Phép biến đổi Laplace và ứng dụng

Hàm cóđạohàmtại thì: làvôcùngbébậccaohơn khi ,dođó cũngkhảvitại... n làánhxạtừ vào bởiphépnghịchđảo.Nhưvậykhi hữuhạncòn tanói giảitíchtại nếu: giảitíchtại ,cònkhi tanói giảitíchtại nếu

Kho á l uận tố t n ghiệp đại họ c

3.1 Ứngdụnggiảiphươngtrìnhviphânvàhệphươngtrìnhviphân 573.2 Ứngdụngđểtínhtíchphânsuyrộngvàtínhtổngcủachuỗi 97

1.Lýdochọnđềtài:

PhépbiếnđổiLaplacel à mộttrongcácphépbiếnđổitíchphân.Lýthuyếtbiếnđổitíchphânbanđầuđượcápdụngđểgiảiphươngtrìnhviphânthường,phươngtrìnhvi phânđạohà m riêng.Phươngtrìnhviph ânlàmộ

tlĩnhvựccủatoánhọcc ơ b ả n,vừamangtínhlýthuyết,v ừamangtínhứngdụngrộngrãi.Thôngthườngcácbàitoánphươngtrìnhviphânđượcrútratừc á c vấnđềtrongthựctếvàsauđóngườitatìmranócónhiềuứngdụngtrongnhiềulĩnhvựckhácnhư

trongVậtlý,Kỹthuật,Xửlýtínhiệu,Xácsuất…

Cácsáchthamkhảodànhchosinhviênn g h i ê n cứusửdụngphépbiếnđổiLaplacevàophươngtrìnhvàhệphươngtrìnhviphânchưacónhiều.Bởivậyviệcnghiêncứuphépbiếnđổinàylà rấtcầnthiếtđốivớimỗisinhviên

Dovậymàemđãchọnđềtài:”PhépbiếnđổiLaplacevàứngdụng”đểthựchiệnkhóaluậntốtnghiệpđạihọc

2.Mụcđíchnghiêncứu:

Bướcđầulàmquenvớicôngviệcnghiêncứukhoahọcvàtìmhiểusâuhơnv ề phươngtrìnhv à hệphươngtrìnhv i p h â n ,giảitíchh à m đ ặ cbiệtlàphépbiếnđổiLaplace

3.Nhiệmvụnghiêncứu:

NghiêncứuphépbiếnđổiLaplacethuậnvànghịch,cácứngdụngcủaphépbiếnđổinàyvàogiảitoán

4.Phươngphápnghiêncứu:

Nghiêncứulýluận,phântích,tổnghợpvàđánhgiá

5.Cấutrúckhóaluận:

NgoàiphầnMởđầu,Kếtluận,Tàiliệuthamkhảo,nộidungkhóaluậng ồmbachương:

ChươngI :MộtsốkháiniệmvàkếtquảchuẩnbịChươngII :PhépbiếnđổiLaplace

ChươngIII: ỨngdụngcủaphépbiếnđổiLaplace

+) Hàm gọilàliêntụcđềutrên nếu:

Hàm cóđạohàmtại thì:

) làvôcùngbébậccaohơn khi ,dođó cũngkhảvitại

(nhưlàhàmsốcủabiếnsốphức ) khivàchỉkhicáchàmsố khảvitại

(nhưlàhàmsốgiátrịthựccủahaibiếnthực , )vàcácđạohàmriêngcủachúngt

n làánhxạtừ vào bởiphépnghịchđảo.Nhưvậykhi hữu

hạncòn tanói giảitíchtại nếu: giảitíchtại ,cònkhi

tanói giảitíchtại nếu

thành phần, làđiểmtuỳýthuộccung

là cácđiểmchia

Vớigiảthiếtđãchovềhàmsố và vềđườngcong ,ta luôncó:

trongđóphầnthựcvàphầnảocủavếphải(1.1.1)làcáctíchphânđườngloại2 lấytrêntheohướngtừađếnb

- Khi làđườngcongkhảtrườngvàđóngthì(1.1.1)cónghĩalàtíchphânđượclấytheohướngdương(hướngmàkhichuyểnđộngtrênL,miềnhữuhạngiớihạnbởiLluônnằmbêntrái)

Nhưvậy,k h i tínhtíchphânphứctacóthểápdụngcôngthức(1.1.1)vàkhitínhcáctíchphânđườngloại2tươngứngta sửdụngcácphươngphápđãbiết

NếuDlàmiềnhữuhạn -liênvớibiên

gồmmộtsốhữuhạncácđườngcongJordanđóng,trơntừngkhúcsaochocácmiềnđónghữuhạngiớihạnbởi nằmhoàntoàntrongmiềnhữuhạngiớihạnbởivàđôimộtkhônggiaonhau,hàmsố giảitíchtrênmiềnđóng ,thếthì:

1.1.3.2.3 CôngthứctíchphânCauchy

NếuDlàmiềnhữuhạnvớibiên củanógồmmộtsốhữuhạnđườngcongJordanđóng,trơntừngkhúc,hàmsố giảitíchtrên , làđiểmnàođócủamặtphẳngphứckhôngthuộc Khiđó

Địnhnghĩa tíchphân loại Cauchy:

1.1.3.2.4 ĐịnhlítínhchấtcủatíchphânloạiCauchy

Vớimọi thuộcmặtphẳngphứcvà khôngthuộc ,tíchphânloạiCauchylàh à m giảitích,cóđạohàmmọicấpvàđượctínhtheocôngthức:

Ltheohướngdươngđượcgọilàthặngdưcủa tạiđiểmkìdịcôlập ,kíhiệulà:

Thặngdưcủa tạiđiểmkìdịcôlập xácđịnhbởitíchphânlấydọcđườngtròn theohướngdương:

b) là điểmcựcđiểmcấpmthì:

( làcựcđiểmđơn)

1.2 MỘTSỐKHÁINIỆMCƠBẢNCỦAPHƯƠNGTRÌNHVÀHỆP

HƯƠNGTRÌNHVIPHÂN 1.2.1 Phươngtrìnhviphâncấpmột

1.2.1.1 Địnhnghĩa

Phươngtrìnhviphâncấpmộtcódạngtổng quátlà:

Nghiệmcủaphươngtrình(1.2.1)làhàm cótínhchấtkhithếvàophươngtrình(1.2.1)thìtađượcmộtđồngnhấtthức.Phươngtrình(1.2.1)

;trongđó làcácgiátrịchotrước.

BàitoánđặtranhưvậygọilàbàitoánCauchy.Điềukiện(1.2.3)đượcgọilàđiềukiệnbanđầu; là cácgiátrịbanđầu

Cnócóđạohàmriêngliêntụctheoxvàthoảmãnc á c điềukiệnsau:

a) Từhệthức(1.2.4)tacóthểgiảiđượcC:

b) Hàm thoảmãnphươngtrình(1.2.2)vớimọigiátrịcủa xácđịnhtừ(1.2.5)khi(x,y)biếnthiêntrong Nếunghiệmtổngquátcủa

phươngtrình(1.2.2)đượcchodướidạngẩn: thìnóđượcgọilàtíchphântổngquát.

1.2.1.4 Nghiệmriêng

Nghiệmcủaphươngtrình(1.2.2)màtạimỗiđiểmcủa

nótínhduynhấtnghiệmcủa bàitoánCauchyđượcbảođảmđượcgọilànghiệmriêng.Nghiệmnhậnđược từnghiệmtổngquátvớigiátrịcụthểcủahằngsố

.Ngoàirachúngtacòncónghiệmhỗnhợptứclànghiệmbaogồmmộtphầnnghiệmriêngvàmộtphầnnghiệmkỳdị

Hàm xácđịnhtrongmiềnbiếnthiêncủacácbiến

cótấtcảcácđạohàmriêngtheoxliêntụcđếncấpnđượcgọilànghiệmtổngquátcủaphươngtrình(1.2.7)trongmiền nếutrong từhệphươngtrình:

ở đây là các hàmcủa màchúngtacầntìm;

làcáchàmchotrướcxácđịnhvàliêntụctrongmộtmiền nàođócủacácbiến

,sốnđượcgọilàbậccủahệ(1.2.11)

Tậphợpnhàm xácđịnhvàkhảviliêntụctrênkhoảng(a,b)đượcgọilànghiệmcủa

liêntụctrong thìbàitoánCauchyluônluôncónghiệm(địnhlýPêanô)

1.2.3.3 Nghiệmtổngquát

Hện hàmkhảviliêntụctheox,phụthuộcnhằngsốtuỳý

đượcgọilànghiệmtổngquátcủahệ(1.2.11)ởtrongmiền nếu:

1.2.3.5 Nghiệmriêng

Nghiệmcủa

hệ(1.2.11)màtạimỗiđiểmcủanótínhduynhấtnghiệmcủ a bàitoánCauchyđượcbảođảmđượcgọilànghiệmriêng.Nghiệmnhận

1.2.3.7 .7 Hệphươngtrìnhviphântuyếntính

Hệphươngtrìnhviphântuyếntínhkhôngthuầnnhấtcódạng:

CHƯƠNGII:PHÉPBIẾNĐỔILAPLACE 2.1BIẾN ĐỔILAPLACETHUẬN 2.1.1 Định nghĩavàvídụhàmgốc

Hàmbiếnsốthực đượcgọilàhàmgốcnếuthỏamãn3điềukiệnsauđây:

(1) liêntụctừngkhúctrênmọikhoảnghữuhạncủatrụcthực (2)

khi(3) tăngkhôngnhanhhơnhàmsốmũ,nghĩalàtìmđược cácsố

nghàm nàokhôngthỏamãnđiềukiệnnàysẽkhôngphảilàhàmảnhcủamộthàmgốcnàocả.

Vậysuyra giảitíchtrênmiền

2.1.3.2 Tính chấttuyếntính

Chohàmgốc cócácchỉsốtăng ,biếnđổiLaplace

là KhiđóbiếnđổiLaplacecủahàmtổhợptuyếntính củacác hàm

hứngminh:

Tacó:

làhàm địnhbởi:

Muốntìmảnh(hoặctìmgốc)củamộttổnggồmnhiềusốhạngtachỉcầntìmảnh(hoặctìmgốc)củatừngsốhạngmàthôi

Víd

ụ :

BiếnđổiLaplacecủamộtsốhàmthôngdụng.Trongvídụ2của2.1.2tacó:

TừtínhchấttuyếntínhvàkếtquảtrêntasẽtìmbiếnđổiLaplacecủacáchàmthôngdụngsau:

+Muốntìmgốccủa ,trướchếttatìmgốccủa là rồitheotínhchậmtrễcủagốcsẽtìmđược gốccủahàm là

Víd

ụ :Tính

Bằngcáchsửdụngtínhchất2.1.3.6tacũngtìmrađược cáckếtquả nhưvậy.

Nhưv ậ ycó t h ểnói:s ựcómặtcủathừas ố ởhàmgốckhôngg â y khókhănchoviệctìmảnh.

Nếu , vàđạohàm đềulàhàmgốcthìcóhệthức:

Theođịnhnghĩavềtíchchậptacó:

NêntheođịnhlýnhânBoreltacó:

2.2.BIẾNĐỔILAPLACENGƢỢC 2.1.1.ĐịnhnghĩavàvídụvềphépbiếnđổiLaplacengƣợc

Thôngthườngngườitakýhiệu là hàmngược củahàm ).

Nócónghĩalànếu:

BiếnđổiLaplacengượccóýnghĩaquantrọngtrongthựchànhvàcũngcórấtnhiềucáchkhácnhauđểtìmchúng.Ở đâytasẽ xem xétt ớicá c hàm phânt h ứccủahaiđathứcdạng:

vớivàc ó hệsốthựcvàkhôngtrùngnhau

đểđơngiảntaxétcáchàm các bậccủatửnhỏhơnbậccủamẫu.Víd ụ :a) Từ:

b) Tìm:

• Từ:

• Từ:

Chúý:BiếnđổiFourier:+Biếnđổithuận:

+Biếnđổinghịch:

2.2.2.2 Địnhl ý 2:Choc á c hàmgốc trơntừngkhúctrênnửatrụcthực cóchỉsốtănglầnlượtlà và Giảsử khiđó cũnglàhàmgốcvớichỉsốtăng

Vậysuyra( làgốcvớichỉsốtăng Tathấy:

Trongđịnhlýtrêntađ ã rútr a côngt h ứ cMellintừg i ảthiết làbiếnđổiLaplacecủamộthàmgốcnàođó.Vấnđềđặtralàphảithỏamãnđiềukiện

Khiđóhàm xácđịnhtrên làbiếnđổiLaplacecủahàmfđịnhbởi:

Địnhlýdướiđâychophéptatìmhàmgốc củamộthàmchínhquytạivôcực

2.2.2.4 Địnhlý 4

Giảsử ,nếutạilâncậnđiểm tức làtạinhữnggiátrị mà

v ới làsốdươngkhálớn,hàmảnh khaitriểnđượcthànhchuỗiLaurentsauđây:

Nhậnxét:Tađãbiết

Sửdụngđịnhlý4tachỉcầnkhaitriểncáchàmđãchothànhchuỗiLaurenttronglâncậnđiểm rồiápdụngcôngthức(2.2.3).

MuốntìmhàmgốccủahàmảnhcódạngF(p/α) (hoặcF(αp))α) (hoặcF(αp))) (hoặcF(α) (hoặcF(αp))p))tachỉviệctìmgốccủa

+ có làcựcđiểmc ấ p 2 nêncũngl à cựcđiểmc ấ p 2 của

có làcựcđiểmcấp 2nêncũnglàcựcđiểmcấp 2của Nêncó:

Vậy:

PhépbiếnđổiLaplacec ó rấtnhiềuứngdụngtrongc á c lĩnhv ự ckhácnhaunhưtrongVậtlý,Kỹthuật,Xácsuất,…

TrongToánhọcphépbiếnđổiLaplacebanđầuđượcứngdụngđểgiảicácphươngtrìnhviphân,hệphươngtrìnhviphân

3.11:ỨNGDỤNGGIẢIPHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNVÀHỆPH

ƯƠNGTRÌNHVIPHÂN

3.1.1 Ứngdụnggiảiphươngtrìnhviphântuyếntínhvớihệsốlàhằngsố

d ụ 4 :Giảiphươngtrìnhviphân

Trabảngđốichiếugốc-ảnhtacó:

Thậtvậy:1)

KếtquảnàygiốngvớikếtquảmàtanhậnđượctrongVídụ4mục2.1.2trongChươngIIbằngcáchsửdụngđịnhnghĩaphépbiếnđổiLaplace

Ví

dụ 2 :Vớihàm

Tacó:

 Hàmnàynếutínhtheođịnhnghĩathì:

+ Lấy biếnđổiLaplace2vếcủaphươngtrìnhviphânđãcho:

+DùngbiếnđổiLaplacengượcvàtrabảngđốichiếugốc-ảnhtacó:

Dođó:

+ Có:

+ Lấy biếnđổiLaplace2vếcủaphươngtrìnhviphânđãchotacó:

dụ 1 :Giảihệphươngtrìnhsau

Giảsử:

Thayvàohệtrêntađượcnghiệmtổngquátcầntìmlà:trongđó, là cáchằngsố

Thayvàohệtrêntađược:

Lấy ảnhtađượcnghiệmtổngquátcủahệ là:

phépbiếnđổiLaplacengượcvàtrabảngđốichiếugốc-trongđó , , là cáchằngsố

Ví

dụ 13 :Tìmnghiệmtổngquátcủahệsau

Khiđótacó:

Đặt:

Lấy ảnhtađượcnghiệmtổngquátcủahệlà:

Thayvàohệtrêntađược:

Lấy ảnhtađượcnghiệmtổngquátcủahệlà:

3.2.1 Ứngdụngđểtính tíchphânsuyrộng

Tachứngminhđượcrằng:

 Ví dụ áp dụng :Tínhcáctíchphânsuyrộngsauđây

Tasửdụngcôngthức3.2.1.a) từ

Tacó:

Theotínhchấttíchphânảnhtacó:

Vậy:

 dụVí áp dụng :Tínhtổngcácchuỗisau

Tađãbiếtrằngvớimọia,b thìcó:

Theo3.2.2.a) tacó:

Xéthàm

Theocôngthức3.2.2.b)tasẽcó:

Trênđâylàtoànbộnộidungcủakhoáluậntốtnghiệp:”PhépbiếnđổiLaplacevàứngdụng”màemmạnhdạnđưar a C á c bàit ậ p phươngphápnghiêncứuđểđiđếnlờigiảitrongkhoáluậntốtnghiệpnàyđãđượcemápdụngtrongh ọctậpkhie m họcv ềphươngtrìnhđ ạ oh à m riêngv à g i ảitíchh à m dướisựhướngdẫncủacácthầycôkhoaToán

Sovớiphươngphápcổđiểnđểgiảiphươngtrìnhviphânhệsốhằngtat h ấyphươngphápsửdụngphépbiếnđổiLaplacecónhữngưuđiểmvượttrội:

+

Dùn l ớ n b a o nhiêut a chỉcầngiảimộtphươngtrìnhđạis ố b ậ c nhấtđốivớiY(p)

KhốilượngtínhtoánnóichungíthơnsovớiphươngphápbiếnthiênhằngsốLagrance

+

Chongaynghiệmriêngkhôngcầnthôngq u a nghiệmtổngquát.Trongtrườnghợpmuốncónghiệmtổngquáttachỉcầnđặt

tuỳý

BiếnđổiLaplacecònnhiềuứngdụngtrongtoánhọcvàtrongc á c lĩnhvựckhác.Trongkhuônkhổcủamộtkhoáluậntốtnghiệpem chỉkhaithácđượccácvấnđềtrên,emrấtmongđượcnghiêncứuthêmvềvấnđềnày,kínhmongđượcsự gópýcủacácthầycôgiáovàcácbạnsinhviênđểkhoáluậntốtnghiệpcủaemđượchoànthiệnhơn

Emxinchânthànhcảmơn!

TÀILIỆU THAMKHẢO

1 ĐặngĐìnhÁng,TrầnLưuCường,HuỳnhBáLuân,NguyễnVănNhân(2002), Biếnđổitíchphân,NxbGiáodục

2 ĐậuThếCấp, Bàitậphàmbiếnphức(2000),NxbGiáodục

3 NguyễnThếHoàn,TrầnVănNhung,Bàitậpphươngtrìnhv i phân(1979),NxbĐạihọcvàTrunghọcchuyênnghiệp

4 NguyễnThếHoàn,PhạmPhu,Cơsởphươngtrìnhviphânvàlíthuyếtổnđịnh(2003),NxbGiáodục.

5 NguyễnPhụHy,Bàitậphàmsốbiếnsốphức(2006),NxbKhoahọcvàKỹthuật.