Chương 3KHÁI NIỆM VỀ HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG3.1. Hệ các pps

Nếu đại lượng Y liên hệ với đại lượng X bằng mối phụ thuộc xác suất, thì nếu biết giá trị của X cũng không thể chỉ ra chính xác giá trị của Y , mà chỉ có thể chỉ ra quy luật phân bố của

DO j=1, 13

t(j)= t(j)+(d(j)-t(j))/(n2-n1)*(n-n1)

ENDDO

ENDIF

IF (beta.LT.b(1)) THEN

j=1

ELSE IF (beta.GT.b(13)) THEN

j=12

ELSE

j=1

3 IF (beta.GE.b(j).AND.beta.LE.b(j+1)) GOTO 4

j=j+1

GOTO 3

ENDIF

4 TraB24 = t(j)+(t(j+1)-t(j))*(beta-b(j))

* /(b(j+1)-b(j))

RETURN

END

Chương 3 KHÁI NIỆM VỀ HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

VÀ ỨNG DỤNG 3.1 Hệ các đại lượng ngẫu nhiên

Trong nhiều bài toán thực tế, các kết quả thí nghiệm được mô tả bằng hai hoặc nhiều hơn đại lượng ngẫu nhiên Người ta thường biểu diễn hệ hai đại lượng ngẫu nhiên X , Y bằng một điểm ngẫu nhiên trên

mặt phẳng với tọa độ x và y (hình 3.1)

0

Y

y

x

X

Hình 3.1 Điểm ngẫu nhiên

0

(x,y) y

x

0

Hình 3.2 Góc phần tư ứng với xác

suất F ( y x, ) Xác suất cùng thực hiện hai bất đẳng thức X < và x Y < được y

gọi là hàm phân bố hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X Y):

(( ), ( ))

) (x y P X x Y y

F = < < (3.1)

Về ý nghĩa hình học thì hàm phân bố F(x y) chính là xác suất

điểm ngẫu nhiên (X Y) rơi vào góc phần tư vô cùng có đỉnh ở điểm

)

(x y , nằm ở bên trái và phía dưới điểm đó (hình 3.2)

Δy

RΔ

y

y

0

Hình 3.3 Biểu diễn miền RΔ trong mặt phẳng

Xét xác suất điểm ngẫu nhiên rơi vào hình chữ nhật nhỏ RΔ có kích

thước x Δ và yΔ ở lân cận điểm (x y) trong mặt phẳng biểu diễn điểm

ngẫu nhiên (hình 3.3) Xác suất rơi vào hình chữ nhật RΔ sẽ tính bằng

) ( ) (

) (

) (

) ,

(

y x F y y x F

y x x F y y x x F R Y X

P

+ Δ +

−

− Δ +

− Δ + Δ +

=

⊂ Δ

Chia xác suất này cho diện tích hình chữ nhật, ta sẽ được xác suất

trung bình mà điểm ngẫu nhiên rơi vào một đơn vị diện tích tại điểm

)

(x y Khi Δx→0, Δy→0, ta có

= Δ

Δ

+ Δ +

− Δ +

− Δ + Δ +

= Δ

Δ

⊂

→

Δ → Δ

Δ

→

Δ → Δ

y x

y x F y y x F y x x F y y x x F

y x

R y X

y x

y x

) , ( ) ,

( ) , (

) ,

( lim

) , ( lim

0 0

0 0

) ( ) ( )

y x f y x F y x

y x F

=

∂

∂

∂

= 2 (3.2) Hàm f(x y) gọi là mật độ phân bố của hệ Mật độ phân bố )

(x y

f thường được biểu thị bởi một mặt gọi là mặt phân bố

Khi biết mật độ phân bố, có thể tìm hàm phân bố theo công thức

∫ ∫

∞

− − ∞

= x y f x y d x d y y

x

F( , ) ( ) (3.3)

Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu như quy luật

phân bố của từng đại lượng trong chúng không phụ thuộc vào việc đại

lượng kia nhận giá trị nào Trong trường hợp ngược lại X và Y được

gọi là phụ thuộc

Mật độ phân bố của hệ các đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng tích của các mật độ phân bố của từng đại lượng trong hệ

) ( ) ( ) , (x y f x f y

f = 1 2 (3.4) Khái niệm “phụ thuộc” ở đây phải được hiểu là phụ thuộc “xác

suất”, hay phụ thuộc “ngẫu nhiên” Nếu đại lượng Y liên hệ với đại lượng X bằng mối phụ thuộc xác suất, thì nếu biết giá trị của X cũng không thể chỉ ra chính xác giá trị của Y , mà chỉ có thể chỉ ra quy luật phân bố của nó tùy thuộc vào đại lượng X nhận giá trị nào

Phụ thuộc xác suất có thể chặt chẽ nhiều hoặc ít Tùy mức độ tăng

độ chặt chẽ của phụ thuộc xác suất mà mối phụ thuộc này càng dần tới phụ thuộc hàm Phụ thuộc xác suất biểu hiện ở chỗ với sự biến đổi của

đại lượng X , đại lượng Y có xu thế cũng biến đổi (thí dụ, tăng hoặc

giảm khi tăng X ) Xu thế này chỉ được bảo tồn “về trung bình”, ở những

nét tổng quát và trong từng trường hợp riêng lẻ có thể có ngoại lệ

3.2 Các đặc trưng số của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên Mô

men tương quan Hệ số tương quan

Mô men gốc bậc k ,s của hệ (X Y):

[ k ý]

s

k =M X Y

α (3.5)

Mô men tâm bậc k ,s:

[ k s]

s

k =M X && Y

μ , (3.6)

ở đây X& = X−m x, Y& −Y −m y

Những mô men gốc bậc một chính là những kỳ vọng toán học của

Y

X , :

[X Y ] [ ]X

0 1

[X Y ] [ ]Y

1

Có hai mô men tâm bậc hai có ý nghĩa quan trọng là phương sai của

các đại lượng X, Y:

[ ] [ ]M D[ ]

0

2 & & &

[ ] [ ]M D[ ]

2

0 & & &

Mô men tâm hỗn hợp bậc hai

] [

M X &&Y

=

1

μ

có vai trò đặc biệt được ký hiệu là K y và gọi là mô men tương quan

(mô men liên hệ) của các đại lượng X , Y:

)]

( [(

M ] [

K = & & = − − (3.7) Công thức tính K y:

− Đối với các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:

j

i j

y j x i

K =∑ ∑( − ( − , (3.8)

− Đối với các đại lượng ngẫu nhiên liên tục:

∫ ∫

∞

∞

−

∞

∞

−

−

−

= x m y m f x y d x d y

K y ( x ( y) ( , (3.9)

Mô men tương quan là đặc trưng của hệ, ngoài mô tả sự tản mạn của các đại lượng X, Y, nó còn đặc trưng cho sự liên hệ giữa các đại lượng Người ta chứng minh được rằng đối với những đại lượng ngẫu nhiên độc lập mô men tương quan bằng không Xét theo cấu trúc của công thức

(3.7), thấy rằng nếu mức độ tản mạn của một trong hai đại lượng X hay

Y mà nhỏ, thì K y sẽ có giá trị nhỏ Để đặc trưng đơn thuần về sự liên

hệ giữa các đại lượng X, Y người ta dùng hệ số tương quan:

y x

y y

K r

σ σ

= (3.10) Những đại lượng ngẫu nhiên mà K y hay r y bằng 0 được gọi là những đại lượng không tương quan

Hệ số tương quan đặc trưng không phải cho sự phụ thuộc bất kỳ mà

chỉ cho sự phụ thuộc tuyến tính

Công thức ước lượng các đặc trưng số của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên có dạng sau:

n

x m

n i i x

∑

=

= 1

~ ;

n

y m

n i i y

∑

=

= 1

1

2

−

−

= ∑

=

n

m x

x i x

)

~ (

1

1

2

−

−

= ∑

=

n

m y

y i y

)

~ (

1

1

−

−

−

= ∑

=

n

m y m x K

n i

y i x i y

)

~ (

~ (

~ (3.11)

Đối với trường hợp xử lý những quan trắc về một hệ m đại lượng

ngẫu nhiên

) ., (X1 X2 X m

người ta cũng thực hiện những tính toán tương tự Giả sử có n quan trắc,

kết quả quan trắc viết dưới dạng bảng số: mỗi dòng chứa m giá trị của

các đại lượng ngẫu nhiên X1 X2 ,X m trong một lần quan trắc, bảng

này sẽ gồm n dòng:

1 x11 x21 x 1 x m1

2 x12 x22 x 2 x m2

Ước lượng của các kỳ vọng toán học được tìm như là các trung bình

số học:

) ., (

n

x m

n i i k

x k = ∑1 =1 2

Ước lượng không chệch của các phương sai:

1

1

2

−

−

= ∑

=

n

m x D

n i

x i k k

k)

~ (

Ước lượng của các mô men tương quan:

1

1

−

−

−

= ∑

=

n

m x m x K

n i

x i x i k l

k

l

k)( ~ )

~ (

Từ những giá trị của các mô men tương quan, xác định những giá trị của các mô men tương quan chuẩn hóa:

l k

l k l k

K r

σ

σ~ ~

~

~ = ,

trong đó σ~k = D~k, σ~l = D~l Các mô men tương quan hay các mô men tương quan chuẩn hóa của

hệ các đại lượng ngẫu nhiên thường được viết thành dạng ma trận tương quan:

~

mm

m m j

K

K K

K K

K

1 12

11

hay ma trận tương quan chuẩn hóa:

~

mm

m m j

r

r r

r r

r

1 12

11

Do tính chất đối xứng, các ma trận chỉ cần điền một nửa Ở đường

chéo chính của ma trận tương quan là các phương sai của các đại lượng

m

X

X

X1 2 , , tức

m

K D

K D

K~11 = ~1; ~22 = ~2; ~ = ~

Ma trận tương quan thường được dùng để nghiên cứu sự phụ thuộc

tuyến tính giữa các đại lượng ngẫu nhiên trong hệ các đại lượng được

quan trắc

Thí dụ 3.1: Tính ma trận tương quan đối với bảng giá trị ngày của

nhiệt độ nước biển Tw, nhiệt độ không khí Ta, độ ẩm tuyệt đối H, độ

ẩm tương đối Hr và khí áp Pa quan trắc trong năm 1980 ở Hòn Dấu

Ta ghi bảng số liệu quan trắc dưới dạng:

1 22,2 22,2 23,9 89 1013,2

2 22,4 22,1 24,2 91 1013,6

3 22,4 21,5 23,5 92 1014,2

4 21,8 20,6 21,3 88 1018,1

5 21,0 16,4 14,3 77 1020,9

6 20,5 17,7 15,6 77 1020,5

7 19,0 15,3 11,4 66 1023,7

8 18,8 16,4 12,8 68 1020,4

9 19,1 17,0 15,2 78 1019,5

10 19,4 18,4 17,2 82 1015,3

366

Kết quả tính các phần tử nửa trên bên phải của ma trận các mô men

tương quan chuẩn hóa được ghi thành bảng như sau:

Tw 1,00 0,96 0,88 0,04 -0,75

Ta 1,00 0,93 0,12 -0,80

Trong khí tượng thủy văn, bảng này thường được gọi là ma trận tương quan, nó thể hiện sự liên hệ thống kê với nhau của các yếu tố quan

trắc Mỗi phần tử của ma trận này gọi là hệ số tương quan giữa hai yếu tố quan trắc cùng hàng và cùng cột Các hệ số tương quan có giá trị tuyệt đối lớn thể hiện sự liên hệ chặt chẽ về mặt thống kê, hệ số nhỏ thể hiện sự liên hệ yếu

Từ ma trận tương quan của trạm Hòn Dấu, thấy rằng nhiệt độ nước biển liên hệ chặt chẽ nhất với nhiệt độ không khí, sau đó với độ ẩm tuyệt đối và cuối cùng với khí áp, trong đó liên hệ giữa nhiệt độ nước và khí áp

là liên hệ nghịch, thể hiện bởi hệ số tương quan mang dấu âm (-0,75) Giữa nhiệt độ nước biển với độ ẩm tương đối hầu như không có liên hệ, biểu hiện ở hệ số tương quan rất nhỏ (0,04) Nhiệt độ không khí và áp suất khí quyển liên hệ với nhau bằng mối phụ thuộc nghịch khá chặt chẽ Nhiệt độ không khí thường cao khi áp thấp quan trắc thấy trên vùng biển

3.3 Phép là trơn các mối phụ thuộc thực nghiệm bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất

Giả sử ta có bảng các số liệu thực nghiệm, trong đó ghi các giá trị của đại lượng biến số x và các giá trị tương ứng của đại lượng phụ i

thuộc vào nó y i Từ những suy luận nào đó về bản chất của hiện tượng hoặc theo hình dạng bề ngoài, chúng ta có thể chọn dạng phụ thuộc tổng

quát y=ϕ( x) cho mối phụ thuộc giữa y và x Hàm y=ϕ x( ) phụ

thuộc vào một số tham số a , c b , , Chính những tham số này cần được

xác định để sao cho tổng các bình phương độ lệch của y i khỏi ϕ(x i)

cực tiểu

Có thể viết hàm y=ϕ x( ) rõ hơn dưới dạng

) (x a b c

y =ϕ (3.12) Cần chọn a b c sao cho thỏa mãn điều kiện sau

min .)]

( [

∑

=

2 1

c b a x y

n i

i

i ϕ (3.13)

Từ (3.13) suy ra hệ phương trình:

)]

( [

)]

( [

)]

( [

0 0 0

1 1 1

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∑

∑

∑

=

=

=

i

n

i

i i

i

n

i

i i

i

n

i

i i

c c

b a x y

b c

b a x y

a c

b a x y

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

(3.14)

Hệ (3.14) có số phương trình đúng bằng số tham số cần xác định

Không thể giải hệ (3.14) ở dạng tổng quát, mà phải cho trước dạng cụ thể

của hàm ϕ

1 Trường hợp y=ϕ(x a b)= a x+b (tức dạng phụ thuộc

tuyến tính) ta có:

x

∂

∂ϕ

; i

i

x

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

ϕ

;

1

=

∂

∂

b

ϕ

; ⎟ =1

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

i

b

ϕ

Thế các biểu thức trên đây vào (3.14) ta được hệ hai phương trình để

xác định a và b:

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

−

= +

−

∑

∑

=

=

n i

i i

n i

i i

i

b x a y

x b x a y

1

1

0

0

)]

( [

)]

( [

hay

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

−

−

=

−

−

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

0

0

1 1

1 1

2 1

n x a y

x b x a y x

n

i i

n

i i

n

i i

n

i i

n

⇒

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

−

−

=

−

−

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

0

0

1 1

1 1

2 1

b n

x a n y

n

x b n

x a n

y x

n

i i

n

i i

n

i i

n

i i

n

i i i

Các tổng trong những phương trình trên chính là những mô men thống kê khác nhau, do đó ta viết hệ thành:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

−

−

=

−

− 0

0 ]

, [

*

*

*

* 2

* 1 , 1

b m a m

bm a

Y X

x y

x

α α

Tìm b từ phương trình thứ hai và thế vào phương trình thứ nhất:

*

*

x

y a m m

0 ) (

] [ ]

,

2

* 1 ,

* 2

*

* 2

*

*

* 1 , 1

) ( ] [

] , [

x

y x

y x

D

K m

X

m m Y X

−

−

=

α

α

Vậy

*

x

y

D

K

a= ; * *

x

y a m m

b= − (3.15) hay

*

*

*

x

y

r a

σ

σ

= , * *

x

y a m m

b= − (3.16) Phương trình tuyến tính y=ϕ( x)=a x+b có dạng

*

*

*

*

*

*

x x

y y

x

y

m D

K m x D

K

hay

)

*

*

*

x x

y

D

K m

2 Trường hợp y =a x2 +b x+c (dạng phụ thuộc parabôn):

Hệ phương trình để xác định các hệ số a b c như sau:

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

= +

+

= +

+

= +

+

]

, [ ]

[ ] [ ]

[

];

, [ ]

[ ] [ ]

[

];

, [ ]

[ ] [ ]

[

* ,

*

*

*

* ,

*

*

*

* ,

*

*

*

Y X c

X b

X a

X

Y X c

X b

X a

X

Y X c

X b

X a

X

1 0

1 2

1 1

2 3

1 2

3 4

α α

α α

α α

α α

α α

α α

(3.17)

Lưu ý quy luật tạo thành những hệ số trong các phương trình (3.17)

như sau: ở vế trái chỉ có các mô men thống kê của đại lượng X theo thứ

tự bậc giảm dần; ở vế phải có các mô men của hệ (X Y), trong đó bậc

của mô men theo X giảm từ phương trình này tới phương trình khác, còn bậc theo Y luôn giữ nguyên là bậc một

Các hệ số của parabôn bậc bất kỳ cũng được xác định bằng những phương trình có cấu trúc tương tự

3 Trường hợp y=ϕ(x a1 a2 ,a k) là tổng của các hàm cho trước bất kỳ ϕ1(x),ϕ2(x), ,ϕk(x) với các hệ số a1 a2 ,a k:

∑

=

= +

+ +

i i i k

a x

a x a y

1 2

2 1

1ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) (3.18) Thí dụ:

x a

x a

x a

x a

a a a a

hay

x x

x

e a e a e a a a a

ϕ 1 2 3 = 1 + 2 + 3

Hệ phương trình để tính các hệ số a1 a2 a k trong trường hợp tổng quát (3.18) có dạng

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

= +

+ +

=

= +

+ +

=

= +

+ +

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

n i

i k i

n i i k k n

i

i k i n

i

i k

i

n

i i i

n i

i i k k n

i i n

i

i i

n i

i i

n i

i i k k n

i

i i n

i

i

x y

x a

x x a x x

a

x y

x x a

x a

x x

a

x y

x x a

x x a x

a

1

1

2

1 2 2

1 1

1

1 2

1

2 2 2

1 1 2

1

1 1

1 2 1 2

1

2

1

1

).

(

)] ( [

) ( ) ( ) ( ) (

); (

) ( ) (

)] ( [ ) ( ) ( ; ) (

) ( ) (

) ( ) ( )]

(

[

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

(3.19)

4 Bài toán là trơn sẽ phức tạp hơn nếu trong các biểu thức của

hàm y=ϕ(x a b c ) các tham số bằng số a b c nằm dưới dạng

phi tuyến Trong trường hợp này thường người ta có được cách giải bằng

một phương pháp khá đơn giản qua thí dụ sau đây

Thí dụ: ax2

e

y= − hay y=sinax

Ta viết y=ϕ(x,a), trong đó −a hệ số cần tìm theo phương pháp

bình phương nhỏ nhất

Ta có thể đưa ra một loạt các giá trị của a và với từng a tìm tổng

các bình phương của hiệu y i và ϕ(x i,a):

∑

∑

=

−

= n

i

i

y a

1

2

)]

, ( [ )

Tổng này là một hàm phụ thuộc vào a Nếu biểu diễn sự biến thiên của

∑(a) lên đồ thị, ta sẽ tìm được giá trị thích hợp của a ứng với giá trị

∑(a) cực tiểu (hình 3.4)

) ,

( a x

y= ϕ

a

∑ )(a

∑ )(a

a

1

b

2

4

b

a

0

Hình 3.4 Khảo sát bằng đồ thị để tìm hệ số a tối ưu trong trường hợp phi tuyến

Trong hải dương học, phương pháp là trơn phụ thuộc thực nghiệm bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất thường được áp dụng khi người

ta cần tìm những biểu thức liên hệ giữa các tham số hải dương học dựa trên số liệu quan trắc Thí dụ tìm biểu thức liên hệ giữa hệ số nhớt của nước với nhiệt độ, độ muối của nước biển; tìm công thức tính tốc độ truyền âm trong biển theo nhiệt độ, độ muối và áp suất khi những liên hệ này khó rút ra bằng lập luận lý thuyết Bài toán là trơn cũng hay được sử dụng để lập biểu thức khôi phục các giá trị quan trắc của một yếu tố nào

đó bị khuyết trong khi biết giá trị quan trắc của một yếu tố khác mà nó có liên hệ một cách rõ ràng xuất phát từ suy luận lý thuyết, lập mối liên hệ giữa yếu tố khó quan trắc với yếu tố dễ quan trắc, lập mối phụ thuộc giữa giá trị của cùng một yếu tố ở tầng sâu này với tầng sâu khác Đặc biệt, người ta hay sử dụng phương pháp là trơn thực nghiệm để thiết lập các

phương trình dự báo yếu tố hải dương học nào đó theo các yếu tố khí

tượng và hải dương khác ảnh hưởng tới nó

Thí dụ 3.2: Tìm phương trình liên hệ giữa nhiệt độ nước biển Tw và

nhiệt độ không khí Ta trên biển theo tập số liệu trung bình tháng của hai

yếu tố này tại trạm Hòn Dấu trong ba năm 1979-1981 Các số liệu được

sắp xếp trong bảng dưới đây:

Năm 1979 Năm 1980 Năm 1981 Tháng

w

1 19,9 18,2 19,7 18,0 19,6 18,2

2 20,2 19,2 17,0 15,2 19,7 18,2

3 20,6 19,6 21,3 20,7 21,6 20,9

4 23,4 22,6 23,6 22,7 25,7 25,4

5 27,9 26,4 27,9 26,9 27,9 26,2

6 29,6 28,1 30,1 28,3 30,2 28,6

7 31,0 29,8 29,8 28,7 29,8 28,8

8 29,3 28,1 29,9 28,7 30,7 29,5

9 28,9 27,4 28,8 27,3 29,8 28,3

10 27,5 25,8 28,1 25,7 26,9 24,7

11 23,7 21,9 25,7 23,9 23,6 21,5

12 21,1 20,4 21,9 19,3 19,4 17,4

Ta có tổng cộng 36 cặp giá trị nhiệt độ nước và nhiệt độ không khí

tương ứng, n=36 Trên hình 3.5 biểu diễn các cặp giá trị nhiệt độ không

khí và nhiệt độ nước tương ứng thành các điểm chấm trên mặt phẳng

Ta

Tw− Các điểm tập trung trên một dải hẹp bên cạnh một đường thẳng

cho thấy có sự liên hệ tuyến tính, tỷ lệ thuận khá rõ rệt giữa hai yếu tố

nhiệt độ nước biển và nhiệt độ không khí

Hình 3.5 Đồ thị thể hiện mối liên hệ tuyến tính giữa nhiệt độ nước biển và nhiệt độ không khí trạm Hòn Dấu

Ta tuần tự tính các đại lượng trong công thức (3.16) để lập phương trình biểu diễn định lượng của mối liên hệ này:

906 , 23 36

1 36

=

j a j a

328 , 25 36

1 36

=

j w j w

285 , 4 ) (

35

1 36 1

2 ,

=

j a j a Ta

253 , 4 ) (

35

1 36 1

2 ,

=

Tw

993 , 0 ) )(

( 35

1 36

*

=

x

985 , 0 285 , 4

253 , 4 993 , 0

*

*

*

=

x

y x

y

r

a

σ

σ

;

775 , 1 906 , 23 985 , 0 328 , 25

*

=m y am x

Vậy phương trình liên hệ giữa nhiệt độ nước biển và nhiệt độ không

khí sẽ là:

a

T =1,775+0,985

Thí dụ 3.3 : Xác định xu thế nước biển dâng tại trạm Hòn Dấu Số

liệu độ cao mực nước trung bình năm (cm) tại trạm Hòn Dấu được sắp

xếp theo thứ tự năm trong bảng dưới đây:

1957 185 1966 189 1975 188 1984 204 1993 189 2002 193

1958 184 1967 186 1976 188 1985 201 1994 192 2003 197

1959 185 1968 183 1977 184 1986 189 1995 192 2004 191

1960 186 1969 187 1978 190 1987 186 1996 193 2005 190

1961 186 1970 181 1979 191 1988 186 1997 193 2006 194

1962 183 1971 189 1980 192 1989 190 1998 192 2007 190

1963 180 1972 187 1981 192 1990 187 1999 193 2008 194

1964 188 1973 192 1982 188 1991 191 2000 194

1965 196 1974 189 1983 191 1992 189 2001 197

Giả sử mực nước biển phụ thuộc tuyến tính vào thời gian, tức tăng

hoặc giảm tuyến tính theo năm Áp dụng trường hợp 1 đã xét trên đây, ta

thiết lập một mối phụ thuộc tuyến tính

b ax

y = + ,

trong đó biến y là độ cao mực nước, biến x là thời gian (số hiệu năm quan trắc) Các hệ số a và b tính được theo công thức (3.15) hoặc (3.16) bằng:

176 , 0

=

a ; b = − 158 , 981 Giá trị của hệ số a chính là tốc độ biến thiên của y − mực nước khi thời gian tăng lên một năm Vậy tại trạm Hòn Dấu, trung bình mực nước dâng lên 0,176 cm hay ≈1,8 mm mỗi năm

Để trực quan, ta có thể biểu diễn biến thiên của mực nước Hòn Dấu theo năm như trên hình 3.6 Đường đậm nét là đường thằng hồi quy

981 , 158 176

,

Hình 3.6 Biến thiên của mực nước Hòn Dấu thời kỳ 1957-2008

5 Trường hợp bài toán hồi quy tuyến tính nhiều biến

Giả sử có n quan trắc đối với đại lượng phụ thuộc y và các đại

lượng độc lập x1 x2, .,x m Phương trình hồi quy được thiết lập như sau

m

m x a x

a x a a

y = 0 + 1 1 + 2 2 + + (3.20) Các hệ số a i(i=1 ,m) được chọn sao cho thoả mãn