Phần một: HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪUNHIÊN 1.1 Khái niệm: Trong thực tế cuộc sống ta thường gặp trường hợp một đại lượng ngẫu nhiên là hàm số của một hoặc nhiều đại lượng ngẫu nhiên khác.
Trang 1Phần một: HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN
1.1 Khái niệm:
Trong thực tế cuộc sống ta thường gặp trường hợp một đại lượng ngẫu nhiên
là hàm số của một hoặc nhiều đại lượng ngẫu nhiên khác Khi đó, nếu biết qui luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên đóng vai trò hàm số
Ví dụ: Y = f(X); Z = (X,Y); W = g(X1 , X2, …Xn)
1.2 Hàm của đại lượng ngẫu nhiên :
1.2.1 Định nghĩa :
Nếu qua qui luật , mỗi giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên X được tương ứng với một giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên Y thì Y được gọi là hàm của đại lượng ngẫu nhiên X
Kí hiệu Y (X)
1.2.1.1 Hàm của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc :
Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất
} x , , x , x { x
)
x X
(
P
)
x
(
Giả sử Y là một ánh xạ từ lên Y = {y1, y2, …,yn}
Khi đó Y = g(x) là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị có thể Y và là hàm xác suất của Y được xác định bởi
P(Y y) P(X x) fX(x)
)
y
(
fY
Ví dụ: Hàm xác suất cho bởi bảng
Khi đó Y = X2 + 1 có hàm xác suất được tính theo
fY(1) = P(Y=1) = PX(0) = 0,2
fY(2) = P(Y=2) = PX(-1) + PX(1) = 0,3
fY(5) = P(Y=5) = PX(-2) + PX(2) = 0,2
y ) x ( g :
x x : g ( x ) y
Trang 2fY(10) = P(Y=10) = PX(-3) + PX(3) = 0,2
fY(17) = P(Y=17) = PX(4) = 0,1
1.2.1.2 Hàm của đại lượng ngẫu nhiên liên tục :
Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) đã biết
và giả sử Y (X)
Nếu Y (X) là khả vi, đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm có hàm ngược Y
X thì hàm mật độ g(y) của đại lượng ngẫu nhiên Y được xác định bằng
(y) '(y)
f
)
y
(
Ví dụ : Cho X~ N(0; Tìm quy luật phân phối xác suất của2)
3
X
)
X
(
Y (tức là tìm hàm mật độ xác suất g(y) của Y)
Giải
y = x3 là hàm đơn điệu tăng, khả nghi có hàm ngược yxy13
Ta tìm f (y)
2
2
x
e 2
1 )
x
2
2 3 y 3
1
e 2
1 y
và
3 2 3
2 3
1
y 3
1 y
3
1 )' y
(
)
y
(
2
2 3 y
3
2 y 3
1 )
y
(
1.2.1.3 Hàm của 1 vectơ ngẫu nhiên 2 chiều
Hàm Z (X,Y) với (X, Y) rời rạc
Bảng phân phối xác suất của Z (X,Y)
Từ 2 bảng phân phối xác suất của X và của Y
X x1 x2 … xi … xn
PX p1 p2 … pi … pn
Bảng giá trị có thể có của Z (X,Y)
Y y1 y2 … yj … ym
PY q1 q2 … qj … qm
Trang 3y1 y2 … yj … ym
x1 z12 z12 … z1j … z1m
x2 z21 z22 … z2j … z2m
xi zi 1 zi2 … zij … zim
Trong đó ziy = (xi,yi) i 1,n, j 1,m
Bảng phân phối xác suất đồng thời của Z (X,Y)
p1 p12 p12 … p1j … p1m
p2 p21 p22 … p2j … p2m
pi pi 1 pi2 … pij … pim
Trong đó p ij piqj, i 1,n, j 1,m
Từ 2 bảng trên ta lập nên bảng phân phối xác suất của Z (X,Y) như sau
Z z11 z12 … zij … znm
PZ p11 p12 … pij … pnm
Chú ý nếu tồn tại zikje zik'je' với i ( k ik ' ik ik' 1,n ) j ( e je ' je je' 1,m ) thì đặt z* = zikje zik'je' và lúc đó P (Z – z*) = Pikje Pik'je'
Ví dụ :
PX 0,3 0,5 0,2
Lập bảng phân phối xác suất của Z = X + Y
Bảng giá trị có thể có của Z
PY 0,2 0,5
Trang 42 3 6
Bảng phân phối xác suất đồng thời của Z
0,3 0,06 0,24
0,2 0,04 0,16
Vậy bảng phân phối xác suất của Z = X + Y
Trong đó P(Z = 6) = p31 + p12 = 0,04 + 0,24 = 0,28
1.2.1.4 Hàm Z (X, Y) với X, Y liên tục :
Giả sử hàm mật độ xác suất đồng thời của (X, Y) là f(x, y) Hàm phân phối xác suất
FZ(z) của Z định bởi
) z ) Y , X ( ( P ) z Z
(
P
)
z
(
z ) y
,
x
(
dxdy ) y , x ( f Hàm mật độ xác suất fz(z) của Z : fz(z) = F’z(z)
z
z(z) (t)dt
F thì f(z) chính là hàm mật độ của Z
Trường hợp Z = X + Y trong đó X, Y là 2 đại lượng ngẫu nhiên liên tục, độc lập :
fX(x), fY(y) lần lượt là hàm mật độ xác suất của X, Y xác định trên R
Khi đó fX(x)fY(y) chính là hàm mật độ của (X, Y) và hàm mật độ xác suất g(z) của Z
f (x f (z x)dx
)
z
(
f (z y f (y)dy )
z (
Ví dụ : Cho X liên tục có e (x 0)
3
1 ) x (
x
X Cho Y liên tục có
) 0 y ( e
3
1
)
y
(
y
Y Tìm hàm mật độ xác suất của Z = X + Y
Giải
Ta có ZXY0 vì x và 0 y 0
Trang 5Vậy
0
Y
X(x f (z x)dx f
)
z
(
g
) e 1 ( e
dx e e 12
1
dx e
4
1 e 3 1
12
z 4
z
z 0 12
z 4 z
z
0
4 x z 3
x
Phần hai
Câu 1:
Trên bàn có 5 đồng xu (3N, 2S), tung thêm 3 đồng xu nữa
Gọi Y là số mặt ngửa trên 8 đồng xu
P
8
1
8
3
8
3
8
1
Khoanh lấy ngẫu nhiên 4 đồng xu Gọi X là số mặt ngửa trên 4 đồng xu
06 0 C 8
C 1 C 8
C 3 C 8
C 3 )
4
X
(
P
33 0 C 8
C C 1 C 8
C C 3 C
8
C C 3 C 8
C C 1 )
3
X
(
P
43 0 C 8
C C 1 C 8
C C 3 C
8
C C 3 C 8
C C 1 )
2
X
(
P
17 0 C
8
C C 3 C
8
C C 3 C 8
C C 1 )
1
X
(
P
01 0 70 8
3 70 8
5 C
8
C 3 C 8
C 1 )
0
X
(
P
4 8
4 6 4
8
4 5 4
8
4 4
4 8
1 2
3 6 4
8
1 3
3 5 4
8
1 4
3 4 4
8
1 5
3 3
4 8
2 2
2 6 4
8
2 3
2 5 4
8
2 4
2 4 4
8
2 5
2 3
4 8
3 3
1 5 4
8
3 4
1 4 4
8
3 5
1 3
4 8
4 4 4
8
4 5
Vậy xác suất để chỉ có 3 đồng xu ngửa là P(X 3)0.33
Bảng phân phối xác suất của biến cố các đồng xu ngửa :
Câu 2 :
Trang 6X2
Lần 1 rút 2 lá bài gồm 2 cơ và 1 rô bộ bài còn 49 lá, trong 49 lá có 11 lá
cơ và 38 quân bài khác
Lần 2 rút ngẫu nhiên 2 lá trong 49 lá còn lại
Gọi Y là số lá cơ rút được trong 2 lá nữa
047 0 C
C )
2
Y
(
P
355 0 C
C C
)
1
Y
(
P
598 0 C
C )
0
Y
(
P
2 49
2 11
2 49
1 38
1 11
2 49
2 38
P 0.598 0.355 0.047
Gọi Z là số lá cơ có trong 5 lá bài :
P 0.598 0.355 0.047
Khoanh ngẫu nhiên 2 lá :
Gọi X là số lá cơ trong 2 lá khoanh sau cùng
2 0 C
C 047 0 C
C 355 0 C
C 598 0 )
2
X
(
P
6 0 C
C C 047 0 C
C C 355 0 C
C C 598 0
)
1
X
(
P
2 0 C
C 355 0 C
C 598 0 )
0
X
(
P
2 5
2 4 2
5
2 3 2
5
2 2
2 5
1 1
1 4 2
5
1 2
1 3 2
5
1 3
1 2
2 5
2 2 2
5
2 3
Bảng phân phối xác suất
Vậy xác suất để trong đó chỉ có một lá cơ là P(X1) 0.6
Câu 3:
Đặt Xi là số điểm của con xúc xắc thứ i
Trang 73 36 36 36 36 36 36
Xác suất tổng số nút của 2 con xúc xắc
P 136 236 336 436 536 636 536 436 336 236 136
X 1 + X 2
X 3
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1
216
1
216
2
216
3
216
4
216
5
216
6
216
5
216
4
216
3
216
2
216 1 2
216
1
216
2
216
3
216
4
216
5
216
6
216
5
216
4
216
3
216
2
216 1 3
216
1
216
2
216
3
216
4
216
5
216
6
216
5
216
4
216
3
216
2
216 1 4
216
1
216
2
216
3
216
4
216
5
216
6
216
5
216
4
216
3
216
2
216 1 5
216
1
216
2
216
3
216
4
216
5
216
6
216
5
216
4
216
3
216
2
216 1
6 1216 2216 3216 4216 5216 6216 5216 4216 3216 2216 1216
Gọi Y số tiền A nhận được trong một lần chơi tương ứng với tổng số nút Z thảy
được
15 Z
7
7 7
Z
8 15
Z
36 0 216 20 8 216 35 7 216 161
3
Y
Vậy trò chơi không có lợi cho A
Câu 4 :
a/ Gọi Xi là xác suất lấy được 1 viên bi trắng từ hộp thứ i
Trang 8 Xác suất để lấy được 3 viên bi trắng khi lấy từu mỗi hộp 1 viên
125
6 5
3 5
2 5
1 ) X ( P )
X ( P )
X ( P ) X X
X
(
Xác suất để lấy được 1 viên bi trắng của hộp thứ nhất khi trong 3 viên lấy ra chỉ có 1 viên bi trắng
125
6 5
2 5
3 5
1 ) X ( P )
X ( P )
X ( P ) X X
X
(
b/ Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra ngẫu nhiên ra 3 bi (lấy không hoàn lại) Gọi Xi là xác suất 3 viên bi trắng từ hộp thứ i
30
1 10
1 3
1 C
C 3
1 ) X ( P 3
1
5
3 3
c/
Gọi Xi là xác suất lấy được viên bi trắng từ hộp thứ i
X là xác suất lấy được 3 viên bi trắng bằng cách lấy mỗi hộp 1 viên
125
6 5
3 5
2 5
1 ) X X X ( P
)
3
X
(
P
125
37 5
3 5
2 5
4 5
3 5
3
5
1
5
2
5
2
5
1
) X X X ( P ) X X X ( P ) X X X ( P
)
2
X
(
P
125
58 5
3 5
3 5
4 5
3 5
2
5
4
5
2
5
3
5
1
) X X X ( P ) X X X ( P ) X X X ( P
)
1
X
(
P
125
24 5
2 5
3 5
4 ) X ( P ) X ( P ) X ( P ) X X X ( P
)
0
X
(
P
3 2 1
3 2 1 3
2 1 3
2 1
3 2 1 3
2 1 3
2 1
3 2 1 3
2 1
Gọi Y là số tiền mà một người nhận được trong một lần chơi
P
125
24
125
58
125
37
125 6
P
125
24
125
58
125
37
125 6
Trang 9112 0 125 125
125 125
125 )
Y
(
Vậy trong trò chơi này trung bình một ván người này thu – 0.112 đồng người này
bị lỗ
Câu 5 :
Gọi X là số phát súng bắn trúng bia
Dùng công thức phương pháp nhị thức
k 25 k k
25.0,7 0,3 C
)
k
X
(
Cho k chạy từ 0 25 thì ở giá trị k = 18 thì PX đạt giá trị lớn nhất
Pmax = P(max = 18) = 0,17
Vậy số lần có khả năng bắn trúng nhất là 18 phát
Câu 6 :
Gọi X là số lần ngày 1/5 mưa trong 40 năm
k 40 k k
40
)
k
X
(
7
6 7
1 C
P
Cho k chạy từ 0 40 Với k = 6 thì P(X) đạt giá trị lớn nhất Vậy số ngày chắn chắc nhất có mưa vào ngày 1/5 ở thành phố trong 40 năm là 6 ngày
Câu 7 :
Gọi X là số phát bắn trúng bia trong 3 lần bắn
Xi là lần thứ i bắn trúng bia
027 , 0 3 , 0 3 , 0 3 , 0 ) X X X
(
P
P
189 , 0 3 , 0 3 , 0 7 , 0 3 , 0 7 , 0 3 , 0 7
,
0
3
,
0
3
,
0
) X X X ( P ) X X X ( P ) X X X
(
P
P
441 , 0 3 , 0 7 , 0 7 , 0 7 , 0 3 , 0 7 , 0 7
,
0
7
,
0
3
,
0
) X X X ( P ) X X X ( P ) X X X
(
P
P
343 , 0 7 , 0 7 , 0 7 , 0 ) X X X
(
P
P
3 2 1 )
3
X
(
3 2 1 3
2 1 3
2 1 )
2
X
(
3 2 1 3
2 1 3
2 1 )
1
X
(
3 2 1 )
0
X
(
Mod(X) = P(X=1) = 0,441
Câu 8 :
Gọi X là tổng số được viết trên 2 viên bi lấy ra
Trang 10X 3 4 5 6 7 8 9
P 110
10
1
10
2
10
2
10
2
10
1
10 1
X 1
X 2 1 2 3 4 5
10
1
10 1
10 1
Kỳ vọng M(X) :
6 10
1 9 10
1 8 10
2 7 10
2 6 10
2 5 10
1 4 10
1 3
)
X
(
Câu 9 :
Gọi X là số điểm của con xúc xắc
P 16
6 1
6 1
6 1
6 1
6 1
Kỳ vọng M(X) :
5 3 6
1 6 6
1 5 6
1 4 6
1 3 6
1 2 6
1
1
)
X
(
Câu 10 :
Gọi X là số điểm của con xúc xắc
P 16
6 1
6 1
6 1
6 1
6 1
5 3 6
1 6 6
1 5 6
1 4 6
1 3 6
1 2 6
1
1
)
X
(
2 15 6
1 6 6
1 5 6
1 4 6
1 3 6
1 2 6
1
1
)
X
(
Phương sai D(X) = 15.2 – 3.52 = 2.95
Câu 11 :
Trang 11X 0 1 2 3
P 16
2 1
10 3
30 1
Kỳ vọng M(X)
2 1 30
1 3 10
3 2 2
1
)
X
(
Câu 12:
Gọi X là số sản phẩm tốt lấy được
P 435
35 18
35 12
35 1
49 0 7
16 7
40
)
X
(
D
7
40 35
1 4 35
12 3 35
18 2 35
4
)
X
(
M
7
16 35
4 35
12 3 35
18 2 35
4
)
X
(
M
2
2 2
2 2
Câu 13:
Gọi X là số người bị viêm họng
Y là số người bị viêm họng
_ P(Y) P(X Y) P(X Y) P(X).P( ) P(X)P(YX) 0,3.0,6 0,7.0,3 0,39
X
46 , 0 39 , 0
6 , 0 3 , 0 )
Y ( P
) X ( P ) ( P ) Y (
P
) Y X
(
P
)
(
Y
_
61 , 0 7 , 0 7 , 0 4 , 0 3 , 0 ) ( P ) X ( P ) ( P )
X ( P ) Y X ( P ) Y X
(
P
)
Y
(
X
2 , 0 61 , 0
3 , 0 4 , 0 )
Y ( P
) X ( P ) ( P ) Y ( P
) Y X
(
P
)
(
Y
Câu 14 :
a/ Gọi X là số câu thí sinh trả lời đúng
Trang 12(X 0) (X 1) (X 2) 0,0563 0,1877 0,2816 0,5256
P
2816 , 0 75 , 0 25 , 0 C
)
2
X
(
P
1877 , 0 75 , 0 25 , 0 C
)
1
X
(
P
0563 , 0 75 , 0 25 , 0 C
)
0
X
(
P
8 2 2
10
9 1 1
10
10 0
0 10
b/ Gọi X là số câu thí sinh trả lời đúng
Y : 3 câu trả lời đúng
173 0 75 0 25 0 C )
X
(
P
311 0 75 0 25 0 C )
X
(
P
4 3 3 7 Y
6
2 2 2 7 Y
5
Xác suất thí sinh trả lời được 5 hoặc 6 điểm khi trả lời đúng 3 câu đầu (3 điểm) là :
P = 0.311 + 0.173 = 0.484
Câu 15 :
Gọi X là số bóng 110V lấy được
C
C C )
3
X
(
10000
7 6000
3
C
C )
0
X
(
10000
10
6000
Xác suất để lấy được ít nhất 1 bóng là :
P = 1 – P(X=0) = 1 – 0.006 = 0.994
Câu 16 :
Gọi X là số phế phẩm có trong 1000 sản phẩm
Xác suất để có 1 phế phẩm :
034 0
! 1
5 e
)
1
X
(
P
1 5
Xác suất để có không quá 2 phế phẩm :
125 0 084 0 034
0
007
0
! 2
5 e
! 1
5 e
!
0
5
e
) 2 X ( P ) 1 X ( P )
0
X
(
P
P
2 5 1 5 0
5
! k
5 e )
X
(
0 k
k 5
Vậy số phế phẩm trung bình khi suất xưởng 1000 phế phẩm là 5 phế phẩm
Câu 17 :
Trang 13
0
1 y , x 0 , 1 y
,
x
fX,Y
Đặt
2
1 J ) v u ( 2
1 y
) v u ( 2
1 x y x
v
y x
u
Hàm mật độ đồng thời trong hệ toạ độ mới là :
0
2 v u
0
2 v u
0
,
2
1
2
1 ) v u ( 2
1 ), v u ( 2
1 f
)
v
,
u
(
fU,V X,Y
Hàm mật độ U = X + Y (fU(u))
Xét u 2 fU(u)0
2 u 1 , u 2
1 u 0 , u
2 u , 0
)
u
(
f
v 2 dv 2
1 )
u ( f
2
u
1
u dv 2
1 ) u ( f
1
u
0
U
2 u 2 u U
u u U
Hàm mật độ V = X – Y (fV(v))
Xét v 0 fV(v)0
1 v du 2
1 )
v ( f
1
v
0
1 v du 2
1 )
v ( f 0
v
1
2 v v V
2 v v V
1 v 0 , 1 v
0 v 1 , 1 v
0 v , 0 )
v
(
fV
Câu 18 :
a/
Trang 14Tìm k, với 0 < x < 1 ; 0 < y < 1 (trong hình vuông)
1
0
1
0
Y
,
X (x,y)dxdy 1
f
4
k
1 4
k ydy xdx
k kxydxdy
1 0
1 0
1 0
1 0
1
0
1
0
b/
Đặt
1 u
v 0
1 u 0 xy
v
x
Với 0 < x < 1, 0 < y < 1
u 2
1 x 2 1 x y
0 x 2 1 '
v
'
v
'
u
'
u
1
) y ( )
x
(
) y ( )
x
(
0
u 2
v 4 )
v
,
u
(
1 u
v 0
1 u 0
Hàm mật độ của U = x2 (fU(u))
u 0
u 2
v 4 )
u ( f 1
u
0
1 )
x
(
fU 0 < u < 1
Hàm mật độ của V = XY (fV(v)
Xét 0 < v < 1 du 4vlnv
u 2
v 4 ) v ( f
1 v
V
2
0
v ln 4 )
v
(
fV 0 < v < 1
Câu 19 : Trùng câu 18
Câu 20 :
a/ Tìm k
0
2 , x 0 , 1 y 0 , 1 x 0 , z kxy
z
,
y
,
x
Trang 15Ta có : 1 kxy zdxdydz
D
1 dz dy zdx xy
k
2
0
1
0
1
0
3
k
1
k
3
1
1 zdz
3
1
k
2
1
1 dz dy y
2
1
k
2
0
2
0
1
0
2
b/
512
21 xdx
16
21
dy xy dx
2
9
zdz xy dy dx 3 ) 2 Z 1 , Y 2
1 ,
4
1
X
(
P
4
1
0
1
2
1
2 4
1
0
2 1 2 1
2 1
4 1
0
Câu 21 :
Gam 200-210 210-220 220-230 230-240 240-250 250-260 260-270
Ta viết lại
239 100
9 265 12 255 25 245 30 235 14 225 8 215
2
205
Vậy lượng mũ trung bình 1 cây cho trong từng ngày là 239 (g)
b/
Độ biến động của lượng mũ
k
1 i
2 2
i i
1
n
1
S
Với nixi2 = 20200
Trang 1604 , 204 20200
1
100
1
c/
Tỉ lệ cây loại II
% 10 100
10
f
P n tức tỉ lệ cây loại II xấp xỉ bằng 10%
Câu 22 :
a/
H : p = 20 %
5758 , 2 t
01
,
0
%
20
p
:
H
Trong đó p là tỉ lệ sản phẩm loại A của máy sau khi áp dụng phương pháp sản xuất mới
Theo số liệu ở bảng trên thì tỉ lệ sản phẩm loại A của mẫu là :
5375 , 0 400
215 400
1 9 5 8 4 7 10 6 8 5 6 4 4
3
2
1
) 2 , 0 1 (
2 , 0
400 2 , 0 5375
,
0
Vậy ta bát bỏ giả thiết H : p = 20% và chấp nhận giả thiết H : p 20%
Nhưng do : 0,5375 > 0,2 nên ta kết luận phương pháp sản xuất mới là tăng tỉ lệ sản phẩm loại A
b/
Y = 99% t(n 1)3,2498
8631 , 1 S
,
375
,
5
Vì n = 10 < 30
n
S ) 1 n ( t
x
915
,
1
375
,
5
10
8631 , 1 2498
,
3
375
,
5
Vậy khoảng trung bình (3,46 ; 7,29)