Tổng của các đại lượng ngẫu nhiên độc lập

Trong lý thuyết xác suất, tổng của các đại lợng ngẫu nhiên độc lập đóng một vai trò quan trọng.. Sự hội tụ của tổng các đại lợng ngẫu nhiên đóng vai trò then chốt trong Luật số lớn và mộ

Mục lục Trang

Phần 3: Một số mệnh đề về tổng các đại lợng ngẫu 23

nhiên độc lập

Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31

Lời mở đầu

Trong lý thuyết xác suất, tổng của các đại lợng ngẫu nhiên độc lập đóng một vai trò quan trọng Sự hội tụ của tổng các đại lợng ngẫu nhiên đóng vai trò then chốt trong Luật số lớn và một số vấn đề khác Mục đích của khoá luận này là

nghiên cứu các vấn đề xung quanh tổng của các đại lợng ngẫu nhiên độc lập, từ đó

áp dụng vào chứng minh một số mệnh đề liên quan đến sự hội tụ của tổng đó

Khoá luận bao gồm 3 phần:

Phần 3: Một số mệnh đề về tổng của các đại lợng ngẫu nhiên độc lập

ở phần này chúng tôi đa ra một số mệnh đề về sự hội tụ của chuõi các đại lợng ngẫu nhiên độc lập và cách chứng minh chúng

Khoá luận này đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh vào tháng 5 năm 2007 dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin gửi lời cảm

ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn, ngời đã tận tình chỉ bảo cho tác giả hoàn hoàn thành khoá luận này Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Toán của trờng Đại học Vinh cùng các thầy cô trong tổ xác suất nói riêng, các thầy cô giáo giảng dạy tại khoaToán nói chung và gia đình, bạn bè đã giúp đỡ tác giả trong suốt khoá học cũng nh trong thời gian thực hiện khoá luận này

Do còn hạn chế về năng lực và khả năng tự nghiên cứu của bản thân nên khoá luận không thể tránh khỏi những thiếu xót, kính mong đợc sự góp ý của quý thầy cô và bạn bè để khoá luận đạt đợc kết quả tốt hơn

Vinh, tháng 5 năm 2007

Tác giả

Phần 1

Những kiến thức cơ sở

1.1 Định nghĩa Giả sử Ω ≠ φ, P (Ω) là họ tất cả các tập con của Ω Khi đó F

⊂ P (Ω) gọi là σ - đại số nếu:

1.2 Định nghĩa Giả sử Ω ≠φ, F là một σ - đại số các tập con của Ω

Ánh xạ P: F →R gọi là một độ đo xác suất trên F nếu :

A P

1.3.Định nghĩa Giả sử Ω ≠φ, F là một σ -đại số các tập con của Ω và

P: F →R là độ đo xác suất Khi đó bộ ba (Ω, F, P) gọi là một không

gian xác suất

1.4 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất B(R) là σ -đại

số Borel trên R Khi đó ánh xạ X: Ω→R đợc gọi là một đại lợng ngẫu

nhiên (ĐLNN) nếu X − 1( B ) ∈ F, với mọi B ∈ B( R )

1.5 Định nghĩa Hai biến cố A, B gọi là độc lập nếu P(AB)=P(A)P(B)

1.6.Định nghĩa Họ hữu hạn các biến cố A1,A2, ,A… n gọi là độc lập (toàn cục)

nếu với mọi 2≤k≤n và mọi bộ k chỉ số 1≤i1< <i… k ≤n ta có

)

()

()

()

(

2

1 2

1.7 Định nghĩa Họ các σ -đại số (F i)i∈I ⊂ F gọi là độc lập (độc lập đôi một)

nếu với mọi A i∈ Fi thì ( ) Ai i I

∈ là họ biến cố độc lập (độc lập đôi một)

Họ ĐLNN ( ) Xi i∈I gọi là độc lập nếu họ σ -đại số ( F X i )i∈I độc lập.

1.8.Định nghĩa: Giả sử dãy (Xn) là dãy ĐLNN xác định trên (Ω , F, P)

Ta nói (Xn) hội tụ hầu chắc chắn về ĐLNN X nếu: P{ω:X n( )ω → X( )ω }=1,

(sup ≥− ∞→→

n XX

1.12 Định nghĩa Dãy (Xn ) gọi là hội tụ theo trung bình cấp r (r >0) đến ĐLNN

X, kí hiệu XnL→r X nếu : EX n − X r → (0 n ∞→ )

1.13 Định nghĩa Giả sử Xn có hàm phân phối Fn(x) , X có hàm phân phối F(x)

và C(F) là tập tất cả x ∈R mà tại đó F(x) liên tục Khi đó, nếu F n( )x F( )x

nlim→ ∞ =

với mọi x∈C (F)thì ta nói Xn hội tụ theo phân phối đến X, kí hiệu Xn→D X

1.14 Định nghĩa Dãy ĐLNN (Xn ) gọi là dãy Cauchy h.c.c nếu với mọi ε > 0 thì

0)

( ,

≤ ε

A A

1.20 Tiªu chuÈn Cauchy vÒ sù héi tô h.c.c.

D·y (Xn) héi tô h.c.c khi vµ chØ khi d·y( Xn) c¬ b¶n h.c.c

1.21.Tiªu chuÈn Cauchy vÒ sù héi tô theo x¸c suÊt.

D·y (Xn) héi tô theo x¸c suÊt khi vµ chØ khi nã c¬ b¶n theo x¸c suÊt

1.22.HÖ qu¶ (§Þnh lý lebesgue vÒ héi tô bÞ chÆn)

=+∫∞∞

−

) ( ) (x d x xp

EX

g) Nếu X và Y là hai ĐLNN độc lập thì : EXY=EX.EY

Tổng quát: Nếu (Xn ) là dãy ĐLNN độc lập thì với mọi số tự nhiên n >1 ta có E(X1.X2….Xn)=EX1.EX2 EXn

1.25 Định nghĩa: Hàm số ϕx(t)=EeitX=E(cost X+isintX), t∈Rđợc gọi là hàm

đặc trng của ĐLNN X

Phần 2 Một số bất đẳng thức cơ bản và sự hội tụ của

tổng các đại lợng ngẫu nhiên độc lập

2.1 Các bất đẳng thức cơ bản

Giả sử (Xn) là dãy các đại lợng ngẫu nhiên (ĐLNN), ta ký hiệu Sn là tổng của

a)Với mọi ε > 0:

2

k k

n 1 k n

k 1

DX )

S (max P

ε

≤ ε

≤

≤

c S

n k

n k

1

2

1 )

2 n

n 1 k

2 n

2 k k

n S S ) I

S(E

k

k k

k k

k

A

k n A A

A

2 k n

k n A k A

2 k A

2 k n

I.

ES

) S S ( I.

ES 2 I.

ES )

S S ( E

S ( 2 I.

S I.

) S S ( E

n 1 k

2 k

n 1

2 k

n 1 k

I

S I

=ε

=ε

n 1 k

n

1

k

n 1 k

2 k

2 n

n

)A(P)A(P)

I(EEI

IEI

ESES

DX

2 k

2 A

2 A

2

A

2 A

n

1 k 1

k k

k k

Suy ra

2

1)(

P

hay

2

n 1

DX )

S n k 1

(max P

=ESn2- ε 2 + ε 2 P ( A ) (1)Trªn Ak ta cã:

S k−1 < ε ; Sk ≤ Sk−1 + Xk ≤ ε + c

nªn ESn2IA=ES n2∑= = ∑n=

1 k

2 n

n 1 k

) I S ( E I

c ( ) A ( P

) A ( P DS ) A ( P ) c (

) A ( P DS ) A ( P ) c (

I ) S S ( E I

ES

I ) S S S ( E

n 1 k 2 n 2

n 1 k n

n 1 k 2

n 1 k

n 1 k

2 k n

2 k

n 1

k

k k

k k

k

A A

A

2 n

ε

=

+ +

ε

≤

− +

2

2 n

1

DX )c

( ) A (P ) A (P

=

+ +ε

≤ ε+

1

DX )c()A(

P ES

Suy ra

−

=+

−+

DX

c DX

c

c

DX c

DX DX

c

ES A

P

k k

1

2

1

2 2

2

1

2 2

2

2 2

2 2

)(1)

(

)(1

)()

ε

ε

εε

εε

−

≥ ε

DX

) c ( 1 ) S (max P

n k

m k

DX )

S S (max

P

m k

n

S P(sup

m 1

DX

DY áp dụng định lý Kolmogorov cho (Ym) ta đợc

DY ε)

S S

max

P(

m k 1

SS max P(

DX DX

DX SS

A P AB

P B P

1 1

) ( 2

1 ) ( )

( )

2

1

A P

2 ) max

n S

B B

Ak k

Với mọi k (k=1 n, ) cặp (Ak ,Bk) độc lập và P(Bk) ≥21(suy từ (3))

2 max

2.1.3.2 Định lý Giả sử (Xn) là dãy các ĐLNN độc lập với mọi ε : > 0; 0 < α < 1 có

bất đẳng thức: − αε<≥

−≤≤

) 1 1

n S k B

a S

a S

a S

k A

a S

a S

A a S

A

k

k k

, 1 );

);

; (

);

(

1

2 1

2 1

<

= +

ε

ε ε

ε

1

j i j i

=

∑

Ak và Bk độc lập với mọi k và P(Bk) ≥ 1 − α (suy ra từ (4))

n 1

k AkBk(

P ) B ( P

= α

1 ( n

=

1

1 ) (A P B P

(1

1)(max

≥

≤

≤

a a S P a

Giả sử X là ĐLNN bất kỳ X’ là ĐLNN độc lập và cùng phân phối với X thì

X*=X-X’ đợc gọi là đối xứng hoá của X

Tổng quát: Nếu {Xn, n ≥ 1} là dãy các ĐLNN độc lập thì {X n*,n≥ 1} là đối xứng hoá của {X n,n≥ 1}

Hàm đặc trng của X*: 2

) t ( x f ) t (

2 ) (

) (

2 a X ( P 2 ) 2 a X ( P ) 2 a X ( P ) X (

P * ≥ε ≤ − ≥ε + ' − ≥ε ≤ − ≥ε

(do X và X’ độc lập cùng phân phối)

Vậy ii) đợc chứng minh, do đó bất đẳng thức b) đợc chứng minh

2.2 Sự hội tụ của tổng các đại lợng ngẫu nhiên độc lập

2.2.1 Định lý Giả sử (X n) là dãy các ĐLNN độc lập Khi đó n∑∞=1X n hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) khi và chỉ khi nó hội tụ theo xác suất

2 (

2 ) (

) )(

( ) (

2 1

*

*

ii a

X P X

P

i X

P mX

X P

ε ε

ε ε

Điều kiện cần: Giả sử ∑∞=

1

1 ) 2

max

n k m

S S P

S S

Nh vậy (Sn) là dãy cơ bản h.c.c nên (Sn) hội tụ h.c.c

2.2.2 Hội tụ trung bình

2.2.2.1 Định lý Nếu ( X n,n≥1)là dãy ĐLNN độc lập và hai chuỗi sau đây hội

Ta cos : 0( )

1 1

m

n

DX DX

S S

E m n

suy ra SSE nm 2 →− 0 (khi m> n→ ∞ )

VËy (Sn) Cauchy trong L2, suy ra (Sn) héi tô trong L2 hay n∑∞=1X n héi tô trung b×nh cÊp 2

P(S m −S n > ε)≤P( m SS n ε≥− )≤ 2 0

2

→

− ε

n

S E

S k

S S

= 1

n X n héi tô h.c.c b) NÕu P ( Xn ≤ c ) = 1 ∀ n vµ n∑∞=1X n héi tô h.c.c th×

Giả sử (Xn) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó ∑∞

= 1

n X n hội tụ h.c.c khi và chỉ khi 3 chuỗi :

∑∞= >

1

) (

c X

P ; ∑∞=1 ( )

n

c n

DX ; và ∑∞=1 ( )

n

c n

c X

P ; ∑∞=1 ( )

n

c n

DX và ∑∞

= 1

) (

n

c n

X hội tụ Theo tiêu chuẩn 2 chuỗi, suy ra

2 chuỗi ∑∞=1 ( )

n

c n

DX và ∑∞

= 1

) (

n

c n

n

c n

EX và ∑∞

= 1

) (

n

c n

n

c n

DX và ∑∞

= 1

) (

n

c n

EX hội tụ, suy ra n∑∞=1 c

n

) (

X hội tụ (Theo tiêu chuẩn 2 chuỗi) (13)

Chuỗi ∑∞=1 ( > ) < ∞

c X

1

) (

(

n

c n

Mệnh đề 3.1 Giả sử (X n ) là dãy ĐLNN Khi đó :

a) Nếu chuỗi ∑n∞=1X n hội tụ h.c.c thì

k k n m

n k

suy ra sup  → 0

≥

= X P Y

k n k n

b) Giả sử chuỗi ∑n∞=1X n hội tụ h.c.c, suy ra (Sn) hội tụ h.c.c Do đó (Sn) là dãy Cauchy h.c.c

h.c.c (n → ∞ )

suy ra = sup ∑= → 0

≥

m n

k k

Z

n m

h.c.c suy ra Z n →P 0 (n→ ∞ )

Ngợc lại, giả sử Zn   →P 0, ta chứng minh ∑∞

= 1

n X n hội tụ h.c.c Thật vậy, từ giả thiết Zn   →P 0, suy ra

( 2

Mệnh đề 3.3: Giả sử (X n ) là dãy các ĐLNN độc lập, X n có phân phối

Poatxông Khi đó n∑∞=1X n hội tụ h.c.c nếu và chỉ nếu n∑∞=1EX n hội tụ

lim lim

Điều kiện đủ: Giả sử n∑∞=1EX n hội tụ Khi đó n∑∞=1X n hội tụ h.c.c

Thật vậy, từ giả thiết n∑∞=1EX n hội tụ ta suy ra n∑∞=1DX n hội tụ (Xn có phân phối Poatxông nên ta có EXn=DXn)

Theo tiêu chuẩn 2 chuỗi suy ra n∑∞=1X n hội tụ h.c.c

Mệnh đề 3.4 Giả sử (X n ) là dãy các ĐLNN độc lập Khi đó, nếu chuỗi ∑∞

= 1

n n X

hội tụ và có tổng h.c.c là hằng số thì mỗi hạng tử h.c.c bằng hằng số

Chứng minh

Trớc hết, ta chứng minh cho tổng của hai ĐLNN độc lập h.c.c bằng hằng số thì mỗi hạng tử h.c.c bằng hằng số

Thật vậy, giả sử X,Y là hai ĐLNN độc lập và X+Y=Z h.c.c bằng hằng số

Gọi X*,Y*, Z*là đối xứng hoá của X,Y, Z tơng ứng thì X*+Y*=Z* bằng hằng

số và Z*=0 h.c.c

Từ đó ϕX *( t ) *( t )

Y

ϕ = ϕ z*( t ) suy ra

X X

Ngợc lại, nếu chuỗi ∑∞

a , trong khi đó a n2X n2 → 0

h.c.c Do đó 2 →0

k n

X h.c.c suy ra 1 = 2 →0

k n

EX Vô lý

Vậy dãy a n2k bị chặn bởi a > 0 nên dãy a n2X n2 bị chặn bởi ac2 với xác suất 1

Theo tiêu chuẩn 2 chuỗi ta có chuỗi ∑∞=1 ( ) 2 < ∞

X a

n∑∞=1EX n hội tụ

Chứng minh.

a)Theo giả thiết chuỗi n∑∞=1EX n hội tụ, suy ra ES nhội tụ, do đóES là dãy n

Cauchy, khi đó : lim →− 0

nm suy ra SSP nm ) →>− 0( suy ra (S n) là dãy Cauchy theo xác

suất, suy ra (S n) hội tụ theo xác suất Mặt khác (S n ) là dãy tăng do đó (S n) hội

tụ h.c.c hay chuỗi n∑∞=1X nhội tụ h.c.c

b)Từ giả thiết P ( Xn > c ) = 0, n≥1 suy ra P ( Xn ≤ c ) = 1

Từ đó và chuỗi n∑∞=1X n hội tụ h.c.c, theo tiêu chuẩn 2 chuỗi, ta có chuỗi

∑∞=1

n EX n hội tụ

Mệnh đề 3.7 Giả sử (X n ) là dãy các ĐLNN độc lập, đối xứng Khi đó, nếu

∑∞=1

n X n hội tụ h.c.c thì chuỗi có đợc bằmg cách hoán vị các hạng tử của chuỗi

đã cho một cách tuỳ ý cũng hội tụ

Chứng minh.

Giả sử

) (

:

j i

N N

ϕ là song ánh bất kỳ Khi đó, nếu chuỗi n∑∞=1X n hội tụ

h.c.c thì chuỗi n∑∞=1Xϕ(n) hội tụ

Thật vậy, nếu chuỗi ∑∞

= < ∞

1

) (

n

c n

DX (với mọi c>0)

Do đó ∑∞= > < ∞

1

) ) (

(

n

c X

P ϕ n ; ∑∞= < ∞

1

) ( ) (

n

c n

DXϕ

Và ∑∞= < ∞

1

) ( ) (

n

c n

EXϕ hội tụ Vì vậy theo tiêu chuẩn 3 chuỗi ta có chuỗi n∑∞=1Xϕ(n)

hội tụ h.c.c

Mệnh đề 3.8 Giả sử (X n ) là dãy các ĐLNN độc lập, đối xứng Khi đó, chuỗi

Điều kiện cần: Giả sử ∑∞=1 2

n X n hội tụ h.c.c Khi đó, chuỗi ∑∞

X

X Y

n Y n hội tụ và các hạng tử là các ĐLNN độc lập và bị chặn đều bởi 1

Theo tiêu chuẩn 2 chuỗi, ta có chuỗi ∑∞=  + 

Do đó tồn tại tập A đo đợc, P(A) =1 sao cho với ω ∈A:

) ( 2

) ( 2

Trong khoá luận này chúng tôi đã đạt đợc một số kết quả sau :

1)Trình bày một cách hệ thống một số bất đẳng thức cơ bản có chứng minh về tổng các đại lợng ngẫu nnhiên độc lập

2) Trình bày một số định lý và hệ quả về sự hội tụ của tổng các đại lợng ngẫu nhiên

độc lập Đa ra cách chứng minh khác đối với một số định lý: hệ quả 2.1.1.2; định lý 2.2.2.1 ; hệ quả 2.2.4

3)Đa ra và chứng minh một cách chi tiết một số mệnh đề về sự hội tụ của tổng các

đại lợng ngẫu nhiên độc lập :mệnh đề3.1; mệnh đề 3.2 ;… ; mệnh đề3.8

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003) - Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục.

[2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (1983) - Cơ sở lý thuyết xác suất,

NXB đại học và Trung học chuyên nghiệp

[3] Đinh Văn Gắng(2004) - Lý thuyết xác suất và thống kê, NXB Giáo dục

[4] A.N.Kolmogorov(1956) – Foundations of the Theory of Probabilty,

Chelsea, New York