Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn

Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn Nghiên cứu sự huỷ positron trong chất bán dẫn

KHOA VẬT LÝ & VẬT LÝ KỸ THUẬT

BỘ MÔN VẬT LÝ HẠT NHÂN

-  - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

-

TP HỒ CHÍ MINH – 2010

Vật Lý và Vật Lý Kỹ Thuật, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh, tôi đã nhận được rất nhiều sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu và chân thành của Thầy Cô, bạn bè và người thân Nhân đây tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc và tri ân đến:

- ThS Trần Duy Tập, người Thầy đã giảng dạy, gợi ý đưa tôi đến với đề tài, tận tâm hướng dẫn, cung cấp tài liệu, động viên và giải đáp các thắc mắc trong suốt quá trình thực hiện đề tài

- ThS Trịnh Hoa Lăng đã giành thời gian quý báu để đọc và góp ý cho khóa luận được hoàn thiện hơn

- CN Đỗ Duy Khiêm đã nhiệt tình giúp đỡ và động viên tôi trong suốt thời gian thực hiện đề tài

- Tôi xin cảm ơn các Thầy Cô đã giảng dạy tôi ở những năm tháng đại học, gia đình

và bạn bè đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện khóa luận

Tp Hồ Chí Minh, tháng 07, năm 2010

HUỲNH ĐAN NHI

Lời mở đầu 1

Chương 1 Thời gian sống của positron trong chất bán dẫn 3

1.1 Giới thiệu 3

1.1.1 Xấp xỉ mật độ trọng số 4

1.1.1 Xấp xỉ gradient tổng quát 5

1.2 Sự hủy của positron trong mạng hoàn hảo 7

1.2.1 Tham số mật độ rs 7

1.2.2 Hệ số tăng cường 8

1.2.3 Thời gian sống của positron 12

Chương 2 Năng lượng tương quan electron – positron 14

2.1 Giới thiệu 14

2.2 Năng lượng tương quan 14

Chương 3 Chương trình tính toán 21

3.1 Thời gian sống của positron trong chất bán dẫn 21

3.1.1 Giao diện chương trình tính 24

3.1.2 Kết quả tính và nhận xét 25

3.2 Tính năng lượng tương quan electron – positron 31

3.2.1 Giao diện chương trình tính 31

3.2.2 Kết quả tính và nhận xét 33

3.3 Tính năng lượng tương quan – trao đổi electron – positron 36

3.3.1 Giao diện chương trình tính 36

3.3.2 Kết quả tính và nhận xét 37

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 42

Phụ lục 45

Coulomb – Fermi hai thành phần đồng nhất cho các giá trị khác nhau của tham số

mật độ electron rs và tỷ số mật độ x=n /n+  9

Bảng 1.2 Hệ số tương tác electron – positron cho sự tham số hóa của Boronski – Nieminen (BN) và Arponen – Pajanne (AP) trong khí electron đồng nhất 10

Bảng 3.1 Thời gian sống của positron trong một số chất bán dẫn 23

Bảng 3.2 rs, và s của các chất bán dẫn từ bảng 3.1 23

Bảng 3.3 Kết quả tính thời gian sống của một số chất bán dẫn 25

Bảng 3.4 Bảng sai lệch thời gian sống giữa các kết quả tính bằng Maple so với các kết quả thực nghiệm từ các công trình 27

Bảng 3.5 Bảng sai lệch thời gian sống giữa các kết quả tính bằng Maple so với kết quả tính theo LDA 28

Bảng 3.6 Kết quả năng lượng tương quan electron – positron cho một số chất bán dẫn 33

Bảng 3.7 Bảng sai lệch (tính theo %) so sánh năng lượng tương quan electron – positron tính theo GGA và theo LDA 34

Bảng 3.8 Giá trị năng lượng tương quan của ZnO tính toán từ các phương pháp khác nhau 35

Bảng 3.9 Năng lượng tương quan – trao đổi electron – positron của một số chất bán dẫn 37

(1.8)), Arponen và Pajanme (AP - (1.12)) và Sterne và Kaiser (SK -(1.13)) 11

Hình 3.1 Giao diện chương trình tính thời gian sống của positron trong một

số chất bán dẫn 24

Hình 3.2 Kết quả tính thời gian sống của SiC 25 Hình 3.3 Giao diện chương trình tính năng lượng tương quan electron positron 31 Hình 3.4 Giao diện chương trình tính năng lượng tương quan electron –

positron trường hợp một positron trong khí electron đồng nhất 32

Hình 3.5 Giao diện chương trình tính năng lượng tương quan electron –

positron của SiC trong trường hợp một positron trong khí electron đồng nhất 32

Hình 3.6 Giao diện chương trình tính năng lượng tương quan electron –

positron của SiC trong trường hợp mật độ positron bằng mật độ electron 33

Hình 3.7 Giao diện chương trình tính năng lượng tương quan – trao đổi

electron – positron 36

Hình 3.8 Giao diện chương trình tính năng lượng tương quan – trao đổi

electron – positron của AlAs 37

LỜI MỞ ĐẦU

Sự phát triển của kỹ thuật hủy positron hàng mấy chục năm qua chứng tỏ rằng nó

là phương pháp không thể thiếu để nghiên cứu khuyết tật vật liệu Các kỹ thuật thực nghiệm hủy positron phổ biến hiện nay là kỹ thuật đo thời gian sống của positron,

kỹ thuật đo hiệu ứng giãn nở Dopper, và phương pháp đo tương quan góc của các bức xạ hủy Từ thực tế ứng dụng các kỹ thuật thực nghiệm này người ta thấy rằng cần có các giá trị lý thuyết kèm theo để so sánh, để hỗ trợ các giá trị thực nghiệm hoặc cùng với các giá trị thực nghiệm để giải thích, phân tích các kết quả thực nghiệm đo được Ví dụ người ta cần các giá trị lý thuyết thời gian sống của positron trong mạng hoàn hảo, trong monovacancy, divacancy, lỗ trống, v.v… của các vật liệu khác nhau để các so sánh với các giá trị thực nghiệm Tương tự như vậy trong phương pháp đo hiệu ứng giãn nở Dopper, người ta cần các giá trị của tham số S, tham số W tương ứng Đặc biệt là các vật liệu mới, người ta rất cần các giá trị lý thuyết của các thông số hủy đặc trưng của positron để có định hướng ban đầu trước khi tiến hành thực nghiệm, hoặc để điều chỉnh các giá trị thực nghiệm, phương pháp thực nghiệm v.v…

Đối với thời gian sống của positron trong vật liệu, một trong những phương pháp đầu tiên là sử dụng lý thuyết hàm mật độ (density functional theory - DFT) cùng với xấp xỉ mật độ cục bộ (local density approximation – LDA) để tính toán các đặc trưng hủy của positron Các kết quả đạt được của phương pháp này đã được công bố trên nhiều công trình khác nhau [13], [17], [18] Tuy nhiên xấp xỉ mật độ cục bộ có một số hạn chế như đánh giá thấp độ rộng vùng cấm và đánh giá quá cao tốc độ hủy của positron với electron lõi Vì thế các nhà khoa học đã tìm cách đưa ra một số mô hình xấp xỉ khác để cải thiện độ chính xác của LDA như tính hệ số tăng cường hủy

sử dụng hằng số điện môi tần số cao [18], xấp xỉ gradient tổng quát (generalized gradient approximation – GGA) [5], và xấp xỉ mật độ trọng số (weighted density approximation – WDA) [21]

Khóa luận sẽ trình bày lý thuyết và kết quả tính các giá trị như tốc độ hủy, thời gian sống, năng lượng tương quan electron – positron trong một số chất bán dẫn ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực công nghiệp sử dụng xấp xỉ GGA Thực hiện việc so sánh các kết quả giữa các mô hình lý thuyết và các giá trị thực nghiệm đã được thực hiện Khóa luận gồm 3 chương

Chương 1 trình bày các vấn đề về thời gian sống của positron trong chất bán dẫn dựa vào lý thuyết hàm mật độ và xấp xỉ GGA

Chương 2 trình bày các dạng xấp xỉ để tính năng lượng tương quan electron – positron và năng lượng tương quan – trao đổi electron – positron

Chương 3 gồm các phần tính toán thời gian sống, năng lượng tương quan electron – positron và năng lượng tương quan – trao đổi electron – positron trong chất bán dẫn

CHƯƠNG 1 THỜI GIAN SỐNG CỦA POSITRON TRONG CHẤT BÁN DẪN

1.1 Giới thiệu

Trong suốt bốn thập niên gần đây, kỹ thuật hủy positron là một trong những phương pháp quan trọng để nghiên cứu cấu trúc electron và nguyên tử trong chất rắn [19] Để hiểu một cách toàn diện và làm sáng tỏ các kết quả thực nghiệm thì các kết quả lý thuyết kèm theo là điều cần thiết Lý thuyết hủy positron đã phát triển từ những mô hình đơn giản mô tả tương tác positron – chất rắn đến những phương pháp đầu tiên tiên đoán đặc tính hủy trong các điều kiện và môi trường khác nhau

Sự phát triển này song song với sự phát triển của các mô hình tính toán cấu trúc electron, nguyên tử trong vật liệu Một trong các lý thuyết được sử dụng thông dụng nhất để tính toán cấu trúc electron là lý thuyết hàm mật độ Lý thuyết này đầu tiên ứng dụng để tính toán cấu trúc electron và sau đó đã được mở rộng thành lý thuyết hai thành phần để tính toán các trạng thái và đặc tính hủy của positron trong chất rắn Sự thành công của lý thuyết này bắt nguồn từ việc tính toán các hiệu ứng tương quan và trao đổi electron-positron sử dụng xấp xỉ mật độ cục bộ đối với khí electron đồng nhất Các kết quả thu được từ LDA cho các tính chất của nguyên tử, phân tử

và chất rắn là khá tốt

Tuy nhiên xấp xỉ LDA có giá trị chỉ trong những hệ thống với mật độ electron biến thiên nhỏ và đã đánh giá quá cao sự hủy của positron với các electron lõi Những tính toán LDA khác nhau chỉ ra rằng thời gian sống positron trong kim loại chuyển tiếp hoàn hảo quá ngắn so với các giá trị thực nghiệm Sterne và Kaiser đã

đề nghị sử dụng hệ số tăng cường không đổi duy nhất cho electron lõi, tức là sử dụng mô hình mẫu hạt độc lập (independent particle model – IPM) Plazaola, Seitsonen và Puska kết luận rằng thời gian sống positron tính toán trong hợp chất bán dẫn nhóm II-VI quá ngắn do LDA ước tính quá cao tốc độ hủy với electron d của nguyên tử nhóm II Puska et al đã đưa hằng số điện môi tần số cao vào công

thức tính thời gian sống của positron, để giải thích tốc độ hủy của positron trong chất bán dẫn và cách điện [5] Sự so sánh đường cong thực nghiệm đo tương quan góc hai chiều (two-dimensional angular correlation – ACAR) và lý thuyết tại giá trị động lượng cao chỉ ra rằng sự hủy của positron với electron d được ước lượng quá cao trong tính toán Tất cả những thí nghiệm này chỉ ra rằng LDA không chính xác trong trường hợp tính tốc độ hủy positron với electron lõi và nửa lõi Từ đó các nhà khoa học đã tìm kiếm những mô hình xấp xỉ khác để cải thiện độ chính xác của xấp

xỉ LDA đó là xấp xỉ gradient tổng quát và xấp xỉ mật độ trọng số Nội dung chính của hai xấp xỉ này sẽ trình bày dưới đây

1.1.1 Xấp xỉ mật độ trọng số

Như đã biết trong LDA, tương tác electron – positron được thay thế bởi sự tương đồng trong khí electron đồng nhất, đó chính là mật độ electron cục bộ n(rp) tại vị trí của positron rp Xấp xỉ này tốt cho hệ thống có mật độ electron biến thiên chậm, chẳng hạn như các electron hóa trị trong kim loại Các nghiên cứu lý thuyết, bán thực nghiệm, và thực nghiệm đều chỉ ra rằng đóng góp của electron lõi vào đặc tính hủy là không thể bỏ qua Tuy nhiên, với các electron lõi thì mật độ biến thiên mạnh

và LDA không làm việc tốt trong trường hợp này Thực sự, đối với các electron lõi thì LDA dường như đánh giá quá cao hiệu ứng tương quan electron – positron Kết quả là LDA đánh giá thấp thời gian sống của positron khi so sánh với các dữ liệu thực nghiệm

Để nghiên cứu sự ảnh hưởng các tương quan không cục bộ này A Rubazek, Z Szotek và W M Temmerman đã giới thiệu phương pháp xấp xỉ mật độ trọng số cho việc đánh giá thời gian sống của positron trong chất rắn [21] Phương pháp WDA bao gồm các hiệu ứng không cục bộ Xấp xỉ này đã thay thế mật độ electron n(rp) trong hàm tương quan LDA bằng trung bình trọng số của nó n*(rp) tại vị trí phân bố của đám mây electron xung quanh positron, tức là nó đưa ra một hệ số gọi

là hệ số trọng số Phương pháp WDA được đưa ra đầu tiên bởi Gunnarsson et al

cho việc nghiên cứu hiệu ứng tương quan và trao đổi electron – electron không định

xứ Xấp xỉ WDA có thể nói là sự tổng quát đầu tiên của LDA cho hệ thống các

electron không đồng nhất Khi mật độ electron biến thiên chậm, xấp xỉ WDA trở thành xấp xỉ LDA Hình thức này đã được ứng dụng thành công cho việc positron tương tác với bề mặt kim loại, dẫn đến sự diễn tả tốt hơn cho màn chắn positron tại

bề mặt, khi so sánh với LDA

WDA đã đưa ra một bức tranh khác biệt đáng kể về tương quan electron – positron trong chất rắn so với LDA Sự khác biệt của WDA và LDA là các electron khác nhau thì đưa ra các đóng góp khác nhau cho đám mây chắn xung quanh positron Sự khác biệt chủ yếu của hai xấp xỉ này là hình dạng của phân bố đám mây electron chắn là hình cầu đối xứng trong LDA nhưng không đối xứng trong WDA Kết quả là các hiệu ứng không định xứ tăng nhẹ hệ số tăng cường cho electron lõi đối với khoảng cách positron nhỏ từ hạt nhân, nhưng giảm ở khoảng cách lớn

Tuy nhiên, kết quả của WDA không phải bao giờ cũng phù hợp với thực nghiệm hơn LDA Trong một vài hệ thống, thời gian sống tính theo LDA tốt hơn so với tính theo WDA Đối với các electron hóa trị gần như tự do như s, p thì cả WDA và LDA đều dẫn đến kết quả tương tự

Mặc dù WDA không nên được xem như là sự lựa chọn cho các tính toán hệ nhiều hạt đầy đủ, nhưng khi nghiên cứu hiệu ứng không định xứ quan trọng, xấp xỉ này cũng dẫn đến các kết quả đáng khuyến khích

1.1.2 Xấp xỉ gradient tổng quát

Cải tiến sự chính xác của xấp xỉ LDA là cần thiết và xấp xỉ gradient tổng quát đã

ra đời Sự cải tiến của xấp xỉ này đã được kiểm tra trong tính toán năng lượng toàn phần positron - electron

B Barbiellini, M J Puska, T Torsti và R M Nieminen đã áp dụng xấp xỉ GGA cho việc tính toán những đặc tính hủy positron trong vật chất đậm đặc, đưa ra một phương pháp tính toán chính xác cho tổng tốc độ hủy toàn phần [5] GGA cũng đã cải tiến những ước lượng về năng lượng của positron và mật độ động lượng electron – positron

Trong tính toán cấu trúc electron, LDA cũng đã ước tính quá cao năng lượng tương quan electron-positron, như trong trường hợp nguyên tử tự do Trong GGA chiều sâu của hố tương quan giảm đi do đó làm giảm năng lượng tương quan Tương tự, hiệu chỉnh gradient cho tương quan electron – positron cũng giảm tại mật

độ electron gần positron kéo theo hệ số tăng cường giảm và do đó sẽ làm tăng thời gian sống của positron

Các electron phân lớp d khá xa vùng lõi nguyên tử nơi có mật độ positron lớn

Do đó sự hủy với electron d là đóng góp quan trọng trong tổng tốc độ hủy Sự giảm

hệ số tăng cường trong vùng lõi nguyên tử theo GGA thì không lớn Ngược lại, GGA giảm mạnh hệ số tăng cường đối với các electron d Kết quả hệ số tăng cường cho electron d gần bằng hằng số GGA cho trạng thái positron nhạy với cấu trúc lớp

vỏ nguyên tử hơn LDA Điều này là đặc trưng cho các xấp xỉ sau LDA

B Barbiellini, M J Puska, T Torsti và R M Nieminen cũng bổ sung GGA vào phương pháp chồng chập nguyên tử (the superimposed atom method) Các tính toán kiểm tra thời gian sống của positron sử dụng phương pháp này cũng như các tính toán với mật độ electron không tự hợp trong LMTO-ASA (linear-muffin-tin-orbital atomic-spheres approximation) chỉ ra rằng các kết quả GGA nhạy với các phương pháp này hơn các kết quả LDA Tuy nhiên, các kết quả tính toán với cấu trúc electron tự hợp thì gần với các kết quả thực nghiệm hơn so với các kết quả thu được

từ mật độ electron không tự hợp Sử dụng phương pháp chồng chập nguyên tử cũng

đã kiểm tra được mô hình GGA trong trường hợp positron bị bẫy trong các vacancy trong chất rắn

Hiệu chỉnh này có một tham số được xác định từ thực nghiệm Hiệu chỉnh gradient cải tiến một cách hệ thống sự hủy quá lớn trong LDA và tính đến năng lượng trong chất rắn Kết quả theo GGA có sự phù hợp tốt với thời gian sống thực nghiệm của positron cho nhiều chất như kim loại, kim loại chuyển tiếp, các chất bán dẫn nhóm IV, hợp chất bán dẫn nhóm III-V, II-VI Các mục dưới đây sẽ trình bày các mô hình hủy của positron trong mạng hoàn hảo, hệ số tăng cường hủy theo xấp

xỉ LDA và cuối cùng là diễn tả hệ số này theo xấp xỉ GGA

1.2 Sự hủy của positron trong mạng hoàn hảo

Câu hỏi cơ bản liên quan đến phân tích sự hủy positron trong môi trường đậm đặc là tương tác hút electron-positron làm biến dạng các cấu trúc electron thế nào trong môi trường khảo sát Tương tác hút electron-positron dẫn đến sự tích tụ mật

độ electron quanh positron khiến cho mật độ electron cao hơn bất thường so với khi không có sự hiện diện của positron Tỷ số mật độ electron khi có positron và không

có positron gọi là hệ số tăng cường và điều này được ứng dụng để tính các đặc tính hủy của positron trong chất rắn

Lý thuyết hàm mật độ hai thành phần đã cung cấp một phương pháp có hệ thống

để khảo sát sự tương tác của hệ positron-electron trong chất rắn [7] Chúng ta có thể xem hệ thống gồm một positron bị bẫy và các electron xung quanh như là một hệ được tạo ra bởi hai chất lỏng không đồng đều xuyên vào nhau, được đặc trưng bởi các phân bố mật độ của chúng n+(r) và n-(r)

Bởi vì mật độ positron không định xứ trong mạng hoàn hảo nhỏ không đáng kể tại mọi điểm nên mật độ electron không bị ảnh hưởng bởi mật độ positron Chỉ còn phần liên quan trong màn chắn positron, phụ thuộc vào mật độ electron không bị nhiễu loạn Trong giới hạn mật độ positron rất nhỏ (gần như bằng không), có một vài tính toán cho tốc độ hủy của positron trong khí electron đồng nhất

Những kết quả tính toán sự hủy của một positron trong khí electron đồng nhất đã

sử dụng xấp xỉ mật độ cục bộ cho trạng thái positron trong chất rắn Tốc độ hủy positron , đại lượng nghịch đảo của thời gian sống positron , được tính toán từ sự chồng chập mật độ electron và positron như sau [7]

-λ=πr c n (r)n (r) (n (r))dr   (1.1) trong đó re là bán kính electron cổ điển, c là vận tốc ánh sáng trong chân không, và

(r) là hệ số tăng cường

1.2.1 Tham số mật độ r s

Tham số mật độ rs biểu diễn mật độ electron hoặc positron, đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán thời gian sống cũng như năng lượng tương quan electron – positron Tham số mật độ rs được tính như sau [17]

1 3 s

trong đó NA là số Avogadro, A0 là nguyên tử khối của chất, ρ là khối lượng riêng và

z0 là số electron hóa trị Thay (1.3) vào (1.2), rs được viết lại như sau

1 3 0 s

0 A

3A

r =4πρz N

Sự ảnh hưởng này được biểu diễn qua hệ số gọi là hệ số tăng cường Hệ số tăng cường đóng vai trò quan trọng trong tính toán thời gian sống của positron, và được xác định từ mật độ positron n+(r) và mật độ electron n-(r) tự hợp sử dụng lý thuyết

2 , n =n+ _ như sau

Bảng 1.1 Các giá trị của hệ số tăng cường mật độ tương tác g(0;n ,n )+ - trong khí Coulomb – Fermi hai thành phần đồng nhất cho các giá trị khác nhau của tham số mật độ electron rs và tỷ số mật độ x=n /n+ [7]

n 1

2 và n =n+  được tính như sau

 n+ 0 (một positron trong khí electron đồng nhất),

Bảng 1.2 Hệ số tương tác electron – positron cho sự tham số hóa của Boronski –

Nieminen (BN) và Arponen – Pajanne (AP) trong khí electron đồng nhất [7]

0 s

- Công thức của Arponen và Pajanme trích dẫn từ công trình của B Barbiellini,

M J Puska, T Torsti và R M Niemenen [5]

2 3

1 Γ(r )=1+1,23r -0,0742r + r

Hình 1.1 Các hệ số tăng cường theo các công thức Boronski và Nieminen (BN

-(1.8)), Arponen và Pajanme (AP - (1.12)) và Sterne và Kaiser (SK -(1.13))

Từ hình 1.1 ta nhận thấy BN và SK khớp với nhau, còn AP chỉ khớp với một vài giá trị rs Thực tế, kiểm tra trong vài vật liệu, không có sự khác nhau giữa thời gian sống tính theo BN và SK [23]

Trong GGA, hiệu ứng của mật độ electron không đồng nhất được diễn tả bằng tỷ

số của thang đo độ dài cục bộ / |n n| (diễn tả sự biến thiên mật độ) và độ dài màn chắn Thomas-Fermi cục bộ 1/q TF Hiệu chỉnh gradient bậc thấp nhất đối với mật độ

hố tương quan LDA tỷ lệ với hệ số [5]

ε=| n| /(nq ) =| lnn| /q  2 TF 2  2 2TF (1.15) Tham số này mô tả sự giảm của đám mây chắn electron gần positron Trong trường hợp khí electron đồng nhất thì =0, ngược lại trong trường hợp biến thiên mật độ electron tăng đột ngột thì  Khi , các electron liên kết chặt với electron lõi và do đó gần như không nhạy với positron Để nội suy giữa giá trị =0

và , các tác giả B Barbiellini, M J Puska, T Torsti và R M Nieminen đã đưa

ra khái niệm mật độ điện tích tiếp xúc n

α trong công thức (1.17) là tham số hiệu chỉnh, được xác định để cho các giá trị tính toán được và các giá trị thực nghiệm phù hợp nhau cho nhiều loại chất rắn khác nhau Các tác giả B Barbiellini, M J Puska, T Torsti và R M Nieminen đã nhận

ra rằng với giá trị α=0,22, thì các giá trị thời gian sống cho nhiều kim loại và chất bán dẫn khác nhau là phù hợp tốt với thực nghiệm Sự phụ thuộc của thời gian sống positron vào α hầu như tuyến tính giữa giá trị α=0 (trong LDA) và α=0,22

1.2.3 Thời gian sống của positron

Theo phương trình (1.2), tốc độ hủy positron chính là sự chồng chập của mật độ electron và positron tại một vị trí r Theo Henryk Stachowiak và Jerzy Lach [9], tốc

độ hủy liên hệ với hệ số tăng cường bởi công thức

và không quan trọng trong nghiên cứu các chất bán dẫn, vì vậy đóng góp electron hóa trị là quan trọng nhất trong tốc độ hủy toàn phần [17]

Vì vậy, (1.19) được viết lại như sau

CHƯƠNG 2 NĂNG LƯỢNG TƯƠNG QUAN ELECTRON – POSITRON

2.1 Giới thiệu

Nền tảng cho các tính toán cấu trúc electron hiện đại trong chất rắn là lý thuyết hàm mật độ dựa vào các công trình của Hohenberg - Kohn (1964) và Kohn – Sham (1965) Trong suốt những thập kỷ cuối của thế kỷ XX, các phương pháp tính toán

cấu trúc electron đầu tiên đã phát triển nhanh chóng Ngày nay hầu hết các tính chất

cơ bản quan trọng trong chất rắn, như tính kết hợp hay cố kết (cohesive) và cấu trúc của chất rắn có thể được tính toán mà không điều chỉnh từ các kết quả thực nghiệm Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày cách xác định mức năng lượng của positron từ đó đưa ra thông tin về cấu trúc electron trong chất rắn Việc xác định trạng thái positron trong chất rắn có thể thực hiện dựa vào lý thuyết hàm mật độ hai thành phần [19]

2.2 Năng lượng tương quan

Positron khi đi vào môi trường vật chất sẽ bị nhiệt hóa và hủy với electron của môi trường Giả thiết positron liên kết với electron của nguyên tử môi trường tạo thành trạng thái giả bền trước khi hủy Khi đó theo Boronski và Nieminen [7], năng lượng toàn phần của hệ gồm các electron và positron trong thế tương tác ngoài Vext

có thể được tính theo lý thuyết hàm mật độ hai thành phần như sau

với T[n] là động năng của hệ electron hoặc positron tự do, Exc[n] là năng lượng tương quan – trao đổi của electron – electron, positron – positron hoặc electron-positron, Vext là thế do những hạt nhân nguyên tử và những đám mây điện tích electron gây ra, và e-p

i 2

rr

n

rn,rnErr

n

rnEr

rr

n

rn,rnErr

n

rnEr

rnrnrnrd

là thế Coulomb tổng và n0(r) là mật độ điện tích dương tạo ra do thế ngoài Vext Mật độ electron và positron được tính toán từ tất cả các trạng thái khả dĩ (F là năng lượng Fermi của electron và N+ là số positron)

2

rn

f i

(2.6)

+

positron Các phương trình (2.3) – (2.6) phải được giải tự hợp và đồng thời cho trạng thái electron và positron, sử dụng phương pháp lặp Các phương trình trên (từ (2.3) – (2.6)) được giải chính xác nếu biết được hàm năng lượng tương quan – trao đổi và hàm năng lượng tương quan electron – positron Không may thay, người ta không thể biết được chính xác hai hàm này Cách phổ biến nhất để tính toán cấu

trúc electron cho các hiệu ứng tương quan – trao đổi là phương pháp xấp xỉ mật độ cục bộ Theo LDA, năng lượng tương quan – trao đổi được tính như sau

E xc n = n r ε   xc n r dr  (2.7) trong đó xc(n) là năng lượng tương quan – trao đổi cho một hạt trong khí electron đồng nhất một thành phần Trong phương trình (2.3) và (2.4), hàm vi phân của Exc[n] trở thành hàm của mật độ Hàm này được gọi là thế tương quan – trao đổi

positron từ gần đúng của Lantto Trên cơ sở này, chúng ta xây dựng bề mặt của năng lượng trên đơn vị thể tích e-p 

E n ,n trên mặt phẳng (n+,n-)

Thế tương tác được định nghĩa là hàm vi phân của năng lượng tương quan

+ e-p

+ e-p

V - +

AP + n 0

-E [n (r),n (r)] được xác định trên một đơn vị thể tích Hàm này có thể được sử dụng trong LDA trong các tính toán thực tế Biểu thức tính năng lượng tương quan electron – positron e-p

A =2A =0,0621814,

x =-0,409286 ; b =13,0720; c =42,7198,

x =-0,743294; b =20,1231; c =101,578,

(2.27)

với P là trạng thái thuận từ - spin không phân cực, F là trạng thái sắc từ - spin phân cực

Từ kết quả (2.26), phương trình (2.25) được viết lại như sau

hệ với sự chuẩn hóa thích hợp, chúng ta có thể liên hệ năng lượng tương quan đến tốc độ hủy bởi tỷ lệ sau [5]

GGA

E - thu được từ kết quả khí electron ( corr

LDA

E ) thông qua biểu thức

1/3 corr corr GGA IPM corr -αε/3

CA s

Chương 3 CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN

Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày các chương trình tính các đặc tính hủy của positron trong chất bán dẫn như hệ số tăng cường hủy, thời gian sống, năng lượng tương quan của electron – positron bằng phương pháp GGA Ngoài ra chúng tôi cũng tính năng lượng tương quan – trao đổi electron – positron, một trong những thông số quan trong tương tác positron-electron Đối tượng là các chất bán dẫn đã

và đang ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực công nghiệp như các đơn chất bán dẫn (nhóm IV), các hợp chất bán dẫn (nhóm II-VI, III-V, VI-VI) Các kết quả tính toán

sẽ được phân tích và so sánh với phương pháp LDA, với các kết quả lý thuyết và thực nghiệm khác Các tính toán này được viết trên phần mềm Maple 12.0

3.1 Thời gian sống của positron trong chất bán dẫn

Theo như công thức (1.17), để tính hệ số tăng cường theo phương pháp GGA

chúng ta phải biết giá trị  và  Giá trị  = 0,22 được xem là phù hợp với nhiều vật liệu khác nhau Việc xác định trực tiếp giá trị  từ công thức (1.15) là điều khó khăn Các tác giả B Barbiellini, M J Puska, T Torsti và R M Nieminen đã sử dụng mật độ electron tiếp xúc n để tính hệ số tăng cường phụ thuộc trực tiếp vào 

[5] Tuy nhiên chưa có công trình nào công bố các giá trị tường minh của  đối với các vật liệu khác nhau Ở đây chúng tôi đã tìm cách biểu diễn mối liên hệ của hệ số tăng cường hủy theo tham số khác gọi là gradient mật độ tỷ lệ s Từ đó tính toán các đặc trưng hủy của positron theo tham số này Gradient mật độ tỷ lệ s được biểu diễn như sau [15]

12

với rs tính từ công thức (1.4), hệ số tăng cường tính theo LDA từ công thức (1.13)

và thời gian sống tính theo công thức (1.20)

Theo John P Perdew và các cộng sự, giá trị s cho nguyên tử kim loại là

0  s 2, 0 trong khi cho các nguyên tử khác là 0, 2 s[15] Tuy nhiên các giá trị s cập nhật gần đây cho thấy 0  s 3, 0 là phù hợp [16] Cần lưu ý rằng giá trị của s cũng như của  và rs sẽ thay đổi từ kim loại sang chất bán dẫn và cách điện Vấn đề

là phải tìm các giá trị của s phù hợp để áp dụng cho chất bán dẫn Dựa vào các kết quả ban đầu của phương pháp GGA về thời gian sống của positron trong chất bán dẫn có giá trị phù hợp tốt với thực nghiệm, chúng tôi sẽ sử dụng chúng như là các giá trị tham khảo hay giá trị chuẩn để tính ngược lại giá trị  Sau đó sử dụng mối quan hệ giữa  và s như công thức (3.4) để tính các giá trị của s Từ các giá trị này, chúng ta sẽ tìm được quy luật biến đổi của s theo rs cho các chất bán dẫn Sau đó có thể áp dụng mối liên hệ này để tính giá trị s của các chất bán dẫn khác như là các giá trị nội suy hay ngoại suy Rõ ràng từ các giá trị của s mới tìm ra, chúng ta sẽ tính được các đặc trưng hủy của positron trong các chất bán dẫn đó như hệ số tăng cường hủy, tốc độ hủy, thời gian sống, năng lượng tương quan electron-positron Các kết quả về tính toán thời gian sống cho một số chất bán dẫn theo phương pháp GGA từ B Barbielini [6] được trình bày trong bảng 3.1 dưới đây

Bảng 3.1 Thời gian sống của positron trong một số chất bán dẫn [6]

Các chất bán dẫn