ĐỀ CƯƠNG ôn THI THPT môn TOÁN năm 2018 CHÍNH THỨC

NỘI DUNG TRỌNG TÂM ÔN THI THPTQG MÔN TOÁN Năm học 20172018 với sự thay đổi toàn diện hình thức thi THPTQG môn Toán.Nhằm nâng cao chất lượng ôn thi của thầy và trò.Nhóm toán 12 trường THPT Nhữ Văn Lan biên soạn lại bộ đề cương ôn thi QG môn toán.Để phù hợp với yêu cầu, trong bộ đề cương này chúng tôi chỉ giới thiệu các dạng toán, tóm tắt lí thuyết và phương pháp giải cơ bản và một số lượng nhỏ ví dụ minh họa.hệ thống bài tập chúng tôi biên soạn dưới dạng phiếu học tập dưới mỗi chủ đề.Hy vọng cuốn đề cương sẽ là một tài liệu hữu ích để thầy và trò trường THPT Nhữ Văn Lan ôn tập hiệu quả hơn ,từ đó đạt kết quả cao hơn ở môn toán trong năm học 20172018 và những năm học tiếp theo. A. Giải tích gồm chín chủ đề: 1. Chuyên đề hàm số. 2. Chuyên đề mũ lôgarit 3. Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng. 4. Chuyên đề số phức. 5. Chuyên đề các bài toán thực tế 6. Chuyên đề tổ hợp – xác suất 7. Chuyên đề dãy số cấp số. 8. Chuyên đề lượng giác. 9. Chuyên đề giới hạn hàm số liên tục B. Hình học gồm ba chủ đề: 10. Chuyên đề quan hệ vuông góc trong không gian. 11. Chuyên đề đa diện nón – trụ cầu. 12. Phương pháp toạ độ trong không gian.

NỘI DUNG TRỌNG TÂM ÔN THI THPTQG MÔN TOÁN

Năm học 2017-2018 với sự thay đổi toàn diện hình thức thi THPTQG môn Toán.Nhằm nâng cao chất lượng

ôn thi của thầy và trò.Nhóm toán 12 trường THPT Nhữ Văn Lan biên soạn lại bộ đề cương ôn thi QG môn toán.Để phù hợp với yêu cầu, trong bộ đề cương này chúng tôi chỉ giới thiệu các dạng toán, tóm tắt lí thuyết

và phương pháp giải cơ bản và một số lượng nhỏ ví dụ minh họa.hệ thống bài tập chúng tôi biên soạn dưới dạng phiếu học tập dưới mỗi chủ đề.Hy vọng cuốn đề cương sẽ là một tài liệu hữu ích để thầy và trò trường THPT Nhữ Văn Lan ôn tập hiệu quả hơn ,từ đó đạt kết quả cao hơn ở môn toán trong năm học 2017-2018

và những năm học tiếp theo

8 Chuyên đề lượng giác.

9 Chuyên đề giới hạn- hàm số liên tục

B Hình học gồm ba chủ đề:

10 Chuyên đề quan hệ vuông góc trong không gian

11 Chuyên đề đa diện - nón – trụ - cầu

12 Phương pháp toạ độ trong không gian.

+) f ' x  0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy

+) f ' x  0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy

Quy tắc:

+) Tính f ' x , giải phương trình   f ' x 0 tìm nghiệm

+) Lập bảng xét dấu f ' x  

+)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

Bài toán 2: Tìm m để hàm số y f x, m   đơn điệu trên khoảng (a,b)

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng a, b thì  f ' x   0 x a, b

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng a, b thì  f ' x   0 x a, b

 

y ' 0 x a, bd

xc

*) Tìm m để hàm số bậc 3 y ax 3bx2cx d đơn điệu trên R

+) Tính y ' 3ax 22bx c là tam thức bậc 2 có biệt thức 

+) nếu f ' x 0 0 hoặc f ' x không xác định tại   x và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua 0 x 0

thì x là điểm cực đại của hàm sô.0

+) nếu f ' x 0 0 hoặc f ' x không xác định tại   x và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua 0 x 0

thì x là điểm cực tiểu của hàm sô.0

*) Quy tắc 1:

+) tính y '

+) tìm các điểm tới hạn của hàm số (tại đó y ' 0 hoặc y ' không xác định)

+) lập bảng xét dấu y ' dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

+) thay nghiệm vừa tìm vào f " x và kiểm tra từ đó suy kết luận. 

Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3

Cho hàm số: y ax 3bx2 cx d có đạo hàm y ' 3ax 22bx c

1 Để hàm số có cực đại, cực tiểu  y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt   0

2 Để hàm số có không cực đại, cực tiểu  y ' 0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép   0

3 Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu

+) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B Viết phương trình đường thẳng qua A, B.+) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: ymx n y ' Ax B     Phần dư trong phép chia này là y Ax B 

chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu

Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương

Cho hàm số: y ax 4bx2c có đạo hàm y ' 4ax 32bx 2x 2ax  2b

 hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu

2 hàm số có 3 cực trị khi ab 0 (a và b trái dấu)

3 Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và A Oy , A 0;c , B x , y ,C x , y , H 0; y    B B  C C  B

+) Tam giác ABC luôn cân tại A

+) B, C đối xứng nhau qua Oy và xB x , yC B yC yH

+) Để tam giác ABC vuông tại A: AB.AC 0  

+) Tam giác ABC đều: AB BC

+) Tam giác ABC vuông tại A khi b 1

+) Tam giác ABC đều khi b33

+) Tam giác ABC có A 120 0 khi b 31

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Định nghĩa: Cho hàm số y f x   xác định trên D.

+) M là GTLN của hàm số trên D nếu:  

*) Quy tắc chung: (Thường dung cho D là một khoảng)

- Tính f ' x , giải phương trình   f ' x 0 tìm nghiệm trên D

- Lập BBT cho hàm số trên D

- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN

*) Quy tắc riêng: (Dùng cho a;b ) Cho hàm số  y f x   xác định và liên tục trên a; b 

- Tính f ' x , giải phương trình   f ' x 0 tìm nghiệm trên a, b 

- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x , x1 2a, b

- Tính 4 giá trị f a ,f b ,f x ,f x So sánh chúng và kết luận.      1 2

3 Chú ý:

1 GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn

2 Hàm số liên tục trên đoạn a, b thì luôn đạt GTLN, NN trên đoạn này.

3 Nếu hàm sồ f x đồng biến trên   a, b thì  max f x  f b , min f x   f a 

4 Nếu hàm sồ f x nghịch biến trên   a, b thì  max f x f a , min f x   f b 

5 Cho phương trình f x m với y f x   là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệmkhi min f xD  m max f x D  

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 3 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng

+) Hàm phân thức mà bậc của tử  bậc của mẫu có TCN

+) Hàm căn thức dạng: y  , y  bt, y bt  có TCN (Dùng liên hợp)

+) Hàm y a , 0 a 1 x     có TCN y 0

+) Hàm số y log x, 0 a 1 a     có TCĐ x 0

x O

y

x O

y

x O

- Nếu a 0b 0



 hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu+) Để hàm số có 1 cực trị ab 0

y

x O

y

x O

cx d







- Nếu ad bc 0  hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4

- Nếu ad bc 0  hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3.+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x d

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x g x 

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm

+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’)

BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x, m 0(phương trình ẩn x tham số m)

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng m f x  

+) Lập BBT cho hàm số y f x  

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m

*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x, m  0

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử x x 0 là 1 nghiệm của phương trình

+) Phân tích:

 

0 0

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2 g x   0

- Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R  hàm

số không có cực trị  y ' 0 hoặc vô nghiệm

+) Để (1) có đúng 3 nghiệm thì đồ thị

 

y F x, m cắt trục hoành tại 3 điểm phân

biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu và

cắt trục hoành tại 2 điểm phân

biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu và

Bài toán: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng:

a

 là 1 nghiệm của phương trình Từ đó thay vào phương trình để tìm m

+) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 6 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

BÀI TOÁN 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC

*) Các câu hỏi thường gặp:

1 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt   1 có 2 nghiệm phân biệt khác d

+) Tam giác ABC vuông.

+) Tam giác ABC có diện tích S0

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 7 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

BÀI TOÁN 4: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ax4bx2 c 0 (1)

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t thỏa mãn: 1 2 0 t 1 t2

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t thỏa mãn: 1 2 0 t 1t2

- Kết hợp t2 9t1 vơi định lý vi – ét tìm được m

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 8 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M x ; y thuộc đồ thị hàm số: 0 0

Cho hàm số  C : y f x   và điểm M x ; y 0 0   C Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M

- Tính đạo hàm f ' x Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là   f ' x 0

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y f ' x x x     0y0

Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi   là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

- Giả sử M x ; y là tiếp điểm Khi đó  0 0 x thỏa mãn: 0 f ' x 0 k(*)

- Giải (*) tìm x Suy ra 0 y0 f x 0

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y k x x   0y0

Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho hàm số  C : y f x   và điểm A a; b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A. 

- Gọi   là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Khi đó   : y k x a   b(*)

- Để   là tiếp tuyến của (C)      

+) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

+) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 9 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

2 Chuyên đề mũ – lôgarit

LŨY THỪA

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Định nghĩa luỹ thừa

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3 Định nghĩa và tính chất của căn thức

 Căn bậc n của a là số b sao cho bn  a

 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:

nab n a bn ;

n n n

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a n b

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì na  nb

 Logarit thập phân: lg b log b log b  10

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b log b e (với

log a

1log c  log c ( 0)

 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

2 Một số phương pháp giải phương trình mũ

a) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a  1: af (x) ag(x)  f (x) g(x)

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: aM aN  (a 1)(M N) 0  

 Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1)

 Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:

 Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) f (v)  u v

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

e) Đưa về phương trình đặc biệt

f) Phương pháp đối lập

Chú ý:

 Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.

 Với a, b, c > 0 và a, b, c  1: log c b log a b

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 17 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

3 Chuyên đề nguyên hàm - tích phân và ứng dụng.

ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Khái niệm nguyên hàm

 Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 18 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ VI PHÂN

Cốt lõi của phương pháp là dùng 1 biến phụ u đặt và chuyển đổi biểu thức f(x)dx ban đầu về toàn bộ biểu thức g(u)du đơn giản và dễ tìm nguyên hàm hơn.Cần nhận dạng được các mối liên quan giữa biểu thức

và đạo hàm với nó ví dụ như:

- Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau :

+ Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó:

,

f (u(x)).u (x).dx



+ Dạng 2: Nếu hàm số cần lấy tích phân có dạng :

f(x) chứa biểu thức a2 x2 Đặt x = |a|sint (- t

+Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần : Công thức

u(x).v '(x)dx u(x).v(x)  v(x).u '(x)dx

+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng f (x).g(x)dx trong các trường hợp sau:

-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số mũ-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số logarit-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số đa thức-f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm lôgarit

Cách giải : - Dùng công thức (*)

- Dùng sơ đồ (thường dùng để làm trắc nghiệm)

Chú ý: Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 20 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

TÍCH PHÂN

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Khái niệm tích phân

 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

- Khi tính tích phân cần sử dụng thành thạo và linh hoạt MTBT.

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 21 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]

2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])

 Thể tích của khối tròn xoay:

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)sinh ra khi quay quanh trục Ox:

b 2

z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0)

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

 Hai số phức bằng nhau: a bi a’ b’i a a ' (a, b, a ', b ' R)

 a bi a’ b’i  a a’ b b’ i   a bi  a’ b’i a a’ b b’ i 

 Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

 u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u u '  biểu diễn z + z’ và u u '  biểu diễn z – z’

4 Nhân hai số phức :

 a bi a ' b 'i      aa’ – bb’ ab’ ba’ i 

 k(a bi) ka kbi (k R)   

x a

8 Căn bậc hai của số phức:

 z x yi  là căn bậc hai của số phức w a bi   z2 w 

 w 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau

 Hai căn bậc hai của a > 0 là  a

 Hai căn bậc hai của a < 0 là  a.i

9 Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0 )

2

3 1i

Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

 (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

Ví dụ 5: Tìm phần ảo của z biết: z 3z 2 i  3 2 i (1) 

Giải: Giả sử z=a+bi

+) z133z2  8 36i 54i 227i3 3 3i 49 6i  z133z2  2437

Ví dụ 8: Tìm các căn bậc hai của số phức z 5 12i 

Giải: Giả sử m+ni (m; nR) là căn bậc hai của z

Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i  (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 24 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

Ví dụ 5: Tính môđun của số phức z biết: (2z 1)(1 i) (z 1)(1 i) 2 2i (1)      

Giải: (1) (2a 2bi 1))(1 i) (a bi 1)(1 i) 2 2i        

 2a 2ai 2bi 2bi   2   1 i a ai bi bi  2   1 i 2 2i

 3a 3ba ai bi 2i 2 2i     

1a

b3

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 25 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

DẠNG 3: TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN

Ví dụ 3: Tìm phần ảo của z biết: z 3z 2 i  3 2 i (1) 

Giải: Giả sử z=a+bi

Ví dụ 5: Tìm số phức z biết z 2z 2 i  3 1 i  (1)

Giải: Giả sử z a bi   z a bi 

(1)  a bi 2(a bi) (2    33.2 i 3.2i2  2i )(1 i)3 

a bi 2a 2bi (8 12i 6 i)(1 i) (11i 2)(1 i)

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn: z 3 4i  4 Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Giải: Giả sử z=a+bi, ta có: a bi 3 4i    4 a 3 2b 4 2 16

Ví dụ 4: Cho hai số phức z , z thỏa mãn 1 2 z15 5, z 2  1 3i z2 3 6i Tìm giá trị nhỏ nhất của

z  z

Giải: Giả sử M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức z1 a bi, N(c;d) là điểm biểu diễn của số phức

Ta có z15 5  (a 5) 2b225

Vậy M thuộc đường tròn (C) :(x 5) 2y2 25

z2 1 3i z2 3 6i 8c 6d 35 

Vậy N thuộc đường thẳng : 8x 6y 35 

Dễ thấy đường thẳng  không cắt (C) và z1 z2 MN

Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) :(x 5) 2y2 25 và đường thẳng

: 8x 6y 35

   Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên (C), N chạy trên đường thẳng 

M L

H

0

d

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với  PT đường thẳng d là 6x-8y=-30

Gọi H là giao điểm của d và  Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

x 1

H(1; )9

 (x-2)2 + (y+3)2 = 9

4  Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là đường tròn tâm I(2;-3) và bán kính

3/2

Môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M thuộc đường tròn và gần O nhất  M trùng với M1

là giao của đường thẳng OI với đường tròn

Lại có:

313

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 27 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Ví dụ 2: Giải phương trình: z2 (3i 8)z 11i 13 0   

Giải: (3i 8) 2 4(11i 13) 4i 3  

Giả sử m+ni (m; nR) là căn bậc hai của 

Ta có: (m ni) 2  5 12i  m22mni n i 2 2  3 4i m22mni n 2  3 4i

Do đó nghiệm của phương trình là

3i 8 i 2

23i 8 i 2

Giải:  ' 22 73 3i 2 các căn bậc hai của ' là i 3

Vậy nghiệm của phương trình là: z 2 3i, z 2 3i

Ví dụ 4: giải phương trình: z34z2(4 i)z 3 3i 0 (1)   

Giải: Dễ thấy z=-i là nghiệm của (1) nên (1)(z i)(z 2(4 i)z 3 3i) 0   

a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z) : z2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z) : z3 + az2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm vàcũng nhận z = 2 làm nghiệm

Giải: Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z 0

Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : (z2 12) (z 1) 1 0

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

2) Ta có: (x + yi)3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3)i = 18 + 26i

Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:

x 3xy 183x y y 26

Ví dụ 12: Giải phương trình: (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2= 0

Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 28 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

DẠNG 6: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC, TẬP HỢP ĐIỂM

A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i Hãy:

a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức

b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức

Giải:

a) Vecto OM

biểu diễn số phức z = 1 + 3i, vecto OM '

biểu diễn sốphức z’ = 2 + i

b) z + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto

Ví dụ 2: Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác

đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu

diễn số i

Giải: Gọi D là điểm biểu diễn số i A biểu diễn số −i.

Dễ thấy điểm E có tọa độ cos ;sin 3 1;

c) Ta có : z  z 3 4i  a + bi = a – bi – 3 + 4i a + bi = (a – 3) + (4 – b)i

 a2 + b2 = (a – 3)2 + (4 – b)2  6a + 8b – 25 = 0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đườngthẳng

Ví dụ 4: Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình 3x-y-1=0

Ví dụ 7: Tìm quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức   (1 i 3)z 2 biết số phức z

Vậy có hai số phức thoả mãn là: z3 = 3 (1+i) và z3 = - 3 (1-i)

Ví dụ 9: Tìm các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau:

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 29 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

5 Chuyên đề các bài toán thực tế:

Các bài toán thực tế thường rất đa dạng và thường không có một phương pháp chung nhất để giải tất cả các bài toán đó.Chúng tôi chỉ trình bày các bài toán lãi suất tương đối cụ thể.6 dạng còn lại chung tôi sẽ phân dạng và đưa bài tập áp dụng

A – PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1) Bài toán lãi suất

a) Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng Tính cả vốn lẫn lãi

Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.

Từ công thức (*) T = a(1 + r)n ta tính được các đại lượng khác như sau:

1) 



Tln

an





b) Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a (đồng) Biết lãi suất hàng tháng là m% Hỏi

sau n tháng, người ấy có bao nhiêu tiền?

Cuối tháng thứ I, người đó có số tiền là: T1= a + a.m = a(1 + m)

Đầu tháng thứ II, người đó có số tiền là:

a(1 + m) + a = a[(1+m)+1] = a [(1+m) -1] 2

2

a[(1+m) -1]

2

a[(1+m) -1]

A LÝ THUYẾT

1 Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiên, hànhđộng kia có n cách thực hiên không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện

Chú ý: số phần tử của tập hợp hữu hạn X được kí hiệu là |X| hoặc n(X)

Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì n A B   n A n B 

Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động

1, 2, , ,3 k

A A A A Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, hành động A2 có m2 cách thực hiện,…, hành động

Ak có mk cách thực hiện và các cách thực hiên của các hành động trên không trùng nhau thì công việc đó có

` Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi k hành độngA A A1, 2, , ,3 A liên tiếp Nếu hành động A k 1

có m1cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động A1 có m2 cách thực hiện hành động A2,…, có

Việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A là một công việc gồm n công đoạn.

Công đoạn 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất: n cách

Công đoạn 2: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai: (n-1) cách

Công đoạn thứ i: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có n i 1 cách

Công đoạn thứ n: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ n có 1 cách.

Theo quy tắc nhân thì có P n n! cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A, tức là có !n hoán vị.

2.Chỉnh hợp

Cho tập A gồm n phần tử n  1

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau tử n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào

đó được gọi là một chinht hợp chập k của n phần tử đã cho

Việc thiết lập một chỉnh hợp chập k của tập A có n phần tử là một công việc gồm k công đoạn

Công đoạn 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có n cách thực hiện.

Công đoạn 2: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai có n  cách thực hiện.1

Sau khi thực hiện xong i  công đoạn (chọn 1 i  phần tử của A vào các vị trí thứ 1, 2,., 1 i  ), công đoạn1thứ i tiếp theo là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có n i 1 cách thực hiện

Công đoạn cuối, công đoạn k có n k 1 cách thực hiện

Thoe quy tắc nhân thì có    

(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển a b n)

-Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau

4.D u hi u nh n bi t s d ng nh th c newton ấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton ệu nhận biết sử dụng nhị thức newton ận biết sử dụng nhị thức newton ết sử dụng nhị thức newton ử dụng: ụng: ịnh lí: ức khai triển hay sử dụng:

a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có

1

n i n i