Phép biến đổi Laplace

Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngànhnhư: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tíchphân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn s

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

1 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

1 Lý do chọn đề

tài

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó,

mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngànhkhoa học khác, trong đó có vật lý học Tính chất cơ bản của vật lý học là tínhthực nghiệm Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lýhọc một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học.Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý Nó là sự giao thoagiữa toán học và vật lý học

Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyếtgần như trọn vẹn Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng củanhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực Cùng với điều đó là sựphát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu Dẫn tới sự ra đờicủa một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết

Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới.Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mốiquan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được Nó tìmđược những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiềuhiện tượng xét một cách tổng quát nhất

Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rấtphong phú và đa dạng Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngànhnhư: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tíchphân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinhviên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học kháctrong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của

họ sau khi ra trường

Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán học cũng như ứng

dụng của nó trong vật lý Đề tài: “Phép biến đổi Laplace” cũng là một trong

số những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý Nó giúpchúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn Vì vậy khichọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toándùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng

2 Mục đích nghiên cứu

- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong nghiên cứu vật lý

- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes

- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ tọa độ thường gặp trong vật lý đó là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu

3 Đối tượng nghiên cứu

- Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng

4 Phương pháp nghiên cứu

- Vật lý lý thuyết

- Phương pháp giải tích toán học

- Đọc tài liệu và tra cứu

5 Cấu trúc khóa luận

Đề tài nghiên cứu gồm:

- Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes

- Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong

- Chương 3: Bài tập

PHẦN 2: NỘI DUNGChương 1

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES

1 GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG

1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung)

Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nóứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M) Cho một trường

vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộcvào từng điểm M của miền V Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có:

u = f (M) = f (x, y, z)

Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó Tại mỗi

điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểmnày

Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z) Nếu hàm vô hướng u = f (M) củatrường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng Nếu f còn phụ thuộc

cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t) Đểbiểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức Tập hợp tất

cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mứctương ứng với số C Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức, cho C cácgiá trị khác nhau ta có họ mặt mức

Ví dụ như, đối với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặtphẳng x + y + z = 1 Mặt mức đối với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2 Đốivới trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọa

độ, ví dụ đối với trường

y  x2  y12  z2 mặt mức u = 4 là hình cầu1

 4

x2  y2  z2 hay x2  y2  z2  1

4Giả sử cho đường cong L và trên đường cong này ta chọn một hướngnào đó (ví dụ theo chiều mũi tên) Khi đó đường cong gọi là được định hướng(H.1.1)

Giả sử M và M1 là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu S là độ dài cung

cung M M1 là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch

chuyển từ M đến M1 ) và độ dài cung S , tức bằng:

f (M )  f (M1 )

S Đạo hàm theo đường cong L tại điểm M1 là giới hạn của tỷ số:

trong đó   là các góc tạo bởi vectơ tiếp tuyến với đường cong L tại cácđểm M1 và các trục toạ độ Đạo hàm theo đường cong tại điểm M1 không phụthuộc vào hình dạng đường cong mà chỉ phụ thuộc vào hướng của tiếp tuyến

với L tại điểm M1 nói cách khác,

nếu các đường cong L1

và L2 đi qua

M1 có tại điểm này cùng một vectơ

tiếp tuyến, thì đạo hàm tại điểm

này theo đường cong

L1 bằng đạohàm theo đường cong L (H 1.2).

H 1.2

1.2 Gradien của trường vô hướng

Ta xét trường vô hướng u = f(x, y, z) và tính đạo hàm của u theo hướng

theo hướng vectơ j , đạo hàm riêng

z là đạo hàm theo hướng vectơ  Trước

Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ  và vectơ có toạ

độ là ( u , u , u ) Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu:

Do đó:  u  gradu

    

Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướng Từ đây ta

suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất Như vậy gradu là

vectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất

x3 y2

Ví dụ 1: Cho trường vô hướng

hướng nào hàm u tăng nhanh nhất.



u gradu.       

M

l

Định lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z)

tại điểm M khác không Khi đó nó vuông góc với

đường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặt

mức u(x, y, z) = C, C là hằng số

Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l

nằm trong mặt mức, bởi vì hàm u không thay đổi khi

cos(gradu, )  0 Tức là góc giữa  và gradu bằng 90 0

Quỹ tích các tiếp tuyến tại điểm M 0 với các đường cong nằm trong mặtmức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểm M 0 Nếu

Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt mức là:

 )x y z .(x  x0 )   )x y z .( y  y0 )   )x y z .(z  z0 )  0

x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0

(1.6)

Chú ý: Nếu cho mặt xác định bởi f (x, y, z) = 0, ta có thể xem nó là mặt

mức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0 Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúcvới mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6)

Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolic

c/ grad u ugradv v v vgradu  2

1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien

Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ.Cho nên trong vật lý người ta dùng phương

pháp trong đó tính một đại lượng vô hướng

(không đơn trị) một cách đơn giản hơn, nhưng

gradien của nó lại cho ta một đại lượng vật lý

thực dưới dạng vectơ, đơn trị, có thể đo được

trên thực nghiệm Thí dụ, trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng



φ (không đơn trị), nhưng E  grad là cường độ điện trường có thể đo đượctrên thực nghiệm

2 DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ

2.1 Trường vectơ-đường vectơ

M

2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ

Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực, trường từ hay trường điện như   grad được nêu ở trên Để biểu diễn hìnhhọc trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà



tại mỗi điểm của nó vectơ A nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này.Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọi là các đường lực) là các tia xuất phát từ gốc toạ độ Trong trường gradien   grad

đường vectơ của trường là đường mà khi chuyển động dọc theo nó, đại lượng

u tăng với vận tốc lớn nhất

Để tìm đường vectơ của trường

A  P(x, y, z)i  Q(x, y, z) j  R(x, y, z)k

Ta tiến hành như sau:

Giả sử phương trình tham số của đường vectơ là

Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chất

điểm đặt tại gốc toạ độ Khi đó các đường vectơ

là các tia xuất phát từ gốc toạ độ, vì thế ống

vectơ trong trường này có dạng hình nón với

Ta xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ A nào đó.

Ta chọn trên mặt này một hướng xác định mà ta gọi đó là hướng dươnghướng ngược lại của mặt là hướng âm Ta nói rằng mặt như vậy là mặt địnhhướng

Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ

Nếu    Q   R  và các góc chỉ phương của vectơ  tương ứngbằng , ,  tức là:   cos  cos  cos  thì f(M)  P cos   Q cos  R cos hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệubằng chữ :

xi  y j  zk

x 2  y 2  z 2

Nếu mặt S là mặt kín thì ta thường định hướng như sau: Hướng bênngoài của mặt là hướng dương, hướng bên trong là hướng âm

2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượng

Trong trường hợp thuỷ động học, thông lượng qua mặt được địnhhướng bằng khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thời gian

Ta xét trường hợp mặt kín S Nếu thông lượng qua S là mặt dương điềunày nghĩa là lượng chất lỏng chảy từ một phần của không gian được giới hạnbởi mặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó Ngược lại, nếu thông lượng

âm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chất lỏng chảy ra từ S

Ví dụ: Cho trường vectơ

2.2 Dive của trường vectơ

2.2.1 Dive của trường vectơ



Dive (divergen) của trường vectơ A tại điểm M là giới hạn của tỉ sốthông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi

bề mặt này

trong đó , ,  là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài.

Theo công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp:

Như vậy thông lượng của trường vectơ A qua bề mặt kín bằng tích phân 3 lớp của div trên miền mà bề mặt này giới hạn Chú ý rằng công thứcnày chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi div liên tục trong miền V.

Ví dụ: Tính thông lượng của trường vectơ



divF  0tại điểm bất kỳ khác gốc toạ độ Vậy  là trường hình ống trong miền G

Bây giờ ta tính dive tại gốc toạ độ

Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng -4π m , tỉ số thông lượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng

trong đó  là vectơ cảm ứng điện , còn ρ là mật độ của điện tích tự do.

3 ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ

3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến

(3.1)

là lưu thông của trường vectơ



Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào A và l, mà còn

cả hướng của chu tuyến l Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay

l

trong đó P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục tại điểm M thuộc

S và trong lân cận của điểm M Trên bề mặt S, ta vẽ chu tuyến đóng l bao

zquanh điểm M rồi chọn hướng xác định trên

 chu tuyến này và tính □ Adl

Tỷ số lưu thông theo chu tuyến l và diện

S

tích  của bề mặt S được giới hạn bởi chu

tuyến l trên được gọi là mật độ lưu thông trung

ta gọi giới hạn : lim

l M  là mật độ lưu thông tại điểm M trên bề mặt S Tacó:



M

□

 i



x P

 k



z R

Vectơ này chỉ phụ thuộc vào trường vectơ đã cho A Ta kí hiệu là rot A

Như vậy mật độ lưu thông của trường vectơ 

(3.8)

Ví dụ 1: Tính rota của trường vectơ

rot A  (2z)i  (2x) j  (2 y)k

nói riêng, tại điểm (0, 0, 1)

rot A  2i

Ví dụ 2: Xét trường vận tốc tại các điểm của một vật thể rắn quay với

vận tốc góc không đổi 0 quanh trục Oz

Giải: Ta đã biết trường này được cho bởi công thức:

trong đó rot n A là hình chiếu của vectơ rot A lên pháp tuyến của mặt S Như

vậy lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến đóng l bằng thông lượng của



rot

A

của trường này trên bề mặt với biên là chu tuyến l.

3.4 Ý nghĩa vật lý của rota

Từ rota có nghĩa là xoáy cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từ

còn rota của thông lượng trường điện E

cảm ứng từ B

A

j

theo thời gian

 

rot E   B

t

Các phương trình (3.10), (3.11) là các phương trình Maxwell

4 CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI DIVE VÀ ROTA

4.1 Dive và rota của vectơ hằng số bằng không

a/ Giả sử u và v là hai trường vô hướng Khi đó uv cũng là trường vô hướng ta có:

và div( A  B)  (Brot A)  ( Arot B)

Kết luận: Chương 1 chúng ta đã nghiên cứu những khái niệm quan

trọng về trường và những đặc trưng cơ bản của trường vectơ và trường vô hướng Cùng với nó là các phép tính của trường như: phép tính gradien của trường vô hướng, phép tính dive của trường vectơ và phép tính rota của trường vectơ Trong phạm vi chương 1 chúng ta chỉ tìm hiểu các phép tính này trong hệ tọa độ Descartes vuông góc.

CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CONG

1 HỆ TỌA ĐỘ CONG

1.1 Định nghĩa

Vị trí của một điểm M trong không gian được xác định bằng bán kính

vectơ r Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz: r  xi  y j  zk

Trong nhiều bài toán để xác định vị trí của điểm M thay cho bộ ba số x,

y, z người ta dùng bộ ba số khác q1 , q2 , q3 phù hợp và thuận tiện hơn vớibài toán đang xét Ngược lại, ta giả thiết một bộ ba số q1 , q2 , q3 ứng với mộtbán

kính vectơ  , do đó ứng với một điểm M nào đó của không gian Các đạilượng q1 , q2 , q3 được gọi là toạ độ cong của điểm M

Vì mỗi điểm M ứng với hệ toạ độ q1 , q2 , q3 do đó mỗi một toạ độ này

định hoàn toàn khi cho ba số q1 , q2 , q3 Nghĩa là 3 thành phần x, y, z của r làhàm số của q1 , q2 , q3

Tập hợp tất cả các điểmtrong không gian sao cho trên tập

này q1 không đổi gọi là mặt tọa độ q1

H.1.1

Mặt q 3

Đường q 1

Vị trí của 1 điểm được xác định bởi q1   , q2   , q3  z (H.1.2)

Ta có mối liên hệ giữa hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ đề các vuông góc:

Các đường tọa độ:

H.1.2

Đường z là đường thẳng song song với trục Oz, đường  là đường tròn cótâm nằm trên trục Oz trong mặt phẳng vuông góc với trục Oz, đường  là nửađường thẳng xuất phát từ trục Oz và song song với mặt phẳng Oxy

b/ Hệ tọa độ cầu

Vị trí của một điểm được xác định bởi bộ ba số q1  r , q2   , q3  z Hệ thức

liên hệ giữa hệ tọa độ cầu và hệ tọa độ đề các vuông góc:

M

θ O

y φ

Đường r là nửa đường thẳng xuất phát từ gốc O

Đường  là kinh tuyến trên mặt cầu

Đường  là đường tròn vĩ tuyến trên mặt cầu x

1.3 Hệ tọa độ cong trực giao

Hệ tọa độ cong mà các đường tọa độ vuông góc với nhau theo từng đôimột tại mỗi điểm được gọi là hệ tọa độ cong trực giao Trong các ví dụ trên,

hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu đều là các hệ tọa độ cong trực giao

Trong không gian cho điểm M nào đó,

gọi  (i=1, 2, 3) là các vectơ đơn vị tiếp

i

xúc tại điểm này với các đường tọa độ q i

và hướng theo chiều tăng của các đường tọa độ q i

phụ thuộc vào các vị trí của M

Gọi vectơ đơn vị có phương pháp tuyến với mặt tọa độ q i  C i và hướng

Lập tỉ số

được gọi là hệ số lame của hệ tọa độ cong đang xét.

Hệ số lame trong hệ tọa độ đề các

Hệ số lame trong hệ tọa độ cầu

Bây giờ ta xét mối quan hệ giữa hệ số Lame hi và grad qi

Từ công thức vi phân toàn phần của bán kính vectơ