Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM.. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
Năm học 2015 - 2016
Môn: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4,0 điểm)
Cho A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016
a) Tính A
b) Tìm chữ số tận cùng của A
c) A có là số chính phương không? Vì sao?
Bài 2 (4,0 điểm)
a) Tìm x, biết: x 1 2 3
b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng 1 1
70, các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5
và các mẫu số tương ứng của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2
Câu 3 (3,0 điểm)
Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a)
a) Tìm a
b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x)
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng
AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC
a) Chứng minh: DC = BE và DC BE
b) Gọi N là trung điểm của DE Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM Chứng minh: AB = ME và ΔABC = ΔEMA ABC = ΔABC = ΔEMA EMA
c) Chứng minh: MA BC
Câu 5 (3,0 điểm):
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x x 2016201620182017
2) Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0
- Hết
-Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán
Bài 1 (4,0 điểm)
a/
(1,5 đ)
Ta có: A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016
3A = 32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 0,5 Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + …
A = 32017 3
2
b/
(1,5 đ)
Ta có: A = (3 + 32 + 33 + 34) + … +(32013 + 32014 + 32015 + 32016)
= 3(1 + 3 + 32 + 33) + + 32013(1 + 3 + 32 + 33) 0,75 = 3.40 + + 32013.40 = 40.(3 + 35 + + 32013) 0,5
c/
(1,0 đ)
Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra A không là số chính phương 0,5
Câu 2 (4,0 điểm)
a/
(2,0 đ)
Nên x 1 2 3 x 1 2 = 3 x 1 1 0,75
x -1 = 1 hoặc x – 1 = -1 x = 2 hoặc x = 0 0,5
b/
(2,0 đ)
Gọi 3 phân số cần tìm lần lượt là a b c; ;
x y z thì ta có
1
x y z 70 và
;
3 4 5 5 1 2
0,5
a x: b y: c z:
3 5 4 1 5 2
b
y
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
b
y
1
= 1
7
x 35 y 7 z 14 0,5
Vậy 3 phân số cần tìm là 3 4 5; ;
Câu 3: (4,0 điểm)
a/ Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nên có: 0,5
Trang 3a2- a = a(a+1) +4
Vậy a = -2 thì đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a) 0,25
b/
(1,5đ)
Với a = -2 ta có hàm số y = f(x) = -2x + 4
f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + 2 0,5
Do đó: f(3x- 1) = f(1- 3x) -6x + 6 = 6x + 2 x = 1
Câu 4: (6 điểm)
a/
Xét ΔABC = ΔEMA ADC và ΔABC = ΔEMA BAF ta có:
DA = BA(gt)
AE = AC (gt)
DAC = BAE ( cùng bằng 90 0 + BAC )
=> ΔABC = ΔEMA DAC = ΔABC = ΔEMA BAE(c.g.c )
=> DC = BE
Xét ΔABC = ΔEMA AIE và ΔABC = ΔEMA TIC
I 1 = I 2 ( đđ)
E 1 = C 1 ( do ΔABC = ΔEMA DAC = ΔABC = ΔEMA BAE)
=> EAI = CTI
b/ Ta có: ΔABC = ΔEMA MNE = ΔABC = ΔEMA AND (c.g.c)
=> D 1 = MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt)
=> AB = ME (đpcm) (1)
Vì D 1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180 0 ( trong cùng phía )
mà BAC + DAE = 180 0
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) và (3) => ΔABC = ΔEMA ABC = ΔABC = ΔEMA EMA (đpcm) 2,0 c/ Kéo dài MA cắt BC tại H Từ E hạ EP MH
Xét ΔABC = ΔEMA AHC và ΔABC = ΔEMA EPA có:
CAH = AEP (do cùng phụ với góc PAE)
AE = CA ( gt)
PAE = HCA (do ΔABC = ΔEMA ABC = ΔABC = ΔEMA EMA câu b)
=> ΔABC = ΔEMA AHC = ΔABC = ΔEMA EPA
H 2
1
1 1
P
K T I
E
N M
D
C B
A
Trang 4=> EPA = AHC
=> AHC = 90 0
=> MA BC (đpcm)
2,0
Câu 5 (3,0 điểm):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=
2018 2016
2017 2016
x x
A=
2018 2016
1 2018 2016
x
x
A=1 20161 2018
x
Đặt B= x 20161 2018 do x 2016 2018 2018 Với mọi giỏ trị của x
Mà tử là một số dương không đổi mẫu số đạt GTNN bằng 2018 dấu “=” xẩy
ra khi x 2016 0 x 2016
Vậy B đạt GTLN bằng
2018
1
mà 1 là số dương không đổi A=1-B đạt GTNN MinA=
1-2018
1
=
2018
2017
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
x – 2xy + y = 0
2x – 1 – 4xy + 2y = –1
(2x – 1) (1 – 2y) = –1
Vì x, y Z nên (2x – 1) và (1 – 2y) Z
Vậy ( ; ) = ( 1;1), (0;0)
0,25 0,5
0,25 0,25 0,25
Hết