Ôn tập Toán 12 năm 2018

PHẦN 1: HÀM SỐ - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hàm số sin: Tập xác định .Tập giá trị: ,có nghĩa là . Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa với . Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng ,. là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng (Hình 1). Hình 1. Hàm số côsin: Tập xác định .Tập giá trị: ,có nghĩa là . Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa với . Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng ,. là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận làm trục đối xứng (Hình 2). Hình 2. Hàm số tang: Tập xác định: Tâp giá trị là R. Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa . Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng . là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng làm đường tiệm cận.(Hình 3)

PHẦN 1: HÀM SỐ - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Hàm số sin: ysinx

Tập xác định �.Tập giá trị: 1;1 ,có nghĩa là 1 sin� x�1,x��.

Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa sinx k 2 sinx với k ��.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 k2 ;2 k2

Tập xác định �.Tập giá trị: 1;1 ,có nghĩa là 1 cos� x�1,x��.

Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa cosx k 2 cosx với k ��.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   k2 ; 2 k  và nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2,

k��

cos

y x là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hình 2).

Hình 2.

3 Hàm số tang:

sintan

Hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa cotx k cot ,(x k��).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng k ; k,k��

y x là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng

,

x k k  ��làm đường tiệm cận (Hình 4).

Hình 4

II CÁC VÍ DỤ

1 Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a

tan cosx 2

y �� ��

1 cos

cos

x

2 Ví dụ 2:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a y 4 2sin 2 5 x 8 b ysin6 xcos6 x.

3 Ví dụ 3:Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác sau : a y f x  tanxcotx b   sin 2 9 2 y f x  ��x  �� � �.

§2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương trình sin x m

 Nếu m 1thì phương trình vô nghiệm

 Nếu m �1thì tồn tại  sao cho sin  Khi đó: m

 

2

2



 

�

2 Phương trình cos x m

 Nếu a 1thì phương trình vô nghiệm

 Nếu a �1thì tồn tại  sao cho cos  Khi đó: m

 

2

2



 

�

3 Phương trình tan x m

 Tồn tại  sao cho tan m Khi đó

tan x m � x  k k��

u v k



�  

�

�

4 Phương trình cot x m

 Tồn tại  sao cho cot m Khi đó

cot x m � x  k k��

u v k





�

�

II CÁC VÍ DỤ

1 Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a

cos 2 cos

4

x ��x ��

� �. b cos 2 cosx xsin cos3x xsin 2 sinx xsin 3 cosx x.

2 Ví dụ 2:Giải các phương trình sau: a 1 tan 2 3 2 x  �  � � � � � b tan 2x cot x 6  � �  � � � �.

3 Ví dụ 3:Giải phương trình sincos 2x 1.

4 Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: a 4sin cos cos 2x x x1 b sin4 xcos4xcos 4x.

§3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương trình đa thức theo một hàm số lượng giác:

Là phương trình có dạng at2  bt c 0 với a b c, ,  �a 0 và t là một trong

các hàm số lượng giác

Cách giải.

Bước 1 Đặt t bằng biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ

( nếu có)

Bước 2 Đưa phương trình về dạng at2  bt c 0rồi giải phương trình ẩn t

Bước 3 Đối chiếu điều kiện nếu có rồi thay t lại phép đặt đưa về phương trình lượng

TH1: Kiểm tra cosx có phải là nghiệm của phương trình hay không.0

TH2: Xét cosx� Chia cả 2 vế của phương trình cho 0 cos x2 ta được

a x b c  x d  x � a d x c x b d  

Giải phương trình này ta được nghiệm

Chú ý: Ngoài cách trên ta có thể sử dụng phương pháp hạ bậc

a cos 22 xsin 2x 1 0 b

�  � � � 

2 Ví dụ 2:Giải các phương trình sau: a 3 cos3xsin 3x1 b 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin 33 x.

3 Định m để phương trình msin2x2sin cosx x  2 m 0có nghiệm.

4 Ví dụ 4:Giải các phương trình sau: a sin2x3sin cosx x 1 0 b sin sin 2x xsin 3x6 cos3x.

5 Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: a sin 2x12 sin xcosx 12 0b sin2 xcosxcos 2xsinxcos2xsinxcosx.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1:Tìm tập xác định của hàm số:

1

y

x





A D R\ 3 k2 ,k Z

C

5

D R �� k   k  k Z� ��

2

D R �� k   k  k Z� ��

�

2: Tìm tập xác định của hàm số:

1

y

x





A

6

D R �� k k Z � ��

C

D R �� k  k k Z � ��

2

D R �� k  k k Z � ��

�

3: Hàm số: y = sin2x là hàm số tuần hồn, cĩ chu kỳ bằng:

A T = 2



4: Cho 3 hàm số: y = f(x) = sin2x (1); y = f(x) = cosx (2); y = f(x) = tanx (3) Trong 3 hàm số này, hàm số

nào thỏa tính chất: f(x + k) = f(x) với x  R; k  Z?

A Chỉ (1) B Chỉ (2) C Chỉ (3) D (1) và (3)

5: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A y = cosx + sin x2 B y = sinx + cosx C y = - cosx D y = sinx.cos3x 6: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y = - sinx B y = cosx – sinx C y = cosx + sin2 x D y = sinx.cosx

7: Xét tính chẵn lẻ của hàm số: y = sin tan

x

A Hàm chẵn B Hàm lẻ.

C Không có tính chẵn lẻ D Vừa chẵn, vừa lẻ

8: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3sin(x + 4

 )

9: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = sinx + cosx

13: Hàm số: y = tanx + cotx xác định khi:

4 2

x 

có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng

;2

20: Cho phương trình: sin(2x15 ) cos0  x0 (00 x 300 )0 Nếu S là tổng tất cả các nghiệm (tính

bằng độ) của phương trình này bằng:



76



34



54



23: Khi giải phương trình:

cos

x x





 (1) ta biến đổi và giải phương trình:cos(2x 3) cosx



 

(2) Nghiệm của (2) có dạng: x =  + k2 hay x =  +

23

k  Nghiệm của (1):

A Là nghiệm của (2) với k lẻ B Là nghiệm của (2).

C Là nghiệm của (2) với k chẵn D Không là nghiệm của (2)

24: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình: 9cos2x – 12sinx – 11 = 0 là:

A

1arcsin( )

3

1arcsin( )

3



1arcsin( ) 2

PHẦN 2: TỔ HỢP – XÁC SUẤT

§1: HAI QUI TẮC ĐẾM

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

5 Qui tắc cộng: Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án

Phương án 1 có thể thực hiện bởi n1 cách

Phương án 2 có thể thực hiện bởi n2 cách

…

Phương án k có thể thực hiện bởi nk cách

Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n1 + n2 +…+nk cách

6 Qui tắc nhân: Tổng quát: Giả sử một công việc bao gồm k công đoạn:

Công đoạn 1 có thể thực hiện bởi n1 cách

Công đoạn 2 có thể thực hiện bởi n2 cách

…

Công đoạn k có thể thực hiện bởi nk cách

Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n1 n2 ….nk cách

II CÁC VÍ DỤ

4 Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ

số 0;1; 2;3; 4

5 Ví dụ 2:Có bao nhiêu số tự nhiên là ước của A2 3 76 3 2

6 Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chia n món quà cho 3 đứa trẻ?

§2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Hoán vị:

 Định nghĩa: Cho tập E có n phần tử n�1 Mỗi cách sắp n phần tử của E

theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của E

 Công thức: Gọi P là số hoán vị của n phần tử, ta có: n P n  n! 1.2 n1n

2 Chỉnh hợp:

 Định nghĩa:Cho tập E có n phần tử và số nguyên k thỏa 1 k n� � Mỗi cách

chọn k phần tử của E và sắp chúng theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh

hợp chập k của n phần tử của E

 Công thức:Gọi A n k là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta có:  ! !

k n

n A

n k



3 Tổ hợp:

 Định nghĩa:Cho tập E có n phần tử và số nguyên k thỏa 0 k n� � Mỗi tập

con gồm k phần tử của E được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của E

.Như vậy, lập một tổ hợp chập k của n phần tử của E là lấy ra k phần tử của

n phần tử của E (không quan tâm đến thứ tự)

 Công thức: Gọi C n k là số tổ hợp chập k của n phần tử, ta có: ! ! !

k n

n C

k n k



II CÁC VÍ DỤ

1 Ví dụ 1: Một học sinh có 5 sách toán, 4 sách lý, 3 sách hóa Hỏi có bao nhiêu cách xếp

lên kệ sao cho:

a Các sách được xếp tùy ý

b Các sách cùng môn được xếp kề nhau

2 Ví dụ 2: Cho A0;1; 2;3; 4;5;6 Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa: a có 4 chữ số b có 4 chữ số khác nhau c có 4 chữ số khác nhau và là số lẻ d có 4 chữ số khác nhau và chứa cả 2 chữ số 0; 1 e có chứa 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 f có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 g có 4 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 3400

3 Ví dụ 3: Có 12 sinh viên trong đó có 9 nam 3 nữ Có bao nhiêu cách chia thành 3 nhóm sao cho số nam, nữ của mỗi nhóm bằng nhau?

4 Ví dụ 4: Cho đa giác lồi gồm n đỉnh n�6 Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh thuộc 3 đỉnh của đa giác biết: a Tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác b Tam giác có đúng 1 cạnh là 1 cạnh của đa giác c Tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác.

5 Ví dụ 5: Phương trình x1  x2 x3 2018 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương.

6 Ví dụ 6: Cho tập A1;2;3;4;5;6;7, có bao nhiêu số tự nhiên gồm 10 chữ số thuộc A và chia hết cho 6?

§3: NHỊ THỨC NEWTON

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Công thức Newton:

 n 0 n 1 n 1 k n k k n 1 n 1 n n

a b C a C a b  C a b  C ab  C b

2 Tính chất:

 Khai triển có n số hạng.1

 Số hạng thứ k là: T k C a n k1 n k 1b k1.

 Các hệ số C C n0; 1n; ;C n n là một dãy đối xứng vì k n k

n n

C C  .

 Số mũ của a giảm dần từ n đến 0 , số mũ của b tăng dần từ 0 đến n , tổng 2

số mũ của a và b trong từng số hạng bằng n

II CÁC VÍ DỤ

1 Ví dụ 1: Tìm hệ số của x10 trong khai triển của

5 3

2

2

3x

x

2 Ví dụ 2: Tìm hệ số củax2 trong khai triển của 10 3 1 1 x x �  � � � � �

3 Ví dụ 3: Cho n là số nguyên dương, thu gọn biểu thức 21 1 22 1 2n 1 n n n T C  C   C  .

4 Ví dụ 4: Cho n là số nguyên dương, thu gọn biểu thức 12 1 23 1 22n11 n n n T C  C   C  .

5 Ví dụ 5: Tìm số n nguyên dương thỏa   1 2 2 3 2 1 2 1 2.2 2 1 3.2 2 1 2 1 2n 2n1 2017 n n n n C   C   C    n C   .

6 Ví dụ 6: Cho n là số nguyên dương, tính tổng 1 3 5 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1

2 4 6 2 n n n n n T C C C C n      

§4: BIẾN CỐ XÁC SUẤT

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Biến cố - xác suất:

Phép thử: Một phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay hành động mà:

 Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau.

 Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra ở phép thử đó

Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ TTập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu và kí hiệu bởi chữ 

Biến cố: Một biến cố A liên quan đến phép thử T được mô tả bởi một tập con  nào đóA

của không gian mẫu  Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc tập  A

Mỗi phần tử của  gọi là một kết quả thuận lợi cho A.A

Định nghĩa xác suất: Cho A là biến cố liên quan đến phép thử T chỉ có hữu hạn kết quả

đồng khả năng xuất hiện Ta gọi

2 Biến cố hợp – qui tắc cộng xác suất:

Biến cố hợp: Cho 2 biến cố A, B cùng liên quan đến một phép thử T Biến cố “ A hoặc B

xảy ra” được gọi là hợp của 2 biến cố A và B, ký hiệu là A�B.

Biến cố xung khắc: Cho 2 biến cố A, B cùng liên quan đến phép thử T Hai biến cố A và

B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra

Qui tắc cộng xác suất : Nếu 2 biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra

là:P A B �  P A( )P B( ).

Biến cố đối:Cho A là biến cố Khi đó biến cố “không xảy ra A”, ký hiệu là A được gọi

là biến cố đối của A Ta có : P A   1 P A( )

3 Biến cố giao – qui tắc nhân xác suất:

Biến cố giao: Cho 2 biến cố A, B cùng liên quan đến một phép thử T Biến cố “ A và B

cùng xảy ra” được gọi là giao của 2 biến cố A và B, ký hiệu là AB

Biến cố độc lập: Cho 2 biến cố A, B cùng liên quan đến phép thử T Hai biến cố A và B

được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia

Qui tắc nhân xác suất : Nếu 2 biến cố A và B độc lập thì xác suất để A và B cùng xảy ra

làP AB  P A P B( ) ( )

II CÁC VÍ DỤ

1 Ví dụ 1: Cho một hộp gồm 4 bi xanh và 6 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 3 bi Tính xác suất để

lấy được 1 bi xanh và 2 bi đỏ

2 Ví dụ 2: Từ các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 viết ngẫu nhiên 1 số có 5 chữ số đôi một

khác nhau Tính xác suất để số đó có chữ số 1 và chữ số 2

3 Ví dụ 3: Một chiếc máy có 2 động cơ I và II hoạt động độc lập nhau Xác suất để động cơ I và II chạy tốt lần lượt là 0.8 và 0.7 Tính xác suất để: a Cả 2 động cơ đều chạy tốt b Cả 2 động cơ đều không chạy tốt c Có ít nhất một động cơ chạy tốt.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1

Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Hỏi có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau được lập ra từ các chữ số trên?

2

Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 2 học sinh nam ngồi kề nhau

3

Hệ số của số hạng chứa x y trong khai triển 12 4 (x2 )xy 12 là:

4

Lập tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số trong các

số lập được Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 25

A

11

12

13

14 324

5

Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên một kệ sáchsao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khácnhau.

10

1

3.4

6

96

96.1027

198

198.416

12

Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài.Tính xác suất để trong sấp bài có 5 quân lập thành bộ liên tiếp tức

là bộ (A,2-3-4-5) (2-3-4-5-6) ….(10 –J-Q-K-A).Quân A vừa là quân bé nhất vừa là quân lớnnhất

A

128

18

18

128.32487

13

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặtđúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.

10

1

A

53

56

563

53.204

22

Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách xếp để cóđúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau tađược một cách xếp mới)

PHẦN 3: DÃY SỐ - CẤP SỐ

§1: DÃY SỐ

III TÓM TẮT LÝ THUYẾT

7 Định nghĩa:

 Định nghĩa 1:Cho M là tập hợp m số tự nhiên khác 0 đầu tiên M {1; 2;3; ; }m .

Một hàm số xác định trên M được gọi là một dãy số hữu hạn

 Định nghĩa 2: Một hàm số xác định trên N* được gọi là dãy số vô hạn (hay gọi

tắt là dãy số)

 Tập giá trị của dãy số là { (1); (2); }u u Người ta thường ký hiệu các giá trị đó

là: u 1 u u1; (2)u2; ; ( )u m u m;

 Người ta thường viết dãy số dưới dạng: u u1; ; ; 2 u n Dạng này gọi là dạng khai

triển của dãy số u

u1 được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)

Cho công thức tổng quát của dãy số:Cho công thức biểu diễn số hạng thứ n theo n

Cho dãy số bằng biểu thức truy hồi:

 Cho số hạng đầu (hoặc một vài số hạng đầu)

 Cho hệ thức biểu thị số hạng u thông qua số hạng đứng trước nó (hoặc một vài n

8 Ví dụ 2:Chứng minh dãy số u n n n 1 1  n 1 1n 2   n n 11 n n

số đơn điệu

9 Ví dụ 3:Chứng minh dãy số

1 1

§2: CẤP SỐ CỘNG

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

2 Ví dụ 2:Tìm công thức tổng quát của CSC  u n

biết

814

3 Ví dụ 3:Cho a b c, , là 3 số lập thành CSC Chứng minh a2 ab b 2, c2ca c 2 ,

b   là cấp số cộng.bc c

4 Ví dụ 4:Tìm 5 số lập thành CSC biết tổng của chúng là 15 và tổng binh phương của

chúng bằng 85

n n

13

3 Ví dụ 3:Tìm các số dương a và b sao cho a a, 2 , 2b a b lập thành một cấp số cộng và

4 Ví dụ 4: Tính tổng T  1 3.2 5.2 2  2n1 2 n

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 Cho dãy số (un) với 2

21

n

n u

3 Cho dãy số u n  ( 2)n với n nguyên dương Tìm mệnh đề đúng về dãy số trên.

A Dãy tăng B Dãy giảm C Dãy bị chặn D Dãy không bị chặn

4 Cho dãy số (un): u n 3n, với n nguyên dương Xác định u 2n

n u n



 với n nguyên dương Tìm mệnh đề sai.

hạng dương

6 Cho dãy số tự nhiên lẻ Tìm mệnh đề đúng

A là một cấp số cộng B Dãy giảm C Là một cấp số nhân.D Dãy bị chặn trên

7 Cho dãy số (un):

( 1) cosn n



32



8.Cho dãy số (un):

1 1

22

11 Cho cấp số cộng (un) với n nguyên dương, có công sai d Tìm mệnh đề đúng

A Dãy u u u1, , , ,3 5 u2n1 là một cấp số cộng có công sai 2d.

B Dãy u , 2 u , …, 3 u là một cấp số cộng có công sai d 2n

C Công thức số hạng tổng quát u n  u1 nd.

D Công thức số hạng tổng quát 1 n 1

n

u u d 

12.Dãy số nào dưới đây là một cấp số nhân?

n u n





 với n nguyên dương.

C u n 5n với n nguyên dương.4 D u n sin2n





với n nguyên dương

13 Cho dãy số (un) xác định bởi

1

1

1212

A 4

34

u 

45

u 

56

u 

67

u 

14 Dãy số nào dưới đây là dãy bị chặn

A u n  n21 với n nguyên dương. B u n n 1

n

 

với n nguyên dương

n u n



 với n nguyên dương

15 Cho dãy số (un):

1 1

312

n n

u 

32

u u

n

u   n

382

n

u   n

382

n

u  n

352

x

22 Tính tổng tất cả các số chia hết cho 7 mà có 3 chữ số

A 70336 B 140672 C 139573 D 70330

23 Cho dãy số (un):

1

2 1

1( 1) n

22

hay viết gọn hơn

limu n  , nếu L limu nL 0

.

12 Định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số

 Một vài giới hạn đặc biệt:

1lim k 0

n limq n 0

lim n n

v M

(nếu M � )0

13 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

 Định nghĩa:Một cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn nếu nó có vô hạn phần tử và

công bội q thỏa |q|<1

 Định nghĩa 2:Dãy  u n dần ra �, ký hiệu là limu n  �

q 

với q1

 Định lý 1:

1lim | n| lim 0

11 Ví dụ 2:Tính giới hạn các dãy số sau:

12 Ví dụ 3:Tính giới hạn các dãy số sau:

có giới hạn là L khi x tiến tới x nếu:0

0

limlim

 

 0

3 Giới hạn vô cực của hàm số

 Định nghĩa 1:Cho f x  xác định trong khoảng  a b; chứa x (0 f x  có thể

có giới hạn là � khi x tiến tới x nếu:0

0

limlim

n

n n

n n

x� �  x 

,

1lim k 0

3 Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:

a 0

sin 5limtan 3

x

x x

1 coslim

x

x x

�



§3: HÀM SỐ LIÊN TỤC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Hàm số liên tục tại 1 điểm:

Cho f x  xác định trong khoảng  a b; x0� a b; Hàm số f x  liên tục tại x0 nếu

liên tục trên khoảng a b; 

nếu nó liên tục tại mọi x0� a b,

 Định lý 1:Tổng, hiệu, tích, thương của 2 hàm liên tục tại x0 là hàm số liên tục tại

0

x .

 Định lý 2:Các hàm số hữu tỉ, căn, lượng giác thì liên tục trên tập xác định.

 Định lý 3:Hàm số f(x) liên tục trên [a;b] thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

trên [a;b] và f(x) nhận mọi giá trị từ giá trị nhỏ nhất đến giá trị lớn nhất

 Hệ quả 1:Cho f(x) liên tục trên [a;b] Nếu tồn tại 2 số   thuộc [a;b] sao cho,

    0

f  f   thì phương trình có nghiệm thuộc [a;b].

 Hệ quả 2:Cho f(x) liên tục trên [a;b] Nếu f(x)=0 vô nghiệm trên [a;b] thì f(x) có

dấu không đổi trên [a;b]

2 Ví dụ 2:Định m để hàm số

 

3 2

11

3 Ví dụ 3:Giải bất phương trình 3x 2 12x 3x2 � 0

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 Mệnh đề nào sau đây sai.

A limq n 0  q 1

B

1 lim 0

n 

1 lim 0

n  D lim 1k =0 k *

3 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng.

A Nếu limu n  � thì limu n  �

B Nếu limu n  � và limv n  � thì limu nv n 0.

C Nếu limu n   thì lima u n a.

n



11

n

n u n





11

n

n u

n

n u

n



 15

n n

u n

n n

n u

5 13

 

 với a b, �� và a b là phân số tối giản Tính a b  .

1 2.

lim

n n

13 Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1 Tam giác A B C1 1 1 có các đỉnh là trung điểm của tam

giác ABC, tam giác A B C2 2 2

có các đỉnh là trung điểm của các cạnh A B C1 1 1

., tam giác

A B C   có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A B Cn n n Gọi S S1, , , ,2 S Sn n1,

là diện tích của các tam giác A B C A B C1 1 1, 2 2 2, , A B C A B Cn n n, n1 n1 n1, Tính

1

x

x x

A 1

1 2lim

1

x

x x

1

x

x x

1

x

x x

�

  �

1 2lim

1

x

x x

2 1 lim

2 1 lim

3

x

x x

PHẦN 5: PHÉP BIẾN HÌNH

§1: PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP DỜI HÌNH

VII TÓM TẮT LÝ THUYẾT

15 Phép biến hình:

 Định nghĩa:Qui tắc đặt tương ứng mỗi điểm M thuộc mặt phẳng với một điểm xác

định duy nhất M’ trong mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng

 Nếu kí hiệu phép biến hình là f thì ta viết f(M)=M’ hay M’=f(M) và gọi điểm M’

là ảnh của điểm M qua phép biến hình f

 Phép biến hình biến mỗi điểm M trong mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất

 Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H’=f(H) là tập hợp các điểm M’=f(M), với mọi M thuộc H Khi đó ta nói f biến hình H thành hình H’, hay H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình f

16 Phép dời hình:

 Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách

giữa 2 điểm bất kỳ Nghĩa là với 2 điểm M, N bất kỳ và M’, N’ là ảnh của chúng thì MN=M’N’

 Định lý: Phép dời hình biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng.

 Hệ quả: Phép dởi hình biến:

 Định lý:Nếu ABC và A’B’C’ là 2 tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến

tam giác này thành tam giác kia

 Định nghĩa:Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành