Chứng minh rằng hàm số fx liên tục trên ¡.. Trên đường vuông góc với mặt phẳng ABC tại B , ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a.. Gọi I là trung điểm của BC.. Chứng minh rằng : AI⊥mpMBC.. T
Trang 1ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC NĂM HỌC : 2008 - 2009
ĐỀ 3
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm )
Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng Biết 5
9
u 19
u 35
=
=
Câu II ( 3,0 điểm )
a. Tìm giới hạn của dãy số (u n) với un 2n sin n
n
+
=
b. Tìm giới hạn sau : 2
x 2
x 2 x lim
x 4x 4
→
+ +
c. Cho hàm số f (x) x32
=
nÕu x < 1 2x 3 Õu x Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục trên ¡
Câu III ( 3,0 điểm )
a. Tìm đạo hàm của hàm số y x cos3x =
b. Cho hàm số y sin 2x cos 2x = − Hãy giải phương trình y '' 0 =
c Cho hàm số y = 2x 1 + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d) : y 1x 1
3
= +
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho tam giác đều ABC cạnh a Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B , ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a Gọi I là trung điểm của BC
a. Chứng minh rằng : AI⊥mp(MBC)
b. Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC)
c Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (MIA)
.Hết
HƯỚNG DẪN Câu I ( 1,0 điểm )
Gọi u 1 là số hạng đầu , d là công sai của cấp số cộng
Áp dụng công thức : u n = u 1 + − (n 1)d , ta có :
u 19
=
Vậy cấp số cộng này có u 1 = 3, d 4 =
Câu II ( 3,0 điểm )
Vì |sin n | 1 lim1 0 n sin n 0
n ≤ n , n = nª lim n = nên lim u n = 2
Vì x 2lim ( x 2 x) 4→ + + = , x 2lim [ (x 2) ] 0→ − − 2 = vµ − −(x 2)2 <0
c (1đ) Tập xác định D = ¡
Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN 1
Trang 2ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC NĂM HỌC : 2008 - 2009
+ Nếu x < − 1 thì f (x) x = 3 là hàm đa thức nên liên tục trên ( −∞ − ; 1) (1)
+ Nếu x > − 1 thì f (x) 2x = 2− 3 là hàm đa thức nên liên tục trên ( 1; − +∞ ) (2)
+ Tại x = − 1
Ta có : f(−1) = 2(− 1)2 −3 = −1
x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim x 1
x ( 1)→ −lim +f (x)=x ( 1)→ −lim +(2x2− = −3) 2( 1)2− = −3 1
Vì x ( 1)→ −lim +f (x)=x ( 1)→ −lim −f (x)= −1 nên
x lim f (x) 1 1 f ( 1)
→− = − = − Vậy hàm số đã cho liên tục tại x o = − 1 (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra hàm số liên tục trên ¡
Câu III ( 3,0 điểm )
a (1đ) Ta có : y ' cos3x x. (cos3x) ' cos3x x. 3sin 3x 2cos3x 3x sin 3x
b (1đ) Ta có : y ' 2cos 2x 2sin 2x = + ⇒ y '' = − 4sin 2x 4cos 2x +
Do đó : y '' 0 4sin 2x 4cos 2x 0 sin(2x ) 0 2x k x k ; k
c) (1đ) Gọi tiếp tuyến cần tìm là (∆) Vì (∆) // (d) : y 1x 1
3
= + nên (∆) có hệ số góc k = 1
3 Gọi M(x ; y ) o o là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Ta có : y ' 1
2x 1
=
+ Suy ra phương trình tiếp tuyến : y 1(x 4) 3 y 1x 5
Câu IV ( 3,0 điểm )
a. (1đ) Ta có : MB (ABC) ⊥ (gØa thiÕt) ⇒ MB AI ⊥ (1) , do AI⊂ (ABC)
Mặt khác : AI ⊥ BC (2) , do ABC là tam giác đều có đường cao AI
Từ (1) , (2) suy ra AI (MBC) ⊥
b (1đ) Ta có : MB (ABC), B (ABC) ⊥ ∈ ⇒ = B hc (ABC) M ⇒ BI hc = (ABC) MI
Suy ra góc giữa IM và mp(ABC) là ·M IB
Vì tam giác MBI vuông góc nên tan MIB· MB 4 MIB arctan 4·
IB
c. (1đ) Do AI (MBC) ⊥ , suy ra : (MIA) (MBC) ⊥
Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến MI
Từ B kẻ BH⊥MI suy ra
BH ⊥ (M IA), H (M IA) ∈ ⇒ d(B;(MIA)) BH = .
Tam giác MBI vuông tại B có đường cao BH , ta có :
BI a, MB 2a
2
= = nên :
2 2
2a 17 4a
Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN 2