Đa thức và hàm đa thức

Phần này trình bày một cách trực giác nhất về đa thức đồng thời cũng giới thiệu về hàm đa thức.Đây là một quan điểm mới trong toán học hiện đại. 1.1 Đại cương về đa thức một biến  Cho K là một trường vô hạn ( Trong thực tế K= R hoặc C) . Biểu thức hình thức ƒ(X) = anXn + an1Xn1+…+ a1X +a0 trong đó ai K , i= gọi là một đa thức của ẩn X lấy hệ số trong K.  Nếu an ≠ 0 thì ta nói ƒ(X) có bậc n và kí hiệu: deg ƒ(X) =n, an là hệ tử cao nhất. Nếu a0=a1=…=an= 0 thì ƒ(X) được gọi là đa thức 0. Quy ước đa thức 0 có bậc ∞.  Tập hợp các đa thức ẩn X với hệ số trong K , ký hiệu là KX. Trang bị cho KX hai phép toán cộng và nhân được định nghĩa như sau: ( anXn + an1Xn1+…+ a1X +a0 ) + ( bmXm + bm1Xm1+…+ b1X +b0 ) = anXn +…+ am+1Xm+1 +(am + bm)Xm +…+(a0 +b0) ( anXn + an1Xn1+…+ a1X +a0 ).( bmXm + bm1Xm1+…+ b1X +b0 ) = cn+mXn+m +…+ c1X + c0 Trong đó ck= ( Ở đây giả sử n≥ m ) Mệnh đề 1 : KX cùng với hai phép toán trên lập thành một vành giao hoán có đơn vị và không có ước của 0 Định lý 2 ( Phép chia Euclide trong vành KX ): Cho ƒ(X) và g(X) thuộc KX , g(X) ≠ 0 khi đó tồn tại duy nhất đa thức q(X) và r(X) sao cho ƒ (X) = g(X)q(X) + r(X) và deg r(X) < deg g(X).

Chương 1

Đa thức và hàm đa thức

Phần này trình bày một cách trực giác nhất về đa thức đồng thời cũng giới thiệu về hàm

đa thức.Đây là một quan điểm mới trong toán học hiện đại

1.1 Đại cương về đa thức một biến

 Cho K là một trường vô hạn ( Trong thực tế K= R hoặc C) Biểu thức hình thức

ƒ(X) = anXn + an-1Xn-1+…+ a1X +a0 trong đó ai ∈ K , i= n0 gọi là một đa thức của ,

= cn+mXn+m +…+ c1X + c0

Trong đó ck= ∑

= +j k

b

a ( Ở đây giả sử n≥ m )

Mệnh đề 1 : K[X] cùng với hai phép toán trên lập thành một vành giao hoán có đơn

vị và không có ước của 0

Định lý 2 ( Phép chia Euclide trong vành K[X] ): Cho ƒ(X) và g(X) thuộc K[X] ,

g(X) ≠ 0 khi đó tồn tại duy nhất đa thức q(X) và r(X) sao cho ƒ (X) = g(X)q(X) + r(X) và

Định lý 5 (Định lý Bezout ): Cho ƒ (X) ∈K[X], c là nghiệm của đa thức ƒ (X) khi và

chỉ khi tồn tại q(X) ∈ K[X] sao cho ƒ (X) = ( X-c )q(X)

Định nghĩa 6 ( Đạo hàm hình thức ): Cho ƒ (X) = anXn + an-1Xn-1+…+ a1X +a0

Đạo hàm hình thức của ƒ (X) ( Ký hiệu là ƒ’ (X) ) là một đa thức ∈K[X] được định nghĩa

( X - a)k nhưng không chia hết cho (X - a)k+1 trong K[X]

Ví dụ: ƒ(X) = X( X-1)3 có nghiệm X = 0 ( bội 1) và X = 1( bội 3)

Ví dụ: Đa thức ƒ(X) = X( X-1)3 tách được trên R và trên C.

Đa thức g(X) = X2+ X+1 tách được trên C nhưng không tách được trên R.

Nhận xét: Đa thức ƒ(X) tách được trên K khi và chỉ khi nó có đủ nghiệm trên K, tức là

nếu ƒ(X) có bậc n thì nó phải có đủ n nghiệm( kể cả bội)

Định lý 10 ( Định lý Viete): Cho ƒ(X) tách được trên K và

ƒ(X) = anXn + an-1Xn-1+…+ a1X +a0 = an(X- b1)(X-b2)…(X- bn)

Đặt σ1= b1+b2+…+bn

σ2 = b1b2+ b1b3+ …+ b1bn + b2b3 +…+ b2bn+…+ bn-1b

…

Định nghĩa 11: Đa thức ƒ(X) ∈ K[X] gọi là bất khả quy trên K nếu nó có bậc dương

và không thừa nhận phân tích dạng: ƒ(X) = g(X)h(X) trong đó g(X) và h(X) ∈ K[X] đều

Định lý 12 (Định lý cơ bản của đại số học): Mọi đa thức bậc dương lấy hệ số trong

trường phức C đều có nghiệm phức.

Nhận xét:

 Mọi đa thức ƒ(X) ∈ C[X] (deg ƒ(X) ≥ 1) đều có đủ nghiệm trên C do đó tách được trên C.

 Đa thức ƒ(X) bất khả quy trên C[X] khi và chỉ khi nó là đa thức bậc nhất.

Định lý 13: Cho ƒ(X) ∈ R[X] Nếu z ∈ C là một nghiệm trên C của ƒ(X) thì liên hợp phức của nó cũng là nghiệm của ƒ(X) trên C.

có nghiệm thực

Định nghĩa 14: Cho ƒ1(X), ƒ2(X), …, ƒn(X) là các đa thức khác 0 của K[X] Khi đó:

 Tồn tại duy nhất đa thức P(X) đầu một (hệ tử cao nhất bằng 1) là ước chung của {ƒk(X)}1≤k≤n sao cho mọi ước chung khác của {ƒk(X)}1≤k≤n đều là ước (trên K) của P(X) P(X) được gọi là ước chung lớn nhất của {ƒk(X)}1≤k≤n

Ký hiệu: P(X) = ƯCLN(ƒ1(X), ƒ2(X), …, ƒn(X)) = ƯCLN ({ƒk(X)}1≤k≤n)

 Tồn tại duy nhất đa thức Q(X) đầu một (hệ tử cao nhất bằng 1) là bội chung của {ƒk(X)}1≤k≤n sao cho mọi bội chung khác của {ƒk(X)}1≤k≤n đều chia hết cho Q(X) Q(X) được gọi là bội chung nhỏ nhất của {ƒk(X)}1≤k≤n

Ký hiệu: Q(X) = BCNN(ƒ1(X), ƒ2(X), …, ƒn(X)) = BCNN ({ƒk(X)}1≤k≤n)

Định nghĩa 15: Cho ƒ1(X), ƒ2(X), …, ƒn(X) là các đa thức khác 0 ∈ K[X].

 Ta nói rằng ƒ1(X), ƒ2(X), …, ƒn(X) là nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN(ƒ1(X),

ƯCLN(ƒ1(X), ƒ2(X))=1 , ƯCLN(ƒ1(X), ƒ3(X))=1, ƯCLN(ƒ2(X), ƒ3(X))=1

Định lý 16: Cho ƒ(X) và g(X) là hai đa thức nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại hai đa thức u(X) và v(X) sao cho ƒ(X)u(X) + g(X)v(X) =1

Mệnh đề 17: Cho ƒ1(X), ƒ2(X), ƒ3(X) là các đa thức khác 0 của K[X]

Nếu ƯCLN(ƒ1(X), ƒ2(.X)) =1 và ƒ3(X) là ước của ƒ2(X) thì ƯCLN(ƒ1(X), ƒ3(X)) =1

Định lý 18 ( Định lý Gauss) : Cho ƒ1(X), ƒ2(X), ƒ3(X) là các đa thức khác 0 của K[X] Nếu ƒ1(X) là ước của tích ƒ2(X)ƒ3(X) và ƯCLN(ƒ1(X), ƒ2(X)) =1

Thì ƒ1(X) là ước của ƒ3(X)

Định lý 19 : Cho ƒ1(X), ƒ2(X), …, ƒn(X) , P(X) là các đa thức khác 0 của K[X] Nếu

∀k ∈{ 1,2, …, n} ƒk (X) là ước của P(X) và ƒ1(X), ƒ2(X), …, ƒn(X) nguyên tố với nhau từng đôi thì ƒ1(X) ƒ2(X) … ƒn(X) là ước của P(X)

Nhận xét: Với giả thiết của định lý

Đặt Q(X) = ƒ1(X) ƒ2(X) … ƒn(X) và gọi α là hệ tử cao nhất của Q(X) thì

α

1Q(X) là bội chung nhỏ nhất của ƒ1(X) ,ƒ2(X), … ,ƒn(X)

Các mệnh đề và định lý trên được chứng minh rộng rãi trong các giáo trình viết về đa thức

Giải: Thấy rằng vế phải của (*) là hệ số của X2n trong khai triển (1-X2)2n Gọi T2n là hệ số của X2n trong khai triển (1+X)2n (1-X)2n ta có

n

2 0

2 2

2 )()1(

D 1.1.2 : Xác định a và b để P(X) = X2010 +aX + b chia hết cho đa thức X2 – 1

0)1(

)(

p

k

k n k p k

p

k

k n k

p

k

k n k p k

Vậy n

p n

A| B : Đa thức A là ước của đa thức B

D 1.1.4 :Chứng minh rằng :∀n N∈ * (X-1)2| 2 1

2 1 0

2 1 0

n n n

n− − − = 0

Từ đó cho ta điều cần chứng minh □

D 1.1.5 : Cho ƒ(X) = X3 + 3X2 +X+1 a, b là 2 nghiệm trên C của ƒ(X) Tính giá trị của

biểu thức: T = a2b +ab2 +3ab

Giải: Giả sử c ∈ C là nghiệm còn lại của ƒ(X) trên C.

Theo định lý Viete ta có abc = -1, a+ b+c = -3 Từ đó ab =

D 1.1.6: Chứng minh rằng một đa thức với hệ số thực là bất khả quy trên R nếu và chỉ nếu

nó là một đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức âm Hơn nữa mọi đa thức ƒ(X) ∈

R[X] , deg ƒ(X) = n đều thừa nhận phân tích dạng:

thức (X2 + biX + ci) đều không có nghiệm thực.( i= 1, 2,…, s)

Giải: Rõ ràng mọi đa thức hệ số thực bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức âm đều bất khả

quy trên R Khẳng định ngược lại được bao hàm trong phân tích cần tìm cho mọi đa thức

ƒ(X) nói trong bài tập

Gọi x1 , x2 ,…, xr là tất cả các nghiệm thực của ƒ(X) với bội tương ứng là k1 , k2 ,…, kr Theo định lí Bezout ƒ(X) = 1

1

( ) (k )k r ( )

a X −x X −x Q X Trong đó Q(X) không có nghiệm thực.Nếu z ∈ C là nghiệm phức (có phần ảo) của ƒ(X) thì z cũng vậy (theo định

lý 13 ) Cũng theo định lý Bezout Q(X) = (X- z)(X- z ) Q1(X) = (X2 – 2Re z +|z|2) Q1(X) Theo định lý 2 và để ý (X2 – 2Re z +|z|2) ∈ R[X] , nên Q1(X) ∈ R[X].

Tiếp tục quá trình với Q1(X)

…

Cứ như vậy cuối cùng ta thu được ƒ(X) có dạng phân tích như trong đề bài □

Chú ý : Rez : Chỉ phần thực của số phức z

| z| :Chỉ modun của số phức z

X2 – 2Re z +|z|2 là một tam thức bậc hai với biệt thức âm

D 1.1.7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bất khả quy trên R[X] và C[X].

)(

Giải: Giả sử ( PQ + QR +PR) và P.Q.R không nguyên tố cùng nhau , tồn tại đa thức

D(X) bất khả quy là ước chung của chúng, tức là: D | ( PQ + QR +PR) và D | P.Q.R Từ D| PQR suy ra D | P hoặc D | Q hoặc D | R Không mất tính tổng quát giả sử D | P

Mặt khác D | ( PQ + QR +PR) nên D | QR, suy ra D | Q hoặc D | R Vậy D là ước chung của P và Q hoặc P và R ( Mâu thuẫn giả thiết )

Vậy ( PQ + QR +PR) và P.Q.R nguyên tố cùng nhau □

1.2: Hàm đa thức

Chúng ta biết trong vành đa thức K[X] một đa thức ƒ(X) được viết dưới dạng

ƒ(X) = anXn + an-1Xn-1+…+ a1X +a0 , ở đây X = ( 0,1,0,…,0,…) là phần tử hoàn toàn xác định của KN Nếu ta thay X bằng một đối tượng khác, ví dụ:

Các hàm xác định như trên gọi là hàm đa thức liên kết với ƒ (X)

Chúng ta quan tâm đến loại sau, nếu thay X bằng một ma trận A vuông cấp n , ta sẽ được một đa thức ƒ(A) = anAn + an-1An-1+…+ a1A +a0In = ∑

0 Đa thức này gọi là đa thức

ma trận Phần tiếp theo sẽ trình bày rõ hơn về nó

Chương 2

Đa thức ma trận – đa thức tối tiểu

Trong chương này K = R hoặc C

Giả sử khẳng định đúng với k = n -1 ta sẽ chứng minh nó đúng với k = n

Ta có ABn = (ABn-1)B = (Bn-1A) B = Bn-1(AB) = Bn-1(BA) = BnA

Hơn nữa ∀ λ∈ K , Ai (λBj) = (λAi)Bj = λ(AiBj)

Từ đó cho ta điều cân chứng minh □

Định nghĩa 3: Cho ƒ(X) ∈ K[X] , A ∈ M(n×n, K) , ta nói A là một nghiệm của ƒ(X) nếu ƒ(A) = O ( ma trận O ∈ M(n×n, K)

Ví dụ :Cho ƒ(X) = X2 – 1, A = 1 0

10

∈M(2×2, R)

Ta có A2 =

201

10







01

10

=0 1

01 = I2

Vậy ƒ(A) = A2 – I2 = O Do đó A là một nghiệm của ƒ(X)

Chú ý: Nếu A là một nghiệm của ƒ(X) thì ta nói ƒ(X) triệt tiêu A hay ƒ(X) là đa thức triệt tiêu của ma trân A

Mệnh đề 4: ∀A ∈M(n×n,K) tồn tại đa thức khác 0 ∈ K[X] triệt tiêu A

Chứng minh: Theo định nghĩa đồng dạng của hai ma trận, A đồng dạng với B tương

đương tồn tại C ∈ M(n×n,K) , C khả nghịch sao cho B = C-1AC

0

∈K[X]

O)

(

2 1

n f O

f f

λ

λλ



Từ đó suy ra det ƒ(A) = det ƒ(J) = ƒ(λ1)ƒ(λ2)…ƒ(λn)

 Nếu A đồng dạng với ma trân tam giác trên (hoặc dưới) Giả sử



2

(Các vị trí * có thể khác 0) Khi đó do tích hai ma trận tam

giác (cùng loại) là một ma trận tam giác cùng loại, hơn nữa ma trận tích có đường chéo chính là tích của hai đường chéo chính

µλ

µλ



2 2 1

Do vậy det ƒ(A) = det ƒ(T) = ƒ(λ1)ƒ(λ2)…ƒ(λn)

Nhận xét này cho ta một phương pháp tính định thức của ma trận ƒ(A) nếu A đồng dạng với ma trận đường chéo hoặc tam giác

Mệnh đề 6: Cho A là ma trận đường chéo khối A =

A A

)(

O)

(

2 1

s A f O

A f

A f



Chứng minh: Mệnh đề được chứng minh dễ dàng nếu dựa vào tính chất giống nhau của

ma trận chéo khối và ma trận đường chéo □

Mệnh đề 7: Cho A là ma trận vuông và ƒ(X) là một đa thức tuỳ ý Khi đó

(ƒ(A))t = ƒ(At) (At là ma trận chuyển vị của ma trận A)

Chứng minh: Mệnh đề được chứng minh nhờ hai tính chất của ma trận chuyển vị.

 (A + αB)t = At + αBt

 (AB)t = Bt At □

Bài tập

◊ 2.1.1 Cho ma trận A=

[ ]n

a O

O a

O

a O

O a

a a

a a

 □

◊ 2.1.2 : Cho A =   c d  

b a

b a

++

bc d

d a c

d a b bc a

2

2

)(

)(

Vậy ƒ(A) = A2 - (a+ d) A +(ad- bc)I2 = O

Do đó ƒ(X) triệt tiêu A □

Nhận xét:

 Sau này ta sẽ nói ƒ(X) chính là đa thức đặc trưng của A Chúng ta có

mệnh đề tổng quát hơn: Đa thức đặc trưng của một ma trận bất kỳ triệt tiêu nó

 Nếu det A = ad - bc = 0 ta có: O = A2 - (a+d)A hay A2 = (a+d)A Bằng qui nạp

ta có An= (a+d)n-1A ∀ n ≥1

◊ 2.1.3: Cho ƒ(X) là một đa thức ∈ K[X], A là một ô Jordan cấp n A=

[ ]n O

f

f f

f f

)('2!

)(''

)

)(

!2

)(''

!1

)(')(

) 1 (

αα

αα

αα

αα

10

O O O

(Đường chéo con thứ k toàn 1) Xem thêm bài 2.1.1

Do vậy ƒ(A) có dạng như đề bài □

◊ 2.1.4: Cho A là ma trận vuông cấp 2 và k là số nguyên dương , k ≥2 Chứng minh rằng :

Ak = O khi và chỉ khi A2 = O

Giải: Đặt A= c d

b a

Điều kiện đủ là hiển nhiên , ta chứng minh điều kiện cần Giả sử

Ak = O, từ đó det A = 0 Theo bài 2.1.2 ta có : O = Ak = (a+d)k-1A ∀ k ≥2

 Trường hợp (a+d) = 0 thì cũng theo bài 2.1.2 ta có A2 = O

 Trường hợp A = O thì hiển nhiên A2 = O □

◊ 2.1.5: Cho A = c d

b a

là ma trận trên C , ƒ(X) là một đa thức tùy ý Tính ƒ(A)

Giải: Theo bài 2.1.2 ta có đa thức g(X) = X 2 – (a+d) X + ad-bc là đa thức triệt tiêu A Giả

sử g(X) = (X -α)(X- β ) trong đó α, β ∈ C Thực hiện phép chia Euclide ƒ(X) cho g(X)

ta được : ƒ(X) = (X -α)(X- β )q(X) + r(X) Bây giờ ta tìm r(X).

 Nếu α= β thì theo khai triển Taylor, r(X) = f( )α + f'( )(α X −α)

Từ đó ta tính được ƒ(A)= r(A) (Xem thêm bài 2.1.7) □

◊ 2.1.6: Cho A ∈M(n×n, K), A khả nghịch Chứng minh rằng tồn tại đa thức h(X) ∈K(X) sao cho A-1 = h(A)

Giải: Giả sử ƒ(X) là đa thức có bậc nhỏ nhất triệt tiêu A Khi đó ƒ(X) phải có dạng

ƒ(X) = X g(X) + a , trong đó a ≠ 0

Thật vậy nếu a = 0 ⇒ ƒ(X) = X g(X) ⇒O = ƒ(A) = A.g(A) Do A khả nghịch nên

g(A) = O, điều này trái giả thiết.

Tính A2010

Giải: Có nhiều cách giải bài này, ta giải bằng phương pháp độc đáo sau đây

Theo bài tập 2.1.2 ta có A2 – 4A +4I =O hay (A -2I)2 = O (*)

Đặt ƒ(X) = X 2010 Khai triển ƒ(X) theo luỹ thừa của X – 2 ta được

!2

2.2009)

2(

!1

2.2010

22010 + 2009 X − + 2008 X − 2 +Thay X = A và chú ý đến (*) ta được :

A2010 = 22010 I2 + ( 2 )

!1

2.2010

02

11

=−− 2009 2009

2009 2009

2.20122

2010

2.20102

20102008

□

Nhận xét : Cho A là ma trận vuông cấp n thoả mãn (A- αI)k = O ( với k nhỏ) thì ta có thể tính ƒ(A) với ƒ(X) là đa thức bất kỳ theo phương pháp trên

2.2 Đa thức tối tiểu

Chúng ta biết rằng ∀A∈M(n×n,K) tồn tại đa thức ƒ(X) ∈K(X) khác 0 triệt tiêu A, do vậy tập hợp các đa thức triệt tiêu A không rỗng Từ đó luôn có những đa thức có bậc nhỏ nhất triệt tiêu A Mục này sẽ nói rõ hơn về những đa thức này

Định nghĩa 1: Cho A∈M(n×n,K), đa thức tối tiểu của A (kh:πA(X) ) là đa thức với hệ

tử cao nhất bằng 1, có bậc nhỏ nhất trong các đa thức triệt tiêu A

Nhận xét:

 Đa thức tối tiểu của một ma trận luôn tồn tại

 ∀A∈M(n×n,K), deg πA(X) ≥ 1

 Đa thức tối tiểu của một ma trận là duy nhất

Thật vậy: Giả sử ƒ(X) cùng là đa thức tối tiểu của A, ƒ(X) ≠ πA(X)

Đặt g(X) = ƒ(X) -πA(X) , do deg ƒ(X) = degπA(X), ƒ(X) vàπA(X) đều có hệ tử cao nhất

bằng 1 nên deg g(X) < deg πA(X) Từ đó : O = ƒ(A) -πA (A) = g(A) ( Mâu thuẫn với định

nghĩa đa thức tối tiểu) □

Mệnh đề 2: Mọi đa thức triệt tiêu A đều chia hết cho đa thức tối tiểu πA(X) của nó.Chứng minh: Giả sử ƒ(X) là đa thức bất kỳ triệt tiêu A, tức ƒ(A) = O Thực hiện phép chia Euclide ƒ(X) cho πA(X) trong K(X) ta được:

ƒ(X) = πA (X) q(X) + r(X) , trong đó deg r(X) < deg πA(X) (*)

Thay X= A vào (*) ta được

O = ƒ(A)= πA (A) q(A) + r(A) = r(A)

Như vậy theo định nghĩa của đa thức tối tiểu ta phải có r(X) = O Do đó ƒ(X) chia hết cho πA(X) □

Mệnh đề 3: Đa thức tối tiểu của hai ma trận đồng dạng thì bằng nhau.

Chứng minh: Giả sử A và B là hai ma trận vuông cấp n đồng dạng với nhau, tức là tồn tại

ma trận vuông cấp n khả nghịch C sao cho B = C-1 A C Gọi πA(X) , πB(X) lần lượt là đa thức tối tiểu của A và B Theo mệnh đề 5 ( Phần 2.1)

πA(B) = C-1

A

π (A)C = OVậy πA(X) πB(X).

Đổi vai trò của A cho B ta được πB(X)  πA(X) Do πA(X) , πB(X) là đa thức chuẩn tắc (hệ tử cao nhất bằng 1) nên πA(X) = πB(X) □

Mệnh đề 4: Hai ma trận A và At có cùng đa thức cực tiểu

Chứng minh: Theo mệnh đề 7(Phần 2.1) πA(At) = (πA(A))t = O (1)

πA t (A) = (πA t(At))t = O (2)

Từ (1) và (2) suy ra πA t(X)  πA(X) và ngược lại Vậy πA t(X) =πA(X) □

Chú ý: Mệnh đề trên cho ta cách tìm đa thức tối tiểu của ma trận chéo khối thông qua đa

thức tối tiểu của các ma trận có cấp nhỏ hơn ( nằm trên đường chéo) Trong phần sau ta sẽ trình bày một thuật toán tìm đa thức tối tiểu thông qua các ước bất khả quy của đa thức đặc trưng

Giải: Theo bài tập 2.1.2 ta có đa thức ƒ(X) = X2 – ( a+d) X + ad-bc là đa thức triệt tiêu

A Vậy đa thức này phải chia hết cho đa thức tối tiểu của A

Vì a ≠ d nên mọi đa thức có dạng X + α( α bất kỳ ) đều không thể triệt tiêu A , do đó

đa thức ƒ(X) ở trên chính là đa thức tối tiểu của A □

◊ 2.2.2 Tìm đa thức tối tiểu của ma trận sau: A =

a) Nếu ƒ(X) là một ước của πA(X) và deg ƒ(X) ≥ 1 thì det ƒ(A) = 0

b) Nếu g(X) là một đa thức bất khả quy sao cho det g(A) = 0 thì g(X) là một ước của

A

a) Theo bài ra ta có πA (X) = ƒ(X) q(X) , deg q(X) < deg πA(X).

Mà O = πA (A) = ƒ(A) q(A) Nếu ƒ(A) khả nghịch thì q(A) = O , điều này mâu thuẫn

với định nghĩa đa thức tối tiểu

Vậy det ƒ(A) = 0

b) Nếu g(X) không là ước của πA (X), g(X) bất khả quy nên ƯCLN(πA (X), g(X) ) =1

Theo mệnh đề 19 (Phần 1.1) , tồn tại hai đa thức u(X) và v(X) sao cho :

1 = g(X).u(X) + πA (X) v(X)

Từ đó I = g(A).u(A) +πA (A).v(A) = g(A).u(A), suy ra det g(A) ≠ 0 ( Mâu thuẫn giả thiết) Vậy g(X) │πA(X) □

Chương 3

Thu gọn ma trận với các đa thức triệt tiêu

Trong chương này giả sử K = R hoặc C

3.1 Không gian véc-tơ riêng , giá trị riêng của ma trận

1) λ là giá trị riêng của A khi và chỉ khi det (A - λ I ) = 0

2) Từ (*) ta có X là giá trị riêng của A thì AX = λ X

3) Mỗi véc tơ riêng của A đều ứng với một giá trị riêng xác định

4) λ = 0 là giá trị riêng của A khi và chỉ khi det A = 0

Định nghĩa 2: Cho A∈ M(n×n, K) Đa thức det( A- λI ) gọi là đa thức đặc trưng của

A (Kh: PA( λ ) ) : PA( λ ) = det( A- λI )

Nhận xét:

1) Đa thức đặc trưng của A có bậc n và có hệ số tự do là det A

PA( λ ) = (-1)n λn + …+ det A

2) λ0 là giá trị riêng của A ⇔ PA( λ0 ) = 0 Vậy spK(A) = Tập nghịêm của PA( λ )

Mệnh đề 3: Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng

Chứng minh: Vì A đồng dạng với B nên tồn tại ma trận khả nghịch C sao cho :