Hướng dẫn học sinh sử dụng tư duy hàm số để giải hệ phương trình

2.3.2.3 GP3: Xây dựng các dấu hiệu nhận biết một hệ phương trình có thể giải được bằng phương pháp hàm số.. Dấu hiệu 1: Hệ phương trình có phương trình độc lập được ẩn số Dấu hiệu 2: Hệ

MỤC LỤC Trang

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

1.2 Mục đích nghiên cứu

1.3 Đối tượng nghiên cứu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

010101020202

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 032.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 042.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Mục tiêu của giải pháp

2.3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp

2 3.2.1 GP1: Tư duy hàm số giải hệ phương trình

2.3.2.2 GP2: Giải các hệ thường gặp bằng phương pháp hàm số

2.3.2.3 GP3: Xây dựng các dấu hiệu nhận biết một hệ phương

trình có thể giải được bằng phương pháp hàm số

Dấu hiệu 1: Hệ phương trình có phương trình độc lập được ẩn số

Dấu hiệu 2: Hệ phương trình có sự tương tự của hai nhóm ẩn số

Dấu hiệu 3: Xử lý phương trình trung gian sau phép thế

2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “ép hàm đặc trưng” trong giải hệ phương

Kĩ thuật 4: ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng bằng phương pháp hệ số

2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,

đồng nghiệp và nhà trường

050505

1 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình, hệ phương trình là một vấn đề quan trọng của Toán học phổthông, nó trải dài và xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT Đây là một vấn

đề hay và khó, xuất hiện nhiều ở dạng câu phân loại mức độ cao trong các đề thihọc sinh giỏi, đề thi tuyển sinh các cấp học Việc giải toán phương trình, hệphương trình cũng rất đa dạng và phong phú, ngoài việc phân loại theo các dạngtoán cơ bản đặc trưng chúng ta cũng có thể phân loại theo phương pháp giảitoán Do sự đa dạng về dạng toán, phương pháp giải cũng như mật độ xuất hiệndày đặc trong các đề thi nên học sinh có một khối lượng lớn các kiến thức và bàitập thực hành khổng lồ Vì vậy, nếu không có chiến lược trong cách học phầnkiến thức này học sinh rất dễ sa vào việc chỉ lo giải bài tập toán mà không cónhững định hướng tư duy phương pháp

Giải bài tập Toán là phần quan trọng, không thể thiếu trong môn Toán học,làm bài tập không những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức màđồng thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh Bài tập giải phương trình,

hệ phương trình là một bài toán rất quan trọng, xuất hiện nhiều trong các đề thi ởmức độ cao Tuy nhiên các nội dung lí thuyết phần này trong hệ thống SGK phổthông được trình bày khá đơn giản, rải rác từ lớp 10 đến lớp 12, và không phânloại dạng toán, phương pháp Điều này gây khó khăn rất nhiều cho việc tiếp thukiến thức, hình thành dạng toán và phương pháp giải toán cho học sinh

Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương

pháp suy luận giải toán phương trình, hệ phương trình Với ý định đó, trong sáng

kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách xây dựng các định hướng “giải

bài toán hệ phương trình” bằng “tư duy hàm số”.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra nội dung phương pháp đã

trang bị cho học sinh để giải toán hệ phương trình Đó là: “ Hướng dẫn học

sinh sử dụng tư duy hàm số để giải hệ phương trình ” Từ đó đề ra các giải

pháp nhằm nâng cao hiệu quả giải toán phương trình, hệ phương trình của họcsinh trường THPT Hoằng Hóa 3

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Các dấu hiệu nhận biết bài toán hệ phương trình giải được bằng tư duy hàm số.Các kĩ thuật giải một bài toán hệ phương trình bằng tư duy hàm số

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề

Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm

Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinh

Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những vấn đềliên quan đến nội dung đề tài

Phương pháp thống kê, phân tích số liệu

1.5 NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SKKN

SKKN này tiếp nối và hoàn thiện hệ thống tư duy hàm số giải phương trình, hệ

phương trình SKKN này tập trung giải quyết trọn vẹn tư duy hàm số về hệ

phương trình (Phần tư duy hàm số để giải phương trình đã được giải quyết

trọn vẹn ở SKKN năm học 2016 )

Những điểm mới của SKKN là:

1- Phát triển và mở rộng tư duy hàm số cho học sinh trên bài toán hệphương trình

2- Phân loại các dạng toán cơ sở về hệ phương trình giải được bằng tưduy hàm số

3- Giải quyết triệt để một số khó khăn khi dùng phương pháp khác giảimột số hệ cơ bản ( Hệ đối xứng, hệ hoán vị )

4- Xây dựng và hoàn thiện các dấu hiệu nhận biết một hệ phương trìnhgiải được bằng tư duy hàm số

5- Sáng tạo nên các kĩ thuật “ép hàm đặc trưng” để giải hệ phương trình.

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến

- Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K

Hàm số f đồng biến trên K nếu x x1 2 K x, 1 x2  f x( ) 1  f x( ) 2

Hàm số f nghịch biến trên K nếu x x1 2 K x, 1 x2  f x( ) 1  f x( ) 2 [1]

- Nhận xét:

Cho f (x) xác định trên K, ta có: Với x1x2 K;f(x1 ) f(x2 )  x1 x2

2.1.2 Phương pháp chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến

- Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số y  f (x) trên K ta dựa vào 2 phươngpháp sau:

* Phương pháp 1: Dùng định nghĩa [1]

+ Lấy x1 ,x2 K,x1 x2, lập tỉ số

1 2

1

2 ) ( ) (

x x

x f x f A





+ Dựa vào dấu của A để suy ra tính đơn điệu

b) Nếu f x '  0 với mọi x D thì hàm số nghịch biến trên khoảng D

c) Nếu f x '  0 với mọi x D thì hàm số không đổi trên khoảng D

2.1.3 Tư duy hàm số về phương trình

Định lí 1: Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tụctrên D thì số nghiệm của f x  k trên D không nhiều hơn một và

f x f y khi và chỉ khi x y với mọi x y, thuộc D

Chứng minh:

Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a)=k và f đồng

1 Trong trang này: Mục 2.1.1 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [1].

- Mục 2.1.2 tác giả tham khảo có bổ sung từ TLTK [1], [2].

biến trên D nên

* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm

* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm

Vậy phương trình f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm

Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và hàm số

y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên

D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một

Chứng minh:

Giả sử x=a là một nghiệm của phương trình f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a)

Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến

*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm

*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm

Vậy phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm

Định lí 3: Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tụctrên k khoảng rời nhau thì phương trình f x  có nhiều nhất k nghiệm   0

Chứng minh:

Theo Định lí 1, trên mỗi khoảng phương trình f x  có nhiều nhất 1 nghiệm  0nên trên k khoảng rời nhau phương trình f x  có nhiều nhất k nghiệm.  0

2.1.4 Nội dung phương pháp hàm số giải phương trình

Dạng 1: “Khảo sát trực tiếp hàm số của phương trình”

Bài toán: Giải phương trình : “h(x) = g(x)” (1)

Bước giải toán:

Bước 1: Biến đổi (1) về dạng f(x) = 0 (2), với f(x) = h(x) – g(x) trên D

Bước2: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f x( ) trên D để suy ra số nghiệm tối

đa của phương trình (2)

Bước 3: Chỉ ra đủ số nghiệm cần thiết và kết luận cho phương trình (1)

Dạng 2: “Khảo sát hàm đặc trưng của phương trình”

Bài toán: Giải phương trình : “h(x) = g(x)” (1)

Bước giải toán:

Bước 1: Biến đổi (1) về dạng f u x   f v x  

Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng f t( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D

Bước 3: Kết luận: (1) u(x) = v(x).

2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.2.2 Khó khăn:

Do đây là một nội dung khó, lại xuất hiện trong các đề thi với tư cách là câu phân loại khó nên đa số các bài toán để giải nó là rất khó khăn Vì vậy gây chohọc sinh một thói quen rằng: bài toán rất khó và không có động lực để vượt qua.Thậm chí một phần lớn học sinh xác định bỏ luôn phần này, không để ý rènluyện

Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khốilượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phânbiệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bàitoán

Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chứ chưathực sự chú trọng đến tư duy phương pháp Do đó hiệu quả học và giải toánchưa cao Việc vận dụng tư duy hàm số vào giải phương trình, hệ phương trìnhcòn mang nặng tính cảm tính, thử nghiệm, chưa có đường lối rõ ràng, các dấuhiệu nhận biết không định hướng nên chưa tự tin khi vận dụng giải toán

2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.3.1.Mục tiêu của giải pháp

Đưa ra được nội dung phương pháp hàm số, các dấu hiệu nhận biết một hệ

phương trình có thể giải được bằng tư duy hàm số và các kĩ thuật “ép hàm đặc

trưng” khi giải hệ phương trình

2 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp

2 3.2.1 GP1: Tư duy hàm số giải hệ phương trình

Có nhiều cách khác nhau để phân loại tư duy hàm số trong giải hệ

phương trình, nhưng tựu chung lại có thể chia thành 4 dạng cơ bản như sau:

Dạng 1 Một phương trình trong hệ thu được phép thế bằng phương

Dạng 4 Sử dụng tư duy hàm số trong quá trình trung gian giải toán hệ

phương trình ( Tư duy hàm số xuất hiện sau các phép ẩn phụ,biến đổi, đánh giá …)

3 Trong trang này: Mục 2.2; 2.3.1; 2.3.2.1 do tác giả viết.

2.3.2.2 GP2: Giải các hệ thường gặp bằng phương pháp hàm số.

Một số hệ phương trình thường gặp khi giải theo phương pháp truyền thống sẽ gặp khó khăn hoặc không giải được thì nhờ tư duy hàm số có thể giải quyết nhanh chóng Đây là một bổ sung hiệu quả, toàn diện cho học sinh về tư duy giải hệ phương trình.

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình :

2 2

1 3

1 3

y x

Tư duy: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 quen thuộc đối với học sinh.

Tuy nhiên định hướng giải bằng phép trừ 2 vế tương ứng các phương trình trong

hệ để thu được nhân tử x y là không giải được Do đó tư duy hàm số khi nhìnthấy vai trò bình đẳng của các ẩn giúp ta xử lí trọn vẹn bài toán này

x x

4 Trong trang này: Ví dụ 1 do tác giả đề xuất, lời giải của tác giả.

đổi mà không nghĩ đến vai trò bình đẳng trong tư duy hàm số Phương trình thuđược sau phép thế , học sinh có thể giải bằng phương pháp liên hợp không hoàntoàn nhưng cuối cũng vẫn phải dùng tư duy hàm số mới giải quyết được

Sau quá trình giải toán ví dụ 1, học sinh nhận thấy rằng, việc xử lí bằng hàm số

là ngắn gọn và dễ thực hành hơn cả Điều đó phản ánh ưu điểm của tư duy hàm

số đối với bài toán này

Tư duy: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 quen thuộc đối với học sinh.

Tuy nhiên định hướng giải bằng phép ẩn phụ S  x y P xy;  là khó khăn vìphép biến đổi dài Phép bình phương cũng sẽ gặp khó khăn vì số bậc tăngnhanh Tư duy hàm số giúp ta giải nhanh bài toán này

Lời giải

Điều kiện : 1

1

x y

Suy ra: x 3  y 3 0, do đó xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: x 3 y 3 Nhận thấy x y 3 thỏa mãn hệ đã cho

Lời giải bài toán ấn tượng khi sáng tạo được: “phép cộng hàm số và ép hàm

Tư duy: Đây là hệ phương trình hoán vị vòng quanh quen thuộc đối với học

sinh Hệ giải được bằng phương pháp hàm số khi các hàm đặc trưng hoặc đồngbiến hoặc nghịch biến trên toàn miền khảo sát nghiệm

Lời giải

y z

z x

Xét x0 y0, tương tự x0 y0 Lập luận như trên ta được: x0 y0 z0

Ta chỉ xét x y z  Giải pt f x  g x  ta có nghiệm duy nhất x 4

Vậy nghiệm của hệ: 4;4;4

Nhận xét

Bài toán này học sinh đã được học tư duy hàm số nên đội tuyển Toán THPTHoằng Hóa 3, năm học 2014 - 2015 đều giải trọn ven

6 Trong trang này: Ví dụ 3 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [3].

2.3.2.3 GP3: Xây dựng các dấu hiệu nhận biết một hệ phương trình có

thể giải được bằng phương pháp hàm số.

Việc chỉ ra các dấu hiệu đặc trưng để học sinh nhận biết một hệ phương trình

có thể giải được theo tư duy hàm số là một điều cần thiết Các dấu hiệu đặc

trưng được thông qua các ví dụ cụ thể đã được tiến hành với các quá trình giải toán của học sinh như sau:

Dấu hiệu 1: Hệ phương trình có phương trình độc lập được ẩn số

Tư duy: Phương trình đầu tiên của hệ phương trình có thể độc lập được ẩn số,

do đó ta có thể sử dụng tư duy hàm số để giải phương trình một ẩn này

Lời giải

Điều kiện: 4y 11 0 (*) Đặt t x 2  2y phương trình (1) có dạng:

(Vì hàm số g t( ) t3 t2 t đồng biến trên khoảng 0; )

KL: Hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: 1; 0,5 , 3;3,5   

Nhận xét

Đây là một bài toán hay và học sinh thực hành bài toán này đã rèn luyện đượcnhiều kĩ năng khi giải hệ phương trình bằng tư duy hàm số

Dấu hiệu 2: Hệ phương trình có sự tương tự của hai nhóm ẩn số

Đây là dấu hiệu thường gặp khi giải hệ phương trình theo tư duy hàm số.

Ví dụ 5 Giải hệ pt :

2

3 3

7 Trong trang này: Nội dung phương pháp, dấu hiệu là do tác giả phát hiện và viết.

Ví dụ 4, ví dụ 5 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [4].

Lời giải

Điều kiện: x y 0, 2x y 0 (*)

Khi đó: 22x y (2x y) 2x y 2x y (x y) x y f(2x y) f x y( )

Hàm số ( ) 2f t  t t t đồng biến trên 0; nên: 2 x y x y    x2y

Thế vào phương trình còn lại, ta được: 3 y  1 2(2y 1)3 (3)

Đặt 3 y 2t 1, phương trình (3) trở thành hệ:

3 3

(2 1)(2 1)

do 2(2 1)2 2(2 1)(2 1) 2(2 1)2 1 0 , 

ty y  y t  t   y t

Thế vào hệ: y (2y 1)3  8y3 12y2 5y 1 0  y 1

Với y 1 x2,thoả mãn (*) Vậy, hệ đã cho có nghiệm: ( ; ) (2; 1)x y 

Nhận xét

Đây là đáp án của đề thi, việc giải phương trình (3) cũng tương đối lắt léo, nếuhọc sinh không quen dạng chắc chắn gặp khó khăn,thậm chí là không giải được.Trong thực tiến khi dạy học sinh, bài toán này một số học sinh giỏi đã giảiphương trình (3) theo hướng sáng tạo theo tư duy hàm số

Dấu hiệu 3: Xử lý phương trình trung gian sau phép thế

Đây là một đặc trưng khá hay, nó là thao tác phối kết hợp nhiều phương pháp cho việc giải một bài toán Không có phương pháp vạn năng để giải mọi bài toán, vì vậy cần phải sáng tạo để vận dụng linh hoạt, hợp lí hệ thống các phương pháp giải toán để giải quyết một bài toán.

Tư duy: Hệ phương trình này dấu hiệu hàm số không xuất hiện ngay ban đầu, có

chăng chỉ xuất hiện “trung gian khi xử lí phương trình sau phép thế”.

8 Trong trang này: Nội dung phương pháp, dấu hiệu là do tác giả phát hiện và viết.

Ví dụ 6 tác giả tham khảo từ TLTK [5], lời giải của tác giả.

Vấn đề là ta giải phương trình (3) bằng tư duy hàm số

4 3 x x 1 7 3 x x  2    hay pt(3) vô nghiệm

Vậy, hệ có nghiệm duy nhất 1 13;2 13 6

2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “ép hàm đặc trưng” trong giải hệ phương trình

Khi giải hệ phương trình nếu một phương trình có dạng hàm đặc trưng, mà hàm

đặc trưng lại luôn đồng biến (hoặc nghịch biến trên một khoảng cùng chứa u v,

) thì chúng ta thu ngay được phép thế u v , và chuyển việc giải hệ về giải phương trình một ẩn Tuy nhiên có một số hệ mà : việc xuất hiện hàm đặc trưng chưa có ngay, hàm đặc trưng trên nhiều khoảng, hàm đặc trưng chưa chịu đồng biến, nghịch biến chúng ta phải “ép” nó thành hàm đặc trưng chính quy để giải toán.

Sau đây là một số kĩ thuật cơ bản

Kĩ thuật 1: ÉP hàm đặc trưng về từng khoảng đồng biến (nghịch biến).

Mục đích: Bằng đánh giá điều kiện kéo theo từ phương trình còn lại của hệ hoặc đánh giá về dấu để u, v nằm cùng một khoảng mà hàm đặc trưng đồng biến hoặc nghịch biến