tài liệu giảng dạy toán lớp 10 phương pháp toạ độ

Nội dung chính của phương pháp là: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxy thích hợp Ta có: Ox Oy vuông góc từng đôi một.. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta , ưu tiên chọ

Tài liệu giảng dạy lớp 10 Toán 2010-2011

I Giới thiệu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho :

v =x i+y j Û =v x y

OM =x i +y j =M x y

uuuur r ur

Với : aur=( ;a a1 2)

và bur=( ;b b1 2)

, ta có :

· a.b= a.b.cos(a,b)

· a br r =a b1 1+a b2 2

ar = a +a

· aur ur^ Ûb a bur ur = Û0 a b1 1+a b2 2 =0

· aur

cùng phương 1 2

0

ur

II Các bước giải toán

Các bài toán hình học phẳng ngoài cách giải bằng phương pháp tổng hợp đã biết ở cấp hai, chúng ta còn có thể dùng phương pháp tọa để giải Nội dung chính của phương pháp là:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ ( Oxy ) thích hợp

Ta có: Ox Oy vuông góc từng đôi một Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ,

ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ

Bước 2: Chuyển các giả thiết, kết luận từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ

Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ

Bước 4: Chuyển kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang hình học

III Một số bài toán minh họa

Bài 1 (HS)Cho hình vuông ABCD cạnh a, M, N lần lược là trung điểm DC và CB

Chứng minh AM ^ DN

Solution:

Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( như hình vẽ)

Trong hệ toạ độ này D(0;0); A(0;a); C(a;0);B(a;a)

Khi đó ; 0

2

a

è ø, ;2

a

N aæ ö

; ; ;

AM DN = a-a =

uuuur uuur

hay AM^DN

Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, các cạnh góc vuông là b và c, M là một điểm trên cạnh

BC sao cho ·BAM = Chứng minh a

.cos sin

bc AM

=

Solution:

C M

Chọn hệ trục Oxy: A( ) ( ) ( ) ( )0;0 ,B b;0 ,C 0;c M x y , ;

Từ định nghĩa: x=AM.cos ,a y=AM.sina Do MÎBC nên CMuuuur

cùng phương BCuuur

.cos sin

ABC AMC BMC

SD = b c=S +SD = b AM a+c AM a

Bài 3 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D là trung điểm BC, E là hình chiếu của D trên CA và F là

trung điểm DE Chứng minh rằng AF^ BE

Solution:

F E

D B

C A

Solution:

Chọn hệ trục Oxy: D( ) (0; 0 ,B -1; 0 ,) ( ) ( )C 1; 0 ,A 0;a

Phương trình đường thẳng AC: x y 1 ax y a 0

a

Phương trình DE: x-ay= Tọa độ E là nghiệm hệ: 0

Ta có:

BE AF

uuur uuur

Bài 4 Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R M là một điểm tùy ý

trên (O) Chứng minh MA2+MB2+MC2 =2a2

Solution:

Chọn hệ trục Oxy:

2

2

3

3

a

+ + = + +ç - ÷ +çç - ÷÷ +ç - ÷ +çç + ÷÷

Bài 5 (HSG năm 1979)

Điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC Chứng minh giá trị 4 4 4

MA +MB +MC

không phụ thuộc vị trí M

Solution:

Gọi I, R là tâm và bán kính của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác đều ABC

2 2

2

2

2

Vậy MA4+MB4+MC4 không phụ thuộc vị trí M

Bài 6 England League Shortlist 1983

Cho tam giác ABC Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC D là trung điểm AB và E là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh nếu AB = AC thì IE ^CD

Solution:

I E D

O

A

Gọi O là trung điểm BC Chọn hệ trục Oxy:

( ) ( ) (0; 0 , 0; , ; 0 ,) ( ); 0 , ; , ;

( ) ( )( )

0

y

-^

uuur uuur

uur uuur

3

uur uuur

Vậy IE^CD

Bài 7 (Bungari League 1981)

Đường phân giác trong và ngoài của góc C trong tam giác ABC cắt AB ở L và M Chứng minh nếu

CL = CM thì AC2+BC2 =4R2 ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC )

Solution:

Gọi O là trung điểm của LM

O L

C

A

B

M

Chọn hệ trục Oxy: O( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0; 0 ,A a; 0 ,B b; 0 ,C 0;c ,L c; 0 ,M -c; 0)

( )

2

c a

+

a

2

; 0

c B a

2

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

( )

2 2

a

x c

y c a

ï

=

î Vậy

Từ (1) và (2), suy ra: 2 2 2

4

AC +BC = R

Bài 8 IMO Shortlist 23rd

Trên các đường chéo AC và CE của lục giác đều ABCDEF, ta lấy hai điểm M và N sao cho

k

AC = CE = Biết B, M, N thẳng hàng Tìm k

Solution:

F B

C

A

D M

Đặt 2R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCDEF Chọn hệ trục:

( )0; 0 , ( ; 3 ) (, 0; 2 3 ) (, 3 ; 3 ), (0; ) ( ) (, ; , 2 ; 0 , 3) 2 3

2

x

y

-= ï ì

-î

uuuur uuuur

uuur uuur

Vậy

;

N

2

2 3

3

AM

k

AC

3R< <m 2 3RÞ m+R < 2 3 1+ R Þ -m -2Rm+ 2 3 R > 0

Bài 9 (APMO 1998) Cho tam giác ABC với đường cao AD, d là một đường thẳng đi qua D Lấy E,F Îd , khác D, sao cho AE^ BE, AF ^ CF Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BC, EF Chứng minh rằng AN^ MN

Solution:

N E

M

F D

A

B

C

Chọn A làm gốc tọa độ, trục hoành chứa đường thẳng qua A song song với d

Giả sử D(d;a), E(e;a), F(f;a) Þ ;

2

e f

Næ + aö

Khi đó, đường thẳng AE có phương trình ax - ey = 0

Đường thẳng AD có phương trình ax - dy = 0

Đường thẳng AF có phương trình ax - fy = 0

Từ đó, do BE^ EA nên BE có phương trình ex ay+ - 2 2

e - =0 a

Do CF^ AF nên CF có phương trình fx + ay - 2 2

0

f -a =

Do BC ^ AD nên BC có phương trình 2 2

0

dx+ay-d -a =

Từ đó, tìm được B d e a; de ,C d f a; df

;

a

điều phải chứng minh

Nhận xét: Việc chọn hệ tọa độ sao cho B,C trên trục hoành, A,D trên trục tung là hoàn toàn hợp lý

Tuy nhiên chúng ta sẽ gặp khó khăn khi tìm tọa độ E,F Cũng vậy, nếu chọn A làm gốc, trục hoành song song với BC, thì phương trình của AE, AF đã có thể tìm được ngay, nhưng còn khó khăn khi xác định sự thẳng hàng của E, D, F Bởi vậy, việc chọn hệ tọa độ như trong lời giải nêu trên là thích hợp nhất

Bài 10 Cho hình vuông ABCD E, F là các điểm xác định bởi 1 , 1

BE = BC CF = - CD

uuur uuur uuur uuur

, AE cắt

BF tại I Chứng minh · 0

90

AIC=

Solution:

Giả sử cạnh hình vuông có độ dài bằng 1 Gắn hệ trục (Oxy) sao cho D( ) ( ) ( )0; 0 ,C 1; 0 ,D 0;1

1; , ; 0 , 1;1

Eæ ö Fæ ö B

Phương trình đường thẳng AE x: +3y- =3 0,BF: 2x+ - = y 3 0

Tọa độ I là nghiệm hệ: 3 3 6 3; 6; 2 , 1 3;

x y

î

Khi đó: uur uurAI CI = Þ0 uur uurAI ^CI

Vậy ·AIC =900

Bài 11 (IMO 2000) Cho hai đường tròn (O1);( )O2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt M,N Tiếp tuến chung ( gần M hơn) tiếp xúc với (O i) tại A Đường thẳng qua M, song song với i A A1 2, cắt lại đường tròn (O i) ở B Các đường thẳng i A B i i cắt nhau tại C, các đường thẳngA N i cắt đường thẳng

1 2

B B ở D,E Chứng minh rằng CD = CE

Solution:

Chọn hệ trục tọa độ A xy1 sao cho A1(0; 0),A a2( ; 0),O1( )0;r1 ,O a r 2( ; )2

Giả sử trong hệ trục tọa độ M(s;t), khi đó B1(-s t; ) (,B2 2a-s t; )

Từ đóB B1 2=2a=2A A1 2

Ta thấy rằng A A1 2//B B1 2

Suy ra A A1, 2 theo thứ tự là trung điểm B C B C1 , 2

Do đó: C(s;-t)

Vậy CMuuuur=(0; 2 ),t B Buuuur1 2 =(2 ;0)a

Suy ra CM ^B B1 2 hay CM ^DE (1)

Gọi K là giao điểm của MN với A A1 2ta có:

O

O

Suy ra K là trung điểm A A1 2

Từ đó, do A A1 2//B B nên M là trung điểm DE (2) 1 2

Từ (1),(2) suy ra CM là trung trực DE(đpcm)

Nhận xét:

1 Trong ví dụ này chúng ta hoàn toàn có thể chọn hệ trục tọa độ sao cho trục hoành chứa đường thẳng O O Tuy nhiên, khi đó việc tìm phương trình của 1 2 B B (và do đó tọa độ của 1 2 B B ) không 1, 2 đơn giản

Việc chọn hệ trục tọa độ như trong lời giải ở trên là việc làm khôn ngoan vì tọa độ củaA M B i, , i tìm được một cách khá dễ dàng

2 Trong lời giải nêu trên, việc viết phương trình của hai đường tròn, giải hệ hương trình tương giao

để tìm tọa độ M,N là không cần thiết Ở trên, chúng ta chỉ sử dụng đến đặc điểm O A là trung trực i i

của đoạn MB , và do đó việc tìm tọa độ của các điểm i B dễ dàng hơn rất nhiều so với việc đi viết i

phương trình các đường tròn

3 Trong lời giải trên, đã kết hợp giữa phương pháp tọa độ và phương pháp tổng hợp (chỉ ra K là trung điểm A A ) Điều đó giúp cho lời giải ngắn gọn và đẹp hơn 1 2

Bài 12 (APMO 2000) Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm cạnh BC và N là chân đường phân

giác của góc ·ABC Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng AB, AM tại P,Q theo

thứ tự đó Gọi O là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại P với AN, chứng minh rằng

OQ^ BC

Solution:

P

N

Q

M

B

C

Chọn hệ trục toạ độ Nxy sao cho A, O nằm trên trục hoành Giả sử AB có phương trình y=ax b + Khi đó æ- ; 0 ,ö ( )0;

b

a và AC có phương trình y= - -ax b ( do A thuộc trục hoành, AB, AC đới

xứng nhau qua trục hoành)

Do PO^ AB nên PO có phương trình y 1x b

a

= - + và O ab( ; 0)

Do BC qua gốc tọa đô N, nên BC có phương trình y=cx

Suy ra B b ; bc ;C b ; b

Do đó

uuuur

Từ đó đường thẳng AM có phương trình

2

Suy ra æ0; ö

ab

Q

c

Vậy đường thẳng QO có phương trình x+cy-ab=0

Suy ra đường thẳng OQ, BC vuông góc với nhau

Nhận xét: Trong bài toán trên, nếu chọn hệ toạ độ mà AN không nằm trên trục hoành, thì việc viết

phương trình phân giác AN là rất khó Khi chọn hệ toạ độ như vậy, giúp cho ta tránh được việc phải xác định toạ độ các đỉnh, phương trình các cạnh, các đường trong tam giác

Bài 13 NewYork 1976

Các đường cao của tam giác nhọn ABC cắt nhau ở H Trên đoạn HB và HC người ta lấy hai điểm

1, 1

AB C=AC B= Chứng minh AB1=AC1 Solution:

C1 B1

H A

B

C O

Chọn hệ trục (Oxy): O( ) ( ) (0; 0 ,A 0;a ,B -b; 0 ,) ( )C c; 0

Phương trình đường thẳng BH: cx ay bc- + = Mà 0 B x y1( 1; 1)ÎBH Þcx1-ay1+bc= (1) 0

AB CB = Þx x - +c y y -a = Þx +y -cx -ay =

uuur uuur

(2)

Từ (1) và (2), suy ra: x12+y12-2ay1+bc= 0

AB =x + y -a =x +y - ay +a =a -bc

Tương tự: 2 2

1

AC =a -bc

Bài 14 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB; C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O)

sao cho tam giác ABC không cân tại C.Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ C Hạ HE;

HF vuông góc AC; BC tương ứng Các đường EF và AB cắt nhau tại K Gọi D là giao điểm của 2 đường tròn tâm O và đường tròn đường kính CH; D khác C CMR: K; D; C thẳng hàng

Solution:

Dựng hệ trục tọa độ Hxy như hình vẽ với H(0; 0); A(-1+a; 0); B(1+a; 0); O(a; 0); C(0; b)

Xét trong tam giác vuông ABC có b2= - ( a 1 )( a + = - 1 ) 1 a2

K

F E

D

H(0;0) O(a;0) A(-1+a;0)

B(1+a;0) C(0;b)

Khi đó phương trình đường tròn (I) là:

+ç - ÷ =

è ø và phương trình đường tròn (O) là:

( )2 2

x-a +y = 1

Đường thẳng (CD) là trục đẳng phương của 2 đường tròn (O) và (I) nên có phương trình là

Phương trình đường thẳng (AC):

(a 1x )+ = Ûby 1 bx+ -(a 1 y) =b a 1( - )

-Phương trình đường thẳng (HE): (a 1 x- ) -by= 0

Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình:

2

a 1 x by 0

î

Phương trình đường thẳng (EF) là: 2

b y

1 a b b

b

2

-=

-( )

2

b

2a

è ø Vậy K; C; D thẳng hàng

Bài 15 Vô địch Nam Tư 1983

Trên cung AB của đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật ABCD, lấy M khác A và B Gọi P, Q, R,

S là hình chiếu của M trên AD, AB, BC, CD Chứng minh PQ^ RS và giao điểm của chúng nằm trên một trong hai đường chéo của hình chữ nhật

Solution:

S R

Q

O A

C

D

B

M

P

Dựng hệ trục toạ độ Oxy có Ox, Oy lần lượt song song với AD, AB

Giả sử bán kính của đường tròn là R Phương trình của đường tròn là x2+y2 =R2

Giả sử toạ độ các đỉnh là A(-a;-b); B(-a;b); C(a;b); D(a;-b)

AC = R = a + b Suy ra 2 2 2

a +b =R

Giả sử M x y( ,0 0) bất kì thuộc cung AB nên 2 2 2

x +y =R Ta có toạ độ các hình chiếu P, Q, R, S

là P x( ;0 - , b) Q(-a y, 0), R x b( )0 , S a y( , 0) Suy ra PQuuur= - -( a x y o; o+b)

; uuurRS =(a-x y0; o-b)

nên

PQ RS= - +a x +y -b =

uuur uuur

.Vậy PQ vuông góc RS

Đường thẳng PQ đi qua P x( ;0 - và có vector pháp tuyến b) nur=(y0+b a; +x0)

Nên có phương trình là PQ là:

0

(b+y o)(x-x o) (+ +a x )(y+b)= Û0 (b+y x o) + +(a x y o) -x y o o+ab= 0

Tương tự phương trình RS là

(b-y o)(x- -a) (x -a y)( -y )= Û0 (b-y x) + -(a x y o) +xy o-ab= 0

Gọi I x y( I; I)lả giao điểm của PQ và RS thì ta có x y I; I là nghiệm của hệ sau

0

ì

î

Cộng lại ta được bx+ay= suy ra 0 bx I +ay I = 0

Do điểm B(-a;b), D(a;-b) nên phương trình đường chéo BD: (b b x+ )( + - +a) (a a y b)( + )= 0

Hay ax + by = 0 Suy ra I x y( I; I)thuộc BD

Bài 16 Cho A,B,C và D thẳng hàng theo thứ tự đó Các đường tròn w w1, 2 với đường kính AC, BD cắt nhau tại hai điểm phân biệt X, Y Lấy ZÎ XY , không trùng với ( ) XYÇAD CZ cắt lại w1tại M

và BZ cắt lại w2tại N Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng quy (IMO1995)

Bài 17 Cho điểm P ở trong tứ giác lồi ABCD Đường phân giác của các góc ·APB , · BPC

CPD DPA cắt các cạnh AB, BC, CD và DA tại K, L, M và N theo thứ tự đó Xác định vị trí của P

sao cho tứ giác KLMN là một hình bình hành (Tournament of Towns 1995)

Bài 18 Cho tam giác ABC có AC > AB Lấy điểm X trên tia đối của tia AB, điểm y trên tia đối AC

sao cho BX = CA, CY = AB Gọi P là giao điểm của đường thẳng XY với đường trung trực của BC

180

BPC+BAC=

Bài 19 Cho hình vuông ABCD, dựng các tam giác đều ABK, BCL, CDM, DAN về phía trong của

hình vuông Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng KL, LM, MN, NK và trung điểm của các đoạn AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN là đỉnh của một thập nhị diện đều (IMO 1977)

Bài 20 Cho hai đường tròn( ) ( )C1 , C nằm bên trong và tiếp xúc trong với đường tròn (C) tại M,N 2

theo thứ tự đó là ( ) ( )C1 ' C2 Trục đẳng phương của ( ) ( )C1 , C2 cắt (C ) tại A,B Các đường thẳng

MA, MB cắt lại đường tròn (C ) ở E, F Chứng minh rằng EF tiếp xúc với ( )C 2

Bài 21 Cho hình vuông ABCD và góc nhọn ·mAn ( với các tia Am, An nằm giữa các tia AB, AD)

Gọi B B là hình chiếu của B trên Am, An, và 1, 2 D D là hình chiếu của D trên Am, An theo thứ tự 1, 2

đó Chứng minh rằng B B1 2^D D1 2

Bài 22 Cho hai điểm D, E tương ứng trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho DE//BC

Gọi P là môt điểm tuỳ ý nằm bên trong tam giác, F, G là giao điểm của các đường thẳng BP, CP với

DE Gọi O O theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PGD, PEF chứng minh rằng 1; 2

AP^ O O 1 2