Tính giá trị các biểu thức một cách hợp lý.. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = AB.. a So sánh AE và DE.. Đề chớnh thức.
Trang 1PHềNG GD & ĐT TÂN KỲ ĐỀ KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2011 - 2012 Mụn : Toỏn 7
Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
-Câu 1:(4 điểm)
Tính giá trị các biểu thức một cách hợp lý
� �� �� � � �
B =
Câu 2: (5 điểm)
Tìm x biết:
x ;
b) x 5 4 5 ;
c)
3 1
x
� �
� �
d) 3x2 - 133 : 338 = 0,25 ;
e) (0,4x - 2) - (1,5x + 1) + (4x + 0,8) = 3,6
Câu 3: (5 điểm)
a) Cho các số a,b,c thỏa mãn các điều kiện sau:
5a = 8b = 20c và a - b - c = 3 Chứng minh rằng: [( a - b )2 - c3 ] M 45
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = x2010 2012 x
Câu 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC có �A900, đờng cao AH Trên cạnh BC lấy
điểm D sao cho BD = AB Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC ở E
a) So sánh AE và DE
b) Đờng phân giác góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC cắt đ-ờng thẳng BE ở K Tính số đo góc BAK?
c) Chứng minh AB + AC < BC + AH
-Hết -Họ và tờn thớ sinh:……….Số bỏo danh:………….
Đề chớnh thức
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
a
2,0
điểm
� �� �� � � �
� �� �� � � �
=> A = 1
1012
1,0 1,0
b
2 đ
B =
B =
81.10101
5 5 5 5 5 5 79.10101
B = 162 1 4 79
( )
5 5 81 = 162 1.79
81 = 158
0,5
0,75 0.75
a
(1 đ) 3 5
x
=> x +3 = 25
7 => x = 4
7
0,5 0,5
b
(1 đ) x 5 4 5 => x 5 4 5 (1) hoÆc x 5 4 5
Giải (1): x 5 9 => x - 5 = 9 hoặc x- 5 = -9
x = 14 hoặc x = - 4
Giải (2): x 5 1 (Vô lý)
0,5 0,25
c
(1 đ)
3 1
x
� �
� �
x
� � � �
d
(1 đ) 3x2 - 133 : 338 = 0,25 => 3x2 - 2197
338 =
1
4 => 3x
0,5
Trang 31 13 27
4 2 4
=> x2 = 9
4 => x =
3 2
�
e
(1 đ)
(0,4x - 2) - (1,5x + 1) + (4x + 0,8) = 3,6
=> (0,4x-1,5x+4x) + (-2-1+0,8) = 3,6
=> 2,9 x - 2,2 = 3,6 => 2,9 x = 5,8 => x = 2 0,50,5
a
(3 đ)
Ta có : 5a = 8b = 20c (1) và a - b - c = 3 (2)
Từ (1) => 5 8 20
40 40 40
a b c =>
a b c a b c
(áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) (3)
3
a b c
=> a = 24 , b = 15 và c = 6
Khi đó: ( a - b )2 - c3 = (24 - 15)2 - 63 = - 135 M 45
Vậy [ ( a - b )2 - c3 ] M 45 (đpcm)
Tỡm a,b,c được
2,5 điểm
c/m chia hết được
0,5 đ b
(2 đ) Ta có: A = x2010 2012 x = 2010 x 2012 x
=> A�2010 x (2012 x) hay A�2 1 Dấu "=" xảy ra khi
2010 - x � 2012 - x � 0 hoặc 2010 - x � 2012 - x � 0
Vậy A đạt giỏ trị lớn nhất bằng 2 �x�2012 0,25
Vẽ hỡnh ghi GT và KL đỳng 0,5
Xột ABE và DBE cú � �A D 900 , cạnh BE chung
AB = BD (gt) => ABE = DBE (c.huyền- cgv) (1)
Từ (1) => �ABE �EBD => BE là đường phõn giỏc trong của tam
giỏc ABC (*)
Lại cú: CK là phõn giỏc ngoài của tam giỏc ABC tại đỉnh C (K�
BE) (**)
Từ (*) và (**) suy ra AK là đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh A của
tam giỏc ABC
=> �
3
A = 450 nờn BAK� = 1350
0,25
0,25 0,5
c Chứng minh AB + AC < BC + AH. 1,5
Kẻ DM AC, ta cú : DC > MC (cạnh huyền lớn hơn cgv) (2)
Mặt khỏc theo cõu a cú AE = DE => � �
2 1
A D
Mà AH // ED (cựng vuụng gúc với BC) => � �
1 1
A D (so le trong)
0,25
Trang 4=> � �
2 1
A A => AHD = AMD (c.huyền- góc nhọn)
=>AM = AH (2)
Từ (1) và (2) => DC + AH > AM + MC => DC + AH > AC
Và BD = AB (gt) => DC + AH + BD > AC + AB
Hay BC + AH > AC + AB (đpcm)
0,5 0,25 0,25 0,25
Hình
Vẽ
(Lưu ý học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)
Đáp án gồm 03trang
M 3
1
K
2 1
E
H
D
C B
A