SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNGĐẠO HÀMĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Phương pháp hàm số trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốcó lẽ đã trở thành một trong những phương pháp “kinhđiển”, chính vì thế mà người học có thể tìm thấy phương pháp này trong tất cả các quyển sách về Bất đẳng thức cũng như trong bài toán cực trị của hàm số.Với mong muốnbằng kinh nghiệm trong vận dụngphương pháp của mình tôi muốn viết chuyên đề này với mục đích là hướng dẫn cho học sinh của lớp mình đang giảng dạy, để các em có thể vận dụng và giải các bài toán thuộc dạng này một cách hiệu quả. Trong chuyên đề này các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất được giới thiệu từ mứcđộcơ bản, từdễ tới nâng cao để mọi học sinh có thể tham khảo được và cũng là những bài toánquen thuộc khá quan trọng, thường xuất hiện trong các kì thi tốt nghiệp THPT và kỳ thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng trong nhưng năm gần đây. Hy vọng rằng qua chuyên đề này, học sinh có thể biết “quy lạ về quen” khi đứng trước một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Do thời gian thực hiện chuyên đề chưa được nhiều, vì vậy không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong được Quý thầy cô và các em học sinh đóng góp ýkiến để nội dung của chuyên đề hoàn thiện hơn.

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

có thể vận dụng và giải các bài toán thuộc dạng này một cách hiệu quả

Trong chuyên đề này các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất được giới thiệu từ mức độ cơ bản, từ dễ tới nâng cao để mọi học sinh có thể tham khảo được

và cũng là những bài toán quen thuộc khá quan trọng, thường xuất hiện trong các kì thi tốt nghiệp THPT và kỳ thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng trong nhưng năm gần đây

Hy vọng rằng qua chuyên đề này, học sinh có thể biết “quy lạ về quen” khi

đứng trước một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Do thời gian

thực hiện chuyên đề chưa được nhiều, vì vậy không thể tránh khỏi những thiếu

sót Tôi rất mong được Quý thầy cô và các em học sinh đóng góp ý kiến để nội

dung của chuyên đề hoàn thiện hơn

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Dựa trên tinh thần đổi mới của phương pháp dạy học đó là: dựa vào hoạt

động tích cực, chủ động , sáng tạo của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫn thích

hợp của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo góp phần hình thành

phương pháp và nhu cầu, khả năng tự học, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm

tin, niềm vui trong học tập Và thực sự tạo được môi trường “Trường học thân

thiện Học sinh tích cực” Thực hiện phương châm giáo dục “Học phải đi đôi với

hành”, nếu việc học không được vận dụng vào thực tế, không giải quyết được

những vấn đề mà thực tế đặt ra thì việc học cũng trở nên vô dụng

Trên những tiêu chí đổi mới đó, đồng thời với việc nắm bắt thực trạng học

sinh trong trường THCS-THPT Bàu Hàm, tôi thấy đa phần học sinh của trường

mình các em còn học yếu, nắm chưa vững kiến thức cơ bản và kỹ năng tính toán

còn yếu Đa phần các em chỉ mới áp dụng các dạng toán cơ bản của sách giáo

khoa, khi gặp các bài toán nâng cao của dạng toán này các em thường bối rối, sợ

hãi Việc sợ hãi này nguyên nhân sâu xa là do các em chưa tìm được phương pháp

tốt nhất hoặc là có phương pháp nhưng quá trình vận dụng phương pháp còn khó

khăn Chính vì thế mà mỗi khi dạy học về vấn đề này bản thân tôi luôn cố gắng

tìm những giải pháp đơn giản và hiệu quả để truyền đạt cho các em Chuyên đề

này cũng là một trong những giải pháp đã được tôi thực hiện tại trường THCS-

THPT Bàu Hàm trong các năm giảng dạy học sinh lớp 12 Trong quá trình áp

dụng chuyên đề “Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

hàm số” tại trường THCS- THPT Bàu Hàm mặc dù đã đem lại hiệu quả trong

giảng dạy Tuy nhiên phương pháp trên cũng chỉ thay thể một phần các giải

pháp khác

2 Các biện pháp thực hiện

Để đề tài thực hiện tốt và có hiệu quả, trong quá trình giảng dạy phần này đối với học sinh lớp 12 Bản thân tôi cùng các em rất nghiêm túc tiến hành từng bước thực hiện đề tài đó là: thứ nhất, tôi gửi tới học sinh trong lớp bản tài liệu của chuyên đề để cho các em về nhà nghiên cứu kỹ các nội dung lý thuyết Thứ hai, trong các tiết học trên lớp giáo viên cùng học sinh hệ thống các kiến thức lý thuyết

cơ bản Thứ ba, sau khi nắm được lý thuyết tôi yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị bài tập Thứ tư, trong những tiết học bài tập tôi cùng các em sửa bài tập để các em nắm được phương pháp Sau khi nắm được phương pháp và kiến thức cơ bản giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ giúp học sinh có khả năng tổng hợp, khái quát hoá các vấn đề

III NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

1 BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP HỢP D

b) Nếu f x( ) m,  x Dvà x oD sao cho f x( o) m thì số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x( ) trên D

Kí hiệu: min ( )

x D f x m

1.2 Phương pháp chung

- Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x( ) trên tập D ta đi: Tính y’, tìm các điểm

mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D Dựa vào bảng biến thiên để kết luận GTLN, GTNN

- Nếu D là một đoạn a b;  thì ta làm như sau:

 Tìm các điểm x1, x2, …, x m thuộc khoảng a b;  mà tại đó hàm số f x( ) có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

 Tính f x 1 , f x 2 , …, f x m , f a , f b 

 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 Số lớn nhất trong các giá trị đó chính

là GTLN của f x( ) trên đoạn a b; ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f x( ) trên đoạn a b; 

Định lý: Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất trên đoạn đó

1.3.1.Tìm GTLN, GTNN khi biết trước đoạn [a; b]

Nhận xét: Dạng bài toán này rất cơ bản, nó giúp học sinh có lực học yếu, trung bình khắc sâu định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cũng như các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 9

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn  2; 0

 và lnx  1 1

Suy ra y’< 0 nên hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2]

Nhận xét: Ở ví dụ 3, ta có thể làm theo thứ tự các bước như hai ví dụ trên, đó là

tìm y ' 0 Tuy nhiên việc giải y ' 0dẫn đến kết quả vô nghiệm trên D và việc giải phương trình không dễ dàng, do vậy ta quan sát đánh giá biểu thức y’

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

1 1

x y x





 trên  1; 2

Lời giải Ta có hàm số đã cho liên tục trên  1; 2

Hàm số y x33x 2 liên tục trên đoạn   3; 2 

Đặt f(x)x3 3x2 liên tục trên đoạn   3; 2 

Nhận xét: Ở ví dụ trên nếu ta đi tính đạo hàm của hàm số này thì phải xét các

trường hợp của biểu thức trị tuyệt đối Tuy nhiên dựa vào việc nhận xét tính chất của hàm trị tuyệt đối thì ta có thể đánh giá được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất với

1.3.2.Xác định định đoạn [a; b] trong bài toán tìm GTLN, GTNN

Nhận xét: Dạng bài toán này cũng thuộc dạng cơ bản, so với các bài toán ở dạng

trên thì học sinh chỉ cần chú ý đi tìm tập xác định của hàm số đã cho Các em học sinh có lực học yếu, trung bình chỉ cần nắm vững cách tìm tập xác định của hàm số

là hoàn thành được bài toán

Ví dụ 1: ( Trích đề thi tuyển sinh cao đẳng năm 2014)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2 x 5 x

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của P bằng -12 đạt được khi x=1; y= -10

Giá trị lớn nhất của P bằng 20 đạt được khi x=-3; y=- 6 hoặc x=3; y=0

Ví dụ 4: ( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối D-2010)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhât của hàm số

y x  x  x  x Lời giải:

yy  ;

[-2;5]

max y y(5)  4

Nhận xét: ở ví dụ này việc giải y’=0 không dễ dàng, để biến đổi tương đương trong

quá trình giải thì ta cần phẩn nhận xét đánh giá hai vế cùng dấu Tuy nhiên ở trên ta chọn phép biến đổi suy ra để giải quyết cho đơn giản và kết thức lời giải ta cần kiểm tra thử lại để loại nghiệm ngoại lai

5 0; ) 4

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)  (3  x) 5  x2

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)   x 2  5x  6

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: y x  1 3 x (x 1)(3 x)

Bài 4: Cho x y  , ;x 1,y 1 và thỏa xy 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Trong năm học: 2013 – 2014, tôi dạy hai lớp 12A5 và 12A6, đối tượng học

sinh trong mỗi lớp có học lực trung bình và thậm chí một số còn yếu Sau khi học

kết thúc chương 1 Giải tích 12 cơ bản và dành thời lượng 3 tiết ôn tập về bài toán

tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số vào các tiết tăng tiết buổi chiều Sau đó

tôi cho học sinh làm bài kiểm tra khoảng 20 phút, để kiểm tra mức độ nắm kiến

thức học sinh của hai lớp Kết quả thu được rất khả quan, số điểm đạt yêu cầu 12A5

là 83,3%; lớp 12A6 là 89,1%

Đề bài:

1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y x 2ln(x 1) trên 0;e 1

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

8

yx x

5

+ -

5 3

0 0

5 4

1 0

f(x) f'(x)

x

Số điểm Giỏi

Đạt được (%)

Trong năm học: 2014 – 2015, tôi dạy hai lớp 12A1 và 12A3 Đối tượng học

sinh trong lớp 12A1 đa phần các em có học lực khá, có 5 em là học sinh giỏi từ

năm học trước Trong đó đối tượng học sinh lớp 12A3 năm học này có lực học

trung bình và yếu, chỉ có 2 học sinh có học khá từ năm học trước Khi thực hiện

giảng dạy nội dung kiến thức trên đối với lớp 12A1 tôi thấy học sinh nắm và áp

dụng phương pháp làm bài rất tốt Còn đối với học sinh 12A3 tôi thấy các em tiếp

thu khá chậm và cảm thấy còn yếu so với năm học 2013 – 2014 Do đó, khi đánh

giá mức độ nắm kiến thức của học sinh tôi có đưa nội dung đánh giá khác nhau với

hai lớp 12A1 và 12A3 Với thời gian làm bài 20 phút, kết quả thu được: số điểm

đạt yêu cầu 12A3 là 77,8%; lớp 12A1 là 100%

Đề bài: (Dành cho lớp 12A3)

1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y x 2ln(x 1) trên 0;e 1

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2 x 2 2 x

Đề bài: (Dành cho lớp 12A1)

1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y x 2ln(x 1) trên 0;e 1

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2 x 2 2 x

trên 0;e 1

5

 đ 4đ Hàm số đã cho liên tục trên đoạn 0;e 1

1,0

y     x x  [ e 1,0 1,0

Suy ra hàm số đồng biến trên [0; 1]

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại x = 2

Kết quả : Thống kê số lượng điểm của học sinh qua bài kiểm tra mức độ nắm kiến

thức

Lớp học Số điểm <

Số điểm Khá

Số điểm Giỏi

Đạt được (%)

Qua kết quả thực nghiệm phần thứ nhất nội dung chuyên đề, tôi thấy chuyên

đề phù hợp với đối tượng học sinh của lớp tôi trực tiếp giảng dạy Đối với các lớp

còn lại việc áp dụng cũng rất phù hợp vì đối tượng học sinh tại trường THCS –

THPT Bàu Hàm chủ yếu có lực học trung bình Một kết quả phản ánh kết quả khả

quan của chuyên đề nữa đó là, khi ôn tập thi học kỳ tôi thấy hầu hết các em của lớp

tôi giảng dạy đều làm tốt nội dung này trong bài thi học kỳ I của Sở Giáo dục đào

tạo Đồng Nai hàng năm

2 ĐỔI BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ

2.1 Phương pháp chung

Bước 1: Lựa chọn cách đặt ẩn phụ t theo biến x

Bước 2: Chuyển điều kiện của biến số x sang điều kiện ràng buộc của biến số t

Giả sử tìm được tK

Bước 3: Chuyển bài toán ban đầu với biến x, thành bài toán mới với biến t đơn

giản hơn Cụ thể là tìm GTLN, GTNN của hàm số f(t)trên tập số K

2.2 Đổi biến số, đối với hàm số hoặc biểu thức một biến

Nhận xét: ở dạng bài tập này tôi cố gắng giới thiệu các ví dụ đơn giản, để cho học

sinh có thể nắm được phương pháp và có thể áp dụng vào các bài toán dạng này dễ

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 0, đạt khi s inx  0  xk

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

4 4 trên đoạn [ 1; 1] Lời giải

3 4

y f t  , tại t  0  x  0

Nhận xét: ở ví dụ trên nếu ta áp dụng trực tiếp bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất trên một đoạn thì bước giải tìm nghiệm đạo hàm cho phương trình bậc

5 gặp khó khăn Do đó ta sử dụng giải pháp đặt ẩn phụ để làm giảm bậc xuống và

việc tính toán dễ dàng hơn

Ví dụ 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin2x 3cos2x1

(hoặc lập BBT của hàm số t x( )  x  1 3 x trên D   1;3 để suy ra    2 t 2.)

Như vậy bài toán trở về tìm GTLN của

2.3 Đổi biến số, đối với biểu thức có nhiều biến

Nhận xét: Để tìm GTLN, GTNN của một biểu thức có chứa nhiều hơn một biến

số nào đó ta có thể dùng phương pháp đổi biến số như sau:

+ Biểu diễn các biến số của biểu thức ban đầu theo một biến số mới

+ Tìm điều kiện cho biến số mới (dựa trên điều kiện của các biến số ban đầu)

+ Tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới tương ứng với điều kiện của

nó

Ví dụ 1: Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện 1   x 2; 1   y 2

2 t



;1 2

Nhận xét: Trong bài toán trên việc biến đổi biểu thức P và đặt ẩn phụ mới là dễ

dàng và rất rõ ràng Tuy nhiên bước nhật xét, đưa kết luận điều kiện cho biến mới

x y z xyz

+

+

f(t) f'(t)

t

2 t



(0; ] 2

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

3 (0; ] 2

Nhận xét: Để biến đổi biểu thức P về biểu thức một biến ta đã dùng một bất đẳng

thức cơ bản Bất đẳng thức này các em đã được học kỹ ở lớp 10 và việc chứng

minh rất đơn giản

Ví dụ 5: Cho ba số thực dương a, b, c  0 và thỏa a 2  b 2  c 2  1

Nhận xét: Tương tự như ví dụ trên, ở trong bài toán này ta tiếp tục khai thác bất

a  b   c a b c

  , ngay lập tức ta thấy biểu thức

P đã được quy về biểu thức một biến: t    a b c Việc khó khăn bây giờ là tìm

điều kiện ràng buộc của biến mới

0

3 2

-Từ giả thiết a2  b2  c2  1, áp dụng bất Đẳng thức Bunhiacốpsky ta có:

-Ta có

2

t 3 4t 6t 18

2 2

13

x

x y x

y y

y y

Nhận xét: Trong ví dụ trên khi khai thác giả thiết của bài toán ta biểu diễn được

đẳng thức P đã cho về biểu thức đẳng cấp theo hai biến x và y Từ đó ta biến đổi P

theo kiểu phương trình đẳng cấp

Bài tập đề nghị

Bài 1: Cho ba số thực a, b, c dương và thỏa a    b c 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3(a b c) 2(1 1 1)

a b c

Bài 2: Cho ba số thực a, b, c dương và thỏa a2  b2  c2  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 1 1 2abc

a b c

   

Bài 3: ( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B-2008)

3 2 -3

1

-3 2 -

Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn x 2  y 2  1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

2

2

2(x 6xy) P

1 2xy 2y





Bài 4: ( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối D-2014)

Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1   x 2 và 1  y 2

Trong năm học 2013 – 2014, cũng như trong năm học 2014 – 2015, nhận

thấy lực học của học sinh các lớp mình đang trực tiếp giảng dạy còn ở mức độ

trung bình, do đó bản thân tôi cũng không giới thiệu nội dung phần thứ hai này quá

kỹ đối với các lớp không phải là lớp 12A1, chỉ hướng dẫn cho các em trong 2 tiết

và giới thiệu tài liệu để học sinh tự nghiên cứu và tham khảo Còn đối với lớp 12A1

học sinh có học lực khá, giỏi thì các em nắm được kiến thức tốt hơn, sau khi kiểm

tra mức độ nắm và vận dụng kiến thức trong thời gian khoảng 20 phút và kết quả

thu được cũng rất tốt, đạt tỉ lệ 94,2 %, trong đó có nhiều em đạt điểm tuyệt đối

Đề bài: (Dành cho lớp 12A1)

Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên [0;1]

2

2 t



nên f(t)là hàm số nghịch biến trên đoạ 1

;1 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 2, khi x y;1 x y,  2. 0,5

Kết quả : Thống kê số lượng điểm của học sinh qua bài kiểm tra mức độ nắm kiến

thức

Lớp học Số điểm <

Số điểm Khá

Số điểm Giỏi

Đạt được (%)

12A1

35 học sinh

Qua giảng dạy và kết quả thực nghiệm phần thứ hai nội dung chuyên đề, tôi

thấy nội dung phần thứ hai của chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh của lớp

tôi trực tiếp giảng dạy Riêng với đối tượng học sinh 12A1 của trường

THCS-THPT Bàu Hàm thì nội dung kiến thức phần này cũng còn khá đơn giản

3 BÀI TOÁN TÌM GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC HAI BIẾN ĐỐI XỨNG

3.1 Phương pháp chung

Bài toán tổng quát: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn đẳng thức M (chứa hai

biến x, y đối xứng) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (chứa

hai biến x, y đối xứng)

Lời giải (Theo cách phân chia của tôi bài toán thực hiện qua 4 bước sau)

Biểu diễn biểu thức P theo hai biến mới là u, v Sau đó kết hợp với giải thiết M ta

biểu diễn biểu thức P theo biến u hoặc biến v (một biến)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với điều kiện tìm được của

biến số mới vừa tìm được ở trên

Chú ý: Cách tìm điều kiện ở bước 3 chỉ áp dụng khi cho x, y bất kỳ Nếu giả thiết

cho thêm x > 0, y > 0 thì phải lưu ý u > 0 và v > 0 để tìm điều kiện cho chính xác

3.2 Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn x   y 1

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P  (x3  1)(y3  1)