Luan an LDPhat “Bồi dưỡng một số nét đặc trưng của tư duy hàm cho học sinh Trung học cơ sở thông qua việc vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học môn Toán”.

MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1. Quá trình cải cách nền giáo dục Toán học thế giới (do F. Clainơ khởi xướng vào những năm đầu thế kỷ XX) đặc biệt quan tâm đến việc đảm bảo vai trò trung tâm của khái niệm hàm và xem nó như là một khái niệm xuyên suốt chương trình môn Toán ở trường phổ thông. “Liên hệ chặt chẽ với khái niệm hàm là tư duy hàm (TDH) một loại hình tư duy đã được hàng loạt công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát triển mạnh trong dạy học (DH) các bộ môn, đặc biệt là môn Toán” 68, tr.122. Cho tới nay, trong giáo dục Toán học, nội hàm các khái niệm: tư duy lôgic, tư duy biện chứng, tư duy hàm, …chưa thật sự rõ ràng, nhưng cũng có nhiều tác giả nhận định rằng, tư duy toán học là sự thống nhất giữa tư duy lôgic và tư duy biện chứng; bồi dưỡng TDH có ảnh hưởng tích cực đến việc phát triển tư duy biện chứng và tư duy lôgic cho học sinh (HS). Trong thực tiễn DH Toán ở trường phổ thông (PT), nhìn chung, người giáo viên (GV) mới chỉ chú ý đến việc bồi dưỡng tư duy lôgic cho HS, quan tâm chủ yếu đến tính đúng, sai của lập luận chứ chưa chú ý nhiều đến việc dạy cho HS tìm tòi và suy nghĩ. Vì vậy, vấn đề bồi dưỡng tư duy cho HS nói chung, bồi dưỡng TDH cho học sinh THCS trong DH môn Toán nói riêng cần phải được đặt ra một cách có chủ đích và tích cực hơn nữa. Qua điều tra đối với nhiều GV dạy Toán ở bậc THCS thì thấy rằng, hầu hết họ không rõ hoặc chưa hiểu lắm về khái niệm TDH, thậm chí còn lẫn lộn hai khái niệm hàm và tư duy hàm, nên khó nói tới ý thức và khả năng bồi dưỡng TDH cho HS. Tuy nhiên, trong các giáo trình về phương pháp dạy học (PPDH) Toán dành cho hệ cao đẳng Sư phạm – nhằm đào tạo những GV Toán THCS sau này – cũng chưa có chương, mục nào đề cập về khái niệm TDH và biện pháp phát triển TDH. 1.2. Đổi mới giáo dục nói chung và đổi mới phương pháp (PP) dạy học Toán nói riêng đang trở thành một trong những yêu cầu bức thiết của giáo dục phổ thông (PT) nước ta, nhằm tạo ra nguồn nhân lực phục vụ sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đã khẳng định: “… Phải đổi mới phương pháp giáo dục và đào tạo (GDĐT), khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo cho người học …” 135. Luật Giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 82 đã quy định: “… Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên …” (Chương I, Điều 5). “PP giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng PP tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS” (Chương II, Điều 28). Nhận định về PPDH Toán ở trường PT trong giai đoạn hiện nay, Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn viết: “… Kiến thức, tư duy, tính cách con người chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhưng, hiện nay trong nhà trường, tư duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức, … Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức, các định lý để tính toán, để chứng minh …” 117, Tập 1, tr. 4. Giáo sư Hoàng Tụy cũng có nhận định tương tự: “… Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản …” 133, tr. 3540. Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người đáp ứng mục tiêu công nghiệp hóa, hiện đại hóa với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nẩy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong ngành GDĐT. Định hướng đổi mới PPDH trong giai đoạn hiện nay có thể được thể hiện dưới nhiều thuật ngữ khác nhau, như “lấy người học làm trung tâm”, “phát huy tính tích cực”, “PPDH (hoặc giáo dục) tích cực”, “tích cực hóa hoạt động học tập”, “hoạt động hóa người học”…, nhưng tựu trung lại, các ý tưởng này đều bao hàm những yếu tố tích cực, có tác dụng thúc đẩy đổi mới PPDH nhằm nâng cao hiệu quả GDĐT. Vì thế, Luật Giáo dục hiện nay đã nêu bật bản chất của các ý tưởng này, và đó cũng chính là định hướng tổng quát cho quá trình đổi mới PPDH: “PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong HĐ và bằng HĐ tự giác, tích cực và sáng tạo” 82. Định hướng này có thể gọi tắt là học tập trong HĐ và bằng HĐ, hay gọn hơn là HĐ hoá người học 66, tr. 124. Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa mục đích, nội dung và PPDH. Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản con người phát triển trong HĐ và học tập diễn ra trong HĐ của Giáo dục học hiện đại. Vì vậy, cần có sự đổi mới về PPDH nhằm khai thác tiềm năng SGK Toán THCS hiện hành theo hướng phát triển tư duy toán học nói chung, TDH nói riêng cho HS trên cơ sở Định hướng HĐ hoá người học. 1.3. Khái niệm hàm là một khái niệm cực kỳ quan trọng trong Toán học hiện đại cũng như trong chương trình Toán PT. Theo Viện sĩ A. Ia. Khinshin thì không có khái niệm nào có thể phản ảnh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm. Không một khái niệm nào có thể biểu hiện được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm 147. Khái niệm hàm, mà một trường hợp riêng của nó là khái niệm hàm số, giữ một vị trí trung tâm trong khoa học Toán học. Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm sẽ tăng cường tính thống nhất của môn Toán PT, góp phần xóa bỏ ranh giới giả tạo giữa các phân môn Toán và giữa các phần khác nhau của chương trình. Khái niệm hàm giữ vai trò chủ đạo, xuyên suốt chương trình môn Toán PT. Toàn bộ việc giảng dạy Toán ở PT đều phải xoay quanh khái niệm này. Khi dạy học các chủ đề trong môn Toán ở trường PT, luôn phải ứng dụng các kiến thức về hàm dưới dạng tường minh hoặc ẩn tàng. Trong nội dung môn Toán THCS hiện hành, nhiều chủ đề kiến thức có thể khai thác để phát triển TDH cho HS, chẳng hạn như: Xây dựng và mở rộng các hệ thống số; Phương trình và bất phương trình (BPT); Hàm số và đồ thị; Các phép đối xứng và các hình đối xứng và một số nội dung Hình học khác. Theo A. A. Stoliar: Dạy Toán là dạy hoạt động toán học 150, như vậy có thể thấy rằng, nghiên cứu vận dụng quan điểm hoạt động vào việc phát triển TDH cho HS trong dạy học môn Toán ở trường THCS là việc làm cấp thiết và đây là lĩnh vực có nhiều tiềm năng để phát triển loại hình tư duy này. Phát triển TDH vừa là một phương tiện, vừa là một kết quả của dạy học Toán ở trường THCS. Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận án là: “Bồi dưỡng một số nét đặc trưng của tư duy hàm cho học sinh Trung học cơ sở thông qua việc vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học môn Toán”.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án

Lê Duy Phát

1.1 Quan điểm hoạt động trong dạy học môn Toán 15

1.3 Tổng quan về lịch sử hình thành, phát triển khái niệm hàm và TDH

1.4 Thực trạng dạy học môn Toán hiện nay ở THCS 47

Chương 2 CÁC DẠNG HOẠT ĐỘNG CƠ BẢN TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ NHẰM BỒI DƯỠNG MỘT SỐ

2.1 Cơ sở để xác định các dạng HĐ tương ứng với các nét đặc trưng của

3.1 Định hướng xây dựng và sử dụng các biện pháp sư phạm 1013.2 Biện pháp 1: Khai thác các dạng bài tập trong SGK, SBT Toán THCShiện hành, tương ứng với các dạng HĐ trong quá trình DH nhằm phát

3.3 Biện pháp 2: Khai thác các chủ đề kiến thức thích hợp trong chương

4.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 142

NHỮNG CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN

Một số thuật ngữ dùng trong luận án:

Chương trình THCS hiện hành: là chương trình ban hành năm 2002

SGK hiện hành: là bộ sách biên soạn theo chương trình ban hành năm 2002

DANH MỤC CÁC BẢNG, SƠ ĐỒ, MÔ HÌNH

Mô hình 1.1 Mô hình cấu trúc hoạt động (theo Đỗ Ngọc Đạt) 17

Mô hình 1.2 Mô hình cấu trúc chức năng của HĐ (A N Lêônchiép) 20

Mô hình 1.3 Mô hình ba bình diện của PPDH (theo Berend Meier) 23

Sơ đồ 1.4 Sơ đồ mối quan hệ giữa: Quan điểm DH, PPDH và

Sơ đồ 1.5 Sơ đồ chuyển đổi ngôn ngữ trong phát triển TDH 32

Sơ đồ 3.2 Sơ đồ phát triển TDH qua các tri thức về PP toạ độ 119Bảng 4.1 Phân tích kết quả bài kiểm tra số 1, vòng 1 153Bảng 4.2 Phân tích kết quả bài kiểm tra số 2, vòng 1 154Bảng 4.3 Phân tích kết quả bài kiểm tra số 1, vòng 2 155Bảng 4.4 Phân tích kết quả bài kiểm tra số 2, vòng 2 156Bảng 4.5a,b,c,d Xếp hạng điểm số các bài kiểm tra thực nghiệm 157→160Bảng 4.6 Phân tích bác bỏ Giả thuyết H0 qua kết quả kiểm tra 161

2.11 VD 2 (5a, 9) 75 3.7a,b,c,d Ảnh động qua trục đối xứng 135,136,137

4.4 Đồ thị bài kiểm tra số2, vòng 2 1562.18a, b VD2 (9b, 9) 90

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Quá trình cải cách nền giáo dục Toán học thế giới (do F Clainơ khởi

xướng vào những năm đầu thế kỷ XX) đặc biệt quan tâm đến việc đảm bảo vai trò trung tâm của khái niệm hàm và xem nó như là một khái niệm xuyên suốt chương

trình môn Toán ở trường phổ thông

“Liên hệ chặt chẽ với khái niệm hàm là tư duy hàm (TDH) - một loại hình tư

duy đã được hàng loạt công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải đượcphát triển mạnh trong dạy học (DH) các bộ môn, đặc biệt là môn Toán” [68, tr.122]

Cho tới nay, trong giáo dục Toán học, nội hàm các khái niệm: tư duy lôgic, tư duy biện chứng, tư duy hàm, …chưa thật sự rõ ràng, nhưng cũng có nhiều tác giả

nhận định rằng, tư duy toán học là sự thống nhất giữa tư duy lôgic và tư duy biệnchứng; bồi dưỡng TDH có ảnh hưởng tích cực đến việc phát triển tư duy biện chứng

và tư duy lôgic cho học sinh (HS)

Trong thực tiễn DH Toán ở trường phổ thông (PT), nhìn chung, người giáoviên (GV) mới chỉ chú ý đến việc bồi dưỡng tư duy lôgic cho HS, quan tâm chủ yếuđến tính đúng, sai của lập luận chứ chưa chú ý nhiều đến việc dạy cho HS tìm tòi vàsuy nghĩ Vì vậy, vấn đề bồi dưỡng tư duy cho HS nói chung, bồi dưỡng TDH chohọc sinh THCS trong DH môn Toán nói riêng cần phải được đặt ra một cách có chủđích và tích cực hơn nữa

Qua điều tra đối với nhiều GV dạy Toán ở bậc THCS thì thấy rằng, hầu hết họkhông rõ hoặc chưa hiểu lắm về khái niệm TDH, thậm chí còn lẫn lộn hai khái niệm

hàm và tư duy hàm, nên khó nói tới ý thức và khả năng bồi dưỡng TDH cho HS.

Tuy nhiên, trong các giáo trình về phương pháp dạy học (PPDH) Toán dành cho hệcao đẳng Sư phạm – nhằm đào tạo những GV Toán THCS sau này – cũng chưa cóchương, mục nào đề cập về khái niệm TDH và biện pháp phát triển TDH

1.2 Đổi mới giáo dục nói chung và đổi mới phương pháp (PP) dạy học Toán

nói riêng đang trở thành một trong những yêu cầu bức thiết của giáo dục phổ thông(PT) nước ta, nhằm tạo ra nguồn nhân lực phục vụ sự nghiệp công nghiệp hóa, hiệnđại hóa đất nước.

Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sảnViệt Nam (Khóa VIII, 1997) đã khẳng định: “… Phải đổi mới phương pháp giáodục và đào tạo (GD&ĐT), khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp

tư duy sáng tạo cho người học …” [135]

Luật Giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 [82] đãquy định: “… Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,

tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ýchí vươn lên …” (Chương I, Điều 5) “PP giáo dục phổ thông phải phát huy tínhtích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từnglớp học, môn học; bồi dưỡng PP tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vàothực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS”(Chương II, Điều 28)

Nhận định về PPDH Toán ở trường PT trong giai đoạn hiện nay, Giáo sưNguyễn Cảnh Toàn viết: “… Kiến thức, tư duy, tính cách con người chính là mụctiêu của giáo dục Thế nhưng, hiện nay trong nhà trường, tư duy và tính cách bịchìm đi trong kiến thức, … Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức(khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung kháiniệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các côngthức, các định lý để tính toán, để chứng minh …” [117, Tập 1, tr 4] Giáo sưHoàng Tụy cũng có nhận định tương tự: “… Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét,luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gìmấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chánnản …” [133, tr 35-40]

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người đáp ứng mục tiêu công nghiệp hóa,hiện đại hóa với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nẩy sinh và thúc đẩy một cuộcvận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong ngành GD-ĐT

Định hướng đổi mới PPDH trong giai đoạn hiện nay có thể được thể hiện dướinhiều thuật ngữ khác nhau, như “lấy người học làm trung tâm”, “phát huy tính tíchcực”, “PPDH (hoặc giáo dục) tích cực”, “tích cực hóa hoạt động học tập”, “hoạtđộng hóa người học”…, nhưng tựu trung lại, các ý tưởng này đều bao hàm nhữngyếu tố tích cực, có tác dụng thúc đẩy đổi mới PPDH nhằm nâng cao hiệu quảGD&ĐT Vì thế, Luật Giáo dục hiện nay đã nêu bật bản chất của các ý tưởng này,

và đó cũng chính là định hướng tổng quát cho quá trình đổi mới PPDH: “PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong HĐ và bằng HĐ tự giác, tích cực và sáng tạo” [82].

Định hướng này có thể gọi tắt là học tập trong HĐ và bằng HĐ, hay gọn hơn

là HĐ hoá người học [66, tr 124] Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa mục đích, nội dung và PPDH Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản con người phát triển trong HĐ và học tập diễn ra trong HĐ của Giáo dục học hiện đại.

Vì vậy, cần có sự đổi mới về PPDH nhằm khai thác tiềm năng SGK Toán THCShiện hành theo hướng phát triển tư duy toán học nói chung, TDH nói riêng cho HS

trên cơ sở Định hướng HĐ hoá người học.

1.3 Khái niệm hàm là một khái niệm cực kỳ quan trọng trong Toán học hiện

đại cũng như trong chương trình Toán PT Theo Viện sĩ A Ia Khinshin thì không

có khái niệm nào có thể phản ảnh những hiện tượng của thực tại khách quan mộtcách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm Không một khái niệm nào

có thể biểu hiện được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đạinhư khái niệm tương quan hàm [147]

Khái niệm hàm, mà một trường hợp riêng của nó là khái niệm hàm số, giữ một

vị trí trung tâm trong khoa học Toán học Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệmhàm sẽ tăng cường tính thống nhất của môn Toán PT, góp phần xóa bỏ ranh giới giảtạo giữa các phân môn Toán và giữa các phần khác nhau của chương trình

Khái niệm hàm giữ vai trò chủ đạo, xuyên suốt chương trình môn Toán PT.Toàn bộ việc giảng dạy Toán ở PT đều phải xoay quanh khái niệm này Khi dạy học

các chủ đề trong môn Toán ở trường PT, luôn phải ứng dụng các kiến thức về hàmdưới dạng tường minh hoặc ẩn tàng.

Trong nội dung môn Toán THCS hiện hành, nhiều chủ đề kiến thức có thểkhai thác để phát triển TDH cho HS, chẳng hạn như: - Xây dựng và mở rộng các hệthống số; - Phương trình và bất phương trình (BPT); - Hàm số và đồ thị; - Các phépđối xứng và các hình đối xứng và một số nội dung Hình học khác

Theo A A Stoliar: Dạy Toán là dạy hoạt động toán học [150], như vậy có thểthấy rằng, nghiên cứu vận dụng quan điểm hoạt động vào việc phát triển TDH cho

HS trong dạy học môn Toán ở trường THCS là việc làm cấp thiết và đây là lĩnh vực

có nhiều tiềm năng để phát triển loại hình tư duy này Phát triển TDH vừa là mộtphương tiện, vừa là một kết quả của dạy học Toán ở trường THCS

Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận án là: “Bồi

dưỡng một số nét đặc trưng của tư duy hàm cho học sinh Trung học cơ sở thông qua việc vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học môn Toán”.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích của Luận án là nghiên cứu các cơ sở lí luận và thực tiễn để xác địnhđược những nét đặc trưng của TDH bằng việc cụ thể hóa qua những dạng hoạtđộng; đồng thời, nghiên cứu xây dựng một phương án vận dụng quan điểm hoạtđộng nhằm bồi dưỡng các nét đặc trưng đó cho học sinh trên cơ sở tôn trọngchương trình, SGK Toán THCS hiện hành

3 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Dựa vào những cơ sở lí luận và thực tiễn, có thể xác định được những dạng

HĐ tương thích với các nét đặc trưng của TDH Từ đó, nếu xây dựng và sử dụngđược các biện pháp sư phạm (SP) thích hợp thì có thể bồi dưỡng TDH cho HS, gópphần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THCS

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

4.1 Làm rõ khái niệm TDH trên cơ sở những nét đặc trưng và những dạnghoạt động tương thích với nó;

4.2 Làm rõ vấn đề đổi mới PPDH môn Toán theo định hướng “HĐ hoá ngườihọc” và làm sáng tỏ quan điểm hoạt động trong PPDH Toán;

4.3 Điều tra hiểu biết của GV về TDH, thực trạng việc phát triển TDH và việcđổi mới PPDH trong môn Toán ở trường THCS;

4.4 Xây dựng và sử dụng các biện pháp SP nhằm hiện thực hóa việc bồidưỡng các nét đặc trưng của TDH cho học sinh THCS trong dạy học môn Toán;4.5 Thực nghiệm sư phạm

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu trong và ngoài nước về các

vấn đề liên quan đến đề tài luận án

5.2 Điều tra cơ bản: Điều tra

+ Hiểu biết về TDH và thực tiễn dạy học theo hướng “HĐ hoá người học”;+ Thực trạng tiến hành đổi mới PPDH của giáo viên Toán THCS theo chươngtrình và SGK hiện hành

5.3 Thực nghiệm sư phạm

Tổ chức thực nghiệm SP để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của đề tài

6 NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯA RA BẢO VỆ

6.1 Các nét đặc trưng của TDH;

6.2 Các HĐ tương thích với các nét đặc trưng của TDH;

6.3 Tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp SP được đề xuất trong dạy họcToán ở bậc THCS;

6.4 Các kết quả của thực nghiệm SP

7 ĐIỂM MỚI VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA LUẬN ÁN

7.1 Về mặt lý luận

+ Đã làm sáng tỏ nội hàm của khái niệm TDH thông qua việc xác định tường

minh các nét đặc trưng của nó;.

+ Đã xác định được hệ thống các HĐ tương thích với các nét đặc trưng củaTDH và các biện pháp sư phạm nhằm phát triển TDH cho HS trong dạy học Toán ởbậc THCS;

7.2 Về mặt thực tiễn

+ Đã xây dựng được hệ thống các dạng bài tập tương thích với các dạng HĐtrên cơ sở tôn trọng chương trình và SGK Toán THCS nhằm bồi dưỡng TDH chohọc sinh;

+ Thiết kế một số nội dung cụ thể để bồi dưỡng cho GV Toán THCS và sinhviên Sư phạm Toán nhằm đáp ứng yêu cầu dạy học phát triển TDH cho HS;

+ Sử dụng một số phần mềm DH Toán theo định hướng phát triển TDH chohọc sinh THCS

8 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án có 4 chương:

Chương 1: Định hướng vận dụng quan điểm HĐ vào DH môn Toán nhằm

phát triển TDH cho học sinh THCS

Chương 2: Một số dạng HĐ cơ bản trong DH môn Toán ở trường THCS

nhằm bồi dưỡng cho HS các nét đặc trưng của TDH

Chương 3: Một số biện pháp SP nhằm góp phần phát triển TDH cho HS

THCS thông qua DH môn Toán

Chương 4: Thực nghiệm sư phạm

Sơ đồ 0.1: SƠ ĐỒ LÔGIC CỦA LUẬN ÁN

CHƯƠNG TRÌNH SGK TOÁN THCS HIỆN HÀNHCÁC CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC CÓ TIỀM NĂNG BỒI DƯỠNG TDH

Quan điểm HĐtrong

DH môn Toán

Các dạng

HĐ

cơ bản trong

DH ToánPT

Nét đặc trưng thứ hai

Nét đặc trưng thứ ba

Dạng 1.3a

Dạng 1.1a

Dạng 1.2b

Dạng 1.3b Dạng 1.4a Dạng 1.4b Dạng 2.5a Dạng 2.5b Dạng 2.6a Dạng 2.6b Dạng 2.7a Dạng 2.7b Dạng 3.8a Dạng 3.8b Dạng 3.8c Dạng 3.9a

Dạng 3.10a Dạng 3.9b

Dạng 3.10b Dạng 3.11a Dạng 3.11b Dạng 3.11c

Chương 1 ĐỊNH HƯỚNG VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG

VÀO DẠY HỌC MÔN TOÁN NHẰM BỒI DƯỠNG

TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

1.1 Quan điểm hoạt động trong dạy học môn Toán

1.1.1 Khái niệm hoạt động

Theo Từ điển Giáo dục học [45, tr.191]: HĐ là hình thức biểu hiện quan trọng

nhất của mối liên hệ tích cực, chủ động của con người đối với thực tiễn xung quanh.Còn đối với từng khía cạnh thực tiễn, HĐ là quá trình diễn ra một loạt hành động cóliên quan chặt chẽ với nhau tác động vào đối tượng nhằm đạt được mục đích nhấtđịnh trong đời sống xã hội HĐ của con người luôn xuất phát từ những động cơ nhấtđịnh do có sự thôi thúc của nhu cầu, hứng thú, tình cảm, ý thức trách nhiệm … Cảđộng cơ và mục đích cùng thúc đẩy con người tích cực và kiên trì khắc phục mọikhó khăn để đạt được kết quả mong muốn Tuy nhiên, với cùng một mục đích HĐnhư nhau có thể có những động cơ khác nhau

Ngoài các yếu tố mục đích và động cơ nêu trên, HĐ còn có đặc trưng là phảibiết sử dụng các phương tiện nhất định mới thực hiện được, như: công cụ và cách

sử dụng công cụ, phương tiện ngôn ngữ và các tri thức chứa đựng trong ngôn ngữ,cách thức làm việc bằng trí óc và chân tay Nghĩa là HĐ đòi hỏi phải có kĩ năng và

kĩ xảo sử dụng các phương tiện

Hình thức cơ bản HĐ của con người là lao động nhằm tạo ra những giá trị vậtchất và tinh thần để thỏa mản các nhu cầu của mỗi người và toàn xã hội Trong quátrình phát triển lịch sử, HĐ lao động đã phân hóa dưới hai hình thức là trí óc vàchân tay, nhưng vẫn luôn gắn bó chặt chẽ với nhau Xã hội càng văn minh, càngphát triển thì thành phần trí tuệ trong HĐ của con người càng tăng và lấp dầnkhoảng cách giữa HĐ trí tuệ và HĐ cơ bắp trong quá trình tạo ra các giá trị cho xãhội

Để tham gia vào HĐ, con người cần phải có năng lực HĐ nhất định Năng lực

này một phần phụ thuộc vào tố chất bẩm sinh của từng người, tuy nhiên, chủ yếuphụ thuộc vào các điều kiện, hoàn cảnh Hay nói cách khác, phụ thuộc vào yếu tốgiáo dục

Theo A N Lêônchiép [75, tr 81]: HĐ là phương thức tồn tại của cuộc sốngchủ thể Cuộc sống là “tổ hợp, hay nói một cách chính xác hơn là hệ thống các HĐthay thế nhau”

“HĐ đó là tính tích cực bên trong (tâm lí) và bên ngoài (thể lực) của người,được điều chỉnh bởi mục tiêu tự giác (có ý thức) HĐ gắn liền chặt chẽ với nhậnthức và ý chí, dựa hẳn vào chúng và không thể xảy ra được nếu thiếu chúng”

A V Pêtrôvski [89, tr 66] cho rằng: Mọi HĐ là một tổ hợp những hành độngthể chất, những hành động thực hành hay những hành động ngôn ngữ nào đó Do

đó, cả việc học tập cũng được thực hiện bằng con đường tiến hành những hành độngkhác nhau của con người: các vận động viết, nói,

1.1.2 Lý thuyết HĐ trong Tâm lý học hiện đại (Theo [75], [43], [31])

HĐ với tư cách là một khái niệm triết học đã có từ lâu Nó mới trở thành mộtkhái niệm tâm lý học từ đầu thế kỉ XX

Dựa trên quan điểm duy vật lịch sử về con người: “Trong tính hiện thực của

nó, bản chất con người là tổng hòa của các quan hệ xã hội” (K Marx) Mô hình lýluận xây dựng trên phạm trù HĐ đã trả lại cho tâm lý học con người cụ thể, conngười xã hội - lịch sử, con người hành động, con người HĐ

HĐ trở thành khái niệm then chốt trong bộ máy khái niệm của tâm lý học kiểumới - tâm lý học khách quan, khoa học

Vận dụng những nguyên lý duy vật biện chứng và duy vật lịch sử vào tâm lý học với tính cách là một khoa học cụ thể, L X Vưgốtxki (1896-1934) đã chỉ ra rằng, muốn xây dựng một khoa học tâm lý thực sự khách quan, trước hết khoa học

đó phải hiểu con ngưòi như là một tồn tại xã hội - lịch sử và lao động có ý thức, chứ không phải là “một cái túi chứa đựng đầy những phản xạ” Tâm lý ý thức con người được nghiên cứu, tìm hiểu trong sự phân tích những hình thái hành vi có chất

lượng khác hẳn với những hình thái hành vi của động vật Thành phần của hành vi con người là kinh nghiệm lịch sử, kinh nghiệm xã hội và kinh nghiệm lao động Từ đây đưa ra PP tiếp cận lịch sử trong tâm lý học và kết quả của sự vận dụng PP tiếp cận này vào các công trình nghiên cứu tâm lý người là xây dựng nên lý thuyết văn hóa lịch sử mà ngày nay, đầu thế kỷ XXI, giới tâm lý học thế giới đều rất quan tâm Phát triển lý thuyết văn hóa - lịch sử, vận dụng sáng tạo PP tiếp cận lịch sử vào các công trình nghiên cứu tâm lý của mình, A N Lêônchiép đã xây dựng nên tâm lý học HĐ Đó là tâm lý học với PP tiếp cận lấy HĐ có đối tượng làm mô hình nghiên cứu, lý giải, hình thành, phát triển tâm lý, nhân cách ngưòi (Phạm Minh

Hạc, 2003, lời tựa cuốn sách [43])

Toàn bộ lí thuyết tâm lý học về HĐ, cấu trúc vĩ mô của HĐ đối tượng được A

N Lêônchiép trình bày tóm tắt trong [75, tr.115-140]: “Hoạt động - Ý thức - Nhâncách”, cống hiến lớn nhất của ông là xây dựng nên PP tiếp cận HĐ

“Theo thuật ngữ mà tôi đề nghị, đối tượng của HĐ là động cơ thật sự của HĐ

Dĩ nhiên, nó có thể là vật chất hay tinh thần, là có trong tri giác hay là chỉ có trongtưởng tượng, trong ý nghĩ Điều chủ yếu là: đằng sau nó bao giờ cũng là nhu cầunày hay một nhu cầu khác

Như vậy, khái niệm HĐ gắn liền một cách tất yếu với khái niệm động cơ.Không có HĐ nào không có động cơ; HĐ “không động cơ” không phải là HĐ thiếuđộng cơ mà là HĐ với một động cơ ẩn giấu về mặt chủ quan và về mặt khách quan”[75, tr 117] Đỗ Ngọc Đạt [36, tr 82] đã mô hình hóa cấu trúc của HĐ như sau:

Cấu trúc tâm lý

Cấu trúc vật lý Hành động Đối tượng

Thao tác Hoạt động

Thành phần cơ bản “hợp thành” những HĐ riêng rẽ của con người là nhữnghành động thực hiện HĐ ấy Chúng ta gọi hành động là quá trình bị chi phối bởibiểu tượng về cái kết quả phải đạt được, nghĩa là quá trình nhằm một mục đíchđược ý thức Khái niệm mục đích quan hệ với khái niệm hành động cũng giống nhưkhái niệm động cơ quan hệ với khái niệm HĐ [75, tr 117].

Việc tách ra những hành động có mục đích hợp thành nội dung của những HĐ

cụ thể, đương nhiên đặt ra vấn đề mối quan hệ bên trong gắn liền chúng lại vớinhau Như trên kia đã nói, HĐ không phải là quá trình cộng thành Do đó, hànhđộng không phải là những “bộ phận riêng lẻ” đặt biệt cấu thành HĐ HĐ của conngười không tồn tại bằng cách nào khác hơn là dưới hình thức những hành độnghay những chuỗi hành động [75, tr 119]

Phương thức thực hiện hành động gọi là thao tác

Các thuật ngữ “hành động” và “thao tác” thường không phân biệt nhau.Nhưng trong khung cảnh phân tích HĐ về mặt tâm lý thì phân biệt rành mạch haithuật ngữ ấy là hoàn toàn cần thiết Hành động liên quan đến mục đích, còn thao tácliên quan với điều kiện

“Tuy vậy, thao tác vẫn không phải là “phần riêng rẽ” của hành động, giốngnhư hành động so với HĐ” [75, tr 124]

Như vậy, HĐ của con người có những thành tố đặc thù là con người vươn tớiđối tượng, chuyển sự vật, hiện tượng, … thành đối tượng của HĐ, nhằm tạo ra sảnphẩm của HĐ, thực hiện mục đích của con người Các quá trình này vừa chứa đựng,vừa thực hiện động cơ của con người với tinh thần là chủ thể của HĐ Để thực hiệnđộng cơ, chủ thể phải dùng sức căng cơ bắp, thần kinh, năng lực, kinh nghiệm thựctiễn để thỏa mãn động cơ, gọi là HĐ Quá trình chiếm lĩnh từng mục đích gọi làhành động Chủ thể chỉ có thể đạt được mục đích bằng những điều kiện xác định.Mỗi điều kiện quy định một cách thức hành động gọi là thao tác

HĐ luôn có tính hướng đích và hành động là quá trình hiện thực hóa mục đích,còn thao tác do điều kiện quy định Do đó, sự khác nhau giữa mục đích và điều kiện

quy định sự khác nhau giữa hành động và thao tác Nhưng sự khác nhau đó chỉ làtương đối, bởi để đạt một mục đích ta có thể dùng các phương tiện khác nhau Khi

đó, hành động chỉ thay đổi về mặt kĩ thuật, tức là cơ cấu thao tác chứ không hề thayđổi bản chất Về mặt tâm lý, hành động sinh ra thao tác, nhưng thao tác không phải

là phần riêng lẻ của hành động Sau khi được hình thành, thao tác có khả năng tồntại độc lập và có thể tham gia vào nhiều hành động khác

HĐ có biểu hiện bề ngoài là hành vi, hai phạm trù này hỗ trợ cho nhau, trong

đó, HĐ bao gồm cả hành vi lẫn tâm lý, ý thức HĐ của con người tất yếu dẫn đếnchỗ nảy sinh ý thức và ý thức là thành tố thực sự trong sự vận động của HĐ Vì vậy,

ý thức tâm lý của con người bao giờ cũng mang tính chất tích cực Hơn nữa, đây làtính tích cực HĐ đặc thù của con người, tức là nó mang tính chất say mê, vì nó luôngắn bó với việc thực hiện mục đích của HĐ

Như vậy, thế giới tâm lý con người có thể được nghiên cứu ở ba cấp độ:

- Hoạt động: bao giờ cũng nhằm vào một đối tượng, tạo ra sản phẩm để thỏa

và thao tác

Theo A N Lêônchiép, cấu trúc chức năng của HĐ bao gồm các thành tố cóthể mô hình hóa như sau:

Mối liên hệ bên trong của HĐ là mối liên hệ giữa: Hoạt động Hành động

-Thao tác, tương ứng với liên hệ giữa: Động cơ - Mục đích - Phương tiện

1.1.3 Quan điểm HĐ trong DH môn Toán

Có thể vận dụng lý luận của A N Lêônchép về HĐ tâm lí để giải quyết hàngloạt vấn đề lí luận và thực tiễn DH Trong đó, chủ yếu là việc hình thành HĐ họctập cho người học, đặc biệt là học viên nhỏ tuổi Xung quanh vấn đề này, trước hếtcần hình thành cho người học các đơn vị chức năng của HĐ học tập: động cơ, mụcđích học tập, để qua đó hình thành thao tác, hành động và HĐ học Trong đó, hìnhthành hành động học là khâu trung tâm Sau khi đã có HĐ học cần chuyển từ HĐthứ yếu lên mức HĐ chủ đạo trong quá trình phát triển của trẻ em

“Mỗi nội dung DH đều liên hệ mật thiết với những HĐ nhất định Đó là những

HĐ đã được tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung đó Pháthiện được những HĐ tiềm tàng trong một nội dung là vạch được một con đường đểtruyền thụ nội dung đó và thực hiện những mục đích DH khác, cũng đồng thời cụthể hoá được mục đích DH nội dung đó và chỉ ra cách kiểm tra việc thực hiệnnhững mục đích này Cho nên điều cơ bản của PPDH là khai thác được những HĐtiềm tàng trong nội dung để đạt được mục đích DH Khi đó giúp người học conđường chiếm lĩnh nội dung nội dung đó và đạt được những mục đích DH khác, tức

là kết hợp truyền thụ tri thức với truyền thụ tri thức PP” [65, tr 13]

Theo [13, tr 123], cũng có quan điểm tương tự: HĐ của người học đóng vaitrò quan trọng trong quá trình DH Mỗi nội dung DH đều liên hệ với những HĐnhất định Đó trước hết là những HĐ đã được tiến hành trong quá trình lịch sử hìnhthành và ứng dụng những tri thức được bao hàm trong nội dung này, cũng chính lànhững HĐ để người học có thể kiến tạo và ứng dụng những tri thức trong nội dung

đó Trong quá trình DH, ta còn phải kể tới cả những HĐ có tác dụng củng cố trithức, rèn luyện những kĩ năng và hình thành những thái độ có liên quan

Phát hiện được những HĐ như vậy trong một nội dung là chỉ ra được một PP

để người học kiến tạo được tri thức trong nội dung đó và đạt được những mục tiêu

DH khác, cũng đồng thời là cụ thể hóa được mục tiêu DH nội dung đó và chỉ rađược một cách kiểm tra xem mục tiêu DH có đạt được hay không và đạt được đếnmức độ nào Cho nên điều căn bản của PPDH là khai thác những HĐ như trên tiềmtàng trong mỗi nội dung để đạt được mục tiêu DH

Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa mục đích nội dung và PPDH

Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản của giáo dục học cho rằng con ngườiphát triển trong HĐ và học tập diễn ra trong HĐ

Theo [31, tr 43]: “Dạy một nội dung nào đó là khai thác, lựa chọn những HĐtiềm tàng trong nội dung này Từ đó tổ chức, điều khiển HS thực hiện những HĐnày trên cơ sở bảo đảm những thành phần tâm lý cơ bản của HĐ”

Con người sống trong HĐ, học tập diễn ra trong HĐ Trong DH môn Toánđiều đó được gọi là học tập trong HĐ và bằng HĐ

PPDH mới là PP tổ chức HĐ có đối tượng Do đó, việc xác định được đốitượng HĐ dựa trên cơ sở tổ chức HĐ của trẻ em là nền tảng cơ bản để tiến hànhviệc giáo dục có hiệu quả

Về bản chất, nhà trường là nơi đang xảy ra cuộc sống thực của trẻ em và bằngcách tổ chức HĐ trên những đối tượng thực ấy mà phát triển tâm lý trưởng thành về

cơ thể của thế hệ trẻ

Việc thiết kế các HĐ, tạo môi trường cho HS được học tập trong HĐ và bằng

HĐ là nét đặc trưng quan trọng của việc đổi mới PPDH hiện nay.

1.1.4 Các tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động

Xuất phát từ một nội dung DH, ta cần phát hiện những HĐ liên hệ với nó, rồicăn cứ vào mục đích DH mà lựa chọn để tập luyện cho HS một số trong những HĐ

đã phát hiện được Việc phân tích một HĐ thành những HĐ thành phần cũng giúp ta

tổ chức cho HS tiến hành những HĐ với độ phức hợp vừa sức họ

HĐ thúc đẩy sự phát triển là HĐ mà chủ thể thực hiện một cách tự giác vàtích cực Vì vậy, cần cố gắng gợi động cơ để HS ý thức rõ vì sao thực hiện HĐ nàyhay HĐ khác

Việc thực hiện HĐ nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là trithức PP Những tri thức như thế có khi lại là kết quả của một quá trình HĐ

Trong HĐ, kết quả đạt được ở một mức nào đó có thể lại là tiền đề để tậpluyện và đạt kết quả cao hơn Do đó cần phân bậc HĐ theo những mức độ khácnhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình DH

Theo [66, tr 134], quan điểm HĐ trong PPDH có thể được thể hiện ở các tưtưởng chủ đạo sau đây:

a) Cho HS thực hiện và tập luyện những HĐ và HĐ thành phần tương thíchvới nội dung và mục tiêu DH;

b) Gợi động cơ cho các HĐ học tập;

c) Dẫn dắt cho HS kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức PP như phương tiện vàkết quả của HĐ;

d) Phân bậc HĐ làm căn cứ điều khiển quá trình DH

Những tư tưởng chủ đạo này thể hiện tính toàn diện của mục đích DH Việckiến tạo một tri thức, rèn luyện một kỷ năng, hình thành một thái độ cũng là nhằmgiúp HS HĐ trong học tập cũng như trong đời sống Như vậy, những mục đíchthành phần được thống nhất trong HĐ, điều này thể hiên mối quan hệ hữu cơ giữachúng với nhau Tri thức, kỹ năng, thái độ một mặt là điều kiện và mặt khác là đốitượng biến đổi của HĐ Hướng vào HĐ theo các tư tưởng chủ đạo trên không hềlàm phiến diện mục đích DH mà trái lại, còn đảm bảo tính toàn diện của mục đíchđó

Quan điểmPhương pháp

Kỹ thuật

Sơ đồ 1.4

Những tư tưởng chủ đạo trên hướng vào việc tập luyện cho HS những HĐ và

HĐ thành phần, gợi động cơ HĐ, xây dựng tri thức mà đặc biệt là tri thức PP, phânbậc HĐ như những thành tố cơ cở của PPDH

Để ngắn gọn, ta có thể gọi các thành tố cơ sở của PPDH là :

- HĐ và HĐ thành phần;

- Động cơ HĐ;

- Tri thức trong HĐ;

- Phân bậc HĐ

Chúng được gọi là những thành tố cơ sở của PPDH bởi vì dựa vào nó, ta

có thể tổ chức cho HS HĐ một cách tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo, đảmbảo sự phát triển nói chung và kết quả học tập nói riêng Tuy nhiên, cần chú ý làchúng chưa xác định PPDH một cách đơn trị

1.1.5 Định hướng đổi mới PPDH theo hướng “HĐ hoá người học”

1.1.5.1 PPDH

+ Theo Bernd Meier (2005) [9, tr 15]:

MÔ HÌNH BA BÌNH DIỆN CỦA PPDH Quan điểm DH – PPDH - Kỹ thuật

+ Trong [62, tr 10], cũng đưa ra sơ đồ

sau (sơ đồ 1.4):

Sơ đồ này đã thể hiện khá rõ mối

quan hệ giữa: Quan điểm DH, PPDH và Kỹ

thuật DH mà khi nghiên cứu về PPDH chúng ta cần phân

Mô hình 1.3

biệt và thấy rõ mối quan hệ của chúng.

1.1.5.2 Đổi mới PPDH theo hướng “HĐ hoá người học”

Định hướng chung cho sự đổi mới PPDH là tích cực hóa HĐ học tập của HSvới việc tổ chức cho người học học tập trong HĐ và bằng HĐ tự giác, chủ động,tích cực, sáng tạo, được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

“PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho HS học tập trong HĐ và bằng HĐ tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo

Định hướng này có thể gọi tắt là học tập trong HĐ và bằng HĐ, hay gọn hơn:

c) Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình DH.

d) Tự tạo và khai thác phương tiện DH để tiếp nối và gia tăng sức mạnh của con người.

e) Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân người học.

g) Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế, ủy thác, điều khiển và thể thức hóa.

Trong các vai trò kể trên của GV, uỷ thác và thể thức hoá đã được đề cập

trong lý thuyết tình huống của Pháp

1.2 Khái niệm TDH

1.2.1 Khái niệm tư duy

Tư duy là quá trình nhận thức, phản ảnh những thuộc tính bản chất, những

mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng

Theo Từ điển Giáo dục học [45, tr 449]: Tư duy là giai đoạn cao của quá trình

nhận thức, cho phép phản ảnh được bản chất và các mối quan hệ của sự vật kháchquan mà con người không nhận biết được bằng tri giác và cảm giác trực tiếp hoặcbằng biểu tượng Tư duy sinh ra trong quá trình tương tác giữa con người và thếgiới bên ngoài Thế giới khách quan tác động vào tư duy của con người thông quanhững nhu cầu, những vấn đề phát sinh và những hành động giải quyết các vấn đề

ấy Khi suy nghĩ, con người sử dụng những kiến thức đã có và bằng những hànhđộng nhận thức cơ bản thường dùng như: phân tích, tổng hợp, tập hợp, so sánh,phân loại, hệ thống hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa, … để khám phá ra điều mớitrong những điều đã biết, từ đó thu nhận được những hiểu biết mới Hành độngnhận thức làm phát hiện ra những đặc điểm và các mối quan hệ ẩn chứa trong sự vậtkhách quan và cho ra kết quả của tư duy dưới dạng các khái niệm, phán đoán, vàsuy lý về những đặc tính và quan hệ sự vật Những kết quả của tư duy được biểu đạtbằng ngôn ngữ dưới dạng các từ và câu, và vì vậy ngôn ngữ trở thành cái vỏ của tưduy, trở thành một phương tiện quan trọng để nhận thức sự vật khách quan Tùytheo nội dung và tính chất của những nhiệm vụ cần giải quyết mà tư duy được phânthành các kiểu khác nhau: tư duy khoa học, tư duy kĩ thuật, tư duy nghệ thuật, Năng lực tư duy của con người được phát triển chủ yếu bằng con đường GDthông qua các HĐ học tập, vui chơi, lao động, … phù hợp với lứa tuổi

Theo K K Plantônôv: Tư duy là một HĐ trí tuệ với quá trình gồm 4 bước cơbản:

Bước 1: Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy Nói cách

khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp

Bước 2: Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết

và cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.

Bước 3: Xác minh giả thuyết trong thực tiễn Nếu giả thuyết đúng thì qua

bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới

Bước 4: Quyết định, đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.

Đối với tư duy toán học, Iu M Kôliagin, V А Ôganhexian và đồng tác giảtrong [145, tr 116-133] có nêu lên 4 loại hình cơ bản, đó là:

(1) Tư duy cụ thể;

(2) Tư duy trừu tượng: Loại hình này lại được tách thành: - Tư duy phân tích;

- Tư duy lôgic; - Tư duy lược đồ không gian;

(3) Tư duy trực giác;

Trong [68, tr 122], Nguyễn Bá Kim cụ thể hóa quan điểm của C P.

Helmholz (và một số tác giả người Đức) đã giải quyết hai vấn đề sau:

a) Trình bày 4 tư tưởng chủ đạo về phát triển TDH (xem 2.1.3, Chương 2)Đối với tư tưởng chủ đạo thứ nhất, Nguyễn Bá Kim xác định: Đặc trưng choTDH, có thể liệt kê các HĐ sau:

- Phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng;

- Nghiên cứu những sự tương ứng;

- Lợi dụng những sự tương ứng

b) Phân tích tiềm năng phát triển TDH trong toàn bộ chương trình môn Toán,bao gồm các lĩnh vực: Các hệ thống số; Phương trình và BPT; Hàm số và ánh xạ;Những nội dung Hình học khác

Bằng nhiều VD minh họa đa dạng, tác giả Nguyễn Bá Kim đã làm sáng tỏtiềm năng phát triển TDH qua các chủ đề kiến thức Có thể nói rằng, đây là tài liệubằng tiếng Việt đầu tiên và tương đối đầy đủ làm cơ sở để các tác giả khác tiếp tụcnghiên cứu về TDH.

Trên cơ sở 4 tư tưởng chủ đạo mà Nguyễn Bá Kim đã trình bày, Trần Thúc

Trình đã thể hiện sự vận dụng vào chủ đề “các phép biến hình trong mặt phẳng”.Một phần Luận án “Hình thành kỹ năng giải Toán hình học phẳng bằng các phépbiến hình cho HS lớp 10 Trung học PT” của Phạm Đức Quang [96] cũng đi theohướng này Trong [120], Trần Thúc Trình kế thừa quan điểm của Iu M Kôliagin,

V А Ôganhexian [145, tr 127-128] để nêu lên ba nét đặc trưng của TDH Tác giảTrần Thúc Trình nhận định: “TDH không chỉ cần thiết với các nhà khoa học, màcũng cần thiết với người lao động; nó là yếu tố quan trọng trong văn hóa Toán học

PT, giúp người lao động tìm ra quy luật trong tự nhiên, xã hội, tư duy Chẳng hạn,

câu ca dao trong dân gian: Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm thể hiện rằng, người nông dân nước ta từ kinh nghiệm lâu đời đã phát hiện ra một quy luật của tự nhiên với sự tương ứng giữa độ bay của con chuồn chuồn (thấp, cao, vừa) và thời tiết (mưa, nắng, râm)”

Trong [126], Trần Thúc Trình, Trần Thúc Trình, Đinh Quang Minh đã đưa rađịnh nghĩa TDH dưới dạng mô tả bản chất, như sau:

“TDH là các HĐ trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của 1, 2hay nhiều tập hợp, phản ảnh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử củacác tập hợp đó, trong sự vận động của chúng” Nói cách khác: TDH là những HĐ trítuệ liên quan đến sự nghiên cứu những quy luật của sự vật, hiện tượng trong trạngthái biến đổi sinh động của chúng chứ không phải ở trạng thái tĩnh tại, trong sự phụthuộc lẫn nhau chứ không phải cô lập, tách rời nhau

Luận án Tiến sĩ về đề tài:“Vận dụng quan điểm hàm trongDH Toán lớp 10 Trung học PT nhằm phát triển kĩ năng giải Toán cho HS” của Đinh Quang Minh

[84] tập trung nghiên cứu việc phát triển kĩ năng giải Toán cho HS lớp 10 trên cơ sở

vận dụng quan điểm hàm

Luận văn Thạc sĩ với đề tài: “Bồi dưỡng một số nét đặc trưng của TDH cho

HS thông qua khai thác tiềm năngDH các phép biến hình” của Lê Duy Phát (1997)

đã nêu lên 3 nét đặc trưng, 6 biện pháp cùng với hệ thống câu hỏi, bài tập để bồidưỡng TDH cho HS lớp 11 thông qua DH các phép dời hình Trong luận án củachúng tôi sẽ kế thừa và cụ thể hóa hơn nữa ba nét đặc trưng của TDH đã trình bàytrong luận văn Thạc sĩ trước đây; đáng nói là, chúng tôi triệt để vận dụng quan điểm

HĐ để nghiên cứu vấn đề trên cơ sở tôn trọng chương trình và SGK Toán THCShiện hành

Trong [85], Vương Dương Minh nêu lên rằng:

Khái niệm TDH được hình thành dựa trên hai luận điểm sau đây:

+ Luận điểm thứ nhất: Tư duy được phát triển trong HĐ và bằng HĐ

+ Luận điểm thứ hai: Mỗi nội dung DH đều liên hệ mật thiết với những HĐnhất định, đó là những HĐ tiến hành trong quá trình hình thành hoặc vận dụng nộidung đó

Từ luận điểm thứ nhất ta suy ra rằng: muốn xác định khái niệm TDH cần phảixác định một số HĐ đặc trưng cho phương thức tư duy này Luận điểm thứ hai chobiết rằng, những HĐ đặc trưng cho TDH có thể tìm được nhờ HĐ hóa khái niệmhàm Từ đó dẫn đến:

“Phương thức tư duy được đặc trưng bởi những HĐ phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng những sự tương ứng được gọi là phương thức TDH”.

“Tri thức PP về TDH là những tri thức PP thu được do tiến hành những HĐTDH, đó chính là phương tiện tư tưởng để phát hiện và giải quyết các vấn đề”.Sau khi nêu lên định nghĩa TDH, Vương Dương Minh đã phân tích tri thứcphương pháp về TDH và sau đó đã nêu lên “cách thức truyền thụ những tri thức PP

về TDH” với một số VD minh họa

Như vậy, việc bồi dưỡng TDH cho HS đã được nghiên cứu hầu như tập trung vào việc khai thác tiềm năng DH môn Toán ở cấp trung học PT là chủ yếu; đối với

cấp THCS, vấn đề này chưa được đầu tư nghiên cứu nhiều Hơn nữa, việc bồi dưỡng một số nét đặc trưng của TDH thông qua việc vận dụng một số tư tưởng của

lý thuyết HĐ vào DH môn Toán ở THCS hầu như chưa từng được nghiên cứu.

1.2.2.2 TDH và các nét đặc trưng của nó

Cuốn sách “Phương pháp giảng dạy Toán ở trường PT” của nhóm tác giả:

Iu M Kôliagin, V A Ôganhexian, V Ia Xannhixki và G L Lukankin được ấnhành lần đầu tiên vào năm 1975 [145] và tái bản lần thứ nhất vào năm 1980 [146]

đã đặt vấn đề nghiên cứu về TDH Theo đó:

TDH là phương thức tư duy đặc trưng bởi sự nhận thức quá trình phát triển các mối quan hệ chung - riêng giữa các đối tượng toán học hay là giữa các tính chất của chúng (và bởi kỹ năng sử dụng sự nhận thức các mối quan hệ đó) TDH được biểu lộ rõ ràng trong mối liên hệ với một trong những tư tưởng chủ đạo của giáo trình Toán học phổ thông - đó là tư tưởng hàm [145, tr 127].

Như vậy TDH bao gồm trong đó sự nhận thức yếu tố quá trình của sự pháttriển các mối quan hệ từ chung đến riêng, từ đa trị đến đơn trị, cả ở dạng tườngminh và ẩn tàng TDH được biểu lộ ở sự nhận thức quá trình hình thành và pháttriển các mối quan hệ giữa các đối tượng toán học, giữa các tính chất của các đốitượng toán học và kỹ năng sử dụng sự nhận thức các mối quan hệ giữa các đốitượng và tính chất toán học Do Toán học là khoa học suy diễn, “suy luận diễn dịch

là trái tim của tư tưởng Toán học”, nên trong chương trình Toán PT, mối liên hệgiữa các đối tượng toán học và các tính chất của chúng được thể hiện hết sức chặtchẽ, phong phú và đa dạng, điều đó tạo tiềm năng to lớn cho HĐ dạy học nhằm pháttriển TDH Cũng theo [145, tr 127, 128], những nét đặc trưng nhất của TDH là:

a Biểu diễn các đối tượng toán học trong sự vận động, biến đổi.

b Cách tiếp cận thao tác - hành động đối với các sự kiện toán học, sự xử lý các mối liên hệ nhân - quả.

c Khuynh hướng giải thích (cặn kẽ) nội dung các sự kiện toán học, sự chú ý cao hơn đối với các khía cạnh ứng dụng của Toán học.

Khái niệm về TDH, các nét đặc trưng của TDH qua công trình nghiên cứu của

Iu M Kôliagin, V A Ôganhexian được Luận án của chúng tôi sử dụng như là mộtđiểm tựa về mặt lí luận Thêm nữa, luận án sẽ xác định các dạng hoạt động tươngthích với các nét đặc trưng này nhằm tăng cường ý nghĩa thực tiễn của vấn đềnghiên cứu

1.2.2.3 Một số vấn đề cần chú ý khi DH bồi dưỡng TDH cho HS

Để thực hiện tốt việc bồi dưỡng các nét đặc trưng của TDH cho HS thông qua

DH môn Toán THCS, ta cần phải tập trung khai thác các vấn đề trọng tâm sau đây:

Thứ nhất: Phải biết xem xét các đối tượng toán học trong trạng thái “động”,

thông qua việc sử dụng các biểu tượng vật lý và động hình học như là phương tiệnquan trọng trong HĐ dạy học phát triển TDH Việc sử dụng các loại biểu tượng nàycần được tiến hành nhờ thí nghiệm tưởng tượng (được hình dung trong óc) “Mộtcách gần đúng, chúng ta quy ước hiểu thí nghiệm tưởng tượng (được hình dungtrong óc) là một quá trình tư duy được xây dựng theo kiểu thí nghiệm thực Đó làmột dạng đặc thù của suy luận lý thuyết” [114, tr 202] Thí nghiệm tưởng tượng cóhình thức đặc trưng sau: “Thứ nhất, cơ sở của nó là hình ảnh tượng hình cảm tính;thứ hai, hình ảnh này là hình ảnh đã được khái quát hoá, nghĩa là mọi kết luận cóthể rút ra về nó có hiệu lực đối với toàn bộ các khách thể đồng nhất - các nguyênhình của nó; thứ ba, hình ảnh này không phải là kết quả của sự khái quát hoá cảmtính giản đơn mà hình thành do thủ thuật lôgic lý tưởng hoá khách thể hiện thực;thứ tư, trong các lập luận liên quan đến hình ảnh này có những tiền đề mà tính đúngđắn của chúng hoàn toàn mang tính chất giả thuyết” [114, tr 216, 217] Việc sử dụngcác thí nghiệm tưởng tượng trong dạy Toán không những có vai trò to lớn giúp cho

sự hình thành, phát triển TDH mà còn giúp cho sự ghi nhớ vững chắc các kiến thứcvới điểm tựa là các biểu tượng trực quan toán học

Chẳng hạn, các bài toán sau, được trích ra từ [145], khi giải HS phải thực hiệncác thí nghiệm (được hình dung trong óc) đó là “dời trong ý nghĩ” các hình trongmặt phẳng hoặc không gian

Bài 1: Hình nào trong số các Hình 1, 2, 3, 4 có thể nhận được nhờ sự dichuyển Hình a trong mặt phẳng?

Hình 1.1a

Bài 2: Hình nào trong các hình con xúc xắc được biểu diễn ở phía dưới củaHình 1.1b có thể nhận được bởi phép quay trong không gian, từ con xúc xắc a biểudiễn ở phía trên

Hình 1.1b

Bài 3: Cho hình vuông ABCD bị

cắt bởi đường thẳng MN đi qua tâm O

của nó Khi quay trong ý nghĩ đường

thẳng MN xung quanh điểm O (khi dời

điểm M từ A tới B), hãy xác định sự thay

đổi (tăng hay giảm)

a Diện tích của hình gạch sọc

b Chu vi của hình gạch sọc

Khi giải các bài toán này, HS phải thực hiện các thí nghiệm (được hình dungtrong óc) đó là “dời trong ý nghĩ” các hình trong mặt phẳng hoặc không gian

Thứ hai: Một trong các phương tiện phát triển TDH có hiệu quả là hệ thống

các bài toán về biểu diễn và nghiên cứu toán học các tình huống cụ thể với sự biểu

lộ rõ ràng “nội dung hàm” F Engels đã nêu: “Toán học là một khoa học rất thựctiễn Việc khoa học ấy mang một hình thức cực kỳ trừu tượng chỉ che đậy bề ngoàinguồn gốc của nó trong thế giới khách quan ” [48, tr 21] Do vậy việc tăng cường

sử dụng các bài toán thực tiễn chứa đựng “nội dung hàm” trong DH phát triển TDHcòn có tác dụng xác lập mối liên hệ giữa toán học và nguồn gốc thực tiễn của nó.Việc giải các bài toán loại này được thực hiện theo sơ đồ chuyển đổi ngôn ngữ gồm

ba bước, theo sơ đồ sau:

Bước 1: Chuyển giả thuyết và kết luận của bài toán từ “ngôn ngữ thực tiễn”sang “ngôn ngữ toán học”

Bước 2: Giải bài toán bằng “ngôn ngữ toán học”

Bước 3: Chuyển kết luận của bài toán từ “ngôn ngữ toán học” sang “ngôn ngữthực tiễn”

Khi thực hiện các bước trên đây ta thấy rằng ở bước 1 và 3 hoạt động thiết lập

B1

Lời giải bài toán toán học

Tình huống thực tế

Mô hìnhtoán học

B2B3

Sơ đồ 1.5

tương ứng về mặt ngôn ngữ chiếm vị trí quan trọng, ở bước 2 cần huy động nhiềukiến thức đã biết trong đó thường có những kiến thức liên quan đến hàm, sự tươngứng hay nhận dạng kiến thức.

VD: Xét bài toán sau:

“Một trăm con trâuMột trăm bó cỏTrâu đứng ăn nămTrăm nằm ăn ba

Ba con trâu già

Ăn chung một bó”

Hãy tính số trâu trong mỗi loại?

Việc giải bài toán này được thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chuyển bài toán từ “ngôn ngữ thực tiễn” sang “ngôn ngữ toán học”.Gọi số trâu đứng là x con, số trâu nằm là y con thì số trâu già là (100 – x - y).Khi đó bài toán đã cho trở thành: Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn phươngtrình: 5x + 3y + 1/3(100 – x - y) = 100 (1)

Bước 2: Giải bài toán “toán học” thu được tức là giải phương trình (1) Rútgọn (1) ta được:

7x + 4y = 100 Ta thấy 7x chia hết cho 4 nên x chia hết cho 4

Đặt x = 4k (k nguyên dương), sẽ có y = 25 - 7k Do x, y nguyên dương nên0< k < 25/7 Lần lượt lấy k = 1; 2; 3, sẽ nhận được x = 4, y = 18; x = 8, y = 11;

x = 12, y = 4 Từ đó có các đáp số của bài toán

Bước 3: Chuyển kết luận của bài toán sang “ngôn ngữ thực tiễn”

Ta có 3 bộ nghiệm đều thoả mãn điều kiện của bài toán Do vậy có ba đáp số:

a Trâu đứng 4 con, trâu nằm 18 con, trâu già 78 con;

b Trâu đứng 8 con, trâu nằm 11 con, trầu già 81 con;

c Trâu đứng 12 con, trâu nằm 4 con, trâu già 84 con

“Nội dung hàm” của bài toán thực tiễn biểu lộ rõ ràng ở ngay sự kiện đầu tiêncho biết tổng ba loại trâu là 100 con, sự thay đổi số lượng loại trâu này tất yếu sẽảnh hưởng tới số lượng các loại trâu còn lại Quá trình giải bài toán chuyển về giảiphương trình (1) thực chất là tìm các điểm có toạ độ nguyên dương của hàm số bậcnhất.

Thứ ba: “Đặc trưng hàm” của bài toán không chỉ được xác định bởi nội dung

toán học mà còn bởi chính hình thức mà nó thể hiện

Chẳng hạn nhiều bài toán trong giáo trình Đại số ở trường PT, đặc biệt là cácbài toán lập phương trình có thể chuyển về bài toán có “hình dạng hàm”

VD: Xét bài toán sau: “Trong một cái thùng chưa 190 lít nước, còn thùng khácchứa 750 lít nước Trong mỗi phút người ta rót vào thùng thứ nhất 40 lít nước vàbơm ra thùng thứ hai 30 lít nước Hỏi sau bao nhiêu phút thì lượng nước trong haithùng sẽ bằng nhau ?”

Khi giữ nguyên các điều kiện chúng ta sẽ nêu yêu cầu của bài toán như sau:

“Kí hiệu t là thời gian bơm nước, còn m1 và m2 là lượng chất lỏng tương ứng trongthùng thứ nhất và thùng thứ hai Hãy biểu diễn sự phụ thuộc m1 và m2 vào t bởi cáccông thức và đồ thị”

Dựa vào các công thức và đồ thị thu được, hãy trả lời các câu hỏi sau:

a Sau bao nhiêu phút kể từ lúc bắt đầu bơm thì lượng nước trong hai thùngbằng ?

b Sau bao nhiêu phút, lượng nước trong thùng thứ nhất nhiều hơn lượng nướctrong thùng thứ hai là 100 lít?

c Sau bao nhiêu phút, lượng nước trong thùng thứ nhất lớn gấp hai lần lượngnước trong thùng thứ hai?

d Thùng thứ nhất có bao nhiêu nước khi mà lượng nước trong thùng thứ haiđược bơm hết?

Khi đặt ra bài toán như vậy, một yêu cầu tự nhiên xuất hiện là chính xác hoácác điều kiện của nó Chẳng hạn xuất hiện các câu hỏi: Việc bơm nước tiến hành

đồng thời hay không đồng thời? Dung tích của các bình này như thế nào?

Lời giải bài toán sẽ phụ thuộc vào các tính chất được bổ sung này VD khi bổsung thêm điều kiện là việc bơm nước ra khỏi bình thứ hai chậm hơn việc bơmnước vào bình thức nhất 5 phút thì ta sẽ có lời giải hoàn toàn khác

Sự thay đổi hình thức thể hiện bài toán không những giúp cho sự xác lập cácmối liên hệ khác nhau giữa các đối tượng toán học mà còn làm cho HS hiểu sâu sắchơn các nội dung toán học qua đó hình thành thành cho HS các nét đặc trưng của TDH

1.2.3 Mối quan hệ giữa TDH với tư duy biện chứng và tư duy lôgic

1.2.3.1 Quan hệ giữa TDH với tư duy biện chứng

TDH là dạng tư duy tuân theo một quy luật cơ bản của Duy vật biện chứng, đó

là mối quan hệ tác động qua lại của các sự vật hiện tượng TDH nghiên cứu sự vậttrong trạng thái biến đổi sinh động của chúng chứ không phải trong trạng thái tĩnhtại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải tách rời nhau Do đó, khi rèn luyệnTDH là đã góp phần bồi dưỡng tư duy biện chứng

Trong khi rèn luyện TDH đương nhiên cũng vận dụng các quy luật biện chứngkhác như: lượng đổi chất đổi, mâu thuẫn và thống nhất, phủ định của phủ định Qua

đó phản ảnh được bản chất của sự vật, hiện tượng và mối liên hệ qua lại giữa chúng

rõ ràng hơn, đầy đủ hơn Do vậy, TDH là biểu tượng rõ ràng nhất của tư duy biệnchứng

1.2.3.2 Quan hệ giữa TDH và tư duy lôgic

Rèn luyện TDH cho HS là đã góp phần rèn luyện tư duy lôgic trong phạm virộng hơn, sinh động hơn vì đã xét chúng trong quá trình phát triển

Chẳng hạn:

- Khi tạo nên một sự tương ứng từ các VD cụ thể là đã thực hiện phép quy nạp

- Khi phát hiện và xây dựng một tương quan hàm giữa các phần tử của hai tậphợp là đã thể hiện các phép nối lôgic:

p1  p2  q

p  q, q  p (tương ứng ngược)

- Khi nghiên cứu sự tương ứng để phát hiện ra tính chất của một mối liên hệnào đó là đã dạy cho HS suy luận đúng quy tắc lôgic.

- Khi lợi dụng sự tương ứng là đã thể hiện phép suy luận từ cái chung đến cáiriêng

Ngược lại, ta cũng phải sử dụng các quy tắc suy luận của lôgic để xem xét cáctương ứng

1.2.4 Bồi dưỡng TDH trong đổi mới PPDH Toán THCS

Theo Trần Kiều (1997): “… có thể khái quát toàn bộ nội dung của tư tưởng

DH tích cực là tính nhân văn cao và tính HĐ cao”; căn cứ vào mục đích, nhiệm vụ

cụ thể là: “Đổi mới PPDH theo hướng tích cực hoá HĐ học tập của HS” thì mộttrong những kiểu DH được đánh giá là đạt được hiệu quả cao là “Phát hiện và giảiquyết vấn đề” [61]

“Tri thức PP về TDH là những tri thức PP thu được do tiến hành những HĐTDH, đó chính là phương tiện tư tưởng để phát hiện và giải quyết các vấn đề” [85].Thật vậy, TDH gắn với HĐ kiến tạo kiến thức, đề xuất giả thuyết (phán đoán)

và phát hiện cách giải quyết vấn đề

a) Phát hiện vấn đề:

- Phát hiện vấn đề do thay đổi các quan hệ tương ứng;

- Phát hiện vấn đề do nhìn nhận mối liên hệ nhân - quả:

+ Một kết quả có thể ứng với một hoặc một tập hợp nguyên nhân;

+ Một nguyên nhân có thể ứng với một tập hợp các kết quả hoặc một kết quảnào đó

Do đó, để phát triển TDH cho HS cần luyện tập cho HS năng lực liên tưởng và huy động kiến thức.

BD Trên cơ sở đó, từ C và B lần lượt hạ CK và BH vuông góc với đường thẳng

AK Hai tam giác vuông HBA và KCD bằng nhau nên HA = KD = x

Đặt h = BH = CK

Ta có : AC2 = h2 + (AD - x)2

BD2 = h2 + (AD + x)2Suy ra : AC2 +BD2 = 2h2 + 2x2 + 2AD2 = 2(h2 + x2) +2AD2 = 2(AB2 + AD2)b) Giải quyết vấn đề: TDH trong việc phát hiện công cụ, PP giải toán

VD 2: Trong tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O); A1 là điểm thuộcđường tròn khác A Đường thẳng qua A1 vuông góc BC cắt (O) tại M; đường thẳngqua M vuông góc AC cắt (O) tại B1 Chứng minh rằng BB1 // AA1

Để phát hiện cách giải quyết vấn đề, GV cần giúp

HS định hướng như sau:

- Lập luận chứng minh: cung A1B = cung AB1

Để chứng minh điều trên cần lập luận dựa vào

TDH:

Xác định quy luật: mỗi điểm A1 có duy nhất một

điểm M (do chỉ có một đường thẳng qua và vuông góc BC) Với mỗi M có duynhất một điểm B1 (do có duy nhất một đường thẳng qua m vuông góc AC) Suy ra

Hình 1.3 Hình 1.2

tồn tại f:A1  B1; chúng ta cần xác định f ?

Gọi O, tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC  1 qua O song song BC sẽvuông góc A1M và  1 là trục đối xứng của A1M;  2 song song AC vuông góc B1Mtại K và là trục đối xứng của B1M Từ đó suy ra B1 là ảnh của A1 qua thực hiện liêntiếp 2 phép đối xứng trục: Đ 2o Đ 1 : A1  B1

Vậy f chính là tích của 2 phép đối xứng trục qua 2 trục  1,  2; mà tích của 2phép đối xứng trục là một phép quay Qo2( 1,  2)

1.3.1 Lịch sử hình thành và phát triển khái niệm hàm trong Toán học

Hoạt động TDH không đòi hỏi tiền đề là kiến thức về khái niệm hàm, kiếnthức về sự tương ứng đơn trị cũng không phải là tiền đề bắt buộc đối với những HĐ

TDH Nhưng, “đương nhiên, lĩnh vực nội dung Ánh xạ và hàm số chiếm một vị trí đặc biệt trong việc phát triển TDH Những HĐ phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng những sự tương ứng luôn luôn xuất hiện trong khi làm việc với các khái

niệm ánh xạ, hàm số và với những ánh xạ, hàm số cụ thể” [68, tr 140] Ở đây, việcnghiên cứu tính đơn trị của sự tương ứng là một cơ hội tốt để phát triển TDH

“Khái niệm hàm là một khái niệm cực kỳ quan trọng trong Toán học hiện đạicũng như trong chương trình toán PT” [63] Nó có 3 nét đặc trưng nổi bật đó là: Phụthuộc, tương ứng, biến thiên [18, tr 45], lịch sử phát triển của nó có thể chia làm 3giai đoạn sau:

1.3.1.1 Phân chia giai đoạn phát triển khái niệm hàm

+ Giai đoạn 1: Hình thành các biểu tượng về hàm ở thời Cổ đại và Trung đại.

Lúc đầu, những nhà toán học Babylon đã sử dụng một cách rộng rãi trong cáctính toán của mình, các bảng bình phương, căn bậc hai, bảng lập phương, còn người

Hy Lạp thì thiết lập các bảng sin Những bảng này xuất hiện chủ yếu từ nhu cầu giảiquyết các vấn đề của toán học, vật lý học, thiên văn học …Về sau, người ta tìmcách định lượng một số hiện tượng như nhiệt độ, mật độ, vận tốc …

Đây là giai đoạn ngầm ẩn của hàm , nó không có tên, không có định nghĩa; cácnét đặc trưng “phụ thuộc”, “biến thiên” và “tương ứng” đã hiện diện nhưng ngầmẩn; hàm số được biểu diễn bằng bảng, hình hình học, đường cong hình học

+ Giai đoạn 2: Sự xuất hiện khái niệm hàm và hoàn thiện khái niệm hàm (Từ thế kỷ XVI đến thế kỷ XIX): Việc gia tăng mạnh mẽ những phép tính toán học

và đặc biệt sự ra đời của ký hiệu chữ đóng vai trò quyết định đối với sự phát triểnsau này của khái niệm hàm

R Descartes (1596-1650) là người nêu lên một cách rõ ràng hơn cái gọi là

“phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên”; những yếu tố của khái niệmhàm số đã hiện diện rõ ràng hơn: Những “đường x”, “đường y” đó là những biếngiá trị của chúng phụ thuộc Tuy nhiên, các thuật ngữ “hàm số”, “phụ thuộc”, “biếnthiên” vẫn chưa xuất hiện tường minh vào thời gian này

Từ “hàm” (tiếng Pháp: fonction, tiếng Anh: function) xuất hiện lần đầu tiênvào tháng 8/1673, trong các bản thảo của G W Leibniz (1646-1716) Nhưng mộtđịnh nghĩa tường minh về hàm vẫn chưa xuất hiện

Bước sang thế kỷ XVIII, đây là giai đoạn thực sự chuyển việc biểu diễn tươngquan hàm , từ trực giác hình học sang biểu thức giải tích L Euler (1707-1783) cho

ra định nghĩa: “Một hàm số của một đại lượng biến thiên là một biểu thức giải tíchđược tạo thành, theo một cách thức nào đó, từ chính đại lượng biến thiên này và từcác số hay các đại lượng không đổi … Một hàm số của một biến cũng là một đạilượng biến thiên” [15]

+ Giai đoạn 3: Sự xuất hiện Lý thuyết tập hợp và việc chính xác hóa khái niệm hàm trong Toán học (Từ thế kỷ XIX đến thế kỷ XX).

Đầu thế kỷ XIX, người ta dần dần nhận ra cái chủ yếu trong định nghĩa hàmkhông phải là biểu thức giải tích cho phép xác định của nó, mà là sự tương ứng.Dirichlet (1805-1859) đưa ra định nghĩa: “y là hàm số của x nếu với mỗi giátrị của x thì tương ứng với một giá trị hoàn toàn xác định của y, còn sự tương ứng

đó được thiết lập bằng cách nào thì điều này hoàn toàn không quan trọng” [18, tr.12]

Định nghĩa này cho thấy đặc trưng “tương ứng” được đưa lên hàng đầu

Hàm trong thời kỳ này được cho bằng bảng, đồ thị, công thức, hoặc bằng mộtphương tiện nào đó cho phép xác định tương ứng của hai đại lượng

Cuối thế kỷ thứ XIX và thế kỷ XX, với sự ra đời của “lý thuyết tập hợp” của

G Cantor (1845-1918), Toán học có nhiều chuyển biến sâu sắc Khái niệm hàm đòihỏi phải mở rộng hơn nữa để ứng dụng trong khoa học và trong thực tiễn Người tađịnh nghĩa hàm số dựa vào “lý thuyết tập hợp”, coi hàm số như một quy tắc tươngứng hay quan hệ giữa các phần tử của hai tập hợp thỏa mãn một số điều kiện nào

đó Thời kỳ này, hàm số được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau như: biểu đồVen, bảng, đồ thị, công thức, các cặp phần tử

Tuy khái niệm hàm chỉ mới được chính xác hóa từ đầu thế kỷ này nhưng như

đã thấy, lý thuyết hàm đã có lịch sử lâu dài với nhiều thành tựu rực rỡ, có phạm viứng dụng ngày càng rộng rãi Nguyễn Bá Kim (1994) [68, tr 101] đã kết luận: Bảnchất của khái niệm tương quan hàm là “một sự tương ứng được thiết lập giữa cácphần tử của hai tập hợp và thỏa mãn một số điều kiện nhất định”

1.3.1.2 Một số kết luận sư phạm

+ Một số nhận xét

- Khái niệm hàm được hình thành và phát triển rất sớm và ngày càng chínhxác hóa: Lúc đầu chỉ là biểu tượng, đến đưa ra khái niệm tường minh, rồi chính xáchóa nhờ Lý thuyết tập hợp

- Các đặc trưng của hàm là: phụ thuộc, tương ứng và biến thiên; lúc đầu chỉthể hiện ngầm ẩn, sau đó tường minh dần

+ Các kết luận

a) TDH là một phương thức tư duy mang những đặc trưng của quan hệ hàm là

qui luật biến thiên trong sự phụ thuộc, mà nói chung sự phụ thuộc đó lại thể hiện ở

sự tương ứng Có lẽ đấy là mối liên hệ giữa ba đặc điểm: tương ứng, phụ thuộc,biến thiên Tương quan hàm thể hiện hoặc tường minh, hoặc tiềm ẩn trong nội dungtoán học Chúng ta cần phải biết khai thác tận dụng các cơ hội để DH phát triểnTDH

b) Trong DH phát triển TDH, ta có thể phân ra các giai đoạn sau:

Giai đoạn thứ nhất: DH hình thành biểu tượng về các đại lượng biến thiên.Giai đoạn thứ hai: DH xác lập mối quan hệ giữa các đại lượng biến thiên.Giai đoạn thứ ba: DH xác lập mối quan hệ giữa ngữ nghĩa và cú pháp, giữatrừu tượng và cụ thể

Như vậy, để định hướng cho việc tổ chức DH phát triển TDH cho HS, chúng

ta cần phải nghiên cứu lịch sử hình thành và phát triển của hàm số, đồng thời vớiviệc trình bày khái niệm này trong SGK Toán PT

1.3.2 Sự hình thành, phát triển khái niệm hàm trong SGK Toán trường PT

Việt Nam, TDH trong Giáo dục Toán học

1.3.2.1 Sự hình thành, phát triển khái niệm hàm trong SGK Toán PT

Việt Nam + Bậc Tiểu học

Ở lớp 1, thông qua các chủ đề liên quan đến quá trình hình thành khái niệm số,SGK đã có ý đồ ngầm hình thành cho HS quan niệm về sự “tương ứng” giữa cácphần tử của các tập hợp các đồ vật, “sự tương ứng” giữa số lượng phần tử của mộttập hợp hữu hạn với con số chỉ số lượng đó

Cũng như vậy, khái niệm “ít hơn”, “nhiều hơn” cũng được xây dựng nhờ việcthiết lập “sự tương ứng” giữa các phần tử của hai tập hợp bất kỳ

Các bảng tương ứng về giá trị của các phép tính là những hình ảnh trực quanđầu tiên về tương quan hàm số