CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC HAY

luyện thi đại học các khối A,B, các dạng bài tập về BĐT hay và khó,Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchyschwarz CauchySchwarz inequality. 1 kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchyschwarz ` Đầu tiên xin được nhắc lại nội dung bất đẳng thức CauchySchwarz. Với hai bộ số thực bất kì a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn ta có bất đẳng thức: (a12+a22+ …+an2)(b12+b22+ …+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2 Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi aibj=ajbi với mọi i≠j. Ta hãy nhìn bất đẳng thức trên dưới dạng khác như sau: Với hai bộ số thực bất kì a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn thoả mãn bi dương ta có: 222212121 2 1 2( . ) nnnna a a aaab b b b b b        Đẳng thức cũng chỉ xảy ra khi và chỉ khi aibj=ajbi với mọi i≠j. Để sử dụng thật tốt bất đẳng thức này các bạn phải có cái nhìn hai chiều với bất đẳng thức trên. Nói chung thì bất đẳng trên ứng dụng giải toán nhiều hơn hay dễ sử dụng hơn bất đẳng thức dạng chính tắc. Bây giờ ta đi vào xét các ví dụ để thấy được sức mạnh của bất đẳng thức cauchyschwarz. CauchySchwarz inequality. 2 Ví dụ 1. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức Nettbits ba biến. a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: 32a b cb c c a a b     Lời giải. Lời giải bài toán trên rất đơn giản. Sử dụng bất đẳng CauchySchwarz ta được. 2 2 2 2( ) 3( ) 32( ) 2( ) 2a b c a b c a b c ab bc cab c c a a b ab ac bc ab ac bc ab bc ca ab bc ca                    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.♠ Ví dụ 2. a, b, c là các số dương tuỳ ý. Chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 4bc ca ab a b cb c a c a b a b c        Lời giải. Ta sử dụng nhận xét sau để giải bài toán trên: 4 1 1 1. ( ) ( )2 4 ( ) ( ) 4 4bc bc bc bc bcb c a a b a c a b a c Xem nội dung đầy đủ tại: http:123doc.orgdocument20983kithuatsudungbatdangthuccauchyschwarz.htm

Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Tổ Toán - THPT Núi Thành A/ NHỮNG BẤT ĐẲNG THỨC CĂN BẢN THƯỜNG GẶP:

1/ Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean – Geometric Mean)-ta thường hay gọi là BĐT Cauchy (Cô Si)

-Nếu x1,x2,x3,…,xn là các số không âm thì: 1 2 3

+ + + + ≥

Dấu “=” xảy ra khi: x1 =x2 = = =x3 x n

*Lưu ý: Các trường hợp riêng của bất đẳng thức AM-GM

+ + + +-Dấu “=” xãy ra khi: 1 2 3

1 2 3

n n

a)Bất đẳng thức CHEBYSHEV cho hai dãy đơn điệu cùng chiều:

Cho hai dãy hữu hạn số thực:

Cho hai dãy hữu hạn số thực: 1 2 3

1 2 3

n n

n n

1)Bất đẳng thức HOÁN VỊ cho hai dãy đơn điệu cùng chiều:

Cho hai dãy hữu hạn số thực: 1 2 3

1 2 3

n n

Khi đó ta có:a b1 1+a b2 2+ + a b n n ≥a t1 1+a t2 2+ + a t n n

2)Bất đẳng thức HOÁN VỊ cho hai dãy đơn điệu ngược chiều:

Cho hai dãy hữu hạn số thực: 1 2 3

1 2 3

n n

Cộng 3 BĐT trên suy ra được điều cần chứng minh.

(Điều quan trọng trong trường hợp này là để ý dấu bằng xảy ra)

Cộng 3 BĐT trên suy ra được điều cần chứng minh.

Với ý tưởng trên ta có thể giải tương tự các câu dưới đây :

a b c

Cộng (1), (2) và (3) ta suy ra P≥ ⇒ 1 minP= 1khi a b c= = = 1

Bài tập 3: ( Bài toán này chúng tôi sáng tác và chủ định giải theo “ thêm yếu tố phụ” , tuy nhiên có thể

giải theo cách khác nhanh hơn)

Cho x, y, z >0thoả mãn x y z+ + ≥3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

MinQ= khi x=y=z=1 ( Nếu dùng Cauchy-Schwarz sẻ nhanh hơn)

Bài tập 4: ( Bài toán này chúng tôi sáng tác và chủ định giải theo “thêm yếu tố phụ” , tuy nhiên có thể

giải theo cách khác nhanh hơn)

Cho x, y, z 0> thoả mãn x y z+ + ≥3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lấy (*) cộng (**) vế theo vế ta được:

MinQ= khi x=y=z=1

Bài tập 5: Cho 3 số thực a,b,c>0 và thoả a b c 3abc+ + = Chứng minh rằng:

Giải: ab+bc+ca ≤ 3abc ⇔ 1 1 1 3

a b c+ + ≤ (*) Đặt : 1 x,1 y,1 z

a = b= c = ; Khi đó (*) được viết lại : x + y + z ≤ 3 ( x,y,z > 0) (1)

Dấu bằng xảy ra khi: x = y = z = 1 hay a = b = c = 1.

BÀI 2: Cho a;b;c là 3 số dương thoả: a.b.c = 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 1

Dấu bằng xảy ra khi: x = y = z = 1 hay a = b = c = 1

BÀI 3: Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa : 41 41 41 41 1

29

5

a a a

a b c

+

=+ + + ++ +

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

BÀI 7: Cho các số thực dương a,b,c Chứng minh rằng:

Như thế nếu trong (4), (5), (6) có một bất đẳng thức đúng thì bài toán của ta được chúng minh xong.

Mở rộng: Từ bài toán này ta có thể mở rộng ra bài toán sau

Cho ba số a,b,c dương thỏa điều kiện a2 + +b2 c2 = 1 Chứng ming rằng: 1 1 1 9

DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG HAI BỔ ĐỀ CƠ BẢN

Bổ đề 1: Trong 3 số a, b và c bất kỳ luôn tồn tại hai số mà cùng lớn hơn hoặc bằng m hay cùng nhỏ hơn

hoặc bằng m ( với m là số thực tuỳ ý).

Không mất tính tổng quát giả sử : a b c≤ ≤

Bài tập 1: Cho 3 số thực a,b,c dương thoả : a2+ + +b2 c2 abc=4 (*)

Chứng minh rằng: 0≤ab bc ca abc+ + − ≤2

(USAMO-2000) -Từ giả thết suy ra có ít nhất một trong ba số a,b,c không lớn hơn 1.Giả sử số đó là c, khi đó ta có:

ab bc ca abc ab+ + − = − +c c a b+ ≥

*Ta đi chứng minh: ab bc ca abc+ + − ≤2

-Cách1:

-Không mất tính tổng quát, giả sử hai số a và b thoả: “Trong 3 số a, b và c bất kỳ luôn tồn tại hai số mà

cùng lớn hơn hoặc bằng m hay cùng nhỏ hơn hoặc bằng m ( với m là số thực tuỳ ý)” khi đó ta có:

a b

Suy ra: ab bc ca abc+ + − ≤ − +(2 c) bc ca+ −(ac bc c+ − =) 2

-Cách2: Không mất tính tổng quát giả sử: a 1

Khi đó theo Bổ đề 2 ta có: ab a b 1≥ + − ⇒abc ac bc c≥ + −

ab bc ca abc ab bc ca (ac bc c) ab bc ca abc ab c

Thay vào được điều cần chứng minh.

Bài tập2: Cho 3 số thực a,b,c dương thoả:ab bc ca abc+ + + = 4

Chứng minh rằng: a b c ab bc ca+ + ≥ + +

(VIỆT NAM-2000) -Cách 1:

-Không mất tính tổng quát, giả sử hai số a và b thoả: “Trong 3 số a,b và c bất kỳ luôn tồn tại hai số mà

cùng lớn hơn hoặc bằng m hay cùng nhỏ hơn hoặc bằng m ( với m là số thực tuỳ ý)”., khi đó ta có:

(ngoài ra ta có thể gặp lại bài toán này ở phương pháp dồn biến)

Bài tập 3: Cho 3 số thực a,b,c>0 và thỏa abc=1 Chứng minh rằng 12 12 12 3 2(a b c)

Từ đó suy ra được điều cần chứng minh.

Bài tập 4: Cho 3 số thực x,y,z Chứng minh rằng xyz 2(x + 2 + y 2 + z ) 8 5(x y z) 2 + ≥ + +

( Chuyên mục chào IMO 2007 đợt 1 của tạp chí THTT số 357 tháng 3 năm 2007)

Bài tập 5: Cho 3 số thực x,y,z không âm Chứng minh rằng 5(x 3 + + y 3 z ) 3xyz 9 9(xy yz zx) 3 + + ≥ + +

Bài tập 6: Cho 3 số thực x, y, z (0;1) ∈ và thỏa xyz (1 x)(1 y)(1 z)= − − − (*)

Chứng minh rằng ta luôn có 2 2 2 3

4

+ + ≥

Bài tập 7: Cho 3 số thực x,y,z thỏa xyz=1 Chứng minh rằng x y 2 2 + y z 2 2 + z x 2 2 + ≥ 3 2(x y z) + +

Bài tập 8: Cho 3 số thực x,y,z Chứng minh rằng (x 2 + 2)(y 2 + 2)(z 2 + ≥ 2) 3(x y z) + + 2

DẠNG 4: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN.

Đây là một phương pháp cơ bản để chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN-GTNN của hàm số và biểu thức nhiều biến

Để sử dụng phương pháp này ta thường tiến hành như sau:

- Với mỗi bất đẳng thức (biểu thức) ta chọn một hàm số thích hợp (các hàm số này thường có thể thấy ngay từ đầu bài, hoặc sau một vài phép biến đổi đơn giản sẻ tìm được nó)

- Khảo sát chiều biến thiên hàm số vừa tìm được trên miền xác định của nó (miền xác định này được tìm thấy dựa vào điều kiện của đầu bài) Thông thường ta sử dụng đạo hàm để lập ra bảng biến thiên

- Từ bước hai sẻ cho ta lời giải của phép chứng minh bất đẳng thức, hoặc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, biểu thức nhiều biến

1 ( ) 0

Không mất tính tổng quát giả sử x>y>z.

Đặt a=x-y, b=y-z, z-x=-(a+b) (a,b>0)

Vậy GTNN của A bằng 9/2 khi y=0,x+z=0 và các hoán vị

Bài 2: Cho 3 số thực a,b,c >0 Tìm GTNN của biểu thức A 2 12 2 (a 1)(b 1)(c 1)2

(1; )

1max max ( ) (4)

-Theo tính chất véc tơ ta có: ar+ + ≥ + +br cr a b cr r r

x= = =y z

Bài 4: Cho 2 số thực x và y khác 0 và thỏa : xy x y( + ) =x2+y2−xy (*)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3

S S

S S

< −



− ≥ ⇔ − + ≥ ⇔  ≥ ( lưu ý S = 0 không thỏa)

Ta đi xét hàm số:

23( ) S

1

t t A

Bài 9: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M=3(a2b2+b2c2+c2a2) + 3(ab + bc + ca) + 2 a2+ +b2 c2 .(Khối B-2010)

Bài 10: Cho x, y, z là 3 số thực thuộc đoạn [ ]1; 4 và x≥ y x z, ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 14: Cho x và y là các số thực thỏa mãn: 1−y2 =x x y( − )

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

6 6

3 3

1

x y P

x y xy

+ −

=+

Bài 15: Cho x,y,z là ba số dương thoả mản điều kiện: 1 1 1 3 2 9 1 1

+++++

Bài 20: Cho 2 số thực x,y >0 thoả x y 5

Bài 30: Cho ba số thực x,y,z thỏa: 1 1; 1; 1

4≤ ≤x yx≥ xyz= Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 33: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa điều kiện:(a c b c+ )( + = ) 4c2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

+ Nếu chỉ xét trên R, miền liên thông thường xét: ( ; ), ; , ; , ; ,(a b a b[ ] (a b] [a b) −∞; ), ( ;a b +∞),

II/ BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN VỚI CỰC TRỊ ĐẠT TẠI GIÁ TRỊ BIẾN ĐỐI XỨNG

a/Phương pháp:

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: f x y z( , , ) ≥0 với x,y,z là các biến số thực thỏa mản các tính chất nào đó Khi đó ta sẻ thực hiện hai bước chính

Bước 1: (Kỹ thuật dồn về hai biến bằng nhau)

Đánh giá f x y z( , , ) ≥ f t t z( , , ) , với (t t z, , ) là bộ số thỏa mãn mọi tính chất của bộ số (x y z, , )

Bước 2: Đánh giá f t t z( , , ) ≥0

Lưu ý: đối với các đẳng thức đồng bậc ta có thể làm cho chứng minh đơn giản hơn bằng cách chuẩn hóa

các biến trong bất đẳng thức trước khi thực hiện hai bước

b/Phân loại:

Loại 1: Bất đẳng thức không có điều kiện

( không ràng buộc các biến bằng một đẳng thức hay bất đẳng thức)

Đối với loại này thì dồn biến theo các đại lượng trung bình chẳng hạn như

t = + t = + t= xy là những kỹ thuật chính dùng để dồn hai biến bằng nhau.

Bài 1: Cho ba số thực không âm x,y, z chứng minh rằng x y z+ + ≥3.3 xyz

*Cách 1: x y z+ + ≥3.3 xyz ⇔ + + −x y z 3.3 xyz ≥0, đặt f x y z( , , )= + + −x y z 3.3 xyz

Bước 1: Ta đi chứng minh f x y z( , , )≥ f t t z( , , )với

Vậy f x y z( , , )≥ f t t z( , , ) 0≥ (điều phải chứng minh)

*Cách 2: x y z+ + ≥3.3 xyz ⇔ + + −x y z 3.3 xyz ≥0, đặt f x y z( , , )= + + −x y z 3.3 xyz

Bước 1: Ta đi chứng minh f x y z( , , )≥ f t t z( , , )với t= xy

Vậy f x y z( , , )≥ f t t z( , , ) 0≥ (điều phải chứng minh)

*Cách 3: (Kỹ thuật thuật chuẩn hóa theo tổng đối với bất đẳng thức đồng bậc)

Do đó g(x,y,z) là thuần nhất bậc không nên ta chuẩn hoá x y z+ + =1

Ta có thể lập luận như sau:

Nếu x y z k+ + = >0thì

3 3

Bước 1: Ta đi chứng minh f x y z( , , )≥ f t t z( , , )với

Vậy f x y z( , , )≥ f t t z( , , ) 0≥ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi 1 1

Nhận xét: do vế trái là hàm chẵn với các biến a,b,c nên ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức cho các số

thực a,b,c không âm

Bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức: (a2+2)(b2+2)(c2+ −2) 9(ab bc ca+ + ) 0≥

Bước 2: Ta đi chứng minh f t t c( , , ) (= t2+2)2 2c −18tc+(2t4− + ≥t2 8) 0

Nhận xét: f t t c( , , )là tam thức bậc hai theo biến c và có: ∆ = − −(t2 1) (22 t4+11t2+32) 0≤

( , , ) 0

f t t c

Vậy f a b c( , , )≥ f t t c( , , ) 0≥ (điều phải chứng minh) Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Loại 2: Bất đẳng thức có điều kiện

Bài 3: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa abc=1 Chứng minh rằng (a b b c c a+ )( + )( + ≥) 4(a b c+ + −1)

(a b b c c a+ )( + )( + ≥) 4(a b c+ + − ⇔1) ab a b( + +) bc b c( + +) ca c a( + −) 4(a b c+ + + ≥) 6 0

Đặt f a b c( , , )=ab a b( + +) bc b c( + +) ca c a( + −) 4(a b c+ + +) 6

Không mất tính tổng quát giả sử a=max , ,{a b c}

Bước 1: Ta đi chứng minh f a b c( , , ) ≥ f a bc( , , bc) (tức là dồn biến t= bc)

Bước 2: Ta đi chứng minh f a t t( , , ) 0 ≥ Ta có abc 1 a bc bc 1 a t t 1 a 12

Vậy f a b c( , , ) ≥ f a t t( , , ) 0 ≥ (điều phải chứng minh) Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Bài 4: Cho ba số thực x,y,z thỏa x2 +y2 +z2 = 9 Chứng minh rằng 2(x y z+ + −) xyz≤10

Đặt f x y z( , , ) 2(= x y z+ + −) xyz

Không mất tính tổng quát giả sử x=min , ,{x y z}

Bước 1: Ta đi chứng minh f x y z( , , ) ≤ f x t t( , , ), với 2 2

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi x=-1,y=z=2 và các hoán vị

Bài 5: Cho 3 số thực a,b,c không âm thoả:ab bc ca abc+ + + = 4

Chứng minh rằng: a b c ab bc ca+ + ≥ + +

*Lưu ý: Để ý rằng ngoài điểm đẳng thức xãy ra là a=b=c=1 đẳng thức xãy ra còn có một điểm khác là

a=b=2, c=0 Điều đó gợi cho ta giả sử c=min{a,b,c}và ta dồn biến để đưa hai biến a,b về bằng nhau và bằng một số t dương nào đó Trước tiên ta chọn bộ số ( , , )t t c phải thỏa mãn: ab bc ca abc+ + + = 4 tức là

Giả sử a b+ − <2t 0, từ (**) suy ra t2 −ab< ⇒ < 0 t2 ab Khi đó ta có :

2 2

Bài 6: Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa ab bc ca+ + +6abc=9 Chứng minh rằng

a b c+ + +3abc≥6

Bài 7: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng ta luôn có

25 ) (

48 1 1

1

≥ + + +

+

c b

Trên đây là những suy nghĩ và trình bày mang tính chủ quan của chúng tôi Kính mong được sự đóng góp của quý thầy cô giáo.