ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TÔT NGHIỆP 2009 ĐẦY ĐỦ

Hình học không gian tổng hợp: Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính d

§Ò C¦¥NG ¤N THI TèT NGHIÖP M«n to¸n

N¨m häc 2008-2009Biªn so¹n: Nhãm gi¸o viªn bé m«n To¸n – Trêng THPT Lang Ch¸nh

Ph

ầ n th ứ nh ấ t: CẤU TRÚC ĐỀ THI NGHIỆP THPT NĂM 2009

I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) ẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) ẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Ả THÍ SINH (7,0 điểm) ểm)

I

 Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số

 Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều

biến thiên của hàm số Cực trị Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của

đồ thị của hàm số Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước;

tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);

Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn

xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón

tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

1,0

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trình Chuẩn:

IV.a

Phương pháp toạ độ trong trong không gian:

 Xác định toạ độ của điểm, vectơ

 Mặt cầu

 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

 Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối của

đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

2,0

V.a  Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức Căn bậc hai của

số thực âm Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức  âm

1,0

 Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

2 Theo chương trình Nâng cao:

IV.b

Phương pháp toạ độ trong trong không gian:

 Xác định toạ độ của điểm, vectơ

 Mặt cầu

 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

 Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng

cách giữa hai đường thẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và

mặt cầu

2,0

V.b

 Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức Căn bậc hai của

số phức Phương trình bậc hai với hệ số phức Dạng lượng giác của số

px q và một số yếu tố liên quan.

 Sự tiếp xúc của hai đường cong.

nếu a < 0nếu a > 0

3 Vẽ đồ thị:

Khi vẽ đồ thị hàm số ngoài các chú ý đã trình bày trong SGK học sinh cần lu ý thêm một số điểm sau các bớc sau:

- Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ trục toạ độ

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ trục toạ độ

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = y(0) = -4

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = y(2) = 0

1.4 Bài tập tự giải:

Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:

1 y = x3 + 3x2 - 4

2 y = -x3 +3x – 2

3 y = x3 + x2 + 9x

4 y = -2x3 + 5

5 y = x3 + 4x2 + 4x

6 y = x3 – 3x + 5

7 y = x3 – 3x2

8 y = –x3 + 3x2 – 2

9 y = x3 – 6x2 + 9

2 Dạng 2 : Hàm trùng phơng y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)

2.1 Các bớc khảo sát và vẽ đồ thị.

2.2 Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 + 2

2.3 Hớng dẫn

1 Tập xác định: D = R

2 Sự biến thiên

* Ta có y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

- Xét dấu y’ từ đó suy ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

* Tìm cực trị

Cách tìm cực trị hàm bậc bốn đợc làm tơng tự nh hàm bậc ba

* Tìm các giới hạn:

,

,





 



* Lập bảng biến thiên

3 Vẽ đồ thị:

- Khi vẽ đồ thị hàm số bậc bốn học sinh củng cần lơu ý một số điểm nh vẽ đồ thị hàm bậc ba

nếu a<0 nếu a>0

1 Tập xác định: D = R

2 Sự biến thiên

* Ta có y ‘ = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1)

y’ = 0  x = 0, x = 1, x = -1

Bảng xét dấu y’

x - -1 0 1 +

4x - - 0 + +

x2 - 1 + 0 - - 0 +

y’ - 0 + 0 - 0 +

Từ bảng xét dấu y’ ta có Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; -1) và (0; 1) * Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y(0) = 2 Hàm đạt cực tiếu tại x = 1, yCT = y(1) = 1 * Giới hạn:   4 2 4 2 4 2 2 lim ( 2 2) lim (1 ) x x x x x x x             * Bảng biến thiên x - -1 0 1 +

y’ - 0 + 0 - 0 +

y + +

3 Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục Oy: (0; 2)

f x   = x  4 -2x 2 +2

3.3 Hớng dẫn

,,lim

,

d x

c

d x

Khi vẽ đồ thị hàm số b1/b1, ngoài các lu ý trong SGK học sinh cần lu thêm một số điểm sau:

- Vẽ các đờng tiệm cận lên hệ trục toạ độ

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên

hệ trục tạo độ

nếu ad – cb > 0

nếu ad – cb < 0nếu ad – cb > 0

nếu ad – cb < 0

\2

Giao điểm của đồ thị với trục Ox: (2; 0)

Giao điểm của đồ thị với trục Oy: (0; 2)



9 y = 11

x x





-

-12

f x   = -x+22x+1

Ii Một số dạng toán liên quan đến bài toán khảo sát hàm số

4 Dạng 1: Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình F(x;m) =0 (1).

4.1 Cách giải:

4.2 Ví dụ: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 4a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b/ Dựa và đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình: -x3 + 3x2 - 4 - m = 0 (1)

4.3 Hớng dẫn:

4.4 Bài tập tự giải:

1 Cho hàm số y = x3 + 4x2 + 4xa/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình x3 + 4x2 + 4x + 2 – m =0(1)

2 Cho hàm số y = y = x3 – 3x + 5a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sốb/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình x3 – 3x + 5 +

3

m

= 0(1)

Bài toán này thờng đi kèm theo sau bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) vì thế

để sử dụng đợc đồ thị hàm số vừa vẽ trớc hết ta biến đổi phơng trình (1) tơng đơng: f(x) = g(m)

Khi đó số nghiệm của phơng trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đờngthẳng y = g(m)

Dựa và đồ thị, ta suy ra kết quả biện luận về số nghiệm của phơng trình (1)

a/ Việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã đ ợc trình bày (xem bài 1.2)

b/ Ph ơng trình (1) t ơng đ ơng: -x3 + 3x2 - 4 = m(2)

Số nghiệm của ph ơng trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x3 + 3x2 - 4 và đ ờng thẳng y = m (luôn song song hoặc trùng với trục Ox)

Dựa vào đồ thị (hình 4.3) ta có:

* Khi m<-4 hoặc m>0: Ph ơng trình (1) vô nghiệm

* Khi m = 0 hoặc m = -4: Ph ơng trình (1) có hai nghiệm

* Khi -4<m<0: Ph ơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình

4

2 12

x x

3

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình 1 4 2 3

3

2x  x 2+ m = 0(1)

5 Cho hàm số y = x3 – 3x2

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b/ Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x3 – 3x2 – 3 + m = 0(1)

5 Dạng 2 Bài tơng giao giữa đờng thẳng y = px + q và đồ thị hàm số y = f(x).

5.1 Cách giải:

5.2 Ví dụ Cho hàm số y = 3

1

x x

Số giao điểm của đờng thẳng y = px + q với đồ thị hàm số y = f(x) là số nghiệm của

ph-ơng trình hoành độ giao điểm: f(x) = px + q(1)

Nh vậy để xét sự tơng giao của đờng thẳng và đồ thị hàm số ta giảI và biện luận phơngtrình (1)

Dựa và số nghiệm của phơng trình (1) ta kết luận về sự tơng giao của đờng thẳng y = px+ q với đồ thị hàm số y = f(x)

Ta có phơng trình hoành độ giao điểm: 3

1

x x

2

1

g x x m x m x

 



Xét phơng trình (2), ta có:

2 6 25 0

m g

5.4 Bài tập tự giải

1

x x

   Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(1, 0)

3

2x  x 2 Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(1, -2)

4 Cho hàm số y = x3 – 3x2 Viết PTTT của đồ thị tại các giao điểm của nó với trục Ox

5 Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 2 Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(2, 2)

6 Cho hàm số y = 1 2

x x



 Viết PTTT của đồ thị tại giao điểm của nó với trục Ox

* Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị có dạng:

y-y0 = f’(x0)(x-x0) (1)

* Tìm f’(x0) thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến cần tìm

* Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(1, 3) thuộc đồ thị có dạng:

y-y0 = f’(x0)(x-x0) (1)

* Ta có y’ = f’(x) = 3x-3

 f’(1) = 0 thay vào (1) ta đợc PTTT cần tìm là: y = 3

7 Cho hàm số y = 5

1

x x



 Viết PTTT của đồ thị tại giao điểm của nó với trục Ox

7.Dạng 7 Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đờng thẳng x =

a, x = b, trục Ox

7.1 Cách giải:

7.2 Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 4x

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số với các đờng x = -1, x = 2

7.3 Hớng dẫn.

a/ Bạn đọc tự giải, đồ thị (hình 7.3)

12

b a

Sf x dx

Để tính S ta phảI phá dấu trị tuyệt đối của biểu thức dới dấu tích phân, muốn vậy ta làm nh sau:

Cách 1: Lập bảng xét dấu f(x), từ đó ta có thể phá dấu trị tuyệt đối.

Cách 2: Nếu trên khoảng (a; b) đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành thì f x( )f x( ) Ngợc lại, nếu đồ thị nămg phía dới trục hoành thì f x( ) f x( )

Sau khi phá dấu trị tuyệt đối ta tính tích phân bình thờng, kết quả đó chính là diện tích cần tìm

b Cách 1

* Ta có diện tích cần tìm

2 3 1

4

S x x dx



* Phá dấu trị tuyệt đối: Đặt f(x) = x3 - 4x = x(x2 - 4)

Trên khoảng (-1; 2), ta có x3 - 4x = 0  x = 0, x = 2

* Lập bảng xét dấu f(x)

x -1 0 2

x - 0 +

x2 -4 - -4 -

f(x) + 0

-Từ bảng xét dấu, ta có

S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx

x x dx x x dx



Tính kết quả trên ta suy ra diện tích cần tìm

Cách 2: Từ đồ thị của hàm số (hình 7.3), ta có:

Trên khoảng (-1; 0) đồ thị nằm phía trên trục hoành và trên khoảng (0; 2) đồ thị nằm phía dới trục hoành, nên ta có:

S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx

x x dx x x dx



6

4

2

-2

-4

O 1 -1

f x   = x 3 -4x

Hình 7.3

7.4 Bài tập tự giải

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

1 y = x3 – 3x2 và các đờng thẳng x = -1, x = 2, trục Ox

m a

0,

0

y y

m a

CHỦ Đ Ề PHƯƠNG TRÌNH

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT

A PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Kiến thức cơ bản

1 – Các tính chất của luỹ thừa.

2– Các tính chất của hàm số mũ.

n n

3 – Phương pháp giải phương trình mũ.

3.1- Phương trình mũ đơn giản nhất.

* ax ab  x b 0 a 1  

* ax  b x log b a 0 a 1, b 0   

Ví dụ 3x = 5  x = log35

3.2 Phương trình mũ thường gặp

a Phương pháp đưa về cùng một cơ số.

b Phương pháp đặt ẩn số phụ

Đặt t a x (t > 0) {chọn cơ số a thích hợp}

Đáp số : Nghiệm của phương trình là x=0 , x=1

Bài tập: Giải các phương trình

c) Phương pháp lấy lôragit (cơ số thích hợp) hai vế.

Lấy Lơgarit cơ số 3 hai vế , ta được :

Chú ý: log 1 ; log 1log , 0

3) Phương pháp giải

a) Đưa về cùng một cơ số

   

b a

Chú ý: Khi không sử dụng công thức tương đương nhớ đặt điều kiện để hàm số

lôgarit có nghĩa (cơ số phải lớn hơn 0 và khác 1, biểu thức lấy lôgarit phải dương)

Bài tập Giải các phương trình

b) Đặt ẩn số phụ

Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đổi phương trình đã cho thành một phươngtrình đại số

(

) 1 2 ( log

2 )

1 2 ( log

log x 3.log x2 0 3) Lg4(x - 1)2 + lg2(x - 1)3 = 25 4).log3(2x + 1) = 2log2x+1 + 1

1 2

2 3

x x

0<x log3/23 (chia c¶ tö vµ mÉu cho 2x)

1 1

2 5 2

u  



2 cotsin

2

3 3

x dx

cos

1 2 sin

x

x x

x

2

1 3

1 3

2 4

1

3 2

3 1 3 1

2 1 4 1

1 2 1 1

3 2 1

4 1

1 3

1 4

3

6 6 3 4

1.3 Bµi tËp tù gi¶i

1 af x dx a f x dx a( )   ( ) ( 0)

2   f x( )g x dx( ) f x dx( ) g x dx( )

1 )

3 5

6

5

1 5

3 5 5

3 2 ( ) 3 2 ( 2

4 3

1 3

1

) 3 2 ( 8

3 4

3 2

1 2

1 ) 3 2 ( ) 3 2 ( 2 1

2.2.3 Bµi tËp tù gi¶i

T×m c¸c nguyªn hµm sau

a, 3 x 5dx b, 5 3x 4dx

c, 4 2x 3dx d, 3 3  5x dx

1 3

1 ) 2 3 ( ) 2 3 (

1 3

1 )

2 3 (

1

5 5

x x

dx x

Đặt u = 3x + 2 ta đợc :

C x

C u C

u du u x

1 12

1 4

3

1 1

3

1 ) 2 3 ( ) 2 3

(

1 3

x u

x

1 2

f x dx F x F b  F a

x tgxdx

Khi đó I =

2

2 ln

12

2 ln 1

2 2

3)





2 0

3 cos sin



xdx x

1 Đặt t=v(x), v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục

2 Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx=g(t)dt

3 Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)

4 Tính

( ) ( )

f x dx G t

cos sin 4



xdx x

dv xdx

dx du x u

3cos3

13

sin

2

6 0

3cos3

1

063cos2

7

063sin9

13

sin



xdx e



3 1

2

x x x

dx x

2 6

2 coscos

x dx x

21

x dx x



1 2 1

1 Dạng 1 : Thể tích khối đa diện

Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp chữ nhật

SA  

Diện tích đáy ABCD là S a.a a2

3

2

2 3

1

a a

a

2 Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có AB = a và góc SAC bằng 450 Tính thể tích của khốichóp S.ABCD theo a và b

3 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuônggóc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

4 Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tínhthể tích của khối chóp S.ABCD theo a

5 Cho khối hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có thể tích V Tính thể tích của khói tứ diện C’ABC theoV

6 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CD = 3CM.Tính tỉ số thể tích của hai tứdiện ABMD và ABMC

2 Dạng 2: Diện tích xung quanh, thể tích của khối cầu, khối nón, khối trụ

3 Phơng pháp xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

4 Phơng pháp tìm bán kính của tâm mặt cầu :

Dựa vào các tam giác vuông đồng dạng hoặc các tam giác vuông, đều

5 Ví dụ Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

600 Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a

Bớc 1 : Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Bớc 2 : Dựng đờng thẳng đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng đáy( đờng thẳng này gọi

là trục đờng tròn)

Bớc 3 : Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kỳ

Bớc 4 : Dựng giao của mặt trung trực và trục đờng tròn (điểm này là tâm của mặt cầu)

B

D

CA

S

NM

OP

I

Dề thấy giao điểm O của AC và Db là tâm của đáy ABCD, Vì hình

chóp S.ABCD đều nên SO vuông góc với đáy

Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của SA, (Q) cắt SA tại P, SO

tại I khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

Bán kính của mặt càu là IS.Tính IS

Theo giả thuyết ta có góc SMN bằng 600 nên SO = MO tan 600

Dễ thấy SAO ~ SIP nên ta có :

12

3 5

2 3 4

5 2

5

a

a a SO

SP SA SI SP

SO SI

2 2

2

12 3 5 3

4 3

4 , 12

25 12

3 5 4

R V

a a

R

5.2 Bài tập tự giải

1 Một mặt cầu đi qua tám đỉnh của một hình lập phơng cạnh a

a Tính bán kính của mặt cầu theo a

b Tính diện tích và thể tích của hình cầu

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,cạnh bên SB bằng a 3 Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a

3 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuônggóc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theoa

4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = a và góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 a/ Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a

b/ Tính diện tích của khói cầu

5/ Cho hình trụ có bán kính đáy R và diện tích xung quanh bằng S xq 4 R 2.Tính thể tích củakhối trụ

6/ Cho hình trụ có bán kính đáy R và thể tích V 3 R 3 Tính diện tích xung quanh của khối trụ.7/ Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là tam giác vuông cạnh 4a Tính diện tích xung quanh,thể tích của khối trụ

8/ Cho hình trụ có chiều cao h = 2a và diện tích xung quanh S xq 4 a 2 Tính thể tích của khốitrụ, diện tích toàn phần của khối trụ

9/ Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy R, gọi A và B là hai điểmthuộc hai đáy sao cho AB = 3R và góc giữa AB và OO’ bằng 300 ( O, O’ lần lợt là tâm của các

đáy)

HD : Bài tập từ 6-10 thuộc loại hình trụ, khối trụ

10/ Cho hình nón có chiều cao h , bán kính đáy R Tính diện tích xung quanh, thể tích của khốinón

11/ Cho hình nón có chiều cao h, đờng sinh l Tính diện tích xung quanh, thể tích của khối nón.12/ Cho hình nón có chiều cao h, góc ở đỉnh bằng 1200 Tính diện tích xung quanh, thể tích củakhối nón

13/ Cho hình nón có chiều cao h, góc hợp bởi đờng sinh và đáy bằng 300 Tính diện tích xungquanh, thể tích của khối nón

14/ Cho hình nón có chiều cao h, góc hợp bởi đờng sinh và đờng cao 300 Tính diện tích xungquanh, thể tích của khối nón

15/ Cho hình nón có thể tích bằng V và chiều cao h Tính diện tích xung quanh của khối nóntheo V và h

Chú ý : Khi tính thể tích hoặc diện tích xung quanh của khối nón, hình nón Ta cần xác định đ ợc

PhÇn riªng Theo ch¬ng tr×nh chuÈn

CH

Ủ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM

1.Tọa độ của vectơ

Định nghĩa: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ 

u tùy ý ,do 

z z y y x x v

u

2 Tọa độ của điểm :

Định nghĩa: Trong kg(Oxyz ) cho điểm M tùy ý Tọa độ của vectơ OM được gọi

là tọa của điểm M

k ky y

y

k x

k MB k MA

B A

M

B A

M M

1 1 1 )

1 (

B A

M

B A

M

B A

M

z z

z

y y

y

x x

4

) (

4

) (

4

D C

B A

G

D C

B A

G

D C

B A

G

z z

z z

z

y y

y y

y

x x

x x

x

3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ :

Cho hai vectơ 

2 2

2 1

2 1

2 1

2 1 2 1 2 1

z y x

z z y y x x

b cùng phương với nhau  x1: y1: z1= x2 : y2: z2

4 Tích có hướng của hai vectơ:

a Định nghĩa : Cho hai vectơ 

u b

a 5 2

a Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

b Tìm tọa độ giao điểm của hai đường chéo

5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3),C(-3;5;4)

a Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC

b Tính cosin các góc A,B,C

6 Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2 ; -3) , B(3 ; 2 ; 0) , C ( -4; 2 ; 5)

a) Chứng minh A , B ,C là ba đỉnh của một tam giác

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; -1;-3) ,B(2 ;1 ; -2) , C(-5 ; 2

; -6)

a) Chứng minh A, B , C là ba đỉnh của tam giác

b) Tính độ dài phân giác ngoài góc A của tam giác ABC

c) Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC

II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

A Lí thuyết cần nhớ :

2.Phương trình mặt phẳng:

M ặt phẳng (  ) qua M0( x0 ;y0 ; z0 ) có vtpt 

n= ( A; B; C ) có phương trình là :

A ( x – x0 ) + B (y – y0) + C ( z – z0 ) = 0

Phương pháp chung lập phương trình của mặt phẳng :

Để lập phương trình của một mặt phẳng ta cần tìm một điểm thuộc mặt phẳngvà vtpt của nó hay tìm cặp vtcp của nó

Bài tập

1.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (  ) trong các trườnghợp sau:

a.(α) đi qua M(2 ; -1 ; -3) và vuông góc với trụcc Ox

b.() là mặt trung trực của đoạn AB với A(1; 3; 2 ), B(-1 ; 1; 0 )

c () qua I(-1; 2;4 ) và song song với mặt phẳng 2x – 3y + 5z – 1 = 0

2.Viết phương trình mặt phẳng () trong các trường hợp sau:

a () đi qua hai điểm M( 1; -1; 2 ) , và vuông góc với trục Oz

b () đi qua ba điểm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 )

3.Viết phương trình mặt phẳng :

a Đi qua A( 1 ; 0 ; 2) và song song với mặt phẳng xOy

b Đi qua M(2 ;-1 ; -3) và vuông góc với trục Ox

c Đi qua I( -1 ; 2 ; 4) và song song với mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – 1 = 0

+ Gọi I là trung điểm của AB ta có I(2;-1;1)

Ta có AB(  2 ; 8 ;  6 ) Mặt phẳng trung trực của đoản AB đi qua I và nhận

) 6

; 8

; 2

-2(x - 2) + 8(y + 1) -6(z - 1) = 0

 -2x + 8y -6z + 18 = 0

d (α ) là mặt trung tực của đoạn AB với A(1 ; 2 ; 3) , B(-1 ; 1 ; 0).

e (β ) đi qua ba điểm A(-1 ; 2 ; 3) ,B(2 ; -4 ; 3) , C(4 ; 5 ; 6)

4.Viết phương trình mặt phẳng :

a Đi qua hai điểm A(1 ;1 ;0) ,B(-1 ; 2 ; 7) và vuông góc với mặt phẳng (α) :2x–

5.Cho tứ diện ABCD có A(5 ; 1 ; 3) ,B(1 ; 6 ; 2) , C(5 ; 0 ; 4) ,D(4 ; 0 ;6)

a Viết phương trình mặt phẳng (BCD)

b Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD

c Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và song song với mặt phẳng (ABC )

III ĐƯỜNG THẲNG

A Lí thuyết cần nhớ

B.Phương pháp chung để lập phương trình của đường thẳng:

Để lập phương trình của một đường thẳng ta sử dụng một trong hai cách sau:

 Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và một điểm thuộc đường thẳng

Chú ý :+ Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương.

+Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó nhận vtpt của mặt phẳnglàm vtcp

z

bt y

y

at x

x

0 0

t  R Phương trình chính tắc : x a x0 y b y0 zc z0

Cách giải:

 Viết phương trình mặt phẳng () qua M và vuông góc với ()

 Viết phương trình mặt phẳng () qua M và ()

Chú ý : Nếu ()  mp() thì () nhận VTPT của () làm VTCP

Ví dụ 3: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ():

a Qua hai điểm M( 2; -3; 5), N( 1; -2; 3)

b Qua A(1; -1; 3) và song song với BC trong đó B(1; 2; 0 ),C(-1; 1; 2)

c Qua D(3; 1; -2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 4y – 2z +5 = 0

t y

t x

2 5

3 2

; 1

; 2

(  

+ Phương trình tham số: 

t y

t x

2 3

1 2 1

c Đường thẳng () đi qua điểm D( 3; 1; -2) và vuông góc với mặt phẳng

3x + 4y – 2z +5 = 0 nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng n( 3 ; 4 ;  2 ) làm vectơ chỉ phương có phương trình:

+ Phương trình tham số: 

t y

t x

2 2

4 1

3 3

, t  R

+ Phương trình chính tắc: x3 3y4 1z22

C Bài tập :

1 Cho A(4; -3; 2), B(-2; 1; -4)

a Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

b Viết PT mặt phẳng quá A, B và song song với Ox

2 Cho đường thẳng d:

11

Viết phương trình hình chiếu vuơng gĩc d của A lên (P)

3 Viết phương trình tham số , phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm

A(-1 ; 4 ; 3) ,B(2 ; 1 ; 1)

4 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng :

a) Đi qua điểm M( 1 ; - 2 ; 3) và song song với đường thẳng :

t y

t x

4 3 3 1

b) Đi qua điểm N( 2 ; 3 ; - 4) và vưông góc với mặt phẳng x -2y + z – 6 = 0

IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.

A LÍ THUYẾT :

1/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng : (d) : x a x0 y b y0 zc z0

' 0

c

z z b

y y a

a (d) và (d’) đồng phẳng  [ , ] ' 0

0 0 '

0 0 '

c (d)//(d’)  a:b:c = a’:b’:c’ (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)

d (d)  (d’)  a:b:c = a’:b’:c’ = (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)

0 0 '

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau

0 2

x

z y x

0 1

y x

z y x

0 1 2

z y x y x

+ [u,u ].M M=0(-4) +3(-1) +(-3)0 = -3 0  d và d’ chéo nhau

b Đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; -1; 0) có vectơ chỉ phương u( 1 ; 2 ; 3 ) Đường thẳng (d’) đi qua điểm M’(0; 1; -4) có vectơ chỉ phương u, ( 1 ; 2 ; 5 )

Tacó: + [u,u ]=(4; 8; -4), M M(0; 2; -4)

+ [u,u ].M M=4.0 + 8.2 -4.(-4) = 0 (1)

+ -1:2:3 1:2:5 (2)

Từ (1) và (2)  d và d’ cắt nhau

Bài tập : Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau

3 5

z

t y

t x

2/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

Chú ý: Điều kiện vuơng gĩc giữa 2 mp:

Tìm m , n để hai mặt phẳng :

a) Song song với nhau b) Trùng nhau

c) Song song với nhau d) Trùng nhau

e) Cắt nhau Bài 5 : Cho hai mặt phẳng : 3x – (m – 3)y +2z – 5 = 0 và (m + 2)x – 2y + mz – 10 =

0 Tìm m để

a) Hai mặt phẳng song song với nhau

b) Hai mặt phẳng trùng nhau

c) Hai mặt phẳng cắt nhau

V KHOẢNG CÁCH, GÓC

A LÍ THUYẾT :

1 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0

Kí hiệu: d(M0;()) = 0 2 0 2 02

C B A

D Cz By Ax

2 Khoảng cách từ một điểm tới mộtđường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( ) đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương u được xác định theo công thức:

d(M, ) = M u M u

 ,

0

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng d1 đi qua điểm M1 có vecytơ chỉ phương u1 và đường thẳng

d2 đi qua điểm M2 có vecytơ chỉ phương u2 Gọi h là khoảng cách giữa d1 và d2

ta có:  

 1 2

2 1 2 1

,

,

u u

M M u u

2 Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng :x12 y2 1z31

0 5

y x

z y x

4 Tìm trên Oz điểm M cách đều điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 = 0

5 Trong không gian với hệ trục tọa Oxyz cho điểm M(1 ; -2 ; 3) Tính khoảng cách từ M đến :

a) Mặt phẳng Oyz

b) Mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 3 = 0

VI MẶT CẦU

A.Lí thuyết cần nhớ:

Phương trình Mặt cầu:

a Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình là:

( x- a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2

b Phương trình : x2+y2+z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 ,a2+b2+c2- d > 0

là phương trình của mặt cầu có tâm I(a;b;c) , bán kính R = a2b2c2 d

B.Các dạng bài tập thường gặp:

1 Tìm tâm và bán kính của mặt cầu sau :

a) x2 + y2 + z2 – 8x + 2y +1 = 0

b) x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – 4 = 0

c)3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 9y + 12z – 4 = 0

2 Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :

a) (S) có tâm I ( 1; -2 ; 3 ) và đi qua điểm M( 3 ; 2 ; 4 )

b) (S) có đường kính AB với A(1; 4 ; 5), B ( 3; -2; 7 )

c) (S) có tâm I( 0 ; 4; 3 ) và tiếp xúc với mặt phẳng () : 2x + y – 2z + 8 = 0

d) (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( 3; 2; 6 ), B( 3; -1; 0 ),C( 0; -7; 3 ),D(-2;1; -1)

3 Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A( 1; 2; - 4 ) , B( 1; - 3; 1 )

C( 2; 2; 3 ) và có tâm I nằm trên mặt phẳng Oxy