Cho V là không gian vectơ tất cả các ma trận vuông cấp 2 phần tử thực.. 1 Cho G là tập tất cả các giá trị căn phức bậc n của 1, với n là số nguyên dương.. Chứng minh rằng đối với phép nh
Trang 1Đề thi tuyển sinh sau đại học Đại học Vinh năm 2006
Môn: Giải tích Thời gian: 180 phút Câu 1 Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm
∞
X
n=1
(−1)nn x − 1
x + 1
n
Câu 2 Xét tính liên tục và khả vi của hàm
f (x, y) =
(x2 + y2) sin1
y nếu y 6= 0
Câu 3 Giả sử f : R → R là hàm đo được và tồn tại tích phân Lơbe If Với mỗi n = 1, 2, cho hàm
fn(x) =
(
f (x) nếu |f (x)| < n
n + 1 nếu |f (x)| ≥ n
1) Chứng minh rằng lim
n→∞fn(x) = f (x), với mọi x ∈ R
2) Có kết luận được lim
n→∞Ifn= If hay không?
Câu 4 Giả sử C[−1,1] là không gian các hàm số liên tục trên [−1, 1] với chuẩn
kf k = sup
x∈[−1,1]
|f (x)|, với mọi f ∈ C[−1,1]
và X = {f ∈ C[−1,1] : f (1) = 0}, còn Y là không gian các dãy số hội tụ với chuẩn
kxk = sup
n∈N
|xn|, với mọi x = {xn} ∈ Y
Cho ánh xạ T : X → Y được xác định bởi công thức
T (f ) =
f
n
n + 1
, với mọi f ∈ X
1) Chứng minh rằng Y là không gian Banach
2) Xét tính compact của tập K = {f ∈ X : kf k ≤ 1} trong X
3) Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính chuẩn của
T
4) Xét tính trù mật của Y \ T (X) trong Y
1 Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh.
1
Trang 2Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006
Môn: Đại số Thời gian: 180 phút
Câu 1 Cho V là không gian vectơ tất cả các ma trận vuông cấp 2 phần
tử thực Xét ánh xạ
a b
c d
−c −d
1) Chứng minh rằng f là phép biến đổi tuyến tính của V
2) Tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc của V
3) Tìm Kerf , Imf
Câu 2 Giả sử f là phép biến đổi tuyến tính và có ma trận đối với cơ sở
đã cho là
A =
5 3 −2
1) Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của f
2) Vectơ riêng của f tìm được ở câu 1) có tọa độ đối với cơ sở nào? 3) f có phải đẳng cấu không? Tại sao?
Câu 3 1) Cho G là tập tất cả các giá trị căn phức bậc n của 1, với n
là số nguyên dương Chứng minh rằng đối với phép nhân các số phức thông thường, G là nhóm Cyclic
2) Cho A là một vành và I là một tập con của A Chứng minh rằng I là Ideal của A khi và chỉ khi I là hạt nhân của một đồng cấu nào đó từ A Câu 4 Cho A[x] là vành đa thức một ẩn trên vành A giao hoán có đơn vị
1) Chứng minh rằng nếu A là trường thì A[x] là vành chính
2) Gọi R là trường các số thực và I là Ideal của vành R[x] sinh bởi x2+ 1 Chứng minh vành thương R[x]/I là một trường
3) Nếu A là một trường thì A[x] có phải là một trường không? Tại sao?
Câu 5 Cho A là một ma trận vuông cấp 2 phần tử thực và n ∈ N, n ≥ 2 Chứng minh rằng An= 0 khi và chỉ khi A2 = 0
1 Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh.
2