Đề thi cao học môn toán giai tích

Đề thi tuyển sinh môn toán giải tích cho những ai muốn ôn luyện thi cao học.Giúp học viên định hướng và lựa chọn đề tài làm luận văn cao học chuẩn xác và phù hợp xu hướng.ào tạo sau đại học là hình thức đào tạo dành cho các đối tượng đã tốt nghiệp đại học với mục tiêu trang bị những kiến thức sau đại học và nâng cao kỹ năng thực hành nhằm xây dựng đội ngũ những người làm khoa học có phẩm chất chính trị, đạo đức, có ý thức phục vụ nhân dân, có trình độ cao, đáo ứng nhu cầu phát triển kinh tế xã hội, khoa học công nghệ của Việt Nam.

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHA TRANG THÁNG 09 – 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG

ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC Môn thi : TOÁN GIẢI TÍCH Thời gian làm bài : 180 phút

………

Câu I (1,5 điểm) : Cho hàm số

2

cos 2 , khi 0 ( )

, khi 0

x

ì

-¹ ï

= í

î

1) Xác định A để hàm số liên tục trên R

2) Với giá trị A vừa tìm được ở trên, hàm số có tồn tại f ¢(0) hay không?

Câu II (3,0 điểm) :

1) Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2

2

2 1 ( ) ( 1)

3 2

+

- + Từ đó suy ra khai triển

Maclaurin của hàm số f x( )đến cấp n

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 2

2 3

y

-=

- -

Câu III (2,0 điểm) :

ln 2 3.(1, 9984) 6.(2, 0016)

2) Tìm cực trị tự do của hàm số 1 3 2 3

2 16 1 3

Câu IV (2,5 điểm) :

1) Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 :

4

6 4

8 ' 1

x

x x

e

2) Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 : 2 2

(1 +x ) ln(1 +x ) '' 2y - xy' 2 + y= 0, khi biết nó có một nghiệm riêng y1= ¹x 0

Câu V (1,0 điểm) :

1) Xét sự hội tụ của chuỗi số

1

2 1 ( 1)( 2)

n

¥

=

+

å Nếu chuỗi hội tụ thì tìm tổng riêng và tổng (nếu có) của chuỗi

2) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

1

n

¥

=

ç + ÷ ç - ÷

………

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu! Giám thị không được giải thích gì thêm!)

Trang 2

………

Câu I (1,0 điểm) : Xác định A để hàm số

2

ln[2 cos(2 )]

, khi 0 ( ) 2 ln(1 )

6 7 , khi 0

x

-¹ ï

î

liên tục trên R

1) Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng biểu thức A=ln 2 éë + 0, 976+3 0, 976 ùû

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 6

2 4

x y

= + +

3) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong 2 6

2 4

x y

= + + và

2

5 6

y= - -x x- Câu III (2,0 điểm) :

( , ) (1 ) ln(1 )

2( )[1 ln(1 )]

2) Tìm cực trị điều kiện của hàm số 1 4 1 2 2

( 13) 1

z= x - x - x y - + , với 2 2

16

1) Giải phương trình vi phân tách biến : 2 2

4 ' arctan 0

5 2

1

x x

e

¢¢ - ¢ + =

+ .

2

1

2 1

2 3

n

n n

¥

=

+

ç + ÷

2) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ( )

3 1

2 3

n n

x x n

¥

=

- æ + ö

ç - ÷

………

Trang 3

………

Câu I (1,5 điểm) :

1) Xác định A để hàm số

sin ( 1).ln[2 cos( )]

, khi 0

2 8 , khi 0

x

ï

î

2) Tính lim ln( 2 )

x x

®+¥

+

1) Chứng minh rằng hàm số 3x 3x

4 3 24 x

2) Tính đạo hàm cấp n của hàm số ( ) 22 3 2

( 3 2)

x

g x

+

= + + Từ đó suy ra công thức Maclaurin

của g x( )đến cấp n

2 2

3

2 3

x y

-=

- -

( , ) ln 1 5

2) Tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số 1 3 2 2

3

1) Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 : ' 2 13

1

x

2) Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 : 2

5 6 x s in2

1) Tìm tổng của chuỗi số 2 2 2

1

2 3 ( 1) ( 2)

n

¥

=

+

2) Sử dụng chuỗi Maclaurin của các hàm số sơ cấp cơ bản khai triển hàm số ( ) 1 2

(1 3 )

f x

x

= +

thành chuỗi Maclaurin và tìm miền hội tụ của chuỗi nhận được

………

Trang 4

………

Câu I (1,0 điểm) : Xét sự liên tục của hàm số

2

3 1 2 cos( )

, khi 0

6 5 , khi 0

x

ì

-¹ ï

î

1) Tùy theo tham số m, hãy tìm các đường tiệm cận của hàm số

2 2

2 3 2

y

-

-= + +

2 5

x y

+

= + +

3) Tính độ dài đường cong 1 2

2

y= x đi từ điểm A(2, 2)đến điểm B(2 2, 4) Câu III (2,0 điểm) :

1) Cho f u( )là một hàm số có đạo hàm với ulà hàm số của hai biến số x và y Đặt

¶ - ¶ =

2) Tìm cực trị tự do của hàm số : 3 3 2 2

1) Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 : ' 2 1 12

(1 ).arctan

(1 ).ln(1 ) (1 ).ln(1 )

x

biết nó có một nghiệm riêng thứ nhất là y1= ¹x 0

2

n

n n

¥

2) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 2

1

n n

n

x

¥

=

+

………

Trang 5

………

2

1 s in 2

, khi 0 ( ) ln(2 1)

2 , khi 0

Ax

x

ï

î

2) Hàm số

2

cos 2 , khi 0 ( )

2 , khi 0

x

x x

g x

x

ï

= í

î

có đạo hàm cấp 1 tại x= 0 hay không?

1) Tính đạo hàm cấp n của hàm số ( ) ln(1 3 ) 2 1

6 8

- + Từ đó suy ra công thức

Maclaurin của h x( )đến cấp n

2 2

4

2 4

x y

+

= + +

3) Tính thể tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 2

9

y= x và 26

9

x y x

= + khi quay

quanh trục ox

1) Tìm các hằng số a b c, , để hàm số 3 3 2

3

a

z=x + y - +a y x +bx c+ có cực trị tại M(3, 3) và

( ) 8

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 1 3 3 2 2

z= x + x + x+ y - y- trên miền đóng và giới nội D được giới hạn bởi các đường x= 0,y= 0,y- =x 4

2

1 '

1

x

e

+ , với điều kiện y(2 2)=1

3 2 2

1

x

x e

x

¢¢ - ¢ + =

+ .

Câu V (1,0 điểm) : Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

2 5 1

(3 2) 3 2

n

¥

=

+ æ + ö

+ è - ø

………

Trang 6

………

2

ln[ s in (A )]

, khi 0 ( )

4 , khi 0

x

î

2) Chứng minh rằng phương trình 3

3 1 0

x - x+ = có hai nghiệm trên đoạn [0, 2] Câu II (3,0 điểm) :

1) Tìm a b, để hàm số 3

f x =ax +b x+ x đạt cực trị tại x1= 1,x2 = 2 Chứng minh rằng hàm

số f x( ) đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2

2

x y

-=

- -

3) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 2 2

2

1) Chứng minh rằng hàm số

x y y

x

= thỏa mãn phương trình 2

0

x z¢ +xyz¢ =

3 ( 1) 1 3

2

' (1 ) ln(1 )

x

e

2) Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 : 4 2 4 2 0

x

nghiệm riêng thứ nhất là y1= ¹x 0

1) Tìm tổng của chuỗi số 2 2

n

n n

¥

1

2 2 1 ( 1)

n n

n

¥

=

+ æ + ö

+ è + ø

………

Trang 7

………

2

3

sin[ cos (A )]

, khi 0

3 1 , khi 0

x

-¹ ï

î

2) Hàm số

2

cos 2 , khi 0 ( )

0 , khi 0

x

= í

î

có đạo hàm cấp 1 tại x= 0hay không?

ln(1 )

2 2

3 3 27

9

y

x

+ +

=

+

3) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 2 2

2

[5.(3, 0002) (5,9995) ] 3

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 1 3 2 2

3 ( 1) 1 3

z= x -x - x+ -x y + trên miền đóng và giới nội D được giới hạn bởi các đường y= 0,x+ =y 4,y- =x 4

1) Giải phương trình vi phân tách biến : 2 3 2

y x + y-x +y = , với điều kiện y(0) = 2 2 2) Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 :

2 3

2 2

(1 )

x

x e

x

¢¢ - ¢ + =

Câu V (1,0 điểm) : Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 3

1

( 1) ( 1) 4

n n

¥

=

+ è + ø

………

Trang 8

………

ln[3 2 cos(A( 2))]

, khi 2 ( 2)

( )

2 , khi 2

x

x x

f x

-= í

î

2) Hàm số

2

1 2 , khi 0 ( )

0 , khi 0

x

x x

g x

x

ï

= í

î

có đạo hàm cấp 1 tại x= 0hay không?

1) Tính đạo hàm cấp n của hàm số ( ) 1 3

(1 2 )

x

+ Từ đó suy ra công thức Maclaurin

của hàm số f x( ) đến cấp n

2 2

3 18 24 ( 1)

y

x

=

3) Tính thể tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2

y=x x +y = xkhi quay quanh trục

ox

1) Dùng vi phân cấp 1 tính gần đúng biểu thức 2 1,9995

(1,9995) arctan

2, 0005

è ø

3

z= x + x + x+y + y+ trên miền đóng và giới nội D được giới hạn bởi các đường x= 0,y= 0,y+ = -x 4

1) Giải phương trình vi phân :

x

dx

4 x s in2

1

2 1

n

n n

¥

=

+

ç + ÷

1

( 1) 4

n n

x

¥

=

- æ + ö

ç + ÷

………

Trang 9

………

Câu I (1,5 điểm) : Cho hàm số

2

( 2)

cos ( 2)

, khi 2

x

-¹ ï

î

1) Xác định A để hàm số f x( )liên tục trên R

2) Với giá trị A vừa tìm được ở trên, hàm số f x( ) có đạo hàm cấp 1 tại x= 2 hay không? Câu II (3,0 điểm) :

1) Tính đạo hàm cấp n của hàm số ( ) 2 1 ( 12)

7 12

x x

+

Maclaurin của hàm số f x( ) đến cấp n

2 2

3 ( 1)

y x

+

= +

3) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 2

2

1) Chứng minh rằng hàm số z xln x

æ ö

= ç ÷

è ø thỏa mãn phương trình

xz¢ +yz¢ - x z¢¢ +y z¢¢ = z 2) Tìm cực trị của hàm số : 1 3 2 2

3

1) Giải phương trình vi phân tách biến : 2 2 2

1 ln(1 ) 0

x y¢¢ - xy¢ + y= x , biết rằng phương trình thuần nhất của nó có một nghiệm riêng thứ nhất là y1= ¹x 0

1) Tìm tổng của chuỗi số

1

2 3 12

n n

¥

=

+

1

n n

x x n

¥

=

ç + ÷

+

………

Trang 10

………

2

2 1 cos 2

, khi 0 ln(1 sin )

( )

8 , khi 0

Ax

x

f x

ï + +

= í

î

liên tục trên R

2) Hàm số

2

1 sin 2

, khi 0 ( )

1 , khi 0

x

ï

= í

î

1) Biết h u( )khả vi liên tục ở lân cận điểm 10, h(10) 10, (10) 10 = h¢ = Dùng vi phân cấp 1 tính

8, 0025 (5,9984) (8, 0025)

2

1

x

Từ đó suy ra công thức

3 2

( 1)

x y x

=

-

1) Chứng minh rằng hàm số z arctan x

y

æ ö

è ø thỏa mãn phương trình xz x¢ +yz y¢ +z xx¢¢ +z yy¢¢ =0 2) Tìm cực trị của hàm số : 1 2 2

( ) 2 ln( ) 3( ) 1 2

ln(1 )

x

¢

1) Tìm tổng của chuỗi số 2

1

¥

1

2 (2 1) 2

n n

x

¥

=

+ è + ø

………

Trang 11

………

1) Xác định A để hàm số

2

( 1).ln(2 cos 2 )

, khi 0 ( )

3 , khi 0

Ax

x

ï

î

liên tục trên R

2) Hàm số

3

sin( )

, khi 0 ( )

0 , khi 0

x

x x

g x

x

ì

¹ ï

= í

î

1) Tính df(1), với f x( ) =x.arctanx

2

1

x

2

2 ( 1)

y x

-= +

3, 0016.ln[(4,9992) (3, 0016) ]

3

z= x +x - x+ y - trên miền

4

x

1 ln(1 ) 1

x

¢ - = +ç ÷ +

(1 +x )y¢¢ + 2xy¢ - 2y= + 1 x , khi biết phương trình thuần nhất của nó có một nghiệm riêng thứ nhất là y1= ¹x 0

3 1

1 sin

p

¥

=

2) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 3 2

1

n

x

¥

=

+

………

Trang 12

………

1) Xác định A để hàm số

2

[1 cos( )].ln(2 1)

, khi 0 ( )

6 8 , khi 0

x

î

liên tục trên R

2) Hàm số

, khi 0 ( )

6 , khi 0

x

ï

= í

î

ln 4,997 (4,997) 16

2

1 ( )

x

- Từ đó suy ra công thức Maclaurin

của hàm số f x( ) đến cấp n

3 2

1

x y x

=

-

1) Tính 2

(1,3)

d f , với f x y( , ) ln 1 y

x

= ç + ÷

è ø

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 4 4 2

z= - +x y - y - trên miền đóng

1

x

e

2) Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 : 4 cotg

cos 2

x

¢¢ + = Câu V (1,0 điểm) :

2

1

[( 1)!]

(2 2)!

n

n n

¥

=

2) Sử dụng chuỗi Maclaurin của các hàm số sơ cấp cơ bản khai triển hàm số 2

( ) 3x

thành chuỗi Maclaurin và tìm miền hội tụ của chuỗi nhận được

………

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	174,6 KB