LUẬN văn sư PHẠM vật lý phép biến đổi tích phân và ứng dụng

Đồng cám ơn đến các bạn là sinh viên ngành Sư Phạm Vật lí khóa 33 đã tận tình giúp đỡ tôi mỗi khi gặp khó khăn trong việc giải quyết đề... BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG .... Phương pháp b

-

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong

bộ môn Vật lí, Khoa sư Phạm, Trường Đại học Cần Thơ đã tạo

điều kiện tốt cho tôi có thể đăng kí được học phần Luận văn tốt

nghiệp Vật lí Đặc biệt tôi xin cám ơn Thầy Trần Minh Qúy, đã

tận tình chỉ dẫn cho tôi trong suốt thời gian thực hiện đề tài Đồng

cám ơn đến các bạn là sinh viên ngành Sư Phạm Vật lí khóa 33 đã

tận tình giúp đỡ tôi mỗi khi gặp khó khăn trong việc giải quyết đề

-

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

MỤC LỤC PHẦN I MỞ ĐẦU 9

1 Lí do chọn đề tài 9

2 Mục tiêu đề tài 9

PHẦN II NỘI DUNG 10

CHƯƠNG I BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG 10

I Chuỗi Fourier 10

I.1 Định nghĩa 10

I.1.1 Chuỗi lượng giác 10

I.1.2 Chuỗi Fourier sine và cósine 10

I.2 Phương pháp biến đổi Fourier 12

I.3 Thí dụ minh họa 13

II Hàm Delta suy rộng 14

II.1 Định nghĩa 14

II.2 Biến đổi Fourier của hàm Delta 14

III Biến đổi Fourier đảo: 15

IV Định lí tích chập 16

V Đẳng thức Perseval 17

VI Biến đổi Fourier cấp bội 18

VII Ứng dụng phép biến đổi Fourier 18

CHƯƠNG II BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG 23

I Biến đổi Laplace 23

I.1 Lịch sử nghiên cứu 23

I.2 Định nghĩa 23

II Tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace 23

II.1 Tính đồng dạng 23

II.2 Tính chất tuyến tính 24

II.3 Tinh tiến ảnh 25

II.4 Tịnh tiến gốc 26

II.5 Đạo hàm của hàm ảnh 27

II.6 Đạo hàm của hàm gốc 28

II.7 Tích phân của hàm gốc 29

II.8 Tích phân của hàm ảnh 30

III Các định lí giới hạn 31

IV Các định lí biểu diễn 31

IV.1 Tích chập 31

IV.2 Tính chất 32

IV.3 Các định lí nhân 32

IV.3.1 Định lí Borel: 32

IV.3.2 Định lí Duamel: 34

V Biểu diễn tích phân của hàm gốc 35

V.1 Định lí Mellin 35

V.2 Định lí 2 35

V.3 Định lí khai triển 36

VI Biến đổi Laplace đảo 37

VII Ứng dụng pháp biến đổi Laplace 37

VII.1 Giải phương trình vi phân 37

VII.1.1 Phương trình vi phân hệ số hằng 37

VII.1.2 Phương trình vi phân hệ số biến thiên 39

VII.1.3 Hệ Phương trình vi phân 40

VII.2 Giải phương trình đạo hàm riêng 42

VII.2.1 Phương trình sóng một chiều 42

VII.2.2 Phương trình dao động của dây 43

VII.2.3 Phương trình truyền nhiệt 44

VII.3 Giải phương trình tích phân 46

VII.4 Giải bài toán Cơ- Điện 46

VII.4.1 Cón lắc liên kết 46

VII.4.2 Mạch điện R – L – C mắc nối tiếp 48

VII.4.3 Giải bài toán vật lí nguyên tử hạt nhân 50

CHƯƠNG III MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC 52

I Phép biến đổi Fourier-Bessel 52

I.1 Hàm Bessel và phương trình Bessel 52

I.2 Chuỗi Fourier-Bessel 52

I.3 Ví dụ minh họa 53

II Biến đổi Randon 56

II.1 Phép biến đổi Randon 56

II.2 Tính chất của phép biến đổi Radon 57

II.3 Ứng dụng giải bài toán Cauchy 59

III Phép biến đổi Mellin 60

IV Phép biến đổi Hilbert 60

PHẦN III KẾT LUẬN 61

Toán học cũng cung cấp các phương pháp, công cụ để giải quyết các phương trình Vật

lí mà đổi lúc không thể giải hoăc rất khó khăn khi áp dụng các cách giải thông thường, đặc biệt là sử dụng các phép biến đổi tích phân trong việc giải quyết các phương trình vật lí, do

đó toán học rất cần thiết cho sinh viên các ngành Vật lí, Kĩ thuật để giải quyết các bài toán liên quan

Đó cũng chính là lí do tôi chọn đề tài “Các phép biến đổi tích phân và ứng dụng” làm

đề tài luận văn tốt nghiệp của mình

PHẦN II NỘI DUNG

(

)sincos

(2)

sin)(1

3,2,1,0

cos)(1

n dx

nx x f b

n dx

nx x

f a

n n

Hay chuỗi Fourierđược kí hiệu như sau:

x

f

I.1.2 Chuỗi Fourier sine và cósine

+ Chuỗi Fourier sine:

Cho hàm f(x) / [,] nếu f là hàm lẻ/ [,] thì

3,2,1,

sin)(2

sin)(1

2,1,0,

0cos

)(1

x f

nxdx x

f b

n nxdx

x f a

n n





1

,sin

~)(

n

n nx b x

x f

b n

Được gọi là chuỗi Fourier sine của hàm f(x) / [,]

+ Chuỗi Fourier cósine:

=

)(1

2,1,0cos

)(2

,0cos

)(1

n nxdx

x f b

n nxdx

x f

nxdx x

f a

n n

Khi đó chuỗi Fourier của hàm f(x) / [ ,  ] thành







1

0 cos ,2

1

~)(

n

n nx a

a x f

Với

3,2,1,0,

cos)(2





n nxdx

x f

a n







Được gọi là chuỗi Fourier cósine của hàm f(x) / [ , ]

Ví dụ: viết chuỗi Fourier sine và cósine tương ứng với hàm

0 ( cos sin ),

~)(

n

n

a a

x f

x khi

x x f

20

2

0)

(

Hệ số trong chuỗi sine

)2

cos2

sin2(1

sin2

sin)(2

2

2 0 0

nxdx x

nxdx x

22sin2sin2(1

sin)2

cos2

sin

2(

1

~)(

x nx

n n

n

n n x

sin2

2cos2(21

cos2cos

)(2

*

4

2)(

2

*

2

0 0

snxdx x

snxdx x

f a

xdx dx

x f a

n

Chuỗi Fourier cósine của hàm f(x) là:

3cos)9

23(2coscos

)2(18

cos)22

sin2

cos

2(18

~)(

1

2 2

x

nx n

n n

n n x

giác (1.1)

xạ F

},{)

Áp dụng công thức Euler cho cácc ông thức biến đổi hữu hạn và đảo hữu hạn ta được:

)7.1()

(21

)6.1()

f

inx n

inx n

inx

)()

(2

1)

(2

inC dx

e x f in dx

e x

2

1)

(2

Dùng công thức Fourier đảo ta được:



=

e C n x

f

f f

)()('

' '

)()0,(:

0,

0

0

t u t u

x f x u Đk

t

x u

x

u t u

inx n

inx

e u in x

t x u

e u t

n u

dx e t x u t

n u

.)

,(

),(2

1),(







),

( t n u



thỏa

0)

1(

u u in t u

Giải phương trình này ta tìm được

n e D t n

e e

n f t

()

()

f( )

Thì





a b

x i

dt t f e



const b

a, 

-

at Lim d

e

t

at Lim d

e Lim

a t i

a a

a

t i a

1

sin2

t dt

t f t

t dt

t f t

t dt

t f t

t

)(

sin)

(

sin)

(

sin)

khả tích thì theo bổ đề Riemann- Lebesgue tích phân thứ nhất và thứ

3 ở hai vế tiến đến 0 khi với  khá nhỏ ta có:

x f

dt t

t f

dt t f t

)0(sin

)0()

(sin

(sin

1.sin

f dt t f t

x Lim

dx x x

sin

f dt t f x

sin

t x

Là phép biến đổi Fourier của hàm Delta Dirac

Nếu cho f(x) sao cho:

Ta có:

dx e x f d e d

(21

Trao đổi thứ tự lấy tích phân

f

x f dx x t x f

dx e

dx x f d

e f

x i

x t i t

1)(

)()

()

(

2

1.)(

)(2

Hay:

)(][1

x f f

d h t f

t k t h

f

)

()

(

)

()

(

)())(

.)

()(

.)

()(

t h f x k

dx e x h x h

dx e x f f

x i

x i







)(

*)()

dt e t k k

t

t i

)

()

(

)

()(

x t a

(.)



Đổi thứ tự lấy tích phân:

)()

(

)(

)(.)

dx x h e da a f e

f

d e t f f

t i

t i

)

(2

1)(

)

()(

2

^ 2

)(2

1)

dt d e f d

e f

dt t f t f dt t f

x i x

i

)

)(2

1.)(2

1(

)()

()

(

*

* 2

f d

d e

d d f f dt

t

)

()

()(.2

1

.2

1 )

()

(2

1.)(

*

) ( 2

VI Biến đổi Fourier cấp bội

Giả sử ta có hàm nhiều biến u(x,y,z,t,k, ) ta có phép biến đổi Fourier theo x,y,z,t,k,…

,

,

VII.1 Bài toán truyền nhiệt

Xét bài toán:

02

Điều kiện ban đầu:

t x

Điều kiện biên

)0,

t x u

e x

Giả sử u(x,t):

2

2,,

x

u x

u t

t u t x u F

x i



),(

),()]

,([

Bị chặn khi x , t

(1)

(2)

-

t

e t x

k( , ) 2

u x

u F

u i x

u F

dt

u t

u F

2][

][

][





Lấy biến đổi Fourier các phương trình trên ta được

02

u



với t>0

4

2

2

][)0,(

2

.)

x i t

e t

d e e

k F t x k

4

1

2

41

.2

1

][),(

][),(

1 1

k f F

u F t x u

t x k f t x u

t a x

1

),(

*),(

2 2

.4

1)

,(

t x x

e e t

t x u





Từ đó suy ra:

) 4 1 ( 2

2

)41(),

x

e t t

) 4 1 (

2

41

1),

x

e t t

z

u y

u x

u c t u

0]

2 2 2 2

2 2 2 2

Điều kiện biên:

0),,,(x y z t 

u

Điều kiện ban đầu:

0);

,,(),,,





t z y x f t z y x t u

Cho:

dxdydz e

t z y x u t

t z y x f t

3 2 2 2 1 2 2

u

Giải bài toán trên ta có nghiệm:

c

ct f

t u

.sin

),,(),,,(

2 3 2 2 2 1

2 3 2 2 2 1 3

2 1 3

2 1

2

1sin e i ct e i ct

2 3 2 2 2 1

2 3 2 2 2 1 )

(

3 2 1 3

3 2 1 2

2 2 2

.sin

.),,()

2

(

1)

c

ct f

Lim t

-

)3(

),,(16

1)

] [

3 2 1 3

3 2 1 3

2 1

d d d e

e c

f Lim

e

Biểu diễn sóng phẳng truyền với vận tốc c với (x,y,z) cố

định sóng này biến thiên hình sin theo thời gian với tần số 

3 2 2 2 1

2 3 2 2 2 1

)]

( ) ( ) ( [ )

( 3

.sin

),,()

2(

1),,

,

2 2 2 2

e Lim

t z y

x

L L

Thay đổi thứ tự tích phân dùng tọa độ cầu (,,)trong không gian (1,2,3)

theo hướng của vector  x, y, z

sinsin

.sin

3 2 1 2

3 2 2 2 1

2 3 2 2 2 1 )]

( ) ( ) ( [ ) (

3 2 1 2 2 2 2

e c

d d d c

ct e

d d d c

ct e

cossin

r z

r y

r x

dr d d r d ct

r z r

y r

x f Lim c t

z y

x

u

L L

sin sin.sin

)

cos,

sinsin,

cossin(

16

4),,

,

(

0

0 0 2 0 3

0 2

]sin

),,(sin

.[

.sin2

1),,,(

r

ct Lim

c t

z y x u

L

Theo biến đổi Fourier sine do đó:

)4()cos,

sinsin,

cossin(

4),,

y ct

x f t t z y

-

I Biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân mà mục tiêu là biến các phép tính giải tích như đạo hàm, tích phân thành những phép tính đại số

Qua phép biến đổi Laplace ta có thể chuyển phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân thành các phương trình đại số thông thường

Năm 1744 Leon hard Euler đưa ra tích phân

e x X z

dx e x X z

)(

)(

Để giải quyết phương trình vi phân trên thì Joseph Louis Lagrange, đã đưa ra tích phân

Laplace sử dụng tích phân:

dx s

x s ( )

hàm F(p) được xác định bởi tích phân

)1.2()

()

(p e f t dt

Phép biến đổi từ f(t) sang F(p) được gọi là phép biến đổi Laplace

II Tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace

Định lí 1:

Nếu

)()(t F p

Thì

)2.2()

(

1)

S S Max

)

()]

1)]

([

)(

1)]

([

f L

du u f e t

f L

1.1

)(

1sin

p F t

2 2 2

21

1

)(

1cos

p F t

II.2 Tính chất tuyến tính

Định lí 2:

)3.2()]

([)]

([)]

()(

-

Ta có:

t L t h L t f

L[ ( )]2 [ ( )]3 [cos2 ]

4

322

Tìm ảnh của hàm gốc:

25

23

Ta viết F(p) dưới dạng:

2 25

4.2

11.3)(







p p p

F

t t

h t

2

1)(3)

) ( 0

)(

(tính đồng dạng)

Nên:

2 2)(

e t

+ e tcos t

Ta có:

2 2cos

( tính đồng dạng) Nên:

2 2)(

e t

Tìm hàm gốc của ảnh sau:

52

1)

Ta có thể viết F(p) dưới dạng:

2 22)1(2

2)



Nên

t e p

t

2sin2

)1(

22 2

2

1)

) ( t   t 

f

Khi đó:

) ( )

t t

f   pt

Chứng minh:

dt t t f e dt t t f e

dt t t f e t t f L

t

t

pt pt

pt

)()

(

)()

([

0 0

0

0

0 0

t

pt

)()

([

-

)(

)(

)()

([

0 0

0

0

) ( 0

p F e

d f e e

d f e t t f L

d dt

pt

p pt

t p

1

2) ( )(

)(

Ta có:

)]

([)]

([)]

([f t L h t2 L h t1

L

(Tính chất tuyến tính)

p

e e t f L

p

p 2 1

)]

([

Thì

)()1()

()()1( n t n f t F n p

)(t e dt f

)()

()(

dt e t f t

dt t f e t dt t f e dp d

pt n

n

pt n pt

n n

)()1()

(.)(1

t f t p

 

Ví dụ 5:

`1

!1

1)1(

1)(1

p

n t

p t

t p dp d

p t h

()(' t pF p p0

Chứng minh:

)()0(

)()

([

)('

)(')

('

0 0 0

0

p pF F

dt t f e p t f e Lim

dt t f e Lim

dt t f e t f

N pt N

pt N

N pt N

)0(')

0()

()

p f

p p F p t f

-

0

) ( 0 )

(Re

)()

0(

s p

t f Lim

t k

f( ) cos2

Đặt

))0()(()('

)(cos

)

f p F p t f

t f t p

('

sin2cossin2)('

10cos)0(

2 2

t t

t t

f f

Do đó:

)4(24

21

1)(

1

21

)(

2 2 2 2

p p p F

p p

()

(

p F d f

)(]

)(

L

t pt

)(1

)(

)(]

)([

0 0

0 0

p F p

d f e p

d p

e f

d dt f e d

f L

p t pt

pt t

t f

)()(

(2.12) Chứng minh:

e t

t f

dt t f e

dt t f dq e dq

q F

p

qt

p

p q qt p

(

)(

)()

()

(

0

0 0

)()

(

dq q F dt t

t f

-

2 22

22

d

0

2)2(

22

sin

dt t

t I

Ta có:

p I

q q dq

dt t

t I

p

arctan2

arctan1

sin

0 2 0

Nên:

)0()(p f

0)]

0()([

 

t

d t g f

0

)()

)()()

()( g t  d  f  g  d 

f

g f f

 (2.17) Đối với hai hàm gốc f(t),g(t) tích chập luôn xác định

)()

d t g f g f

t

(2.18) Nếu:

0

)(

*)()

()

Hay:

)]

([)]

([

*

)()

(

*

t g L t f L g f

p G p F g f

t pt

Thay đổi thứ tự lấy tích phân:



 ) 0(t 

g

d dt t g f e g f

pt pt

(

.)()(

(

)()

(

)()

p G p F

d e g d e f

d d g e

f g f

p p

0

.11

)]

([]

[)

(

k p

p p

k ch L e L d k ch

t t

(

1)

(

b p a p p F







const b

e b p

e a p

11

.)).(

(1

0

) ( 0

) (

b a b a

e e

d e e

d e e

e e b p a p

bt at

t b at

t

b t a

bt at

e t

d e

a p b p a p

)(

1)

).(

(1

0 2

1)

p p

p

sin.sin

)).(

(

1)

(

`1

2 2 2 2 2 2 2

0 2

0 2

0 2

2

cos2

sin

cos2

)2sin(

21

]cos)2([cos2

1

.sin)

(sin

1)(

t t

d t t

d t

p F

t t

t f p G p pF

0

)(')()0()

()()

t f

d t g f p G p F

t

t t t

)()()0()

(

)()()

()

d t g f t g f

dt t f g t g f

d t f g t f g p G p pF

0 0 0

)()(')()0(

)(')()()0(

)()(')()0()()

Các công thức trên được gọi là các công thức khai triển Duamel

V Biểu diễn tích phân của hàm gốc

Giả sử f (t)là hàm có chỉ số tăng s0 và F ( p)là hàm ảnh của nó Khi đó tại mọi

i a

pt

dp p F e i Lim t

2

1)

i a

pt

dp p F e

k p pk

e p F s t

;2

1)

p p

p p F







Có hai cực điểm đơn là 0 , 2 ta có:

t pt

p

pt p

e e

p F S

e p F S

2 2

0

2

1)(Re

;2

1)(Re

f

2 2

1212

12

1)(

k k k

p

C p

1 ; 0

!

0

;0)(

t t

1

!3

111

p p

p p

Hàm F ( p)thỏa định lí khai triển nên

!4

!5

1

!2

!3

11)(

4 2

1)

Từ đề bài ta có:

)).(

).(

1(

1)

(

i p i p p p F

-

)1(2

1)

(Re

)1(2

1)(Re

2

1)(Re1

p F S

i

e e

p F S

e e

p F S

it pt

i p

it pt

i p

t pt p

Theo định lí khai triển 2 ta có:

e t t

i

e i

e e t f

t

it it

t

sincos2

1

)1(2)1(22)(

VI Biến đổi Laplace đảo

Phép biến đổi từ hàm F ( p) sang hàm f (t): L1[F(p)] f(t)được gọi là phép biến đổi Laplace đảo nếu và chỉ nếu L[f(t)]F(p)

Có nhiều cách xác định f (t)khi cho trước F ( p) dựa vào các tính chất của

pt

dp e p F i t f

Với:  0

VII.1 Giải phương trình vi phân

Ta có phương trình:

) ( '

1 1

Trong đó: a0 thỏa điều kiện ban đầu:

) 1 ( 0 )

1 ( 0

0, '(0) ' , , (0))

0( y y y y n y ny

Lấy ảnh Laplace hai vế của (1) theo t và kí hiệu:

)()(

)()(

p F t f

p Y t y





Theo công thức đạo hàm của hàm gốc

0

0 0

')

()

(

"

)()('

Re);

()

0(

)0()()('

y py p Y p t y

y p pY t y

S p t

f Lim f

f p pF t f

k t k

(1)

(2)

Tổng quát:

1 0 0

2 0

1 )

(

' )

t n

y y

p y p p Y p y

thay các phương trình (3) vào (1) ta được phương trình toán tử

)()()()(p Y p B p F p

Hay:

)(

)()()(

p A

p B p F p

Trong đó:

0 1 0 1 0 2 0 2 2

1 1 0 0

1 1 0

)(

)

()(

)(

a y a p a y a

p a p a y p B

a p

a p a p A

n n

n p

n

n n

p A

p B

Thì:

)(

)()

(1 1

p A L

p A

p B L t g

Khi đó theo định lí về ảnh chập tích ta có:

)(

*)()(

)(1

t g t f p A

p F

0

)()

()()

)()(

p A

p F p

y( ) () ( ) 

(3)

-

te y y

2)0(

y y

Lấy ảnh Laplace hai vế của phương trình trên ta được

2

1)(13]2))([432)(2

pp p

p Y p

Hay:

) 2 )(

13 4

(

2 15 2

)

3 2

p

p p

p Y

13

)2(

32)

2117(3)2(

32)

2117(181

2

1.9

132

1.18

21173

2

1.18

2117)(

2 2 2

2

p p

i p

i p

i p

i

p i

p

i i

p

i p

Y

Lấy nghịch ảnh của Y(p) ta được nghiệm của phương trình ban đầu y(t)

))3sin237cos17(9

1)

"yty

ty

Lấy ảnh Laplace hai vế:

0'

)1(p2 YpY

Là nghiệm phương trình vi phân cấp 1 giải phương trình này ta được:

21)(

p

C p

C Lim p

pY Lim

(

Mặt khác theo định lí giới hạn thì:

)0()(p f pF

pY Lim





)0(

0 y y



Ta đặt

1)0( 

y

Nghiệm của phương trình Bessel là:

)(2

!

1.)1()

2 1

2

t L t

n t

y

n n

" t yy

ty

Lấy ảnh Laplace hai vế của phương trình trên ta được:

0))'

0((

)0()]'

0(')0(

Nghiệm có dạng như sau:

1)

1()

p

C p

Y

Cho hệ phương trình sau:

2 2 23 2 22 2 21 2

1 1 13 1 12 1 11 1'''

f x a x a x a x

f x a x a x a x

f x a x a x a x

Điều kiện:

const b

b x

i

i i



)0(

Ta kí hiệu:

i i

i i

F f L

X x L



][

][

i  n1, Lấy ảnh Laplace của hệ ta được:

3 33 3

32 3

31 3

2 2

2 23 2

22 2

21 2

1 1

1 13 1

12 1

11 1

)()()

()

()

(

)()()

()

()

(

)()()

()

()

(

b p F p X a p X a p X a p pX

b p F p X a p X a p X a p pX

b p F p X a p X a p X a p pX

3 33 3

32 3

31

2 2

2 23 2

22 2

21

1 1

1 13 1

12 1

11

)()()(

)()

(

)()()

()(

)(

)()()

()

()(

b p F p X a p p X a p X a

b p F p X a p X a p p X a

b p F p X a p X a p X a p

Giải hệ phương trình trên ta được:

11 1

1 p b F p b F p b F

p

X