Đề đa HSG toán 7 huyện hoài nhơn 2012 2013

a Tính số đo các góc của tam giác ABC.. b Kẻ AD vuông góc với BC D thuộc BC.. a Chứng minh rằng: BM = CN b Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.. c Đường trung trực củ

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

Đề chính thức

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013

Môn: TOÁN 7 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1 (4 điểm):

a) So sánh hai số: (– 5)39 và (– 2)91

b) Chứng minh rằng: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n �N

Bài 2 (4 điểm):

a) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn:  2012 2013

2 x y   7   x 3 � 0 b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1 2 3 n      aaa

Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh Nếu đưa 1

3 số học sinh của lớp 7A1, 1

4 số học sinh của lớp 7A2 và

1

5 số học sinh của lớp 7A3 đi thi học sinh giỏi cấp huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K.

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có A ˆ  3 B ˆ  6 C ˆ

a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.

b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC) Chứng minh: AD < BD < CD.

Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối

của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.

a) Chứng minh rằng: BM = CN

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K Chứng minh rằng: KC  AC.

Ghi chú: Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay.

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7

KỲ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013

1

4 điểm

Ta có: (– 5)39 = – 539 = – (53)13 = – 12513 0,75đ (– 2)91 = – 291 = – (27)13 = – 12813 0,75đ

Ta thấy: 12513 < 12813 � – 12513 > – 12813 � (– 5)39 > (– 2)91 0,5đ

b) Chứng minh: Số A = 11 n+2 + 12 2n+1 chia hết cho 133, với mọi n �N 2,0đ

Ta có: A = 11n+2 + 122n+1 = 112.11n + 12.(122)n = 121.11n + 12.144n

= (133 – 12).11n + 12.144n = 133.11n – 12.11n + 12.144n

= 133.11n + 12.(144n – 11n)

1,0đ

Ta thấy: 133.11n M 133

(144n – 11n) M (144 – 11) = 133 � 12.(144n – 11n) M 133 0,5đ

Do đó suy ra: 133.11n + 12.(144n – 11n) chia hết cho 133

Vậy: số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n �N 0,5đ

2

4 điểm

Ta có: 2012 là số tự nhiên chẵn � (2x – y + 7)2012 � 0

và x3 �0 � x32013�0 0,5đ

2 x y   7   x 3 � 0

suy ra: (2x – y + 7)2012 = 0 và x32013 0 0,5đ � 2x – y + 7 = 0 (1) và x – 3 = 0 (2) 0,5đ

Từ (2) � x = 3

Từ (1) � y = 2x + 7 = 2.3 + 7 = 13

Vậy cặp số (x; y) cần tìm là (3; 13)

0,5đ

1 2 3

2

n n

Do đó, từ 1 2 3    n  aaa � n n 1  2.3.37.a

� n(n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37

� n hoặc n + 1 chia hết cho 37 (1)

0,5đ

Mặt khác:  1

2

n n

aaa



 � 999 � n(n + 1) � 1998 � n < 45 (2)

Từ (1) và (2) suy ra hoặc n = 37, hoặc n + 1 = 37

0,5đ

- Với n = 37 thì 37.38 703

2

aaa  (không thỏa)

- Với n + 1 = 37 thì 36.37 666

2

aaa  (thỏa mãn) Vậy n = 36 và a = 6

0,5đ

3

4 điểm

Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. 4,0đ

Gọi tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là a, b, c (a,b,c�N*)

Theo bài ra ta có : a 1a b 1b c 1c

3 4 5

18 16 15

18 16 15

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có :

18 16 15

18 16 15 49

1,0đ

Suy ra : a = 54, b = 48, c = 45

Vậy tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là 54, 48 và 45 1,0đ

4

4 điểm

Từ Aˆ3Bˆ6Cˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1800 0

20

�

0 0

0 0

0 0

ˆ 6.20 120

ˆ 2.20 40

ˆ 1.20 20

A B C

�

Vậy: Aˆ120 ;0 Bˆ40 ;0 Cˆ200

1,0đ

- Trong ACD có

2 0 1

ˆ 50

A



�

1 ˆ

1,0đ

- Xét  ABC có Bˆ 40 0 Cˆ 200 � AB AC � AB2AC2 (*)

- Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông ADB và ADC có:

AB2 = AD2 + BD2 và AC2 = AD2 + CD2

Do đó, từ (*) � AD2 + BD2 < AD2 + CD2

� BD2 < CD2 � BD < CD (2)

Từ (1) và (2) � AD < BD < CD

1,0đ

5

4 điểm

Theo giả thiết, ta có:

2AB = AB + AB = AB + AM + BM

AM + AN = AM + AC + CN

 ABC cân ở A � AB = AC

Do đó, từ AM + AN = 2AB

� BM = CN

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN 1,5đ

Qua M kẽ ME // AC (E � BC)

�  MEI =  NCI (g-c-g) � IM = IN

+ K thuộc đường trung trực của MN � KM = KN (1)

+  ABK =  ACK (c-g-c) � KB = KC (2); ABKˆ ACKˆ (*)

+ Kết quả câu c/m câu a) BM = CN (3)

0,5đ + Từ (1), (2) và (3) �  BMK =  CNK (c-c-c) � ABKˆ NCKˆ (**) 0,5đ + Từ (*) và (**) � ˆ ˆ 1800 0

90 2

* Ghi chú: Mọi cách giải khác mà đúng và phù hợp đều ghi điểm tối đa.