BT TP LINH

Các tính chất của tích phân:... * Nội dung: Sử dụng các phép biến đổi đại số kết hợp với các tính chất của tích phân đưa tích phân cần tìm về các tích phân có trong bảng nguyên hàm sau đ

2 Các tính chất của tích phân:

* Nội dung: Sử dụng các phép biến đổi đại số kết hợp với các tính chất của tích phân đưa tích phân

cần tìm về các tích phân có trong bảng nguyên hàm sau đó áp dụng định nghĩa

II PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :

1) DẠNG 1: Tính I =

b

' a

f[u(x)].u(x)dx

 bằng cách đặt t = u(x)

Công thức đổi biến số dạng 1:     

) ( ) (

)()

('.)

a u

b a

dt t f dx x u x u

a u t

b u t a x

b x

)()

('.)

a u

b a

dt t f dx x u x u f

CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( 1

,lnx)

x thì đặt t = lnx.

+, Khi f(x) có chứa nu(x) thì thường đặt t = u(x)

+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu

Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức (1) và vận dụng hợp lý.

2) DẠNG 2: Tính I =

b a

dx x f

a

)(')()

b x

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

   





 t t dt f

dx x f

a

)(')()

( (tiếp tục tính tích phân mới)

* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:

+, d(a.x b) a.dx dx d(a.x b)(a 0)

a.e+

b a

b

a v x u x dx x

v x u dx x v x

u( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

Hay:     

b a

b a

b

a vdu v

)(')

('

)(

x v v

dx x u du dx x v dv

x u u

b a

b

a vdu v

f(x)g(x)dx

� ta thực hiện Đặt u=f(x), dv=g(x)dx(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân

/

du=u (x)dx không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân

b a

e sinaxdxa

b x a

3 2





3 Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.

Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc

2007 0

Giải

cosxdx 2 cosxdx 2

p -

Vậy 2I3

sint cost e (sin1 cos1)e 1

II TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1

Giả sử cần tính tích phân

b a

I = �f(x) dx, ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

Ví dụ 1 Tính tích phân ( )

2 1

b a

J = �min f(x), g(x) dx, ta thực hiện cácbước sau:

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số h(x)=f(x)- g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2

+ Nếu h(x)> thì 0 max f(x), g(x){ } =f(x) và min f(x), g(x){ } =g(x).

+ Nếu h(x)< thì 0 max f(x), g(x){ } =g(x) và min f(x), g(x){ } =f(x).

4

2 0

Ví dụ 2 Tính tích phân { }

2

x 0

I = �min 3 , 4- x dx

Giải

Đặt h(x)=3x - (4- x) =3x + -x 4.Bảng xét dấu

x 0 1 2

h(x) – 0 +( )

dx

2 (với a 0)

Cách làm:

Biến đổi ax2 bxc về một trong các dạng ,sau đó thực hiện phép đổi biến tương ứng ta

sẽ đưa về việc tính tích phân của hàm hữu tỉ

a) a 2 t2 Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u � -���p p���



a x

dx t

dx t

0 2

6

sin1

cos

t dt t

6

x

x d

2

412ln2

457ln2

2 1

412ln21

0 2

0 2

21ln2

12

1

)21(2

12

x d x

dx

= - ln521

dx B Ax

2

)(

Với a.A 0

Cách làm:

Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là ax2 bxc,một tích phân có tử

là đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số

dx B Ax

2

)(

b ax

dx M

)4(

x

dx x

x

32

6)22(

1

2

dx x

x

dx x

x x

dx x

x x

dx x

= 2

dx x x

x x

dx x

x = 1  t =

21

lnt t  =

51

)21(2ln

t

t 1 Khi x = 2 thì t=1

x = 3 thì t =

21

và dx = - 2

t dt

2

111

t

t t

2

1

t

t d

2 1 2 1 2

2

1ln2

103ln21

x

e e e

dx e

Đặt t = ex  dt = exdx.Khi : x = 0  t = 1

x = ln2  t = 2

Ta có: K =

Đặt u =

t

1

1

ta có: (1 t)2

dt du

3

12

12121

3

1

u

u d

1

3 1

2

12

12

12

1ln3

322ln21

4.Tích phân dạng:



bx c ax

dx x f

2

)(

Với a  0 bậc f(x) 2,f(x) là đa thức

Cách làm:Tách 



bx c ax

dx x f

2

)(

= g(x) ax2 bxc + 



bx c ax

dx x

dx x







32

1

2

2

x x

x

A. x2 2x3 +

32

)1)(

x B Ax

+

32

x x

22

1

2 3

x x

22

-65

61

25

dx x

x

x x x

Để áp dụng được ví dụ 2 ta làm như sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu của hai tích phân:

dx x x

x x x

x x

1

dx x x

x x

2

3221

526

426

)

N a c n

m

Cách làm:Đặt n

m

d cx

b ax

13

13

2

)45(

7.45

13.32

x

21

2)45

dt x

x

x x

dx

= 

27 8

8

1 21.3

2

t t

dt

=

= t 3dt

4 27 8

8 1

6.Tích phân dạng:   dx

d cx

b ax

Với a c 0

Cách làm: Cách 1: Đặt

d cx

b ax t





 Cách 2: Đặt t cxd

Với cách đặt trên ta sẽ đưa tích phân cần tính thành tích phân đơn giản hơn

Ta thực hiện theo cách đặt 2: Đặt t 3 x

x

dx dt

dt x

dx

2

3 

Khi đó xt2 3 1x  4 t2

x

=   

2 3

82

4

224

dx x x

dx x

x

=  

1 0

2

3 5

1

1

t t t

2 3 4 6

1

61

666666

t t

t t

t t t t

Tích phân này dễ dàng tính được

Ví dụ2 :Tính J =      

3

21

dx x

x x x

dx x

x x

x

=  

2 1 4

)2(2

t t

tdt t

=  

2 1

42

dt t

2 1

22

dt t t

2 1 2 2

2

121

1

)1(

3

2ln

2

t t

t d t

t

t t

3

2ln

Tính L bằng cách đặt t tgu

2

32

1



 Ta có đáp số là: I =

333

c) Nếu

p

r 1 +q nguyên đặt axp bt s với s là mẫu số của phân số q

1 2

4

t t

dt t

1)1(

1)

1(

1(2

dx x

5( ) Vì rp15213 nguyên nên đặt a-x2 = t2

tdt xdx tdt

xdx t

t

tdt t

t

a at t

  3 

2 2

t

a at

1

)( 



Do

.3

1

;2

2 2

3 2 3

31

t

a x

t x

32

1

=  3 2

3

)1(2

3

t

dt t a

dt a t

5)

(5

x x

x

t

t t

2

)62(

)56(

565

6

2 2

53ln3

23

dx x x x

x x x

Tam thức bậc hai x2+3x+2 có nghiệm là -1.Theo phép thế thứ ba,đặt

)1(23

1

2)

1(

2 2

=================================================================Khi đó: P = 

23

dx x x x

x x x

3

2

)1)(

1)(

2(

42

dt t

t t

t t

3

)1

(t

dt

+18

2

)1

(t

dt

108

27

161ln4

31ln108

17)1(18

5)

1(6

t dt

x Đặt t 3 x1

Ví dụ 3: Tính I3 =  

2 7

3

)12( x

= 49

)1

0

3 3

3

213

Ví dụ 5: Tính   x dx

1 0

2

4Cách1: Sử dụng phương pháp lấy tích phân từng phần

3 

a a x

22

dt a

2

ln

21

ln2

1 2

n

dt t C dt

t x

dx x

0

2 2

2

2 2

)1()

1(1

C k

t C

0

1 2

12

12)1

2 1

dx1

3

dx1

ln tanx 2cos2x

dxsin2x

ln tanx 2cos2x

dxsin2x

11

Câu 50: Tính 3 

3 4

ln tanx 2cos2x

dxsin2x

ln tanx 2cos2x

dxsin2x

4

dx1

4

dx1

x x 1

x



�

Câu 66: Tính 3 2 

3 4

ln tanx 2cos2x

dxsin2x

ln tanx

dxsin2x

4

dx1

1 2lnx lnx

dxx

1 2lnx ln x

dxx

1 2lnx ln x

dxx

1 lnx ln x

dxx

x cosx xsinx

dxcos x

x cosx xsinx

dxcos x

x cosx xsinx

dxcos x

1 lnx ln x

dxx

1 lnx ln x

dxx

2 xlnx ln x

dxxe

1 ln x

dxx



�

Câu 111: Tính  3

e 4 1

1 ln x

dxx



�

Câu 112: Tính e 

2x 1

1 xlnx lnx

dxxe

2 xlnx ln x

dxxe

3 xlnx ln x

dxxe

x 1 lnx xlnx ln x

dxe

x 1 ln x xlnx ln x

dxe

x 1 3lnx xlnx ln x

dxe

x 2 lnx xlnx ln x

dxe

Câu 120: Tính 4 3 

3 4

ln tanx

dxsin2x

x 2xcosx x sinx

dxcos x

x 3cosx xsinx

dxcos x

x 3cosx xsinx

dxcos x

x 3cosx xsinx

dxcos x

lnx 1 xlnx

dxxe

x 1 x

dx



�

ln x 1 xlnx

dxxe

dxe

ln x 1 xlnx

dxxe

ln x 1 xlnx

dxxe

x 1 x

dxe

3 2

2

x2x 1 x

x 1

Câu 175: Tính 4 2 8

2 0



�

Câu 181: Tính 4 5

2 0

3 0

x 1 dx3x 1

=================================================================Cân bằng hệ số 2 vế : A 5

�

/ 0

(sinx cosx 2) dxsinx cosx 2

=================================================================ĐS: 2

3 sinx





tg2

0 2

=================================================================ĐS: 2

dxcosx 2

 = 1

2 e2e

� , Đặt t = e x  dt =

x

edx

2 1 3

6 1 3

4 1 3

2 1 x

23

2 1 3

2 1 x

23

2 2 0

1 (1 cos2x)2

=================================================================Đặt t = sinx – cosx  dt = (cosx + sinx)dx



 x = 3  t = 8 , x = 0  t = 4

 I =

2

8 2

3



 1 x 2  1 sin t 2  cos t2  cost cost  I = 2 4

3 2

x2x 1 x

x2x 1 x

2 2

3 2



2 1

dxx



 Đặt t = x21  t2 = x2 – 1  t dt = x dx

 x = 2  t = 3 , x = 1  t = 0

3 0

x 1 dx3x 1