Bài giảng lý thuyết xác suất và thông kê toán chương 4 đại lượng ngẫu nhiên hai chiều – hàm của các đại lượng ngẫu nhiên

Những đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị nó có thể nhận biểu thị bằng một số được gọi là đại lượng ngẫu nhiên một chiều... Ngoài những đại lượng ngẫu nhiên một chiều, trong thực tế ta c

Chương IV

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

HAI CHIỀU HÀM CỦA CÁC ĐLNN

-I- Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên hai chiều

Những đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị nó có thể nhận biểu thị bằng một số được gọi là đại lượng ngẫu nhiên một chiều

Ngoài những đại lượng ngẫu nhiên một chiều, trong thực tế ta còn gặp những đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị nó có thể nhận được biểu thị bằng 2, hoặc 3, , hoặc n số

Những đại lượng ngẫu nhiên mà Những đại lượng ngẫu nhiên mà

các giá trị nó có thể nhận là những véc tơ 2 chiều được gọi là

đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều

Tổng quát: Những đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị nó có thể nhận là một véc tơ n chiều được gọi là đại lượng ngẫu nhiên n chiều.

Ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều là (X, Y) Trong đó X và Y được gọi là các thành phần của ĐLNN 2 chiều

Cả hai đại lượng ngẫu nhiên X và

Y được xét một cách đồng thời tạo nên ĐLNN 2 chiều

Tương tự n đại lượng ngẫu nhiên được xét một cách đồng thời tạo nên đại lượng ngẫu nhiên n chiều

Thí dụ: Khi khảo sát các siêu thị, nếu ta quan tâm đến doanh số bán (X 1 ) và lượng vốn (X 2 ) ta sẽ có đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X 1 , X 2 ) Còn nếu quan tâm cả chi phí quảng cáo (X 3 ) thì ta sẽ có đ.l.n.n 3 chiều (X 1 , X 2 , X 3 ).

Trong thực tế người ta cũng phân chia đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều thành hai loại: rời rạc và liên tục.

Các đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là rời rạc nếu các thành phần của nó là các ĐLNN rời rạc.

Các đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là liên tục nếu các thành phần của nó là các đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

II- Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều

Đối với đại lượng ngẫu nhiên hai chiều người ta cũng dùng bảng phân phối xác suất hoặc hàm phân phối xác suất hoặc hàm mật độ xác suất để thiết lập phân phối xác suất của chúng.

1- Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều

Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc có dạng:

p ij (i = 1, 2, n; j = 1, 2, , m) là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều (X, Y) nhận giá trị (x i , y j )

m

1

j i j

1 p

Biết được phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều ta có thể tìm được bảng phân phối xác suất của các thành phần.

Bảng phân phối xác suất của thành phần X có dạng:

thành phần X có dạng:

Từ bảng phân phối xác suất của

X với các công thức ở chương 2 ta có thể tính được E(X), Var(X), Mod(X),

Tương tự ta có bảng phân phối xác suất của thành phần Y có dạng:

Từ bảng phân phối xác suất của

Y ta cũng có thể tính được E(Y), Var(Y), Mod(Y).

Thí dụ: Cho biết bảng phân phối xác suất của ĐLNN 2 chiều (X, Y), trong đó X là doanh thu và Y là chi phí quảng cáo của các công ty

tư nhân kinh doanh cùng một mặt hàng như sau: (đơn vị tính của X và Y đều là triệu đồng/tháng).

Từ bảng phân phối xác suất của (X, Y) ở trên, ta có:

ª Bảng phân phối xác suất của X:

Từ đó ta dễ dàng tính được:

E(X) = 100 0,15 + 150 0,35

+ 200 0,5 = 167,5

Tức doanh thu trung bình của một công ty tư nhân là 167,5 triệu đ/tháng.

Tức là mức chênh lệch trung bình về doanh thu của các công ty vào khoảng 36,3 triệu đồng/tháng.

ª Bảng phân phối xác suất của Y:

E(Y) = 00,2 + 10,4 + 20,4

= 1,2

Tức chi phí quảng cáo trung bình của một công ty tư nhân là 1,2 triệu đ/tháng.

Var(Y) = E(Y 2 ) E(Y)2

= 2  (1,2) 2 = 0,56

(Y) = = 0,74833 0 , 56

Tức là mức chênh lệch trung bình về chi phí quảng cáo của các công ty vào khoảng 0,748 triệu đồng/tháng.

(đọc giáo trình)

2- Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều liên tục

(đọc giáo trình)

III- Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều

3- Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều

Hiệp phương sai của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu là: cov(X, Y), được định nghĩa:

 X E ( X ) Y E ( Y ) 

E )

Y ,

X

) Y (

E )

X (

E )

XY (

=

1- Hiệp phương sai:

Nếu (X, Y) là đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc thì:

m

1 j

ij j

i y p E ( X ) E ( Y ) x

) Y ,

X cov(

 Nếu (X, Y) là đại lượng ngẫu nhiên

2 chiều liên tục thì:

Y , X cov(

Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì: cov(X, Y) = 0 

Nếu cov(X, Y) = 0 thì X và Y không tương quan, ngược lại, nếu cov(X, Y)  0 thì X và Y có tương quan, khi đó X, Y là hai biến ngẫu nhiên không độc lập.

      cov(X, X) = var(X);

cov(X, Y) = cov(Y, X)

2- Hệ số tương quan

2- Hệ số tương quan

Hệ số tương quan, ký hiệu là XY , được định nghĩa như sau:

Y X

XY

) Y ,

IV- Phân phối xác suất có điều kiện và kỳ vọng toán có điều kiện

Thí dụ: Cho biết bảng phân phối xác suất của ĐLNN 2 chiều (X, Y), trong đó X là doanh thu, Y là chi phí quảng cáo của các công

ty tư nhân.

(đơn vị tính của X & Y là triệu đồng/tháng) Tìm phân phối xác suất của X (doanh thu) với điều kiện Y = 1

Các giá trị X có thể nhận: 100; 150; 200

Tính tương tự ta được:

125 ,

0 4

, 0

05 ,

0 )

1 Y

( P

) 1 Y

)(

100 X

( P

) 1 Y

/ 100 X

0 4

, 0

2 ,

0 )

1 Y

/ 150 X

(

375 ,

0 4

, 0

15 ,

0 )

1 Y

/ 200 X

Từ bảng phân phối xác suất có điều kiện ở trên, ta tính được kỳ vọng toán có điều kiện:

E(X/Y= 1) = 1000,125

+ 1500,5 + 2000,375 = 162,5

Tức doanh thu trung bình của những công ty có chi phí quảng cáo 1 triệu đ/tháng là 162,5 triệu đồng/tháng.

Tính tương tự ta được:

Phân phối có điều kiện của X (điều kiện là Y= 2) như sau:

 Hieäp phöông sai cuûa (X, Y):

i j

ij j

iy p E ( X ) E ( Y ) x

cov(X, Y) =

= 100 0 0,1 + 150 0 0,05 + + 200 2 0,3  167,5 1,2   = 215  201 = 14

 Hệ số tương quan giữa 2 biến X và Y:

7483 ,

0 3146

, 36

14 )

Y ,

X cov(

Y X

Nếu với mỗi giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên X, qua hàm f(X), ta xác định được một giá trị của đại lượng ngẫu nhiên Y thì Y được gọi là hàm của đại lượng ngẫu nhiên X:

Y = f(X)

a- Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và ứng một giá trị của X ta có một giá trị của Y

Thí dụ 1: Đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau:

Phân phối xác suất của Y:

của X ta có một giá trị của Y

Tìm phân phối xác suất của Y:

Khi X = 2 thì Y= (2) 2 + 3 = 7 Khi X = 1 thì Y= 1 2 + 3 = 4

Khi X = 2 thì Y= 2 2 + 3 = 7

Giải:

(Y= 7) = (X= 2)  (X= 2)

Nếu ứng với mỗi giá trị của ĐLNN

2 chiều (X, Z), qua hàm (X, Z) ta xác định được một giá trị của Y thì Y được gọi là hàm của 2 ĐLNN

X và Z.

Y = (X, Z)

Nếu biết được phân phối xác suất của X và Z, ta có thể tìm được phân phối xác suất của Y.

Thí dụ: : Xác suất để máy thứ nhất sản xuất được sản phẩm loại A là 0,8; Xác suất này đối với máy thứ hai là 0, 7; Cho máy thứ nhất sản suất 3 sản phẩm và máy thứ hai sản xuất 1 sản phẩm Tìm phân phối xác suất của số sản phẩm loại A có trong 4 sản phẩm

do hai máy sản xuất ?

Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm do máy thứ nhất

phối xác suất của X như sau:

Giải:

X X 0 0 1 2 3

P 0,008 0,096 0,384 0,512

Gọi Z là số sản phẩm loại A có trong 1 sản phẩm do máy thứ hai sản xuất Z  B(1; 0,7)

Bảng phân phối xác suất của Z như sau:

Z 0 1 0 1

P 0,3 0,7 0,3 0,7

Gọi Y là số sản phẩm loại A có trong 4 sản phẩm do hai máy sản xuất thì:

Y = X + Z

Để tìm các giá trị mà Y có thể nhận và tính các xác suất tương ứng ta lập bảng như sau:

= 0,008 * 0,7 + 0,096 * 0,3 = 0,0344

= 0,008 * 0,7 + 0,096 * 0,3 = 0,0344

P(Y = 2) = 0,384* 0,3 + 0,096 * 0,7 = 0,1824

Tính tương tự, ta được:

P(Y = 3) = 0,384 *0,7 + 0,512 *0,3 = 0,4224

P(Y = 4) = 0,512 * 0,7 = 0,3584

Phân phối xác suất của Y như sau:

Y 0 1 2 3 4

Toång keát chöông

Toång keát chöông 4