , ,b a h lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như trên

hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của mộtkhuyên với cung nhỏ BB" 4 b và cung lớn AA" 4 a

Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA” Áp dụng định lí hàm sốcosin ta được:

là BA” nằm dưới tiếp tuyến của BB tại B Điều này tương đương với

Câu 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF

Hướng dẫn giải Chọn A

Dạng 4: Các bài toán ứng dụng thực tế liên quan mặt nón.

Câu 5: Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay  H

Câu 6: Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình

vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay

mô hình trên xung quanh trục XY.

.C

 

125 5 4 224

D

 

125 2 24

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

 Cách 1 :

Y X

Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông ABCD là

24

V V V V   

Câu 7: Một cái phễu có dạng hình nón Người ta đổ một lượng nước

vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng

13

chiều cao của phễu Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược

phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu ? Biết rằng

chiều cao của phễu là 15cm

A 0 188, cm . B 0 216, cm.

C 0 3, cm 

D 0 5, cm 

.Hướng dẫn giải

- Phương pháp: Tính thể tích của phần hình nón không chứa nước, từ đó suy ra chiều cao h',chiều cao của nước bằng chiều cao phễu trừ đi h'

Công thức thể tích khối nón:

2

13

V  R h

- Cách giải:

Gọi bán kính đáy phễu là R , chiều cao phễu là h15cm

, do chiều cao nước trong phễu ban đầubằng

Câu 2: Cho một khối trụ có độ dài đường sinh là l và bán kính đường tròn đáy là r Diện tích toàn phần

Câu 9: Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8cm , bán kính đường tròn đáy bằng 6cm Cắt khối trụ bởi một

mặt phẳng song song với trục và cách trục 4cm Diện tích của thiết diện được tạo thành là :

Câu 10:Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao 12cm ,

đường kính đáy 4cm , lượng nước trong cốc cao 8cm Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính 2cm Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ

số thập phân, bỏ qua độ dày của cốc)

A 2, 67cm B 2, 75cm C 2, 25cm D 2,33cm

Hướng dẫn giải Chọn A

Lượng nước dâng lên chính là tổng thể tích của 4 viên bi thả vào bằng

3

44

3

cm3

.Chiều cao của phần nước dâng lên là h thỏa mãn: d 163 r h2 d

d

h 

.Vậy nước dâng cao cách mép cốc là

Dạng 6: Thiết diện qua trục.

Câu 11:Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt 5cm, 13cm, 12cm Một hình

trụ có chiều cao bằng 8cm ngoại tiếp lăng trụ đã cho có thể tích bằng

2

13.8 3382

A O

O'

A'

B'

Câu 12:Hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 10 a Thể tích của khối trụ đã

cho bằng

A 5a3. B a3. C 3a3. D 4a3.

Hướng dẫn giải Chọn C

Thiết diện qua trục là 1 hình chữ nhật

Giả sử chiều cao của khối trụ là b

Theo đề ra 2 2 a b  10a b3 a

Thể tích khối trụ là V S h. a2.3a3a3

Câu 8: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối  H

như hình vẽ bên Biết rằng thiết diện là một hình elip có độ dài

trục lớn bằng 10, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần

mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt

đáy lần lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích của  H

Đường kính đáy của khối trụ là 102 62 8

Bán kính đáy của khối trụ là R 4

Câu 9: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có độ dài cạnh

đáy bằng a và chiều cao bằng h Tính thể tích V của khối trụ

ngoại tiếp lăng trụ đã cho

Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đáy củalăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ

a b

Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng

33

a

Vậy thể tích của khối trụ cần

tìm là

2 2

3

Dạng 7: Các bài toán ứng dụng thực tế liên quan mặt trụ.

Câu 10: Một thùng chứa hình trụ kín, có thể tích 5000m Vật liệu để làm hai đáy có giá 3 250000 / m , vật 2

liệu làm phần còn lại có giá 400000 / m Để chi phí thấp nhất, chiều cao h và bán kính đáy của 2

thùng chứa là:

A.

3 3

25,10 4

h



Câu 11: Gọi  H

là phần giao của hai khối

1

4 hình trụ có bánkính a, hai trục hình trụ vuông góc với nhau Xem



H

a V

B  

3

34



H

a V

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A

Ta gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ Khi đó phần giao  H là một vật thể có đáy là một phần tư

hình tròn tâm O bán kính a , thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình vuông

Hướng dẫn giải Chọn A

Khi quay quanh trục DF, tam giác AEF tạo ra một hình nón có thể tích

2

3 2

Câu 12: Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích 150 m3 Đáy bể làm bằng bê tông giá 100 000 /đ m2 Phần

thân làm bằng tôn giá 90000 /đ m2, nắp bằng nhôm giá 120000 /đ m2 Hỏi khi chi phí sản suất để

bể đạt mức thấp nhất thì tỷ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu?

Câu 4: Cho mặt cầu có diện tích là 72cm2

Bán kính R của khối cầu là:

- Phương pháp: Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu

O O

A

R 

92

R 

.Hướng dẫn giải

a

 Khi đó, bán kính mặt cầu bằng

A.

63

a

33

a

62

a

23

Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a Tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp

khối chóp và thể tích khối cầu nội tiếp khối chóp bằng:

O S

B

S

D C

A O

B J

N M

J H I

C

B A

a

R 

là bán kính mặt cầu ngoại tiếp

+) Kí hiệu M N lần lượt là trung điểm ,, AB CD ; J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMN Do

Câu 14: Cho một mặt cầu bán kính bằng 1 Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên Hỏi thể

tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu?

1

2

1212

Dạng 10: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.

Câu 15:Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có AB a , AD2a và AA 2a Tính bán kính R của

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C 

A R3a B

34

a

R 

32

a

R 

D R2a.

Câu 16:Cho hình chóp S ABC có SAABC

; SA a  đáy ABC là tam giác vuông tại B, BAC   và 60

a

 B Tâm của  S

là trung điểm SC

C  S

có bán kính

22

a

D Thể tích khối cầu là

3

23

a



Hướng dẫn giải:

Chọn A

N M S

B

Gọi ,N M lần lượt là trung điểm của AC SC ;

ABC là tam giác vuông tại B, BAC  60o và 2

a

AB 

nên : NA NB NC  ;

22

NM là đương trung bình của tam giác SAC nên

Câu 17:Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy là tam giác vuông tại A, AB2a 3 Đường chéo

BC tạo với mặt phẳng AA C C   một góc bằng 60 Gọi  S là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ

đã cho Bán kính của mặt cầu  S

Gọi M là trung điểm BC , I là trung điểm BC Khi đó, IM là trục của đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC Mặt khác, IB IC IB  ICIA Do đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,ABC 1200, tam giác SAB đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Hướng dẫn giải Chọn: C

d

a

120°

I M

    nên D là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Gọi M là trung điểm của AB , G là trọng tâm của SAB

Qua D kẻ d (ABCD), và qua G kẻ d (SAB)

Dạng 11: Các bài toán ứng dụng thực tế liên quan mặt cầu.

Câu 16: Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao Người ta đặt quả bóng lên chiếc

chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng

Gọi r là bán kính quả bóng, 1 r là bán kính chiếc chén, h là chiều cao chiếc chén.2

Theo giả thiết ta có h2r1 r12h và

16

V B hr h h 1

2

8.9

V V

r1=

O

Câu 17: Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn

được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:

Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:

3 3 3

3 1

d d V

Câu 18: Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ vào đó 2016 quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ

bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao hình trụ bằng 2016 lần đường kính của quả banh

Gọi V1

là tổng thể tích của 2016 quả banh và V2

là thể tích của khối trụ Tính tỉ số

1 2

V

V ?

A

1 2

13

V

1 2

23

V

1 2

12

V  r

Khối trụ có chiều cao h , bán kính đáy r có thể tích V r h2

- Cách giải: Gọi bán kính quả banh tennis là r , theo giả thiết ta có bán kính đáy của hình trụ là r ,

chiều cao của hình trụ là 2016 2 .r

Thể tích của 2016 quả banh là

3 1

420163

V  . r

Thể tích của khối trụ là V2 r 2 2016 2 r

Tỉ số

3 1

3 2

Chọn D

Ta có đường cao hình nón

32