PHÁT TRIỂN tư DUY hàm TRONG bài TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ BẰNG PHƯƠNG PHÁP hàm số

Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy đượchàng loạt các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được pháttriển mạnh mẽ trong hoạt động giảng dạy các

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG PT NGUYỄN MỘNG TUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM(Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock)

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

THANH HOÁ, NĂM 2019

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI 3

2.1 Cơ sở lý luận 3

2.2 Các giải pháp 4

2.3 Hiệu quả 16

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 17

3.1 Kết luận 17

3.2 Kiến nghị và đề xuất 17

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Phương trình vô tỷ là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toánTHPT Mặc dù là một chuyên đề nằm ở chương trình lớp 10 nhưng có một sốbài toán khi sử dụng kiến thức hàm số của lớp 12, việc giải quyết bài toán trởnên đơn giản hơn nhiều Chính vì vậy trong rất nhiều phương pháp giải phươngtrình vô tỷ thì phương pháp hàm số là một trong những ứng dụng quan trọng màhọc sinh phải nắm được Ở đây tôi không có tham vọng trình bày được hết cácphương pháp giải phương trình vô tỷ, mà trong phạm vi đề tài này tôi muốn làmsáng tỏ hơn việc giải quyết các phương trình vô tỷ bằng phương pháp hàm số

Khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học ,

nó giữ vị trí trung tâm của chương trình Toán THPT ,toàn bộ việc giảng dạytoán ở nhà trường phổ thông đều xoay quanh khái niệm này

Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy đượchàng loạt các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được pháttriển mạnh mẽ trong hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt

là môn toán Ngày nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông kháiniệm hàm đã ,đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứngdụng và xây dựng các khái niệm khác Trong các kỳ thi cấp quốc gia ngoài cáccâu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà họcsinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giảitoán như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị , Các câu hỏi nàycũng thường gây khó khăn cho cả thày và trò trong các giờ lên lớp Trong cácgiờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụngvào việc giải toán Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn

đề ,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải toán ,việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua các bài toán là mộtđiều rất cần thiết Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phươngpháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu,dẫn dắt họcsinh tìm hiểu một cách logíc bản chất của toán học

Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, nhiều năm học được nhà trườngphân công dạy các lớp mũi nhọn, ôn thi đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi, khidạy tới chuyên đề này, tôi luôn băn khoăn làm thế nào để cho bài dạy của mìnhđạt kết quả cao nhất, các em chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức Thầyđóng vai trò là người điều khiến để các em tìm đến đích của lời giải Chính vì lẽ

đó Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu chuyên đề này

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề, các em khôngcòn lúng túng trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số, rèn luyện chocác em kỹ năng giải các bài toán có liên quan đến hàm số, đặc biệt là việc giảiphương trình chứa căn Hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán nói

chung và liên quan đến Hàm số nói riêng Mặt khác sau khi nghiên cứu tôi sẽ

có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao trong các giờ lên lớp

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Để thực hiện đề tài này tôi áp dụng với đối tượng học sinh lớp 12 đượctrang bị cả kiến thức về phương trình vô tỷ và kiến thức về ứng dụng của đạohàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức và thử nghiệm trêntừng nhóm đối tượng học sinh

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:

Đề tài đã giúp học sinh phối hợp kiến thức xuyên suốt chương trình toánTHPT, tạo ra một phương pháp giải rất tốt cho phương trình vô tỷ

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI

2.1 Cơ sở lý luận

1 HS y = f(x) đồng biến trên (a, b)  f x '    0 với mọi x  (a, b)

2 HS y = f(x) nghịch biến trên (a, b)  f x '    0 với mọi x  (a, b)

3 HS y = f(x) đồng biến trên  a b ;  thì Min f(x) = f(a); Max f(x) = f(b)

4 HS y = f(x) nghịch biến trên  a b ;  thì Min f(x) = f(b); Max f(x) = f(a)

 Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến (nbiến) của hàm số đểkết luận nghiệm của phương trình.

 Để học sinh có kiến thức vững để giải các bài toán dạng này yêu cầuhọc sinh nắm vững một số kiến thức cơ bản sau:

Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị củahàm số

y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y =f(x) với đường thẳng y = m

 Để giải các bài toán Tìm giá trị của tham số để phương trình (hoặc bấtphương trình) có nghiệm ta thực hiện các bước sau

- Biến đổi phương trình về dạng f(x) =g(m)

 Đối với những phương trình có những biểu thức phức tạp ,ta có thể đặt

ẩn phụ thích hợp t ( )x ,từ điều kiện ràng buộc của x ta tìm điều kiện của t ( vớibài toán chứa tham số ta cần đặt điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ,ta thườngdùng là đánh giá bằng bất đẳng thức,hoặc đôi khi phải khảo sát hàm t ( )x ) để

có thể tìm được điều kiên chính xác của biến mới t)

 Sau đó đưa phương trình đã cho về phương trình theo t và lại sử dụngphương pháp hàm số như trên

2.2 Các giải pháp:

VD1: Giải phương trình : 5x3  1  3 2x 1  x 4 (1)

Nhận xét Quan sát vế trái của phương trình (1), ta thấy khi x tăng thì

giá trị của biểu thức trong căn cũng tăng Từ đó ta thấy vế trái là hàm đồng biến,vế phải bằng 4 là hàm hằng ,đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơnđiệu

Nguyễn Tất Thu Gv THPT Lê Quý Đôn –Biên Hoà đồng Nai

(Đăng trên báo toán học và tuổi trẻ với chủ đề :Giải phương trình vô tỷbằng phương pháp đánh giá)

Ta xét cách giải khác sau bằng phương pháp hàm số

Do đó (3) f(3x)=f[ (2  x 1)]  3x=-2x-1  x= 1

5



Bình luận : Qua hai cách giải trên chắc các thầy cô đều đồng ý với tôi là

cách giải thứ hai hay và tự nhiên hơn rất nhiều so với cách giải đầu Tôi đã kiểm nghiệm phương trình này trên hai lớp ôn thi đại học và không có học sinh nào giải theo cách giải của thày Thu vì nó thiếu sự tự nhiên không có ‘ Manh mối ’ để tìm lời giải Đây là bài toán khó đối với học sinh,các em rất khó khăn trong việc sử dụng các phương Pháp khác để giải phương trình này Vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy hàm là một việc làm rất cần thiết của người thày Từ đó hình thành ở học sinh Tư duy linh hoạt trong giải toán ,để học sinh có đủ ‘sức đề kháng’ trước các bài toán lạ.

VD6 :Giải phương trình :2x3  x2 3 2x3  3x 1 3x 1 3 x2 (1)2Lg:Biến đổi (1) 2x3  3x  1 3 2x3  3x  1 x2   2 3 x2  2 (*)

Xét hàm số f(t)=t 3t ;f’(t)=1 312 1, \ 0 

trên R\ 0 

Bình Luận: Bài toán trên được giải dựa vào tính chất sau của hàm số :

f(t) đơn điệu thì f(t 1 )=f(t 2 )  t 1 =t 2 Tuy nhiên mỗi bài toán trước khi áp dụng được tính chất trên vào giải phương trình thì người giải toán cần phải biến đổi ,lột bỏ được cái nguỵ trang của bài toán ,đưa về dạng thích hợp có lợi cho việc sử dụng công cụ giải toán Muốn làm tốt được điều đó người thầy phải thường xuyên chú trọng việc bồi dưỡng tư duy hàm cho học sinh

VD9: Giải phương trình x2 15 3 x 2 x2 8

Lg: xét f(x)= 3x 2 x2  8 x2 15 0

3 2 0, 8 15 0 3

3

x

  đều không lànghiệm

Vậy f(x) đồng biến khi 2

3

x  ,f(1)=0Nên x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình

x x

3 , 1 1

, 2

1 2

1

,

Ta thấy f(-1)=0  x=-1 là một nghiệm của (1) Ta có:

3 ) 2

3 (

Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0  x = -1.vậy phương trình đã cho códuy nhất 1 nghiệm

Bình luận: Nhiều phương trình vô tỷ được giải nhờ vào việc đặt ẩn phụ

thích hợp sau đó đưa về hệ phương trình ,từ đó vận dụng hàm số để giải

VD12: Giải phương trình : x3  4x2  5x  6 3 7x2  9x 4

x 0x0 1f  0 f

(x0)

Bình Luận: Một trong những ứng dụng mạnh và lý thú của hàm số là

vận dụng vào việc tìm Đk của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước.Đây cũng là một trong những dạng toán quen thuộc mà học sinh hay gặp

VD 13 ( ĐH KA-08): Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm

thực phân biệt

4 2x  2 x 2 64  x 2 6 x mLg: Đặt f(x) = 4 2x  2 x 2 64  x 2 6 x ,x 0;6

Bình luận Đây là bài toán khó về ứng dụng của hàm số trong việc giải

phương trinh.Việc tính đạo hàm đã gây nhiều khó khăn cho học sinh,nhưng việc xét dấu của dạo hàm còn phức tạp hơn Mặt khác bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức và kỹ năng vững vàng mới giải được Đây là câu khó khăn nhất của đ Khối A năm 2008 Ta xét thêm một số ví dụ khác

VD 14 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương

Lg: Đặt y= 11 4 1 72

2

x

 

    

1

y

  



11 28

2 4 28



Lại có g(x) nghịch biến với x>0 ; g(3)=1 nên x=3 là nghiệm duy nhất

mà

' ' 3 ( ) 1 0 3 ( ) 1 0 x g x y x g x y           vì vậy ta có bảng biến thiên sau X 0 3 + 

y’ - 0 +

y +  + 

15

2 Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm dương phân biệt m>15

2

Bình Luận : Bài toán trên khó khăn cho học sinh không chỉ ở công

đoạn tính đạo hàm mà còn gây khó khăn cả trong việc giải phương trình y ’ =0

và xét dấu của đạo hàm Để giải được phương trình y ’ =0 và xét được dấu đạo hàm ở bài toán trên có sự phục vụ rất lớn của đạo hàm Ta có thể tiếp cận bài toán trên theo cáh khác như sau :

2

2

   

2

2

   

Lại có theo bất đẳng thức Bunhiacopki

2

2 2

2

       

Dấu = xảy ra khi 3 7 3

1

x

x x

3

Theo bất đẳng thức cô si ta có 3 9 3 6 15

2 x x   2 2 Dấu bằng khi x=3

từ đó ta có 11 4 72 15

x

Bình Luận :Cách giải này giúp học sinh không phải tính đạo hàm và xét

dấu của đạo hàm nhưng lại gặp khó khăn trong việc lựa chọn điểm rơi trong bất dẳng thức Cô si và Bunhia Để luyện tập học sinh có thể làm bài tập tương

Nhận xét :Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình,

học sinh cũng hay mắc sai lầm trong việc kết luận về tổng,tích hai hàm đồng biến Ta xét thêm một ví dụ khác

VD15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Bình Luận:Khi hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất của hàm số vào

giải phương trình người thầy cũng cần lưu ý học sinh:Khi xét trên tập D thì tích của hai hàm đồng biến (Nghịch biến )chưa chắc là hàm đồng biến (nghịch biến) chỉ có tích của hai hàm đồng biến (nghịch biến ) dương mới là hàm số đồng biến (nghịch biến ).

VD16: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Nên ta đặt

2 2 2

2

3 2 1 1

1 2

1

t x

t t x

1 2

1

t x

t t x

21tan

Nhận xét: Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp thông thường là

đặt ẩn phụ t = 1  x 8  x sau đó chuyển về bài toán tìm điều kiện của tham

số đẻ phương trình có nghiệm thoả mãn diều kiện cho trước Tuy nhiên cách đặt ẩn phụ đó thường phải quy về giải bằng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai.Định lý này trong chương trình sách giáo khoa mới đã giảm tải Vì vậy phương pháp hàm số là sự lựa chọn thích hợp nhất cho dạng toán này

2

Bảng biến thiên

x -1 7/2 8

f’(x) + 0

9 3 2 2 f(x) 3 3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 3 9 3 2

2

m

   Bình luận :

- Qua bài toán trên ta thấy việc xét được dấu của đạo hàm là mộ t khâu

quan trọng trong ứng dụng của hàm số ,đòi hỏi người giải toán phải rất linh hoạt trong biến đổi

- Ngoài cách trên học sinh còn có thể đề cập đến phương pháp lượng giác hoá như sau: Đk:    1 x 8:Nhận xét  1 x 2 8  x2   9 đặt

1 3sin

, 0;

2

8 3cos

u



  



 

 



Phương trình (1) trở thành 3sinu+3cosu+9sinucosu=m

Đặt t=sinu+cosu suy ra t2=1+2sinucosu 12 2

1 2sin cos

t

  



 

 

Bài toán quy về tìm m để phương trình 9t2 +6t -9=2m có hai nghiệm thực Xét hàm số f(x)= 9t2 +6t -9 trên D= 1; 2 

  ,f’(t)=18t+6>0 trên  1; 2 

 

Minf(t)=f(1)=6,Maxf(t)=f( 2)=9+6 2.Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi 6 2 9 6 2 3 9 3 2

2

      

Một số bài toán phải sau quá trình biến đổi như đặt ẩn phụ thích hợp

mới sử dụng được phương pháp hàm số Ta xét ví dụ sau :

VD18 :( ĐHKA-07) Cho phương trình 3 x 1 m x  1 2 4 x2  1 (1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Lg: Đk x 1(1) 

2

4 4

2

Đặt t=4 1

1

x x



 >0,vì 1 1 2 1 [0;1)

x

t



    

Bài toán trở thành tìm m đẻ hệ phương trình sau có nghiệm

2

( ) 3 2

0 1

t

   



 



Ta có f’(t)=-6t+2, f’(t)=0  t=1

3

Bảng biến thiên

t 0 1

3 1

f’(t) +

1

3 f(t) 0 -1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi 1 1 3 m    Bình luận :- Đối với các bài toán có chứa tham số :Khi đặt ẩn phụ ta phải chọn điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ Khi đó ta mới xét được một hàm số xác định trên một miền xác định Từ đó tìm được điều kiện cho tham số thoả mãn yêu cầu đã cho của đề bài -Việc lựa chon ẩn phụ như trên cũng không bắt buộc ,ta có thể đặt như sau: Đặt t=4 1 0 1 x x    , tuy nhiên lúc đó điều kịên của ẩn phu sẽ thay đổi theo 1 2 1 1 [1; ) 1 1 x t x x          Từ đó ta lại được một hàm số mới vớí tập xác định tương ứng - Một số phương trình sau khi đặt ẩn phụ thì việc tìm được điều kiện chuẩn cho ẩn phụ đôi khi lại phải dùng đến việc khảo sát hàm số Ta xét bài toán sau: VD19: Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 2nghiệm dương x2  4x   5 m 4x x 2 ( ĐH GTVT-2001) (1)

Lg: Đặt t= x2  4x 5, t’(x)= 2 2 0 2 2 4 5 x x x x       Bảng biến thiên x 0 2

t’(x) - 0 +



t(x) 5 1

(1)  f(t) =t2+t-5=m Nhận thấy với mỗi t1; 5 thì phương trình (1)

có 2nghiệm x>0.Bài toán quy về Tìm m để phương trình t2+t-5=m có nghiệm t

1; 5



Ta có f’(t)=2t+1>0  t1; 5 nên hàm số đồng biến Ta có bảng biến thiên

t 1 5

f’(t) +

5

f(t) -3

Từ bảng biến thiên ta có   3 m 5 VD 20 ( ĐH A-06):Chứng minh rằng với mọi tham số m dương thì phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt 2 2 8 ( 2) x  x  m x (1) Lg: Do m>0 nên x 2 (1)   2 2 3 2 ( 2)( 4) ( 2) ( 2)( 4) ( 2) 2 ( 2) ( 2)( 4) 0 6 32 0(*) x x m x x x m x x x x x m x x m                            Ycầu bài toán quy về chứng minh phương trình (*) có nghiệm trong (2;  ) Xét f(x)= x3  6x2  32 với x>2, f’(x)=3x2+12x>0  x (2;  ) Bảng biến thiên x 2 

f’(x) +



f(x) 0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với m>0 (1) luôn có 1 nghiệm x>2 VD21 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2x2  2(m4)x5m10 3  x (*)0 Lg: (*) 2x2  2(m4)x5m10  x 3, Đk x 3  2x2  2(m4)x5m10=x2-6x+9 2 2 1 ( ) 2 5 x x m f x x       , Xét hàm số

2 2 ' 2 1 ( ) 2 5 1 2 10 8 ( ) 0 4 2 5 x x f x x x x x f x x x                 Bảng biến thiên x -3 4 