Một số mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma

Tôixincamđoand óisnưochoànthành h óngưochoànthành dancúaTS.NguyenVănHàokhóalu¾ntotnghi¾p“M® tsomoiliênquangiÑabienđoiLaplacevéihàmGamma”đ ocưochoànthành hoànthànhbóisnnh¾nthúccúachínhbán

B®GIÁODUCVÀĐÀOTAOTRƯèNGĐ AIHOCSƯPHAMHÀN®I2

TRANTH±PHƯƠNG

M®TSOMOILIÊNQUANGIUABIENĐO ILAPLACEVéIHÀMGAMMA

KHÓALU¾NTOTNGHIfiPĐAIHOC Chuyênngành:ToánGiáitích

Ngưèihưéngdankhoahoc.TSNGUYENVĂNHÀO

HàN®i-2013

%nh.Tácgiáxinchânthànhcám nnhungýkienđóngơnsâusac gópcúacácthaygiáo,côgiáovàcácbanhocviênđelu¾nvănhoànthànhnhưochoànthànhhi¾nnay

HàN®i,tháng05năm2013

Tácgiá

TranTh%Phương

Tôixincamđoand óisnưochoànthành h óngưochoànthành dancúaTS.NguyenVănHàokhóalu¾ntotnghi¾p“M® tsomoiliênquangiÑabienđoiLaplacevéihàmGamma”đ ocưochoànthành hoànthànhbóisnnh¾nthúccúachínhbánthântácgiávàkhôngtrùngvóibatkỳkhóalu¾nnàokhác

Trongquátrìnhlàmkhóalu¾ntôiđãkethùanhungthànhtnucúacácnhàkhoahocvóisntôntrongvàbiet n.ơnsâusac

HàN®i,tháng05năm2013

Tácgiá

TranTh%Phương

Mnclnc

Mé đau 1

Chương1.KienthNcchuanb% 3

1.1 Sophúcvàm¾tphángphúc 3

1.2 Hàmchínhhình 5

1.3 Lýthuyettíchphânphúc 8

Chương2.BienđoiLaplace 11

2.1 Đ%nhnghĩavàvídn 11

2.2 Tínhchatc báncúabienđoiơnsâusac Laplace 18

2.3 BienđoiLaplaceng ocưochoànthành 20

2.3.1 M®tsokháini¾m 20

2.3.2 M®t so ph ưochoànthànhơnsâusac ng pháp tìm hàm goc 21

2.4 Tíchch¾pcúabienđoiLaplace 25

2.4.1 Đ%nhnghĩavàvídn 25

2.4.2 Ãnhcúatíchch¾pquabien đoi Laplace 26

3.1 Kháini¾mvehàmGammavàm®tsotínhchatc bánơnsâusac 303.2 M®tsomoiliênquangiuabienđoiLaplacevóihàmGamma 35

3.2.1 BienđoiLaplacecúam®tsohàmnh¾nđ oc ưochoànthành quahàmGamma 35 3.2.2 MoiliênquancúahàmgammavóibienđoiLaplacevechuoi 37

Ketlu¾n 41 Tàili¾uthamkháo 42

HàmGammalàm®thàmcónhieutínhchatđăcbi¾tđemlainhieuúngdnngtrongcácnghànhkhoahockhácnhau.Quatiepc¾nvóilýthuyetbienđoiLaplacevàhàmGamma,đ ocưochoànthành snđ

%nhh óngưochoànthành cúang òiưochoànthành h óngưochoànthành dantôiđãchonđetài“M®tsomoiliênquangiÑab ienđoiLaplacevéihàmGamma ”đehoànthànhkhóalu¾ntotnghi¾p.Khóal

u¾nđ occauưochoànthành trúcthành3ch ng.ưochoànthànhơnsâusac

Chương1.Chúngtôitrìnhbàym®tsokienthúccănbánnhatvelýthuy

ethàmbienphúc,canthietchomncđíchnghiêncúuvebienđoiLaplacevànghiêncúumoiquanh¾cúaphépbienđoinàyvóihàmGamma

Chương2.Trongchưochoànthànhơnsâusac này,chúngtôitrìnhbàym®tcáchh¾thongvekháingni¾mbienđoiLaplace,cáctínhchatc báncúaphépbienđoiơnsâusac nàycùngm®tsophéptoángiáitíchliênquanđenbienđoinày

Chương3.Đâylàphanchínhcúakhóalu¾n,óđâychúngtôitrìnhbàylýthuy

etvehàmGammavàmoiliênquangiuabienđoiLaplacevóihàmGamma,cnthelàbienđoiLaplacecúam®tsohàmnh¾nđ ocưochoànthành quahàmGammavàmoiliênquacúahàmGammavóibienđoiLaplacecúachuoi

KienthNcchuanb%

1.1 SophNcvàm¾tphángphNc

Sophúclà socó dangz=x+iy;vóix,y∈Rvàilàđ n ơnsâusac v%áo mài2=−1.

Tagoixlàphanthncvàylàphanáo,đ ocưochoànthành kýhi¾ulanl otưochoànthành bói

x=Rez,y=Imz.

T¾phopcácsophúcđ ockýưochoànthành hi¾ubóiC.T¾phopcácsophúcCđưocđongnhatvóim¾tphangR2bóiphépt ngưochoànthànhơnsâusac úng

C→R z=x+iy›→(x,y)

M®tcáchtnnhiênng òiưochoànthành tagoiOxlàtrncthnc,Oylàtrncáo.Phépc®ngvàphépnhân

cácsophúcđ ocưochoànthành thnchi¾nm®tcáchthôngth òngưochoànthành nh cácphépưochoànthành toántrênt¾phopsothncvóil uýrangưochoànthành i2=−1.Tacó

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)và

Bóivì.e iθ.. =1nênr=|z|vàθlàgóchopbóichieud. ưochoànthànhơnsâusac cúatrncOxvàng

núađ òngưochoànthành thangxuatpháttùgoctoađ®điquađiemz.Cuoicùngtal u ưochoànthành ýrangneuz

=r.e iθv àω=s.e iϕt h ì

z.ω=r.s.e i (θ+ϕ)

Vídn1.2.1Hiennhiênz r =

1vàtheoquynaptacóngay(z n)r = n.z n−1.Tùđó,neu

f(z)=a0z n + a

1z n−1 + +a n 1z+a

thì

f r (z)=n.a0.z n−1 +(n−1).a1.z n−2 + +a n −1

Đ%nhnghĩa1.2.2Hàmf (z)đ oc ưochoànthành goilàchínhhìnhtaiz0∈Dneutontai

=∑δ n (z0,∆z).

n

= 0

%nhtrênđ òngưochoànthành tròntr ntùngkhúcơnsâusac γ.Chiaγthànhnphannhóbóicácđiemchiaη0,η1, ,

η n( η0làđiemđauvàη nlàđiemcuoicúađ òngưochoànthành cong).Chontùyýđiemη v ∗vàl¾ptong

phân(1.1)cóthevietS n= ∑

v=0[u(η v ∗ )+i.v(η v ∗ )].(∆x v +i.∆y v)

f (z)d

v).Phanthncvàphanáocúa(1.3)làtongcúahaitíchphânđ òngưochoànthành loaihai

M®tsotínhchatc bánơnsâusac

1 Neuγ+vàγ −làđ òngcongêưochoànthành laytheohaichieung ocnhauthìưochoànthành

¸f (z)dz=− ¸

5

Neuz=ϕ(η)làhàmgiáitíchánhxa1-1đ òngcongưochoànthành τl ê n đ òngưochoànthành congγ=ϕ(τ)thì

¸f (z)dz=¸

f(z(t)).z r (t).dt.

Neutontai1hàmchínhhìnhgtrongmienDchúaγsaocho

g r (z)=f(z),∀z∈γ thìgđưocgoilàm®tnguyênhàmcúahàmf Giásúz=z(t),t∈[a,b]làphưochoànthànhơnsâusacn

a

Kýhi¾uL(f)đưocsúdnngchobienđoiLaplacecúahàmf ,vàtíchphântrênlàt

íchphânRiemannthôngth òngưochoànthành vóic¾nvôt¾n.HàmF(s)đưocgoilàhàmánhcúabi

enđoiLaplace.PhépbienđoiLaplaceđ ocưochoànthành goilàthnc

hayphúcneubiensoscúahàmánhF(s)làthnchayphúc.

Thamsosthu®cm®tmiennàođótrênđ òngthangthncưochoànthành ho¾ctrongm¾tphangphúc.Chú

ngtasechonsthíchhopsaochotíchphân(2.1)h®itn.Trongtoánhoccũngnhưochoànthànhtr ongkythu¾t,miencúabiensđóngm®tvaitròhetsúcquantrong.Tuynhiên,trongm®ttrưochoànthành

ònghopđ¾cbi¾t,khicácph ngưochoànthànhơnsâusac trìnhviphângiáiđ oc,ưochoànthành miencúathamsosthưòngkhông canxétđen.Khibienslàphúctath òngsúdnngưochoànthành kýhi¾us=x+iy.Kýhi¾uLlàbi enđoiLaplace,nótácđ®nglênhàmf=f(t)vàsinhram®thàmmóitheobienslà

−

Dĩnhiên,tacó.e iθ.. =1.Chúngtacanchúngtó(cóthebóquađidautrù.

cũngnhưochoànthànhnhungc¾nlaytíchphânđeđ ngiánhóasntínhtoán)ơnsâusac

s+iω

L(e iωt )+L(e −iωt )

=

2Hoàntoànt ngtnưochoànthànhơnsâusac

1

.1

L(sinωt)=

s − i ω

Đ%nhnghĩa2.1.3M®thàmfđ oc ưoc goilàliêntnctùngkhúctrênđoan[0,∞)

neuthóamãncácđieuki¾nd óiưochoànthành đây

mũ0trongkhiđóe −tcó b¾cmũ−1.Tuynhiên,hàme t khôngcób¾cmũ.

L uưochoànthành ýrangneuβ>αthìb¾cmũαkéotheob¾cmũβvìe αt ≤ e βt vóimoi

|f(t)|≤M1e αt ;vóim®tsot≥t0vàm®tsothncα.

H nơnsâusac nua,hàmfliêntnctùngkhúctrênđoan[0,t0]dođób

%ch¾ntrênđoanđó.Khiđótontaisod ngưochoànthànhơnsâusac M2saocho

Choτ→∞vàl u ưochoànthành ýrangRe(s)=x>αtasuyra

τ

¸ .

M

.e −st f (t).dt≤

Vídn2.1.6Ápdnngtíchphântùngphanđoivóihàmf (t)=t(t≥0)liên

1.L(e ωt ) +L(e −ωt ).

21

2.3 BienđoiLaplacengưec

2.3.1 M®tsokháini¾m

ĐecótheápdnngbienđoiLaplacetóicácbàitoánV¾tlýcũngnhưochoànthànhvi¾cgiáicácphưochoànthànhơnsâusac trìnnghviphân,chúngtacanđenphépbienđoiLaplaceng oc.ưochoànthành NeuL(f(t))=F(s)thìbi

enđoiLaplaceng ocđ ocưochoànthành ưochoànthành xácđ%nhbói

L−1 (F(s))=f(t),t≥0.

NóánhxabienđoiLaplaceF(s)cúam®thàmtrólaithànhhàmbanđau,hàmb anđauf(t)đưocgoilàhàmgoc;changhan

thecónhieuh nơnsâusac m®thàm,th¾mchínhieuvôhan,ítnhatlàkhitaxétcáchàmkhôngliêntnc

Trongphannày,chúngtasechíranhungđieuki¾nđem®thàmnàođólà

hàmánh,nghĩalàtontaihàmgoccúanó.Đongthòi,tacũngchírarangneuhàmgoctontailàduynhat

1

CáchangsoA k ,B k,Cktìmđ octheoph ngphápưochoànthành ưochoànthànhơnsâusac h¾sobatđ

%nh.DobienđoiLaplacecótínhchattuyentínhnênđeđ ngiántacóthecoicách¾soơnsâusac

A k ,B k,Ckđeubang1.Vi¾ccònlailàxácđ%nhhaibienđoiLaplaceng ocưochoànthành

sau

LoaithNnhat.Xácđ%nhhàmgoccúahàmF(s)= 1

(s+a) m Tacó

.1

Hoàntoànt ngtntacóưochoànthànhơnsâusac

M®tsomoiliênquangiÑabienđ oiLaplacevéihàmGamma

và

=t, u du=dt

.loge

.1 z−1

¸

=− loge

0

.1 z −1

u

1

.u .d uu

∞

0

∞ 1 ∞

1

TieptheohãytìmbieuthúcΓ n+

2tathuđ ocưochoànthành

.2

n+1..Γ

(3.12)

Γ(z − n) ( z + n − 1 )( z + n − 2 ) ( z + n − 2 n ) Γ ( z + n − 2 n )

e − dx

n

a n

Klà hang so,moin Khiđóvói|s|=r>Rtacó



∞ a n F(s)=∑

1

1

2n n!.Γ n+

21

n

1 ∞(

−1) n a n t n f(t)=√.∑

n=0

√ π.n!

=√

πt e −

%nhnghĩavàtíchchatcúahàmGammavàmoiliênquancúahàmGammavàbienđoiLaplace,baogombienđoiLaplacecúam®tsohàmnh¾nđ ocưochoànthành quahàmGammavàmoiliênquancúahàmGammavóibienđoiLaplacecúachuoi

Emxinchânthànhcámơn!