Trên tia AG lấy điểm E sao cho G là trung điểm của AE.. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BH; EH cắt AC tại D.. Trên đoạn HC lấy điểm B’ sao cho HB’=HB.. Chứng minh: CH=AE.
Trang 1UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ
PHÒNG GD & ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 7 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm)
Thực hiện tính:
a. (-1).(-1)2.(-1)3 (-1)2010
b. (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33) (1000 - 20103)
Bài 2: (2,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
a 19 9 310 109 4
12 2 6
9 4 15 27 2
+
+
=
A
b B= 2x4 + 3x2y2 + y4 +y2 với x2 +y2 = 1
Bài 3: (2,0 điểm)
a Cho x2 = yz (x ≠y và x≠z) Chứng minh rằng:
x z
x z y x
y x
−
+
=
− +
b Cho
4 3 2
z y
x = = và x2 −y2 + 2yz= 171 Tính x, y, z
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AN, BP, CQ là ba trung tuyến, G là trọng tâm Trên tia
AG lấy điểm E sao cho G là trung điểm của AE Chứng minh:
a BE= 2QG
b (AN+BP+CQ> AB+ AC+BC
3
4
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có số đo góc ABC bằng 2 lần số đo góc ACB và bằng 2α,
đường cao AH Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BH; EH cắt AC tại D
a Chứng minh: DH=DC=DA
b Trên đoạn HC lấy điểm B’ sao cho HB’=HB Chứng minh: B’C=B’A
c Chứng minh: CH=AE
Trang 2
-HƯỚNG DẪN CHẤM-TAM KỲ
Bài 1: ( 2,0 điểm)
a (-1).(-1)2.(-1)3 (-1)2010
= (-1)1+2+ +2010
= (-1)2010(2010+1):2
Do 2010(2010+1):2 là một số lẻ
Nên: (-1)2010(2010+1):2 = -1 ( 1,0 điểm)
b Trong tích: (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33) (1000 - 20103)
có thừa số: 1000 - 103= 0
Nên: (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33) (1000 - 20103)=0 ( 1,0 điểm) Bài 2: ( 2,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
a 19 9 310 109 4
12 2 6
9 4 15 27 2
+
+
=
A
= 199 99 10 1018 208
2 3 2 3 2
3 2 5 3 3 2
+ +
=
2
1 7 2
7 ) 6 1 ( 3 2
) 5 2 (
3 2
9 19
9 18
=
= +
+
(1,0 điểm)
b B= 2x4 + 3x2y2 +y4 + y2 với x2 + y2 = 1
=2x2 (x2 + y2 ) + y2 (x2 +y2 ) + y2
=2x2 +y2 + y2
= 2x2 + 2y2=2 (x2 + y2 ) = 2 (1,0 điểm) Bài 3: ( 2,0 điểm)
a - Từ x2 = yz được : y x = x z
- Từ y x = x z được y x = y x++z x và x y = y x−−x z
- Suy ra y x++x z = y x−−x z
⇒ x y+−y x = x x−+z z ⇒ x x−+y y = z z−+x x (1,0 điểm)
b - Từ
3 2
y x
= được
9 4
2
2 y
- Từ
4
3 9
2 y z y
= được
24
2 12 9
y
=
=
19
171 24
9 4
2 24
2 9 4
2 2 2
2
=
= +
−
+
−
=
=
−
−
x
- x2 = 4.9=36 được x = 6 và x = -6
* x = 6 được y = 9 và z= 12
* x = - 6 được y = -9 và z= -12 (1,0 điểm) Bài 4: ( 2,0 điểm) (Hình vẽ: 0,5 đ; phục vụ cho mỗi câu 0,25 đ)
a Chứng minh BE=2QG: ( 0,75đ)
- Chứng minh: tg BNE= tgCNG
- Suy ra: BE=GC
- Do: GC=2QG (trọng tâm tam giác) nên: BE=2QG (Mỗi ý 0,25đ)
Trang 3b ( 0,75đ)
- Ta có: AG+BG>AB; BG+GC>BC; AG+GC>AC ( bất đẳng thức tg)
- Cộng theo vế có: 2(AG+BG+CG)>AB+BC+AC
- Hay: 2
3
2 (AN+BP+CQ)>AB+BC+AC Vậy:
3
4 (AN+BP+CQ)>AB+BC+AC (Mỗi ý 0,25đ)
A
Q P G
B N C
E Bài 5: ( 2,0 điểm) (Hình vẽ: 0,25 đ)
a
- Tam giác BEH cân nên E = H
- ABH là góc ngoài nên E=H= ABH= α
2
1
- BHE = DHC (Đối đỉnh) nên DHC =α
- Suy ra ∆DHC cân tại D nên DH=DC
- ∆HAD có : AHD = 900 -α
- HAD = 900 - α (∆AHC vuông tại H)
- Suy ra ∆HAD cân tại D nên DH = DA
- Suy ra DH = DC = DA (0,75 đ) b
- ∆ ABB’ cân tại A do có trung tuyến là đường cao
- Suy ra AB’B = 2α
- Suy ra B’AC = BB’A - B’CA = α
- ∆ AB’C cân tại B’ nên B’C = B’A (0,5 đ)
c
- Do AB’ = AB nên B’C = AB
- HB’= HB = BE nên AB + BE = B’C + B’H hay CH = AE (0,5 đ)
A
H E
D
B’