Sách tư duy hàm (DEMO số phức)

Sách tư duy hàm (DEMO số phức) Sách tư duy hàm (DEMO số phức) Sách tư duy hàm (DEMO số phức) Sách tư duy hàm (DEMO số phức) Sách tư duy hàm (DEMO số phức) Sách tư duy hàm (DEMO số phức) Sách tư duy hàm (DEMO số phức) Sách tư duy hàm (DEMO số phức) Sách tư duy hàm (DEMO số phức)

LỜI NÓI ĐẦU Kính gửi các quý thầy cô và các bạn độc giả thân mến!

Tôi vẫn thường tâm sự với học trò của mình: “Cuộc đời mỗi chúng ta không ai đủ thời gian để giải hết tất cả các bài toán Vì vậy khi giải toán hãy cố gắng đi tìm cội nguồn của nó để từ một bài toán chúng ta biết cách giải của 100 bài toán, đừng học toán bằng cách làm điều ngược lại.”

Cũng chính vì lẽ đó tôi luôn mong muốn mang đến cho độc giả những dạng bài tập toán đặc sắc, có tính thời sự cùng với hệ thống những phương pháp giải toán, cách tiếp cận khi đứng trước những bài toán trong cuốn sách “TƯ DUY HÀM TRONG ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM TOÁN 12” dự kiến xuất bản vào năm 2018

Bản DEMO thuộc chủ đề Số phức trong cuốn sách “TƯ DUY HÀM TRONG ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM TOÁN 12” mà bạn đọc đang có trên tay dù vẫn đang trong quá trình hoàn thiện, nhưng tôi đã và đang cố gắng để mang đến cho các bạn một cách nhìn toàn diện nhất về tư duy giải bài toán số phức trong đề thi trắc nghiệm

Vì Tết nguyên đán Mậu Tuất – 2018 đang đến cận kề tôi xin phép được dừng lại nghỉ ngơi, đồng thời mạn phép gửi lời chúc năm mới anh khang – hạnh phúc – bình an đến tất cả các bạn độc giả

Bản DEMO vẫn đang còn dang dở và sẽ không tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý đến từ các quý thầy cô và các bạn độc giả theo Email: p.kimchung@gmail.com hoặc số điện thoại 0984.333.030

Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

MỤC LỤC

1 Đặc biệt hóa trong bài thi trắc nghiệm 1

2 Đại số hóa bài toán số phức 7

2.1 Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước 7

2.2 Vấn đề về nghiệm phức của phương trình .10

2.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất - Casio hay không Casio .15

3 Sử dụng tính chất về môđun số phức .17

3.1 Sử dụng các đẳng thức môđun 17

3.2 Lấy môđun hai vế của một biểu thức .21

3.3 Bất đẳng thức của môđun số phức .26

4 Lượng giác hóa bài toán số phức .27

5 Sử dụng hình học trong giải bài toán số phức .35

5.1 Sử dụng bình phương vô hướng .35

5.2 Sử dụng tính chất của hình chiếu vuông góc .50

5.3 Sử dụng sự tương giao giữa các đường .55 5.4 Elip và không Elip? Error! Bookmark not defined.

Chủ đề 07 SỐ PHỨC

1 Đặc biệt hóa trong bài thi trắc nghiệm

Thử giá trị đặc biệt là một kĩ thuật đơn giản và dễ thực hiện nhờ sử dụng linh hoạt việc gán giá trị trên máy tính bỏ túi Sau đây là một vài điểm cần chú ý đối với kĩ thuật này:

Một mệnh đề là mệnh đề đúng thì nó phải đúng với những trường hợp cụ thể, song một mệnh đề đúng với một số trường hợp cụ thể thì chưa hẳn mệnh đề đó đã đúng Vì vậy khi đặc biệt hóa bài toán chúng ta cần xét tính đúng- sai của tất cả các phương án

Kĩ năng gán giá trị cho biến trên máy tính bỏ túi Casio thực sự hiệu quả và nhanh chóng với những biểu thức tính toán phức tạp Sau đây là hướng dẫn:

A + AConjg A + 1 + 3i

A + AConjg A + 1 + 3i

4 72- i

65 65

Bài toán Cho các số phức z z1, 2 khác nhau thỏa mãn z1  z2 Đặt 1 2

z i A

Bài toán Cho số phức z 1 thỏa mãn điều kiện 1

1

z z

   và   zz i z z Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A  là số thực,  là số thực B  là số thực,  là số ảo

C  là số ảo,  là số thực D  là số ảo,  là số ảo

Lời giải Chọn z  3 4i, sử dụng gán biến trên Casio ta có các kết quả: 14

Bài toán Cho các số phức z1  0,z2  0 thỏa mãn điều kiện z122z1 2z 2z22 0.

Tính giá trị của biểu thức 1 2

Lời giải Chọn z 2 1, giải phương trình 2 1

Bài toán Cho các số phức z1 0,z2  0 thỏa mãn điều kiện z1z 2 z1  z2

Tính giá trị của biểu thức 2

4

1

4 1 2

Sử dụng gán biến trên Casio ta tính được giá trị của biểu thức

4 2 1

4 1 2

Bình luận Có hai vấn đề nảy sinh khi đặc biệt hóa đối với bài toán này:

+) Vấn đề thứ nhất: Làm sao để chọn được z z1, 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán?

Để giải quyết vấn đề này ta có thể làm như sau: chọn z  , đặt 2 1 z1  x yi x y ,  

2

x x

z

y y

A Bài toán Cho P z là một đa thức với hệ số thực Nếu số phức   z thỏa mãn P z    0thì khẳng định nào sau đây đúng?

0

P z

Lời giải Chọn P z z21, khi đó P z    0 z i

Chọn z i và sử dụng chức năng gán giá trị cho biến trên Casio, ta được:

z z z z

[3]

Cho số phức z  0 sao cho z không phải là số thực và

21

z z

 là số thực Tính giá trị biểu thức

2.1

z T

z





A 1

5 B

1

2 C 2. D

1.3

[4] Cho số phức z bất kỳ Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

A z  z B z2  z2 C  2

z  z D z z  z2

[5]

Xét các số phức  2

2 z z

 3 3

 B 1

4 C 1. D 1

.8ĐÁP ÁN

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]

2 Đại số hóa bài toán số phức

2.1 Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Với những bài toán liên quan đến tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước chúng ta áp

Bài toán Cho số phức z  a bi a b ,   thỏa mãn z  2 i z 1 i 0 và 1.

Bài toán Xét số phức z thỏa mãn 1 2i z 10 2 i.

b

b b

b

a a

a

b a

2.2 Vấn đề về nghiệm phức của phương trình

Bài toán Cho số phức z  a bi a b ,   Hỏi phương trình nào sau đây nhận z và

z làm nghiệm?

A x2 2 ax  a2 b2 0 B x2 ax  a2 b2 0.

C x2 2 ax  a2 b2 0 D x2 ax  a2 b2  0.

Lời giải Với z a bi  z a bi do đó: 22 2

Vậy z và z là nghiệm của phương trình x2 2 ax  a2 b2 0.

Bài toán Cho số phức w và hai số thực a b, Biết rằng wi và 2w 1 là hai nghiệm của phương trình z2 az   b 0. Tính P  a b.

a b

Lời giải Ta có   2 

3' 1 i  2i   3 4i  4 4i 1

Lời giải Do z là nghiệm của phương trình đã cho nên: 1

22

12

z z

i z

2.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất - Casio hay không Casio

Bài toán (Trích đề tham khảo BGD 2018) Xét các số phức z  a bi a b ,   thỏa mãn z 4 3i  5 Tính P  a b khi z 1 3i   z 1 i đạt giá trị lớn nhất

A P  10. B P  4.

C P  6. D P  8.

Lời giải Ta phát biểu lại bài toán như sau : Cho hai số thực x y, thỏa mãn điều kiện

Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z   4 3 i  m ,trong đó 0m4 là tham số thực Khi z 1 3i   z 1 i đạt giá trị lớn nhất bằng 2 10, hãy chọn khẳng định đúng ?

Vậy phần ảo của số phức z cần tìm là 1.

Bài toán Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện

22

Bài toán Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z 1 và

Vậy có 8 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán Cho các số phức z thỏa mãn z  4. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w   3  4i z   i là một đường tròn Tính bán kính r của đường tròn đó

i i

 2 2

    Suy ra bán kính của đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là r  20.

z  z z  z đã giúp công việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn

Bài toán Cho số phức

  trong đó m là tham số thực Gọi S là m

tập hợp tất cả các giá trị của tham số mđể 2z i 1 Biết rằng m là phần tử nhỏ 0

nhất của tập S m Khẳng định nào sau đây đúng?

mi mi

121

3.2 Lấy môđun hai vế của một biểu thức

Lấy môđun hai vế của một biểu thức số phức thực ra là việc sử dụng phép kéo theo



  hoặc a bi

A Bi z



  với a b A B , , , const

Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z    4  1 i z     4 3 z i  Mệnh đề nào sau đây đúng?

Vậy đáp án bài toán là B

Bình luận Việc sử dụng tính chất z1 z2 z1  z2 đã giúp chúng ta thực hiện lời giải bài toán này một cách đơn giản hơn Tuy nhiên chúng ta cần thận trọng trong việc sử dụng lấy môđun hai vế của một đẳng thức về số phức Về cơ bản việc lấy môđun hai vế chỉ thực hiện được khi ta đưa được đẳng thức đã cho về dạng  a  bi z    A Bi hoặc

abi z  A Bi với a b A B , , , const

Bài toán Xét số phức z   0 thỏa mãn  

2

2 3 1

i z i

Lấy mô-đun hai vế ta được 5z  5z2  5z  5 z2  z 1

Vậy đáp án bài toán là D

Bình luận Trong bài toán trên chúng ta đã sử dụng tính chất z z  z2 ở bước B.1 Ở

bước lấy môđun hai vế chúng ta đã sử dụng thêm tính chất z z1.2  z1 z2 và z  z

Bài toán Xét số phức z thỏa mãn 1 2i z 10 2 i

Bài toán Xét số phức z thỏa mãn  2 3 i z  26 3 2 i

Vậy đáp án bài toán là D

Bài toán Xét số phức z thỏa mãn 1 3i z 4 10 3 i

Vậy đáp án bài toán là A

Bài toán Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z   2 4 i   z 2 i Tìm số phức z

Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z  1 Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức

Bài tập tự luyện

[1]

Cho số phức z thỏa mãn 3 4i z 4 8

z

   Gọi M là điểm biểu diễn số phức

z trên mặt phẳng phức và d là độ dài đoạn thẳng OM Khẳng định nào sau đây

là đúng?

.4

4 Lượng giác hóa bài toán số phức

Lượng giác hóa cũng là một trong những kĩ thuật quan trọng trong giải bài toán về môđun số phức, lượng giác hóa đặc biệt hiệu quả với những bài toán có giả thiết dạng

  2 2 2

xa  yb k So sánh với việc sử dụng hình học phẳng hóa bài toán số phức thì lượng giác hóa có thể giúp chúng ta rút ngắn được thời gian giải toán

Sau đây là một số điểm cần lưu ý đối với kĩ thuật lượng giác hóa :

Khi bài toán có giả thiết dạng   2 2 2

 asintbcost  a2b2sin2tcos2t a2b2 Dấu "" xảy ra

3 22

x y

Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 Tìm giá trị lớn nhất M của 2

Bài toán Cho số phức z  a bi a b ,   thỏa mãn  z 2 3i 1 Khi z  1 i

đạt giá trị lớn nhất, hãy tính giá trị biểu thức P 3a2 b

 là số thực Gọi a b, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của T z1z2 Tính ab

C 3 21 D 23

Lời giải Giả sử z1 m z, 2  x yi m x y, , ,   ta có :

2 sint cost 3 2 cost sint 3

Đặt sintcostu  2u 22 sin cost tu21

Đặt 2 3 sin 2 cos sin

+) Điều kiện cần : Bài toán đã cho có duy nhất cặp số  x y; sin ;cost t khi phương trình  * có nghiệm dạng tk2k 

2

31

4

5

10

m m

13

36

5 Sử dụng hình học trong giải bài toán số phức

5.1 Sử dụng bình phương vô hướng

Giả sử M x y 1; 1 ,N x y lần lượt là điểm biểu diễn các số phức 2; 2 z z Khi đó ta có 1, 2

Vậy đáp án bài toán là B

Bài toán Cho các số phức z z1, 2 thỏa mãn đồng thời các điều kiện z1  1, z2  1 và

Bài toán đã cho trở thành: Cho ba điểm O M N thỏa mãn các điều kiện , , OM  1,

Vậy đáp án bài toán là B

Bài toán Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1 2z2 2 và 2z13z2 4 Tính

1 2 2

A M  11 B M  10

C M 2 5 D M  15

Lời giải Giả sử M x y 1; 1 ,N x y2; 2 lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z z1, 2 trên mặt phẳng phức

Từ đó ta có OM x y ON x y 1; 1, 2; 2 nên tọa độ của vectơ u2OM3ON là tọa độ của điểm biểu diễn số phức 2z13z2 và tọa độ của vectơ vOM2ON là tọa độ của điểm biểu diễn số phức z12z2

Bài toán đã cho trở thành: Cho ba điểm O M N thỏa mãn các điều kiện , , OM  2,

Vậy đáp án bài toán là A

Bài toán Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 2,z2  2 Gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z và 1 iz Biết rằng 2 MON  45 ,0 với O là gốc tọa độ

A  B Tìm điểm M trên đường tròn

Dễ thấy A B, O R ; 1 nên tam giác MAB vuông tại M  MA2 MB2 AB2

Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có MA3MB 19 M A 2 MB2 40Dấu “=” xảy ra

Bài toán Cho các số phức z z1, 2 thỏa mãn đồng thời các điều kiện z1 2 z2  5 và

Bài toán đã cho trở thành: Cho ba điểm O M N thỏa mãn các điều kiện , ,

15514

2

5514

5

34

5514

P

z z

Khi đó bài toán đã cho trở thành: Cho điểm A 3;6 Tìm

điểm M trên đường tròn     2 2

+) Điểm mấu chốt trong việc giải quyết bài toán là nhận biết được 3 điểm , ,O I A thẳng

hàng, từ đó nhờ đẳng thức IAkIO ta tìm ra giả thiết AM2 kOM2 const được

ẩn trong bài toán

+) Để tránh việc sử dụng CasiO để dò GTLN trong bài toán, ta có thể thay đổi cách phát biểu bài toán như sau:

Bài toán Gọi M là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn đồng thời các điều kiện z    1 i 1 và biểu thức P  3 z  2 z   4 4 i đạt giá trị lớn nhất Khẳng định nào sau đây đúng?

Khi đó bài toán đã cho trở thành: Cho điểm A 4; 4

2 2

Lời giải Xét bài toán : Cho hai điểm A 1; 0 ,B 1;7 Xác

định tọa độ điểm M trên đường tròn x2y2 4 sao cho

 

cos MA MB; 1

     hay MA MB , ngược hướng

Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 2 12

Bài toán Biết rằng số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i  5 và

biểu thức P  z22 z i2 đạt giá trị lớn nhất Tính môđun của số phức zi

A z i 61 B z i 3 5

C z i 5 2 D z i 41

Lời giải Ta chuyển bài toán sang ngôn ngữ

hình học như sau: Cho hai điểm

Lại do IA IB IM AB , , , const và  1 cosIM AB ; 1

Nên MA2 MB2 lớn nhất cosIM AB  ;  1 hay IM  và AB  cùng hướng

Để ý rằng AB  5R nên IM  và AB  cùng hướng ABIMM 5;5

Bài toán Cho số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: z  1 i 5 và biểu thức

Lời giải 1 Ta nhận thấy AB C   và IA2R

Gọi C IA C và điểm D thỏa mãn 1

Dấu "" xảy ra  MD MB , ngược hướng  điểm M là giao điểm của đường thẳng

DB với đường tròn và M nằm giữa DB  tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

Vậy z  1 6i  37.

Lời giải 2

Ta tìm được điểm 0 5

; 32

A  



  trong mặt phẳng tọa độ sao cho MA2MA0 Khi đó :

Lời giải Dễ thấy 3

92

AM IA IMD IAM

5.2 Sử dụng tính chất của hình chiếu vuông góc

Bài toán Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z   2 4 i   z 2 i Tìm số phức z

MA  MB nằm trên đường trung trực  của đoạn AB Do đó OM nhỏ nhất khi và

chỉ khi M là hình chiếu của O trên 

Dễ thấy :x   và đường thẳng đi qua y 4 0 O vuông góc với  là y x Vậy tọa độ điểm M   2;2 Vậy đáp án bài toán là A

Bài toán Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z  1 5 5 và z2  1 3 i  z2  3 6 i Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  z1 z2

Lời giải Giả sử M N, lần lượt là điểm biểu diễn

số phức z z1, 2 Khi đó M di động trên đường tròn

   2 2

C x  y  và N di động trên

đường thẳng : 8x6y35 là đường 0

trung trực của đoạn AB với , A1; 3 ,  B 3;6

Ta cần tìm M trên   C và N trên  sao cho

Bài toán Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1  4 3 i  2 và

Lời giải Giả sử M N, lần lượt là điểm biểu diễn số

phức z z1, 2 Khi đó M di động trên đường tròn

    2 2

C x  y  và N di động trên

đường thẳng : 3x5y  là đường trung trực 4 0

của đoạn AB với , A2; 3 , B 1; 2  

Ta cần tìm M trên   C và N trên  sao cho độ dài

Lời giải 1 Gọi J là trung điểm AB Các điểm H K, (như hình vẽ) là giao điểm của IJ

d M AB AB AMB

AB J là hình chiếu của I xuống AB và N là

giao điểm của IJ với đường tròn  C (hình vẽ)